模擬有源濾波器設(shè)計(jì)的MATLAB實(shí)現(xiàn)

PAGEword文檔可自由編輯word文檔可自由編輯摘要本文闡述了濾波器的基本概念，介紹了模擬有源濾波器的設(shè)計(jì)原理和逼近理論。其中包括巴特沃思逼近、切比雪夫I型逼近、切比雪夫Ⅱ型逼近、橢圓函數(shù)逼近和貝塞爾逼近。并研究了模擬有源濾波器的設(shè)計(jì)流程及性能測試。綜合了傳統(tǒng)的硬件設(shè)計(jì)方法與軟件編程技術(shù),由MATLAB仿真出了各種濾波器逼近技術(shù)的幅頻特性曲線并進(jìn)行了實(shí)例分析。對巴特沃思濾波器實(shí)例的研究仿真，由程序快速的得到了最小階數(shù)和截止頻率，取代了傳統(tǒng)繁復(fù)的計(jì)算；方便的實(shí)現(xiàn)了由模擬低通濾波器向高通、低通和帶阻濾波器的轉(zhuǎn)換；對四運(yùn)放復(fù)雜電路進(jìn)行了設(shè)計(jì)仿真，通過求取其不同點(diǎn)的輸出傳遞函數(shù)，模擬了二階低通、高通、帶通和帶阻濾波器的幅頻特性曲線并得到了較好的仿真結(jié)果。關(guān)鍵詞：模擬有源濾波器；逼近理論；幅頻特性；MATLAB程序設(shè)計(jì)ABSTRACTThispaperdescribesthebasicconceptsoffiltersintroducedanalogactivefilterdesignprinciplesandapproximationtheory.IncludingButterworthapproximation,ChebyshevtypeIapproximation,ChebyshevⅡtypeapproximation,ellipticfunctionapproximationandBezierapproximation.Thefirstauthorstudiedtheanalogactivefilterdesignprocessandperformancetesting.Combinesthetraditionalhardwaredesignmethodsandsoftwareprogrammingtechniques，theMATLABsimulationofavarietyoffilterapproximationtechniqueofamplitude-frequencycharacteristiccurveandanillustrativeexample.Butterworthfilterinstanceonsimulationstudies,bytheprogramtoquicklygettheminimumorderandthecutofffrequency,replacingthetraditionalcomplexcalculations;convenientlyachievedbytheanaloglow-passfiltertothehigh-pass,low-passandband-stopfiltertheconversion;complexonquadopampcircuitdesignsimulation,throughitsdifferentpointsstrikeoutputtransferfunctiontosimulatethesecond-orderlow-pass,highpass,bandpassandband-stopfilterfrequencycharacteristiccurveandgetbettersimulationresults.Keywords:AnalogandActiveFilter;TheoryofApproximation,Amplitude-frequencycharacteristics，MATLABprogramdesignCompiling

and

organizing

data

After

you

have

established

the

purpose

of

the

report,

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to

compile

and

organize

the

information

needed

to

support

it.

The

gathering

of

information

may

have

given

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lot

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materials,

but

you

need

to

be

a

firm

editor

and

retain

only

the

essential

data

and

throw

out

the

rest.

Consider

your

readers,

and

think

about

how

much

background

information

they

will

need.

Writing

the

report

A

report

consists

of

five

parts:

title,

introduction,

findings,

conclusion

and

recommendations.

1.

Title

This

should

run

no

longer

than

one

line.

2.

Introduction

This

tells

the

reader

what

the

purpose

and

objective

of

the

report

are.

It

might

also

give

the

reader

some

background

information

on

the

subject.

The

purpose/objective/aim

of

this

report

is

to...

This

report

aims

to/is

intended

to...

3.

Findings

This

is

the

main

part

of

the

report.

It

tells

the

reader

what

you

have

found

in

your

information

gathering.

It

is

important

to

differentiate

between

fact

and

opinion.

Which

of

the

following

phrases

report

facts

and

which

report

opinions?

We

found

that...

(could

be

both

fact

and

opinion)

It

clearly

shows

that...

(fact)

It

was

found

that...(fact)

We

discovered

that...(fact)

We

observed

that...(opinion)

There

is

evidence

that...(fact)

4.

Conclusion

This

part

tells

the

reader

about

the

results

of

the

report

based

on

the

findings.

It's

concluded/decided/agreed/felt

that...

It

can

be

seen

that...

In

conclusion...

No

conclusions

were

reached

regarding?...(關(guān)于一事未得出任何結(jié)論)

We

can

conclude

that...

5.

Recommendations

Finally,

recommendations

are

made

on

what

future

actions

need

to

be

taken.

Based

on

our

findings,

we

(would)

recommend

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It

is

recommend-ed/proposed/suggested

that?...

It

seems

to

me

that...title,

introduction,

findings,

conclusion

and

recommendations.PAGEword文檔可自由編輯1Introduction濾波是信號處理的一種最基本而重要的技術(shù)，利用濾波可從復(fù)雜的信號中提取所需要的信號，抑制不需要的部分。所謂濾波器是具有一定傳輸特性的信號處理裝置。根據(jù)濾波器所處理的信號不同，濾波器可分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器兩類。模擬濾波器在測試系統(tǒng)或?qū)Ｓ脙x器儀表中是一種常用的變換裝置。例如：帶通濾波器用作頻譜分析儀中的選頻裝置；低通濾波器用作數(shù)字信號分析系統(tǒng)中的抗頻混濾波；高通濾波器被用于聲發(fā)射檢測儀中剔除低頻干擾噪聲；帶阻濾波器用作電渦流測振儀中的陷波器，等等。與模擬濾波器相對應(yīng)，在離散系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用數(shù)字濾波器。它的作用是利用離散時(shí)間系統(tǒng)的特性對輸入信號波形或頻率進(jìn)行加工處理?；蛘哒f，把輸入信號變成一定的輸出信號，從而達(dá)到改變信號頻譜的目的。數(shù)字濾波器一般可以用兩種方法來實(shí)現(xiàn)：一種方法是用數(shù)字硬件裝配成一臺專門的設(shè)備，這種設(shè)備稱為數(shù)字信號處理機(jī)；另一種方法就是直接利用通用計(jì)算機(jī)，將所需要的運(yùn)算編成程序讓通用計(jì)算機(jī)來完成，即利用計(jì)算機(jī)軟件來實(shí)現(xiàn)。本論文首先介紹了濾波器的濾波原理以及模擬濾波器設(shè)計(jì)方法。重點(diǎn)介紹了模擬濾波器的設(shè)計(jì)和仿真。系統(tǒng)研究了模擬濾波器（包括巴特沃斯濾波器、切比雪夫?yàn)V波器、橢圓函數(shù)濾波器和貝塞爾濾波器）的設(shè)計(jì)原理和方法，并在此基礎(chǔ)上論述了模擬濾波器（包括低通、高通、帶通、帶阻）的設(shè)計(jì)。在此基礎(chǔ)上，用MATLAB虛擬實(shí)現(xiàn)模擬濾波器。此設(shè)計(jì)擴(kuò)展性好，便于調(diào)節(jié)濾波器的性能，可以根據(jù)不同的要求在MATLAB上加以實(shí)現(xiàn)。通過MATLAB的仿真與實(shí)現(xiàn)，可以看出傳統(tǒng)的模擬濾波器設(shè)計(jì)方法繁瑣且不直觀，而MATLAB具有較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)計(jì)算和圖形顯示這一優(yōu)點(diǎn)，使設(shè)計(jì)結(jié)果顯示的更加直觀，而且對濾波器的精度也有了很大的提高，能更好的達(dá)到預(yù)期效果。同時(shí)，又對模擬濾波器低通至高通、帶通、帶阻的轉(zhuǎn)換進(jìn)行了理論上的闡述。2濾波器的基本概念2.1濾波原理濾波器是一種選頻裝置，可以使信號中特定的頻率成分通過，而極大地衰減其它頻率成分。在測試裝置中，利用濾波器的這種選頻作用，可以濾除干擾噪聲或進(jìn)行頻譜分析。廣義地講，任何一種信息傳輸?shù)耐ǖ溃劫|(zhì)）都可視為是一種濾波器。因?yàn)椋魏窝b置的響應(yīng)特性都是激勵(lì)頻率的函數(shù)，都可用頻域函數(shù)描述其傳輸特性。因此，構(gòu)成測試系統(tǒng)的任何一個(gè)環(huán)節(jié)，諸如機(jī)械系統(tǒng)、電氣網(wǎng)絡(luò)、儀器儀表甚至連接導(dǎo)線等等，都將在一定頻率范圍內(nèi)，按其頻域特性，對所通過的信號進(jìn)行變換與處理。按照濾波器處理信號的性質(zhì)分為，模擬濾波器和數(shù)字濾波器。本文所述內(nèi)容屬于模擬濾波范圍。主要介紹模擬濾波器（連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)）原理、種類、數(shù)學(xué)模型、主要參數(shù)、ＲＣ濾波器設(shè)計(jì)。盡管數(shù)字濾波技術(shù)已得到廣泛應(yīng)用，但模擬濾波在自動檢測、自動控制以及電子測量儀器中仍被廣泛應(yīng)用。2.2濾波器分類2.2.1根據(jù)濾波器的選頻作用分類⑴低通濾波器從頻率之間，幅頻特性平直，它可以使信號中低于的頻率成分幾乎不受衰減地通過，而高于f2的頻率成分受到極大地衰減。圖1低通濾波器圖2高通濾波器⑵高通濾波器與低通濾波相反，從頻率，其幅頻特性平直。它使信號中高于的頻率成分幾乎不受衰減地通過，而低于的頻率成分將受到極大地衰減。⑶帶通濾波器它的通頻帶在之間。它使信號中高于而低于的頻率成分可以不受衰減地通過，而其它成分受到衰減。⑷帶阻濾波器與帶通濾波相反，阻帶在頻率之間。它使信號中高于而低于的頻率成分受到衰減，其余頻率成分的信號幾乎不受衰減地通過。圖3帶通濾波器圖4帶阻濾波器低通濾波器和高通濾波器是濾波器的兩種最基本的形式，其它的濾波器都可以分解為這兩種類型的濾波器，例如：低通濾波器與高通濾波器的串聯(lián)為帶通濾波器，低通濾波器與高通濾波器的并聯(lián)為帶阻濾波器。圖5低通濾波器與高通濾波器的串聯(lián)圖6低通濾波器與高通濾波器的并聯(lián)2.2.2根據(jù)“最佳逼近特性”標(biāo)準(zhǔn)分類巴特沃斯濾波器從幅頻特性提出要求，而不考慮相頻特性。巴特沃斯濾波器具有最大平坦幅度特性，其幅頻響應(yīng)表達(dá)式為：（1）n為濾波器的階數(shù)；wc為濾波器的截止角頻率，當(dāng)w=wc時(shí)，|H(wc)|2=1/2,所以，wc對應(yīng)的是濾波器的-3db點(diǎn)。巴特沃思低通濾波器是以巴特沃思函數(shù)作為濾波器的傳遞函數(shù)H(s)，以最高階泰勒級數(shù)的形式逼近濾波器的理想矩形特性。⑵切比雪夫?yàn)V波器切貝雪夫?yàn)V波器也是從幅頻特性方面提出逼近要求的，其幅頻響應(yīng)表達(dá)式為：（2）ε是決定通帶波紋大小的波動系數(shù)，0<ε<1，波紋的產(chǎn)生是由于實(shí)際濾波網(wǎng)絡(luò)中含有電抗元件；wc是通帶截止頻率，Tn是n階切貝雪夫多項(xiàng)式。與巴特沃斯逼近特性相比較，這種特性雖然在通帶內(nèi)有起伏，但對同樣的n值在進(jìn)入阻帶以后衰減更陡峭，更接近理想情況。ε值越小，通帶起伏越小，截止頻率點(diǎn)衰減的分貝值也越小，但進(jìn)入阻帶后衰減特性變化緩慢。切貝雪夫?yàn)V波器與巴特沃斯濾波器進(jìn)行比較，切貝雪夫?yàn)V波器的通帶有波紋，過渡帶輕陡直，因此，在不允許通帶內(nèi)有紋波的情況下，巴特沃斯型更可?。粡南囝l響應(yīng)來看，巴特沃斯型要優(yōu)于切貝雪夫型，通過上面二圖比較可以看出，前者的相頻響應(yīng)更接近于直線。⑶貝塞爾濾波器只滿足相頻特性而不關(guān)心幅頻特性。貝塞爾濾波器又稱最平時(shí)延或恒時(shí)延濾波器。其相移和頻率成正比，即為一線性關(guān)系。但是由于它的幅頻特性欠佳，而往往限制了它的應(yīng)用。2.2.3按濾波器元件性質(zhì)無源濾波器(R、L、C)有源濾波器(含運(yùn)放)3模擬有源濾波器的設(shè)計(jì)原理3.1信號無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件信號通過一個(gè)系統(tǒng)，其響應(yīng)若不失真，則這個(gè)系統(tǒng)稱為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。實(shí)際中常常需要無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，例如，高保真音響系統(tǒng)、示波器等。無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)應(yīng)是的準(zhǔn)確的復(fù)制品，或者說兩者的大小和出現(xiàn)的時(shí)間可以不同(見圖7a、b)，但它們的波形變化規(guī)律應(yīng)相同，即（3）式中、為常數(shù)，是系統(tǒng)增益，為延遲時(shí)間。上式可以改寫為（4）這說明無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為（5）對上式進(jìn)行傅里葉變換，則有（6）由上式可知，無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)應(yīng)滿足下面兩個(gè)條件：(1)幅頻特性（7）即系統(tǒng)增益為一個(gè)常數(shù)，與信號頻率無關(guān)，如圖7(c)所示。(2)相頻特性（8）即系統(tǒng)的相位和與信號頻率成正比，如圖7(d)所示。(c) (d)圖7無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)實(shí)際系統(tǒng)，幅頻特性和相頻特性均不滿足無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的兩個(gè)條件。工程上，只要信號在占有的頻率范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性基本上滿足無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的兩個(gè)條件，就可以認(rèn)為是無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)了。3.2理想濾波器的特性濾波器是一個(gè)選頻裝置。理想濾波器應(yīng)能無失真地傳輸有用信號，而又能完全抑制無用信號。有用信號和無用信號往往占有不同的頻帶。信號能通過濾波器的頻帶稱為通帶(Passband)。信號被抑制的頻帶稱為阻帶（Stopband）。理想濾波器頻率特性可寫為：但通過后面的講解我們會知道理想濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。實(shí)際濾波器的頻率特性只能“逼近”理想濾波器。圖8為低通濾波器的幅頻特性示意圖。圖8低通濾波器的幅頻特性示意圖可見，濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶內(nèi)不是完全平直的，而是呈波紋變化；在阻帶內(nèi)，幅頻特性也不為零，而是衰減至某個(gè)值；在通帶和阻帶之間存在一個(gè)過渡帶，而不是突然下降。通常，實(shí)際設(shè)計(jì)要求濾波器的技術(shù)指標(biāo)包括通帶波紋Rp(Passbandripple)(dB)、阻帶衰減(Stopbandattenuation)(dB)、通帶邊界頻率、阻帶邊界頻率、過渡帶寬。濾波器的通帶波紋Rp為相對于頻率響應(yīng)最大點(diǎn)（一般為1）的下降，因此下降越少說明通帶越平直，濾波器的濾波效果越好（通常為1-5dB）。濾波器的阻帶衰減Rs也是相對于頻率響應(yīng)最大點(diǎn)（一般為1）的下降，因此下降越多說明信號在阻帶內(nèi)越不容易通過，因此濾波效果越好(通常要大于15dB)。過渡帶寬越窄，濾波器的頻率特性越接近于直角矩形特性，濾波效果也越好。3.3模擬濾波器傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)原理模擬濾波器的設(shè)計(jì)理論通常在Laplace域內(nèi)進(jìn)行討論，本節(jié)內(nèi)容我們只討論其應(yīng)用。模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)可由平方幅值響應(yīng)函數(shù)形式給出，而和傳遞函數(shù)H(s)存在下面關(guān)系：（9）即（10）當(dāng)給定模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)后，由求出A(-s2)，再適當(dāng)?shù)胤峙淞銟O點(diǎn)可求出H(s)。為了使濾波器穩(wěn)定，H(s)的極點(diǎn)必須落在s平面左半平面，這是因?yàn)閷τ谝粋€(gè)濾波器的極點(diǎn)p，就可以寫成的形式，其逆Laplace變換（對應(yīng)于時(shí)間域）為，若p>0，則隨著時(shí)間增大至無窮，該濾波器的輸出將出現(xiàn)不穩(wěn)定。濾波器的零點(diǎn)選擇可任取A(-s2)的一半零點(diǎn)，這是因?yàn)闉V波器對Laplace域表示的傳遞函數(shù)并無特殊要求，但如果要求H(s)具有最小相位，零點(diǎn)也必須選擇在s左半平面。3.3.1模擬濾波器設(shè)計(jì)步驟用戶對設(shè)計(jì)的濾波器提出設(shè)計(jì)要求，我們可以針對濾波器的設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)濾波器。通常用戶對模擬濾波器提出的要求有：（1）濾波器的性能指標(biāo)，包括截止頻率(對于低通和高通)或上下邊界頻率、，通帶波紋、阻帶衰減等；（2）濾波器的類型，通常為Butterworth、ChebyshevI、ChebyshevII、Elliptic或Bessel濾波器。我們根據(jù)濾波器的類型通常按下列步驟設(shè)計(jì)濾波器。(1)給定模擬濾波器的性能指標(biāo)，如截止頻率(對于低通和高通)或上下邊界頻率；通帶波紋、阻帶衰減以及濾波器類型等（用戶給定）。(2)確定濾波器階數(shù)(3)設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器。MATLAB信號處理工具箱的濾波器原型設(shè)計(jì)函數(shù)有butterap、cheb1ap、cheb2ap、ellipap、besselap。(4)按頻率變換設(shè)計(jì)模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）。MATLAB信號處理工具箱的頻率變換函數(shù)有l(wèi)p2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs。3.3.2模擬濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)上面濾波器的設(shè)計(jì)步驟比較麻煩，根據(jù)設(shè)計(jì)要求求解濾波器的最小階數(shù)和邊界頻率之后需要設(shè)計(jì)模擬原型濾波器并進(jìn)行頻率轉(zhuǎn)換。其實(shí)MATLAB將這一系列的過程組合成了更為方便的設(shè)計(jì)函數(shù)：butter,cheby1,cheby2,ellip,besself。這些函數(shù)稱為模擬濾波器完全設(shè)計(jì)函數(shù)。用戶在求得濾波器的最小階數(shù)和截止頻率之后只需調(diào)用一次完全設(shè)計(jì)函數(shù)就可以自動完成所有設(shè)計(jì)過程，編程十分簡單。這些工具函數(shù)適用于模擬濾波器的設(shè)計(jì)，但同樣也適用于數(shù)字濾波器。本節(jié)只討論這些函數(shù)在模擬濾波器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。但要注意，MATLAB是將上述一系列的步驟復(fù)合而已，并不是一種新的設(shè)計(jì)模擬濾波器的方法。[b,a]=butter(n,wn[,'ftype'],'s')[z,p,k]=butter(n,wn[,'ftype'],'s')[b,a]=cheby1(n,Rp,wn[,'ftype'],'s')[z,p,k]=cheby1(n,Rp,wn[,'ftype'],'s')[b,a]=cheby2(n,Rs,wn[,'ftype'],'s')[z,p,k]=cheby2(n,Rs,wn[,'ftype'],'s')[b,a]=ellip(n,Rp,Rs,wn[,'ftype'],'s')[z,p,k]=cheby2(n,Rp,Rs,wn[,'ftype'],'s')[b,a]=besself(n,wn[,'ftype'],'s')[z,p,k]=besself(n,wn[,'ftype'],'s')在上面的調(diào)用方式中，n為濾波器的階數(shù)，wn為濾波器的截止頻率，單位rad/s（wn>0）；’s’為模擬濾波器，缺省時(shí)為數(shù)字濾波?！甪type’濾波器的類型可取為：‘high’高通濾波器，截止頻率為wn?！畇top’帶阻濾波器，截止頻率為wn=[w1,w2](w<w2)?！甪type’缺省時(shí)為低通或帶通濾波器。當(dāng)設(shè)計(jì)帶通濾波器時(shí)，截止頻率也為wn=[w1,w2](w1<w2)。a,b分別為濾波器的傳遞函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量；z,p,k分別為濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。Rp,Rs分別為所設(shè)計(jì)濾波器的通帶波紋和阻帶衰減,單位為dB。濾波器的傳遞函數(shù)具有下面的形式：（11）若濾波器為帶通或帶阻型，則濾波器的階數(shù)為2n，否則階數(shù)為n。3.4濾波器最小階數(shù)選擇前面所述的模擬濾波器設(shè)計(jì)中，濾波器階數(shù)是我們在編程時(shí)任意指定的。其實(shí)它是決定濾波器品質(zhì)的主要參數(shù)之一。通常在滿足性能指標(biāo)的前提下，階數(shù)應(yīng)該盡可能小，以滿足易于實(shí)現(xiàn)、提高運(yùn)算速度的要求。而在濾波器階數(shù)和濾波器性能之間存在一定的函數(shù)關(guān)系，我們通過這一函數(shù)關(guān)系可以求出滿足濾波性能指標(biāo)的最低階數(shù)。下面介紹常用低通濾波器最小階數(shù)的確定原理及MATLAB實(shí)現(xiàn)；接著介紹MATLAB信號處理工具箱中用來計(jì)算最小階數(shù)和截止頻率的工具函數(shù)。3.4.1濾波器最小階數(shù)選擇原理以Butterworth低通模擬濾波器為例模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)為：通帶邊界頻率，阻帶邊界頻率，通帶波紋Rp(dB)、阻帶衰減Rs(dB)。當(dāng)時(shí)（12）以截止頻率（幅值下降3dB）為1，化為相對的相對頻率，則上式可寫成：(13)

同理，當(dāng)時(shí)，(14)綜合上面兩式可得：式中，N應(yīng)向上取整，則N為該濾波器的最小階數(shù)。表示為：或(15)3.4.2濾波器最小階數(shù)選擇函數(shù)上面給出了Butterworth濾波器的最小階數(shù)和截止頻率的選擇公式及程序。其實(shí)MATLAB工具箱中運(yùn)用濾波器的最小階數(shù)選擇公式給出了濾波器最小階數(shù)選擇函數(shù)。幾種濾波器最小階數(shù)的選擇函數(shù)如下：[n,wc]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s');Butterworth濾波器[n,wc]=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,'s');ChebyshevI濾波器[n,wc]=cheb2ord(wp,ws,Rp,Rs,'s');ChebyshevII濾波器[n,wc]=ellipord(wp,ws,Rp,Rs,'s');Elliptic濾波器式中，wp為通帶邊界頻率，ws為阻帶邊界頻率，單位為rad/s。Rp,Rs分別為通帶波紋和阻帶衰減，單位為dB。二者分別表示通帶內(nèi)的最大允許幅值損失和阻帶下降的分貝數(shù)。's'表示模擬濾波器（缺省時(shí)，該函數(shù)適用于數(shù)字濾波器）；函數(shù)返回值n為模擬濾波器的最小階數(shù)；wc為模擬濾波器的截止頻率，單位為rad/s。這四個(gè)函數(shù)適用于低通、高通、帶通、帶阻濾波器。若wp<ws，對應(yīng)于低通模擬濾波器，當(dāng)wp>ws時(shí)對應(yīng)于高通模擬濾波器，對于帶通和帶阻濾波器存在兩個(gè)過渡帶，wp和ws均應(yīng)該為含有兩個(gè)元素的向量，分別表示兩個(gè)過渡帶的邊界頻率。即：wp=[通帶下界頻率,通帶上界頻率]，ws=[阻帶下界頻率,阻帶上界頻率]。對于帶通濾波器，這四個(gè)頻帶界線的大小排列為:阻帶下界頻率<通帶下界頻率<通帶上界頻率<阻帶上界頻率；對于帶阻濾波器，這四個(gè)頻帶界線的大小排列為:通帶下界頻率<阻帶下界頻率<阻帶上界頻率<通帶上界頻率。這時(shí)返回值wc包括兩個(gè)元素（第一個(gè)元素小于第二個(gè)元素），分別為通帶和阻帶之間的界線頻率。函數(shù)自動判斷是帶通還是帶阻濾波器。3.5模擬濾波器的性能測試濾波器設(shè)計(jì)好之后，一般要進(jìn)行各方面的測試。在正式設(shè)計(jì)濾波器之前，我們先介紹如何測試濾波器的性能。對于模擬濾波器，在本章第二節(jié)我們已采用函數(shù)freqs來求模擬濾波器的頻率響應(yīng)，這里我們詳細(xì)介紹該函數(shù)，若其調(diào)用格式為：式中，b,a分別為模擬濾波器傳遞函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)；h為對應(yīng)頻率點(diǎn)的傳遞函數(shù)值。上面的表示中，[,w]和[,n]表示可有可無的參數(shù)，本書中的該類表示均為可有可無的參數(shù),由用戶根據(jù)需要確定。w為頻率點(diǎn)的值,n為頻率點(diǎn)數(shù)。若n=128，則用128個(gè)頻率點(diǎn)來給出此模擬濾波器的頻率特性（給定頻率點(diǎn)的傳遞函數(shù)值），缺省時(shí)為200。若該函數(shù)不寫輸出變量，則執(zhí)行后繪出該濾波器的幅頻響應(yīng)和相位響應(yīng)圖。此函數(shù)模擬濾波器的傳遞函數(shù)形式為：MATLAB工具箱還提供了兩個(gè)函數(shù)abs和angle，由頻率響應(yīng)求幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。其中angle的輸出單位為rad?？刹捎胷ad2deg函數(shù)轉(zhuǎn)化為度。另外注意函數(shù)的幅頻響應(yīng)經(jīng)常用分貝(dB)來表示。求出的幅頻響應(yīng)后，通過下式轉(zhuǎn)換為分貝:(dB)。我們知道，除了用傳遞函數(shù)描述濾波器特性外，還可用脈沖(沖激)響應(yīng)來描述濾波器，因?yàn)樵谀M濾波器中，脈沖響應(yīng)與傳遞函數(shù)是Laplace變換對。此外還可以用階躍響應(yīng)（輸入一個(gè)階躍時(shí)系統(tǒng)的輸出）來描述濾波器特性。下面我們介紹在MATLAB中如何得到模擬濾波器的脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)。將濾波器的傳遞函數(shù)表示成分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)的形式，如分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)為[b,a]，則在MATLAB中用H=[tf(b,a)]來表示此模擬濾波器，采用[[y,t]=]impulse(H)給出該系統(tǒng)的模擬脈沖響應(yīng)。采用[[y,t]=]step(H)來得到該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。這兩個(gè)函數(shù)與freqs一樣，若沒有輸出則程序自動繪圖模擬該濾波器的脈沖響應(yīng)或階躍響應(yīng)。輸出值y,t分別為該濾波器的脈沖響應(yīng)或階躍響應(yīng)及其對應(yīng)的時(shí)間序列。另外，我們還可以運(yùn)用一個(gè)輸入信號模擬該濾波器的輸出。若給定濾波器的輸入值序列和對應(yīng)的時(shí)間序列為u,t，則系統(tǒng)的輸出可用y=lsim(H,u,t)來模擬,y為對應(yīng)t的輸出。若該函數(shù)沒有輸出變量則程序自動繪圖顯示。3.6頻率變換模擬原型濾波器(下一章將講到)均是截止頻率為1的濾波器，在實(shí)際設(shè)計(jì)中是很難遇到的，然而它是設(shè)計(jì)其他各類濾波器的基礎(chǔ)。我們通常遇到的是截止頻率任意的低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器和帶阻濾波器。如何由低通原型模擬濾波器設(shè)計(jì)這些濾波器呢？這就要用到我們今天要講的頻率變換。所謂頻率變換是指各類濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）和低通濾波器原型的傳遞函數(shù)中頻率自變量之間的變換關(guān)系。通過頻率變換，我們可以從模擬低通濾波器原型獲得模擬的低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器和帶阻濾波器，再借助于s域至z域的變換關(guān)系又可以設(shè)計(jì)各類后面所講的無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器，這是濾波器設(shè)計(jì)的重要方法之一。3.6.1頻率變換工具函數(shù)MATLAB信號處理工具箱有l(wèi)p2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs四個(gè)頻率變換函數(shù)。下面分別敘述其使用方法及各參量的意義。(1)函數(shù)lp2lp用于實(shí)現(xiàn)用低通模擬原型濾波器至低通濾波器的頻率變換，調(diào)用格式為：其中，a,b為模擬原型濾波器的分母和分子多項(xiàng)式的系數(shù)，為低通濾波器所期望的截止頻率（rad/s），若給定的單位為Hz，應(yīng)乘以。bt,at為返回的低通濾波器的分母和分子多項(xiàng)式的系數(shù)。該函數(shù)將模擬原型濾波器傳遞函數(shù)模擬原型執(zhí)行下面變換：式中，H(p)為低通原型濾波器傳遞函數(shù)，H(s)為低通濾波器傳遞函數(shù)。該項(xiàng)操作可以執(zhí)行模擬原型濾波器由截止頻率為1到指定截止頻率的變換，其原理討論以超出本課程的范圍，可參看其他信號處理參考書。(2)函數(shù)lp2hp用于實(shí)現(xiàn)由低通模擬濾波器至高通濾波器的頻率變換。調(diào)用格式：式中，為高通模擬濾波器所期望的截止頻率（rad/s），若給定的頻率單位為Hz，應(yīng)乘以。該函數(shù)將模擬原型濾波器傳遞函數(shù)執(zhí)行下面變換：(3)函數(shù)lp2bp用于實(shí)現(xiàn)由低通模擬原型濾波器至帶通濾波器的頻率變換。調(diào)用格式：式中，為帶通濾波器的中心頻率(rad/s)，Bw為帶通濾波器帶寬(rad/s)。而式中,為帶通濾波器的下邊界頻率，為帶通濾波器上邊界頻率。若給定的邊界頻率為Hz需乘以。該函數(shù)將模擬原型濾波器傳遞函數(shù)執(zhí)行下面變換運(yùn)算：(4)函數(shù)lp2bs用于實(shí)現(xiàn)由低通模擬原型濾波器至帶阻濾波器的頻率變換。調(diào)用格式：式中，為帶阻濾波器的中心頻率(rad/s)，Bw為帶阻濾波器帶寬(rad/s)。而式中,為帶阻濾波器的下邊界頻率，為帶阻濾波器上邊界頻率。若給定的邊界頻率為Hz需乘以。該函數(shù)將模擬原型濾波器傳遞函數(shù)執(zhí)行下面變換運(yùn)算：注意：輸出的帶阻濾波器和帶通濾波器是濾波器原型階數(shù)的2倍。4模擬濾波器的逼近理論由于實(shí)際的濾波器與理想的濾波器存在差距，所以我們每個(gè)濾波器都有一個(gè)原型與之對應(yīng)。本章介紹常用的模擬原型濾波器的主要特點(diǎn)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)，包括Butterworth、ChebyshevI,ChebyshevII,Elliptical、Bessel原型低通濾波器的設(shè)計(jì)。模擬原型濾波器指的是截止頻率為1的濾波器。后面所講的各類模擬濾波器和數(shù)字濾波器可通過這些低通原型濾波器變換得到。4.1Butterworth濾波器Butterworth模擬低通濾波器的平方幅頻響應(yīng)函數(shù)為：（16）式中，為低通濾波器的截止頻率，N為濾波器的階數(shù)。Butterworth濾波器的特點(diǎn)：通帶內(nèi)具有最大平坦的頻率特性，且隨著頻率增大平滑單調(diào)下降；階數(shù)愈高，特性愈接近矩形，過渡帶愈窄。傳遞函數(shù)無零點(diǎn)，極點(diǎn)等距離地分布在以為半徑的圓周上。所謂濾波器的零點(diǎn)就是將該點(diǎn)的值代入傳遞函數(shù)后，傳遞函數(shù)的值為零。所謂函數(shù)的極點(diǎn)就是將該點(diǎn)的值代入傳遞函數(shù)后，傳遞函數(shù)的值為無窮大。濾波器的增益是指傳遞函數(shù)表達(dá)式前的系數(shù)。若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表示為：(17)則濾波器零點(diǎn)為，極點(diǎn)為，濾波器的增益為K。這里所說的零點(diǎn)和極點(diǎn)分布在一個(gè)圓上為Laplace域中的形式，感興趣的同學(xué)可查看數(shù)學(xué)中的Laplace變換。MATLAB信號處理工具箱提供Butterworth模擬低通濾波器原型設(shè)計(jì)函數(shù)buttap,函數(shù)調(diào)用形式為：式中，n為butterworth濾波器階數(shù)；z,p,k分別為濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。Butterworth濾波器傳遞函數(shù)具有下面的形式：（18）濾波器沒有零點(diǎn)，極點(diǎn)為，濾波器的增益為K。在有關(guān)模擬濾波器設(shè)計(jì)的MATLAB程序中，經(jīng)常遇到一些特定函數(shù)。為將模擬原型濾波器函數(shù)（如buttap）設(shè)計(jì)出的零點(diǎn)z,極點(diǎn)p和增益k形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)（transferfunction）形式；其中，b為濾波器傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù)，a為濾波器傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式系數(shù)。求出傳遞函數(shù)形式（分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)為b,a）表示的濾波器的對應(yīng)于頻率點(diǎn)w的復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)H（包括實(shí)部和虛部），這里w為一個(gè)矢量，表示對應(yīng)的角頻率。若該函數(shù)不寫輸出變量，則執(zhí)行后繪出該濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)圖。圖9Butterworth濾波器原型平方幅頻圖由圖9知，Butterworth濾波器的幅頻平方特性隨著頻率單調(diào)下降。隨著濾波器階數(shù)的增大，其幅頻特性逐漸接近矩形。4.1.1Butterworth濾波器應(yīng)用設(shè)計(jì)一個(gè)模擬帶通濾波器，我們將設(shè)計(jì)指標(biāo)改為：通帶頻率：2000~3000Hz，兩側(cè)過渡帶寬500Hz，通帶波紋1dB，阻帶衰減100dB。檢驗(yàn)信號，其中f1=100Hz，f2=2500Hz，f3=3900Hz。信號的采樣頻率為10000Hz。程序如下：wp=[20003000]*2*pi;ws=[15003500]*2*pi;Rp=1;Rs=100;%濾波器設(shè)計(jì)參數(shù)，對于給定HZ應(yīng)乘以[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s');%求得濾波器的最小階數(shù)和截止頻率w=linspace(1,4000,1000)*2*pi;%設(shè)置繪制頻率響應(yīng)的頻率點(diǎn)[b,a]=butter(N,Wn,'s');%設(shè)計(jì)模擬Butterworth濾波器H=freqs(b,a,w);%計(jì)算給定頻率點(diǎn)的復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H));%計(jì)算幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)plot(w/(2*pi),20*log10(magH));%以頻率為橫坐標(biāo)繪制幅頻響應(yīng)xlabel('Frequency/Hz');ylabel('Magnitude/dB');title('Butterworthanalogbandpassfilter');holdon;plot([15001500],ylim);plot([35003500],ylim);%繪制阻帶邊界gridonfigure(2)dt=1/10000;%模擬信號采樣間隔f1=100;f2=2500;f3=3900;%輸入信號的三個(gè)頻率成分t=0:dt:0.04;%給定模擬時(shí)間段x=sin(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t);%輸入信號H=[tf(b,a)];%濾波器在MATLAB系統(tǒng)中的表示[y,t1]=lsim(H,x,t);%模擬輸出subplot(211),plot(t,x),title('Inputsignal')%繪出輸入信號subplot(212),plot(t1,y)%繪制輸出信號title('Outputsignal'),xlabel('Time/s')圖10模擬濾波器幅頻響應(yīng)，阻帶邊界由圖10可見，濾波器的幅頻響應(yīng)完全符合要求。在阻帶邊界確實(shí)下降到100dB。3900Hz和100Hz的頻率均在阻帶內(nèi)，只有25000Hz的頻率在通帶內(nèi)。圖11濾波器的輸入信號和輸出信號由圖11可見，通過模擬系統(tǒng)后，3900Hz的高頻成分和100Hz的低頻成分被濾除了，輸出只含有2500Hz頻率成分的振動。4.2切比雪夫（chebyshev）濾波器巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止處，幅度下降很多，或者說，為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次N很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪夫多項(xiàng)式來逼近所希望的。切比雪夫?yàn)V波器的在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以在同樣的通常內(nèi)衰減要求下，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小。4.2.1ChebyshevI型ChebvshevI型模擬低通濾波器的平方幅值響應(yīng)函數(shù)為：（19）式中，為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)的幅值波紋情況；為截止頻率，N為Chebyshev多項(xiàng)式階數(shù)，為Chebyshev多項(xiàng)式，定義為：（20）ChebyshevI型濾波器特點(diǎn)是：通帶內(nèi)具有等波紋起伏特性，而在阻帶內(nèi)則單調(diào)下降，且具有更大衰減特性；階數(shù)愈高，特性愈接近矩形。傳遞函數(shù)沒有零點(diǎn)，極點(diǎn)分布在一個(gè)橢圓上。注意，這里所說的零點(diǎn)和極點(diǎn)分布在一個(gè)橢圓上為Laplace域中的形式。MATLAB信號處理工具箱函數(shù)cheb1ap設(shè)計(jì)N階ChebyshevI型模擬低通濾波器原型。因?yàn)镃hebyshevI型模擬原型濾波器通帶內(nèi)具有波紋特點(diǎn)，所以在調(diào)用時(shí)需增加通帶波紋所能下降的最低限度Rp（dB）。由于Rp為相對于增益1的下降分貝數(shù)，所以該值越小濾波器在通帶內(nèi)越接近1，濾波器的性能越好，通常取值范圍為1-5（dB）。此函數(shù)的調(diào)用格式為：[z.p,k]=cheb1ap(N,Rp)式中，N為濾波器的階數(shù)，Rp為通帶波紋，單位為dB，z,p,k分別為濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。圖12ChebyshevI型模擬原型濾波器平方幅頻圖與Butterworth濾波器相比（圖9），可以看到：在相同的階數(shù)下，ChebyshevI型模擬原型濾波器具有更窄（更陡）的過渡帶。但這種特性是以犧牲了通帶的單調(diào)平滑特性（而成為波紋狀）為代價(jià)的。如果我們不想犧牲通帶內(nèi)的單調(diào)平滑特性有無辦法設(shè)計(jì)階數(shù)較小而過渡帶較窄的濾波器呢？這就涉及到ChebyshevII型濾波器。4.2.2ChebyshevII型濾波器ChebyshevII型低通模擬濾波器的平方幅值響應(yīng)函數(shù)為：（21）式中各項(xiàng)參數(shù)的意義同上。ChebyshevII型模擬濾波器的特點(diǎn)是：阻帶內(nèi)具有等波紋的起伏特性，而在通帶內(nèi)是單調(diào)、平滑的，階數(shù)愈高，頻率特性曲線愈接近矩形。傳遞函數(shù)既有極點(diǎn)又有零點(diǎn)。ChebyshevII型模擬濾波器零點(diǎn)為[z(1),z(2),…,z(nz)]，極點(diǎn)為[p(1),p(2),…,p(np)]，濾波器的增益為K。MATLAB信號處理工具箱提供函數(shù)cheb2ap設(shè)計(jì)N階ChebyshevII型模擬濾波器的原型。由于ChebyshevII型濾波器阻帶內(nèi)有波紋，通帶內(nèi)單調(diào)平滑，則必須給定阻帶衰減Rs，前面已經(jīng)講過，通帶波紋和阻帶衰減都是相對于增益1的下降，因此，Rp和Rs越大則與通帶增益1的差距越大。因此，阻帶衰減Rs越大對應(yīng)的濾波器濾波效果越好，通常Rs的取值要大于16dB。該函數(shù)通常調(diào)用格式為：[z,p,k]=cheb2ap(N,Rs)式中，N為濾波器的階數(shù)；Rs為阻帶波紋，單位dB;z,p,k為濾波器的零極點(diǎn)和增益。圖13ChebyshevII型模擬原型濾波器平方幅頻圖可見ChebyshevII型濾波器在通帶內(nèi)是單調(diào)平滑的，而阻帶內(nèi)卻出現(xiàn)了波紋。隨著濾波器階數(shù)的增高，其幅頻特性越接近矩形。由前面的講解可知，Butterworth濾波器具有單調(diào)平滑的頻率特性，但在過渡帶寬相同的條件下，所需的濾波器階數(shù)較高（即設(shè)計(jì)的濾波器濾波速度較慢，成本較高）。而ChebyshevI和II型濾波器在通帶或阻帶內(nèi)有波紋出現(xiàn)，但在過渡帶寬相同的條件下，所需的濾波器階數(shù)較低（即設(shè)計(jì)的濾波器濾波速度較快，成本較低）。4.2.3應(yīng)用舉例為輸入信號，設(shè)計(jì)一個(gè)5階的chebyshevI型帶通濾波器，通帶波紋3dB，下邊界頻率500rad/s，上邊界頻率1000rad/s，繪制幅頻響應(yīng)圖。給出該濾波器的脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)。模擬濾波器的輸出并給出模擬輸入信號和模擬輸出信號的Fourier振幅譜。程序如下：N=5;Rp=3;w1=500*pi;w2=1000*pi;%濾波器階數(shù)、阻帶衰減[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp);%設(shè)計(jì)ChebyshevI型原型低通濾波器[b,a]=zp2tf(z,p,k);%轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式Wo=sqrt(w1*w2);%中心頻率Bw=w2-w1;%頻帶寬度[bt,at]=lp2bp(b,a,Wo,Bw);%頻率轉(zhuǎn)換[h,w]=freqs(bt,at);%計(jì)算復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)figure(1)subplot(2,2,1),semilogy(w/pi,abs(h));%繪制幅頻響應(yīng)xlabel('Angularfrequency/pi');gridon;title('Magnitude');subplot(2,2,2),plot(w/pi,angle(h)*180/pi);%繪制相頻響應(yīng)xlabel('Angularfrequency/pi');ylabel('Phase/^o');gridon;title('Phaseangle')H=[tf(bt,at)];%在MATLAB中表示此濾波器[h1,t1]=impulse(H);%繪出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)圖subplot(2,2,3),plot(t1,h1);xlabel('Time/s');title('Impluseresponse')[h2,t2]=step(H);%繪出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)圖subplot(2,2,4),plot(t2,h2);xlabel('Time/s');title('Stepresponse')figure(2)dt=1/2000;t=0:dt:0.1;%給出模擬濾波器輸出的時(shí)間范圍u=sin(2*pi*30*t)+0.5*cos(2*pi*300*t)+2*sin(2*pi*800*t);subplot(221),plot(t,u)%繪制模擬輸入信號xlabel('Time/s');title('Inputsignal')[ys,ts]=lsim(H,u,t);%模擬系統(tǒng)的輸入u時(shí)的輸出subplot(222),plot(ts,ys)%繪制模擬輸出信號xlabel('Time/s'),title('Outputsignal');subplot(223),plot((0:length(u)-1)/length(u)*4000,abs(fft(u)));%繪輸入信號振幅譜title('Spectraofinputsignal'),xlabel('Angularfrequency/pi')Subplot(224)Y=fft(ys);plot((1:length(Y))/length(Y)*4000,abs(Y));%繪制輸出信號振幅譜title('Spectraofoutputsignal')xlabel('Angularfrequency/pi')圖14ChebyshevI型濾波器的幅頻響應(yīng)、相頻響應(yīng)、脈沖相應(yīng)和階躍響應(yīng)圖15濾波器模擬輸入和輸出信號的時(shí)間域和振幅譜程序輸出結(jié)果見圖14和圖15。圖14給出了該程序的幅頻圖、相頻圖、脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)。幅頻圖清楚地給出了的通帶范圍和阻帶范圍。圖15給出了模擬輸入、輸出信號的時(shí)間域波形及頻率域振幅譜。可以看到通過該濾波器處理后，成功地濾除了通帶范圍之外的信號。但要注意，由該濾波器的相頻特性可知，該濾波器并不是線性相位。4.3橢圓濾波器橢圓(Elliptic)模擬低通原型濾波器的平方幅值響應(yīng)函數(shù)為：（22）式中，為小于1的正數(shù)，表示波紋情況；為低通濾波器的截止頻率（Cutofffrequency），N為濾波器的階數(shù)，為橢圓函數(shù)，其定義已超出本課程的范圍，我們直接利用。橢圓濾波器的特點(diǎn)：在通帶和阻帶內(nèi)均具有等波紋起伏特性，與以上濾波器原型相比，相同的性能指標(biāo)所需的階數(shù)最小，但相頻響應(yīng)具有明顯的非線性。MATLAB信號處理工具箱提供Elliptic模擬低通濾波器原型設(shè)計(jì)函數(shù)ellipap。由于橢圓濾波器通帶和阻帶均有波紋，因此函數(shù)的輸入?yún)?shù)中通帶波紋和阻帶衰減均需給出。該函數(shù)調(diào)用形式為：式中，n為butterworth濾波器階數(shù)；Rp,Rs分別為通帶波紋和阻帶衰減，單位dB,通常濾波器的通帶波紋的范圍為1-5dB，阻帶衰減的范圍大于15dB。z,p,k分別為濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。圖16橢圓模擬原型濾波器平方幅頻圖可見階數(shù)為6的橢圓濾波器的過渡帶已相當(dāng)窄（陡），但這種特性的獲得是以犧牲通帶和阻帶的單調(diào)平滑特性為代價(jià)的?？梢钥吹綖V波器的階數(shù)越高平方幅頻響應(yīng)越接近于矩形。4.3.1應(yīng)用舉例設(shè)計(jì)一個(gè)高通橢圓濾波器，設(shè)計(jì)性能指標(biāo)為：通帶邊界頻率wp=1500Hz,阻帶邊界頻率ws=1000Hz,通帶波紋Rp=1dB,阻帶衰減Rs=100dB。假設(shè)一個(gè)信號，其中f1=400Hz,f2=1600Hz。信號的采樣頻率為10000Hz。試將原信號與通過該濾波器的模擬信號進(jìn)行比較。wp=1500*2*pi;ws=1000*2*pi;Rp=1;Rs=100;%濾波器設(shè)計(jì)參數(shù)[N,Wn]=ellipord(wp,ws,Rp,Rs,'s');%求濾波器的最小階數(shù)和截止頻率w=linspace(1,3000,1000)*2*pi;%給出計(jì)算復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)的頻率點(diǎn)[b,a]=ellip(N,Rp,Rs,Wn,'high','s');%設(shè)計(jì)高通橢圓濾波器H=freqs(b,a,w);magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H));figure(1)plot(w/(2*pi),20*log10(magH));%以頻率為橫軸繪幅頻響應(yīng)xlabel('Frequency/Hz');ylabel('Magnitude/dB');title('Ellipanaloghighpassfilter');holdon;plot([10001000],ylim);%阻帶邊界gridonfigure(2)%給出另一個(gè)圖形窗口dt=1/10000;f1=400;f2=1600;%信號中所含頻率成分t=0:dt:0.04;%時(shí)間序列x=3*sin(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi*f2*t);%輸入信號H=[tf(b,a)];[y,t1]=lsim(H,x,t);%模擬輸出subplot(211),plot(t,x),title('Inputsignal')%繪輸入信號subplot(212),plot(t1,y)%繪制輸出信號title('Outputsignal'),xlabel('Time/s')圖17濾波器的幅頻響應(yīng)圖圖18濾波器的輸入和輸出信號程序運(yùn)行結(jié)果見圖17和圖18?？梢娝O(shè)計(jì)的高通濾波器完全符合要求，在阻帶邊界下降的分貝數(shù)達(dá)100dB。并且通帶和阻帶均有波紋，這正是橢圓濾波器的特點(diǎn)。將該濾波器模擬輸入400Hz和1600Hz的信號后，輸出結(jié)果完全濾除了400HZ低頻成分，只含有1600HZ的信號。4.4Bessel濾波器前面講過的各類原型濾波器均沒有繪出其相位隨頻率的變化特性（相頻特性）。在后面的數(shù)字信號處理學(xué)習(xí)中將會看到它們的相位特性是非線性的。本節(jié)所介紹的Bessel濾波器就能最大限度地減少相頻特性的非線性，使得通帶內(nèi)通過的信號形狀不變(拷貝不走樣)。Bessel模擬低通濾波器的特點(diǎn)是在零頻時(shí)具有最平坦的群延遲，并在整個(gè)通帶內(nèi)群延遲幾乎不變。在零頻時(shí)的群延遲為。由于這一特點(diǎn)，Bessel模擬濾波器通帶內(nèi)保持信號形狀不變。但數(shù)字Bessel濾波器沒有平坦特性，因此MATLAB信號處理工具箱只有模擬Bessel濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)。函數(shù)besselap用于設(shè)計(jì)Bessel模擬低通濾波器原型，調(diào)用格式為：式中，N為濾波器的階數(shù)，小于25。z,p,k為濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。圖19Bessel模擬原型濾波器相頻圖可見，Bessel濾波器具有最優(yōu)的線性相頻特點(diǎn)，但這個(gè)特點(diǎn)的獲得是以犧牲窄過渡帶為代價(jià)的,即濾波器的幅頻平方特性與矩形特性相差甚遠(yuǎn)。4.4.1應(yīng)用舉例設(shè)計(jì)一個(gè)六階Bessel低通模擬濾波器，截止頻率為2000rad/s,繪制濾波器的頻率特性圖。假設(shè)一個(gè)信號，其中f1=400Hz,f2=1000Hz。信號的采樣頻率為10000Hz。試將原信號與通過該濾波器的模擬信號進(jìn)行比較。N=6;%濾波器階數(shù)Wn=2000;%邊界頻率[b,a]=besself(N,Wn);%設(shè)計(jì)Bessel濾波器figure(1)freqs(b,a);%繪出濾波器的復(fù)數(shù)頻率特性figure(2)dt=1/10000;%信號采樣間隔f1=100;f2=1000;%輸入兩個(gè)頻率成分t=0:dt:0.1;x=7*sin(2*pi*f1*t)+6*cos(2*pi*f2*t);%輸入信號H=[tf(b,a)];%濾波器在NATLAB系統(tǒng)中的表示[y,t1]=lsim(H,x,t);%模擬濾波器的輸出subplot(211),plot(t,x),title('Inputsignal')%繪出輸入信號subplot(212),plot(t1,y)%繪出輸出信號title('Outputsignal'),xlabel('Time/s')圖20Bessel濾波器的頻率特性圖21Bessel濾波器的輸入和輸出程序運(yùn)行結(jié)果為圖20和圖21。雖然模擬Bessel濾波器的幅頻特性不如其他濾波器好，但其相頻特性為線性的。因此圖21中的輸出信號與輸入的低頻信號形狀不變，只是有延遲。前面介紹了那么多個(gè)濾波器原型，我們可以得出以下結(jié)論：Butterworth濾波器在通帶和阻帶內(nèi)均具有平滑單調(diào)的特點(diǎn)，但在相同過渡帶寬的條件下，該濾波器所需的階數(shù)最多。ChebyshevI和II型濾波器在通帶或阻帶內(nèi)具有波紋，但在相同過渡帶寬的條件下，該濾波器所需的階數(shù)比Butterworth濾波器要少。橢圓濾波器在通帶和阻帶內(nèi)均有波紋出現(xiàn)，但在相同過渡帶寬的條件下，該濾波器所需的階數(shù)最少。Bessel濾波器具有最寬的過渡帶，但具有最優(yōu)的線性相頻特性。因此沒有絕對“好”的濾波器，要根據(jù)解決問題的不同選擇不同的濾波器，因此，每一種濾波器的設(shè)計(jì)方法我們都要熟練掌握。5模擬有源濾波器設(shè)計(jì)舉例5.1有源一階濾波電路5.1.1一階濾波電路如果在一階RC低通電路的輸出端，再加上一個(gè)電壓跟隨器，使之與負(fù)載很好隔離開來，就構(gòu)成一個(gè)簡單的一階有源RC低通濾波電路，由于電壓跟隨器的輸入阻抗很高，輸出阻抗很低，因此，其負(fù)載能力很強(qiáng)。

如果希望電路不僅有濾波功能，而且能起放大作用，則只要將電路中的電壓跟隨器改為同相比例放大電路即可。如圖22。圖22一階低通濾波電路傳遞函數(shù)

RC低通電路的傳遞函數(shù)為(23)

對于電壓跟隨器，其通帶電壓增益等于同相比例放大電路的電壓增益，即

(24)因此，可導(dǎo)出電路的傳遞函數(shù)為(25)式中=1/(RC)，稱為特征角頻率。

由于傳遞函數(shù)中分母為s的一次冪，故上述濾波電路稱為一階低通有源濾波路。（2）幅頻響應(yīng)

對于實(shí)際的頻率來說，式25中的s可用代入，由此可得(26)

(27)圖23幅頻響應(yīng)5.1.2應(yīng)用實(shí)例若圖22中則由上述公式可得傳遞函數(shù)為,特征角頻率為。對傳遞函數(shù)用MATLAB仿真，求系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)其程序?yàn)椋篵=[10];%濾波器傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù)a=[18];%濾波器傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式系數(shù)figure(1),freqs(b,a)%第一種輸出方法[h,w]=freqs(b,a);%計(jì)算濾波器的復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)mag=abs(h);pha=angle(h);%得到濾波器的幅頻和相頻響應(yīng)figure(2),subplot(2,1,1),loglog(w,mag);%運(yùn)用雙對數(shù)坐標(biāo)繪制幅頻響應(yīng)gridon;xlabel('Angularfrequency');ylabel('Magnitude');subplot(2,1,2),semilogx(w,pha*180/pi)%運(yùn)用半對數(shù)坐標(biāo)繪相頻響應(yīng)gridon;xlabel('Angularfrequency');ylabel('Phase/degrees');圖24兩種方法對應(yīng)的相頻響應(yīng)和幅頻響應(yīng)5.2雙二階濾波電路5.2.1雙二階電路所謂“雙二階電路”指的是能夠?qū)崿F(xiàn)雙二階函數(shù)（即傳輸函數(shù)的分子、分母都是二階函數(shù)）的電路。雙二階電路可以實(shí)現(xiàn)各種類型的二階函數(shù)，例如二階低通、高通、帶通、具有傳輸零點(diǎn)以及全通等濾波器。5.2.2應(yīng)用實(shí)例我們知道雙二階電路能構(gòu)成多種濾波器，現(xiàn)有如下多運(yùn)放二階電路，下面我們將通過以下電路進(jìn)行討論仿真。圖25ken多運(yùn)放二階電路我們分析其主電路是由一個(gè)相加器A1，和兩個(gè)積分器A2、A3組成的，由上圖可以看出，第一個(gè)放大器A1的輸出:（28）第二個(gè)放大器的輸出和第三個(gè)放大器的輸出都是反相積分器，它們電壓的關(guān)系為:由以上三式可求得（29）（30）（31）上述的H（s）都是一般的雙二階函數(shù)，我們將函數(shù)分母用極點(diǎn)頻率和等效品質(zhì)因數(shù)值來表示，即將改寫為標(biāo)準(zhǔn)形式：（32）經(jīng)變形即可得出每一個(gè)傳遞函數(shù)的等效品質(zhì)因素Q和截止頻率：中：中： 中： 不同的參數(shù)將導(dǎo)致不同的頻率特性，為了簡單起見，不妨設(shè)圖25的電阻為，電容為。則有傳遞函數(shù)為：；=1；；；；；對傳遞函數(shù)用MATLAB仿真，其程序?yàn)椋篵=[001];a=[111];%濾波器傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式系數(shù)figure(1),freqs(b,a)；%第一種方法[h,w]=freqs(b,a);%計(jì)算濾波器的復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)mag=abs(h);pha=angle(h);%得到濾波器的幅頻和相頻響應(yīng)figure(2),subplot(2,1,1),loglog(w,mag);%雙對數(shù)坐標(biāo)繪制幅頻響應(yīng)gridon;xlabel('Angularfrequency');ylabel('Magnitude');subplot(2,1,2),semilogx(w,pha*180/pi)%運(yùn)用半對數(shù)坐標(biāo)繪相頻響應(yīng)gridon;xlabel('Angularfrequency');ylabel('Phase/degrees');圖形如圖26所示:圖26V3端輸出低通濾波器的相頻特性修改程序?yàn)椋篵=[0-10];%濾波器傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù)其圖形如圖27圖27V2端輸出帶通濾波器的相頻特性修改程序?yàn)椋篵=[100];%濾波器傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù)其圖形如圖28圖28V1端輸出高通濾波器的相頻特性由圖26-28我們看出，由不同點(diǎn)取輸出，可得到不同類型的傳遞函數(shù)，由第一級取輸出得高通函數(shù)；第二級取輸出得帶通函數(shù)；由第三級輸出則得低通函數(shù)。經(jīng)上可知低通與高通串聯(lián)可的得到帶通濾波器，與第一章所講內(nèi)容相同。5.3二階有源帶阻濾波電路帶通濾波電路是用來使某一頻段的信號通過，而讓該頻段以外的信號全部抑制或衰減。與帶通濾波電路相反，帶阻濾波電路是用來抑制或衰減某一頻段的信號，而讓該頻段以外的所有信號通過。在第一章中，我們提及過高通濾波器和低通濾波器并聯(lián)就可以組成帶阻濾波器。我們這里要討論的是另一種方案，即雙T帶阻濾波器。電路如圖29所示，其中。由節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納方程不難導(dǎo)出電路的傳遞函數(shù)為