極限的性質(zhì)與四則運(yùn)算法則課件

§2.4極限的性質(zhì)與四則運(yùn)算法則一、性質(zhì)性質(zhì)1(唯一性)若極限limf(x)存在，則極限唯一。注此定理對(duì)數(shù)列也成立。性質(zhì)2(局部有界性)注1、其他類型的極限對(duì)應(yīng)的鄰域由定義中x的變化范圍確定。2、此處只說(shuō)有一個(gè)空心鄰域，至于空心鄰域有多大由具體函數(shù)確定。11/16/20220§2.4極限的性質(zhì)與四則運(yùn)算法則一、性質(zhì)性質(zhì)1(唯一性)若性質(zhì)3(局部保號(hào)性)性質(zhì)4注性質(zhì)511/16/20221性質(zhì)3(局部保號(hào)性)性質(zhì)4注性質(zhì)511/10/20221二、四則運(yùn)算法則根據(jù)極限的定義,只能驗(yàn)證某個(gè)常數(shù)A是否為某個(gè)函數(shù)?(x)的極限,而不能求出函數(shù)?(x)的極限.為了解決極限的計(jì)算問(wèn)題,下面介紹極限的運(yùn)算法則;并利用這些法則和一些已知結(jié)果來(lái)求函數(shù)極限。定理11/16/20222二、四則運(yùn)算法則根據(jù)極限的定義,只能驗(yàn)推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2推論3推論4推論511/16/20223推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2推論3推注⑴應(yīng)用時(shí)必須注意條件，如極限存在、分母不為零、偶次根號(hào)下非負(fù)等；⑵定理和推論中C、n、a都是與自變量無(wú)關(guān)的常量。如(3)參加求極限的函數(shù)應(yīng)為有限個(gè)。11/16/20224注⑴應(yīng)用時(shí)必須注意條件，如極限存在、分母不為零、偶次根號(hào)下非況)時(shí)可直接代入。例利用極限的運(yùn)算性質(zhì)和一些簡(jiǎn)單的極限結(jié)果，可以計(jì)算一些復(fù)雜的函數(shù)極限。下面總結(jié)一下求函數(shù)極限的基本方法。

1、代入法答案注意代入時(shí)把所有x都換成x0，不能只代入一部分。11/16/20225況)時(shí)可直接代入。例利用極限的運(yùn)算性質(zhì)和一些簡(jiǎn)單例1解11/16/20226例1解11/10/20226例2解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得11/16/20227例2解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得11/10/22、消零法若分子分母都是多項(xiàng)式且都趨于零時(shí)，可將其分解因式，再消去公因式，直至可直接代入。例計(jì)算過(guò)程11/16/202282、消零法若分子分母都是多項(xiàng)式且都趨于零時(shí)，可將其分解因式，x3-x2-16x-20=x3+2x2-3x2-6x-10x-20=x2(x+2)-3x

(x+2)-10(x+2)=(x+2)(x2-3x-10)=(x+2)(x+2)(x-5)注意從高次冪到低次冪依次配項(xiàng)．11/16/2022x3-x2-16x-2011/10/2022例3解11/16/202210例3解11/10/2022103、消最大公因子法練習(xí)答案

0同樣都是多項(xiàng)式，若分子、分母都趨于無(wú)窮大，則分子、分母除以最高次數(shù)的項(xiàng)。例計(jì)算過(guò)程很容易可以看出，這一類的極限只和分子、分母的次數(shù)以及(次數(shù)相等時(shí))最高次項(xiàng)的系數(shù)有關(guān)。11/16/2022113、消最大公因子法練習(xí)答案0同樣都是多項(xiàng)式，若分子、分子、分母同除以最高次冪11/16/2022分子、分母同除以最高次冪11/10/2022例5解例4解11/16/202213例5解例4解11/10/202213例6解先變形再求極限.11/16/202214例6解先變形再求極限.11/10/202214備忘消極大公因子法對(duì)分子、分母含指數(shù)形式也適用。例計(jì)算過(guò)程注11/16/202215備忘消極大公因子法對(duì)分子、分母含指數(shù)形式也適用。例計(jì)算過(guò)程注分子、分母同除以“最大項(xiàng)”11/16/2022分子、分母同除以“最大項(xiàng)”11/10/20224、有理化法若分子或分母有根號(hào)(特別是有根號(hào)相減)時(shí)，可將之有理化。例計(jì)算過(guò)程練習(xí)答案當(dāng)x→-∞時(shí)結(jié)果為-(a+b)，故x→∞時(shí)極限不存在11/16/2022174、有理化法若分子或分母有根號(hào)(特別是有根號(hào)相平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)立方差公式a3-b3=(a2+ab+b2)(a-b)11/16/2022平方差公式立方差公式11/10/2022例7解11/16/202219例7解11/10/2022195、通分法例答案練習(xí)答案-111/16/2022205、通分法例答案練習(xí)答案-111/10/2022206、變量代換法例方便時(shí)可考慮變量代換以簡(jiǎn)化計(jì)算(注意變化趨勢(shì)也隨之改變)。練習(xí)答案不存在。計(jì)算過(guò)程提示取t滿足xt=1，則x→0-時(shí)t→-∞；x→0+時(shí)t→+∞。11/16/2022216、變量代換法例方便時(shí)可考慮變量代換以簡(jiǎn)化計(jì)算(注意變化趨勢(shì)為把兩個(gè)根號(hào)同時(shí)去掉,做變量代換當(dāng)x→1時(shí)t→1，因此消零法。例如對(duì)分子：-tm+1=-tm+tm-1–tm-1

+tm-2

-…–t+1=(-tm-1

–tm-2-…–1)(t-1)本題也可以用有理化法計(jì)算11/16/2022為把兩個(gè)根號(hào)同時(shí)去掉,做變量代換當(dāng)x→1時(shí)t→1，因此消零法7、其他必要時(shí)會(huì)用到以前所學(xué)的公式或其他計(jì)算技巧。例答案1練習(xí)答案111/16/2022237、其他必要時(shí)會(huì)用到以前所學(xué)的公式或其他計(jì)算技巧。例答案計(jì)算極限思考題11/16/202224計(jì)算極限思考題11/10/20222411/16/202211/10/2022§2.4極限的性質(zhì)與四則運(yùn)算法則一、性質(zhì)性質(zhì)1(唯一性)若極限limf(x)存在，則極限唯一。注此定理對(duì)數(shù)列也成立。性質(zhì)2(局部有界性)注1、其他類型的極限對(duì)應(yīng)的鄰域由定義中x的變化范圍確定。2、此處只說(shuō)有一個(gè)空心鄰域，至于空心鄰域有多大由具體函數(shù)確定。11/16/202226§2.4極限的性質(zhì)與四則運(yùn)算法則一、性質(zhì)性質(zhì)1(唯一性)若性質(zhì)3(局部保號(hào)性)性質(zhì)4注性質(zhì)511/16/202227性質(zhì)3(局部保號(hào)性)性質(zhì)4注性質(zhì)511/10/20221二、四則運(yùn)算法則根據(jù)極限的定義,只能驗(yàn)證某個(gè)常數(shù)A是否為某個(gè)函數(shù)?(x)的極限,而不能求出函數(shù)?(x)的極限.為了解決極限的計(jì)算問(wèn)題,下面介紹極限的運(yùn)算法則;并利用這些法則和一些已知結(jié)果來(lái)求函數(shù)極限。定理11/16/202228二、四則運(yùn)算法則根據(jù)極限的定義,只能驗(yàn)推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2推論3推論4推論511/16/202229推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2推論3推注⑴應(yīng)用時(shí)必須注意條件，如極限存在、分母不為零、偶次根號(hào)下非負(fù)等；⑵定理和推論中C、n、a都是與自變量無(wú)關(guān)的常量。如(3)參加求極限的函數(shù)應(yīng)為有限個(gè)。11/16/202230注⑴應(yīng)用時(shí)必須注意條件，如極限存在、分母不為零、偶次根號(hào)下非況)時(shí)可直接代入。例利用極限的運(yùn)算性質(zhì)和一些簡(jiǎn)單的極限結(jié)果，可以計(jì)算一些復(fù)雜的函數(shù)極限。下面總結(jié)一下求函數(shù)極限的基本方法。

1、代入法答案注意代入時(shí)把所有x都換成x0，不能只代入一部分。11/16/202231況)時(shí)可直接代入。例利用極限的運(yùn)算性質(zhì)和一些簡(jiǎn)單例1解11/16/202232例1解11/10/20226例2解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得11/16/202233例2解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得11/10/22、消零法若分子分母都是多項(xiàng)式且都趨于零時(shí)，可將其分解因式，再消去公因式，直至可直接代入。例計(jì)算過(guò)程11/16/2022342、消零法若分子分母都是多項(xiàng)式且都趨于零時(shí)，可將其分解因式，x3-x2-16x-20=x3+2x2-3x2-6x-10x-20=x2(x+2)-3x

(x+2)-10(x+2)=(x+2)(x2-3x-10)=(x+2)(x+2)(x-5)注意從高次冪到低次冪依次配項(xiàng)．11/16/2022x3-x2-16x-2011/10/2022例3解11/16/202236例3解11/10/2022103、消最大公因子法練習(xí)答案

0同樣都是多項(xiàng)式，若分子、分母都趨于無(wú)窮大，則分子、分母除以最高次數(shù)的項(xiàng)。例計(jì)算過(guò)程很容易可以看出，這一類的極限只和分子、分母的次數(shù)以及(次數(shù)相等時(shí))最高次項(xiàng)的系數(shù)有關(guān)。11/16/2022373、消最大公因子法練習(xí)答案0同樣都是多項(xiàng)式，若分子、分子、分母同除以最高次冪11/16/2022分子、分母同除以最高次冪11/10/2022例5解例4解11/16/202239例5解例4解11/10/202213例6解先變形再求極限.11/16/202240例6解先變形再求極限.11/10/202214備忘消極大公因子法對(duì)分子、分母含指數(shù)形式也適用。例計(jì)算過(guò)程注11/16/202241備忘消極大公因子法對(duì)分子、分母含指數(shù)形式也適用。例計(jì)算過(guò)程注分子、分母同除以“最大項(xiàng)”11/16/2022分子、分母同除以“最大項(xiàng)”11/10/20224、有理化法若分子或分母有根號(hào)(特別是有根號(hào)相減)時(shí)，可將之有理化。例計(jì)算過(guò)程練習(xí)答案當(dāng)x→-∞時(shí)結(jié)果為-(a+b)，故x→∞時(shí)極限不存在11/16/2022434、有理化法若分子或分母有根號(hào)(特別是有根號(hào)相平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)立方差公式a3-b3=(a2+ab+b2)(a-b)11/16/2022平方差公式立方差公式11/10/2022例7解11/16/202245例7解11/10/2022195、通分法例答案練習(xí)答案-111/16/2022465、通分法例答案練習(xí)答案-111/10/2022206、變量代換法例方便時(shí)可考慮變量代換以簡(jiǎn)化計(jì)算(注意變化趨勢(shì)也隨之改變)。練習(xí)答案不存在。計(jì)算過(guò)程提示取t滿足xt=1，則x→0-時(shí)t→-∞；x→0+時(shí)t→+∞。11/16/2022476、變量代換法例方便時(shí)可考慮變量代換以簡(jiǎn)化計(jì)算(注意變化趨勢(shì)為把兩個(gè)根號(hào)同時(shí)去掉,做變量代換當(dāng)x→1時(shí)t→1，因此消零法。例如對(duì)分子：-tm+1=-tm+tm-1–tm-1

+tm-2

-…–t+1