極限的性質與四則運算法則課件

§2.4極限的性質與四則運算法則一、性質性質1(唯一性)若極限limf(x)存在，則極限唯一。注此定理對數(shù)列也成立。性質2(局部有界性)注1、其他類型的極限對應的鄰域由定義中x的變化范圍確定。2、此處只說有一個空心鄰域，至于空心鄰域有多大由具體函數(shù)確定。11/16/20220§2.4極限的性質與四則運算法則一、性質性質1(唯一性)若性質3(局部保號性)性質4注性質511/16/20221性質3(局部保號性)性質4注性質511/10/20221二、四則運算法則根據(jù)極限的定義,只能驗證某個常數(shù)A是否為某個函數(shù)?(x)的極限,而不能求出函數(shù)?(x)的極限.為了解決極限的計算問題,下面介紹極限的運算法則;并利用這些法則和一些已知結果來求函數(shù)極限。定理11/16/20222二、四則運算法則根據(jù)極限的定義,只能驗推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2推論3推論4推論511/16/20223推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2推論3推注⑴應用時必須注意條件，如極限存在、分母不為零、偶次根號下非負等；⑵定理和推論中C、n、a都是與自變量無關的常量。如(3)參加求極限的函數(shù)應為有限個。11/16/20224注⑴應用時必須注意條件，如極限存在、分母不為零、偶次根號下非況)時可直接代入。例利用極限的運算性質和一些簡單的極限結果，可以計算一些復雜的函數(shù)極限。下面總結一下求函數(shù)極限的基本方法。

1、代入法答案注意代入時把所有x都換成x0，不能只代入一部分。11/16/20225況)時可直接代入。例利用極限的運算性質和一些簡單例1解11/16/20226例1解11/10/20226例2解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,得11/16/20227例2解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,得11/10/22、消零法若分子分母都是多項式且都趨于零時，可將其分解因式，再消去公因式，直至可直接代入。例計算過程11/16/202282、消零法若分子分母都是多項式且都趨于零時，可將其分解因式，x3-x2-16x-20=x3+2x2-3x2-6x-10x-20=x2(x+2)-3x

(x+2)-10(x+2)=(x+2)(x2-3x-10)=(x+2)(x+2)(x-5)注意從高次冪到低次冪依次配項．11/16/2022x3-x2-16x-2011/10/2022例3解11/16/202210例3解11/10/2022103、消最大公因子法練習答案

0同樣都是多項式，若分子、分母都趨于無窮大，則分子、分母除以最高次數(shù)的項。例計算過程很容易可以看出，這一類的極限只和分子、分母的次數(shù)以及(次數(shù)相等時)最高次項的系數(shù)有關。11/16/2022113、消最大公因子法練習答案0同樣都是多項式，若分子、分子、分母同除以最高次冪11/16/2022分子、分母同除以最高次冪11/10/2022例5解例4解11/16/202213例5解例4解11/10/202213例6解先變形再求極限.11/16/202214例6解先變形再求極限.11/10/202214備忘消極大公因子法對分子、分母含指數(shù)形式也適用。例計算過程注11/16/202215備忘消極大公因子法對分子、分母含指數(shù)形式也適用。例計算過程注分子、分母同除以“最大項”11/16/2022分子、分母同除以“最大項”11/10/20224、有理化法若分子或分母有根號(特別是有根號相減)時，可將之有理化。例計算過程練習答案當x→-∞時結果為-(a+b)，故x→∞時極限不存在11/16/2022174、有理化法若分子或分母有根號(特別是有根號相平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)立方差公式a3-b3=(a2+ab+b2)(a-b)11/16/2022平方差公式立方差公式11/10/2022例7解11/16/202219例7解11/10/2022195、通分法例答案練習答案-111/16/2022205、通分法例答案練習答案-111/10/2022206、變量代換法例方便時可考慮變量代換以簡化計算(注意變化趨勢也隨之改變)。練習答案不存在。計算過程提示取t滿足xt=1，則x→0-時t→-∞；x→0+時t→+∞。11/16/2022216、變量代換法例方便時可考慮變量代換以簡化計算(注意變化趨勢為把兩個根號同時去掉,做變量代換當x→1時t→1，因此消零法。例如對分子：-tm+1=-tm+tm-1–tm-1

+tm-2

-…–t+1=(-tm-1

–tm-2-…–1)(t-1)本題也可以用有理化法計算11/16/2022為把兩個根號同時去掉,做變量代換當x→1時t→1，因此消零法7、其他必要時會用到以前所學的公式或其他計算技巧。例答案1練習答案111/16/2022237、其他必要時會用到以前所學的公式或其他計算技巧。例答案計算極限思考題11/16/202224計算極限思考題11/10/20222411/16/202211/10/2022§2.4極限的性質與四則運算法則一、性質性質1(唯一性)若極限limf(x)存在，則極限唯一。注此定理對數(shù)列也成立。性質2(局部有界性)注1、其他類型的極限對應的鄰域由定義中x的變化范圍確定。2、此處只說有一個空心鄰域，至于空心鄰域有多大由具體函數(shù)確定。11/16/202226§2.4極限的性質與四則運算法則一、性質性質1(唯一性)若性質3(局部保號性)性質4注性質511/16/202227性質3(局部保號性)性質4注性質511/10/20221二、四則運算法則根據(jù)極限的定義,只能驗證某個常數(shù)A是否為某個函數(shù)?(x)的極限,而不能求出函數(shù)?(x)的極限.為了解決極限的計算問題,下面介紹極限的運算法則;并利用這些法則和一些已知結果來求函數(shù)極限。定理11/16/202228二、四則運算法則根據(jù)極限的定義,只能驗推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2推論3推論4推論511/16/202229推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2推論3推注⑴應用時必須注意條件，如極限存在、分母不為零、偶次根號下非負等；⑵定理和推論中C、n、a都是與自變量無關的常量。如(3)參加求極限的函數(shù)應為有限個。11/16/202230注⑴應用時必須注意條件，如極限存在、分母不為零、偶次根號下非況)時可直接代入。例利用極限的運算性質和一些簡單的極限結果，可以計算一些復雜的函數(shù)極限。下面總結一下求函數(shù)極限的基本方法。

1、代入法答案注意代入時把所有x都換成x0，不能只代入一部分。11/16/202231況)時可直接代入。例利用極限的運算性質和一些簡單例1解11/16/202232例1解11/10/20226例2解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,得11/16/202233例2解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,得11/10/22、消零法若分子分母都是多項式且都趨于零時，可將其分解因式，再消去公因式，直至可直接代入。例計算過程11/16/2022342、消零法若分子分母都是多項式且都趨于零時，可將其分解因式，x3-x2-16x-20=x3+2x2-3x2-6x-10x-20=x2(x+2)-3x

(x+2)-10(x+2)=(x+2)(x2-3x-10)=(x+2)(x+2)(x-5)注意從高次冪到低次冪依次配項．11/16/2022x3-x2-16x-2011/10/2022例3解11/16/202236例3解11/10/2022103、消最大公因子法練習答案

0同樣都是多項式，若分子、分母都趨于無窮大，則分子、分母除以最高次數(shù)的項。例計算過程很容易可以看出，這一類的極限只和分子、分母的次數(shù)以及(次數(shù)相等時)最高次項的系數(shù)有關。11/16/2022373、消最大公因子法練習答案0同樣都是多項式，若分子、分子、分母同除以最高次冪11/16/2022分子、分母同除以最高次冪11/10/2022例5解例4解11/16/202239例5解例4解11/10/202213例6解先變形再求極限.11/16/202240例6解先變形再求極限.11/10/202214備忘消極大公因子法對分子、分母含指數(shù)形式也適用。例計算過程注11/16/202241備忘消極大公因子法對分子、分母含指數(shù)形式也適用。例計算過程注分子、分母同除以“最大項”11/16/2022分子、分母同除以“最大項”11/10/20224、有理化法若分子或分母有根號(特別是有根號相減)時，可將之有理化。例計算過程練習答案當x→-∞時結果為-(a+b)，故x→∞時極限不存在11/16/2022434、有理化法若分子或分母有根號(特別是有根號相平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)立方差公式a3-b3=(a2+ab+b2)(a-b)11/16/2022平方差公式立方差公式11/10/2022例7解11/16/202245例7解11/10/2022195、通分法例答案練習答案-111/16/2022465、通分法例答案練習答案-111/10/2022206、變量代換法例方便時可考慮變量代換以簡化計算(注意變化趨勢也隨之改變)。練習答案不存在。計算過程提示取t滿足xt=1，則x→0-時t→-∞；x→0+時t→+∞。11/16/2022476、變量代換法例方便時可考慮變量代換以簡化計算(注意變化趨勢為把兩個根號同時去掉,做變量代換當x→1時t→1，因此消零法。例如對分子：-tm+1=-tm+tm-1–tm-1

+tm-2

-…–t+1