第七八次課課件-第五章穩(wěn)定性分析

控制工程基礎(chǔ)(第五章)精儀系第五章

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性判據(jù)(Nyquist判據(jù))判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)(Routh判據(jù)、Hurwitz判據(jù))乃應(yīng)用乃由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性諾夫穩(wěn)定性方法－

2

－5.1

系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念如果系統(tǒng)受到了擾動偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)又能恢復(fù)原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例：單擺－

3

－5.1

系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差的作用下，其過渡過程隨時間的推移，逐漸衰減并趨于零，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例：小球－

4

－5.2

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1

201nn1

0

1

m1

mb

sm

b

sm1

bs

ba

sn

asn1

as

aX

o

s

G2

sN

s

1

G

sG

s

H

sG1

sG2

s

H

sX

i

s－

5

－N

soX

s

N(s)到Xo(s)的傳遞函數(shù)：01nn1X

o

s

0

1

m1

mb

sm

b

sm1

bs

ba

sn

a

sn1

as

a設(shè)n(t)為單位脈沖函數(shù)，N

s

1d

j－

6

－ejs

ijicis

j

jj

j2j2

s2j

2

s

2

s

s2進行拉氏反變換，求時域響應(yīng)。5.2

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1s

i

eit2js21

2

s

j

jsj

j2js2

2

s

1jj1

2

tjj

1

2e

j

jt

sin

2j－

7

－2j11

jj1

2

t

arctanj1

e

j

jt

sin

5.2

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件ox

t

i－

8

－f

eitijjj j

1

2

t

jg

e

sin

j

jt如果系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有

xo

t

0t

即

i

0,

j

j

05.2

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)在單位脈沖干擾下的時域響應(yīng)為：1,s

i

0

的根:s

iis

1－

9

－,j

jj

j2j2

s2j

2

s

j

j2j

2

s

s2s2

2

s

j2jj

j

j

1

0

的根:s

si

0,

j

j

05.2

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件i

,

jj

為系統(tǒng)閉環(huán)特征根的實部。控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)的特征根全部具有負實部。系統(tǒng)特征根即閉環(huán)極點，故也可以說控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)極點全部在[s]平面的左半面。－

10

－5.2

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件三次方程x3

px

q

0

的根為：qq

q

2

p

3

q

2

p

3x1

3

2

3

2

2

3

2

3

五次以及更高次的代數(shù)方程沒有一般的代數(shù)解法（即由方程的系數(shù)經(jīng)有限次四則運算和開方運算求根的方法）——

定理5.3

代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)－

11

－基于方程式的根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)系統(tǒng)特征方程為－

12

－a

sn

a

sn

1

a s

a

0na0a0

0

1

an

1n

a11an

a0

sn

1

s

n

s

0a0a0

s

s1

s

s2

s

sn

0s1

,

s2

,

,

sn為系統(tǒng)的特征根

，復(fù)數(shù)

5.3.1

勞斯穩(wěn)定性判據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系：

s12

s

sn;s

s

;

－

13

－0n1

n1

2

1

3

s

s

ss

s

s;01

2

3

s

s

sn2

n1

n1

2

4

s

s

s

s01

2

30

a1nn2

n1

n

a

a2

a

a3

a

an

a

1

s

s

s

s

s

s

(1)

特征方程的各項系數(shù)－

14

－(i

=0，1，2，…，n)。(2)

特征方程的各項系數(shù)的符號都相同。ai

0要使全部特征根均具有負實部，必須滿足：ai

一般取正值，則上述兩條件簡化為ai0——必要條件！不是充分條件！5.3.1

勞斯穩(wěn)定性判據(jù)0246135712341211u

uvwa

a

a

aa

a

a

ab

b

b

bc

c

c

c1234snsn1sn2sn3

s2s1s0滿足上兩個條件的同時，如果“勞斯陣列”中第一列所有

為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定。勞斯陣列：－

15

－b

a1a2

a0a3111b

a1a4

a0a52b

a1a6

a0a731aaa其中，c

b1a3

a1b2－

16

－11c

b1a5

a1b321c

b1a7

a1b431d

c1b2

b1c211bbbc5.3.1

勞斯穩(wěn)定性判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：(1)

特征方程的各項系數(shù)ai

0(i

=0，1，2，…，n)。特征方程的各項系數(shù)的符號都相同?！皠谒龟嚵小?/p>

中第一列所有

為正。如果同時滿足以上三個條件，則系統(tǒng)穩(wěn)定。且，實部為正的特征根數(shù)=勞斯陣列中第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)。5.3.1

勞斯穩(wěn)定性判據(jù)－

17

－設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為s4

8s3

17s2

16s

5

01s4s3s2s1s0試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：首先由方程系數(shù)可知滿足穩(wěn)定的必要條件。其次，排勞斯陣列勞斯陣列第一列中系數(shù)符號全為正，所以控制系統(tǒng)穩(wěn)定。35例1－

18

－設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為s4s3s2s1s01

3

32

41

323s4

2s3

3s2

4s

3

0試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由方程系數(shù)可知滿足穩(wěn)定的必要條件。排勞斯陣列第一列系數(shù)改變符號2次，閉環(huán)特征根中有2個實部為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例2－

19

－二階系統(tǒng)特征式為－

20

－，勞斯表為a

s2

a

s

a0

1

2s2s1s0201a2aaa故二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是a0

0,

a1

0,

a2

0對于特征方程階次低（n≤3）的系統(tǒng)，勞斯判據(jù)可簡化：5.3.1

勞斯穩(wěn)定性判據(jù)，勞斯表:0三階系統(tǒng)特征式為a

s3

a

s2

a

s

a1

2

32－

21

－0133aas1

a1a2

a0a3a1as3s2s0aa故三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是a0

,

a1,

a2

,

a3

0,

a1a2

a0a35.3.1

勞斯穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)某反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的K

值范圍。解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為X

o

s

K

Xi

s

s

s

1s

2

K

K

s

s

1s

2X

i

s

X

o

s

例3－

22

－特征方程為s

s

1s

2

K

s3

3s2

2s

K

0根據(jù)三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，可知使系統(tǒng)穩(wěn)定須滿足K

0－

23

－2

3

K

1故使系統(tǒng)穩(wěn)定的

K

值范圍為

0

K

6例3(續(xù))1

1

12

20(

)

112

2設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為s4

2s3

s2

2s

1

0用勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。s4s3s2s1s0解：勞斯陣列表符號改變2

次，系統(tǒng)有2

個正實根，不穩(wěn)定。例4－

24

－設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為s31120

22例5－

25

－

2s2

s

2

0用勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。解：勞斯陣列表s3s2s1s0無正實根，有一對共軛虛根，臨界穩(wěn)定。設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為－

26

－1

8

20

162

12

16

01

6

80

0

04

123

8438s0s6s5s4s3As

s4

dAs

ds

4s3s2s1系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。例6s6

2s5

8s4

12s3

20s2

16s

16

0用勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。解：勞斯陣列表6s2

812s0

0,

a

0n系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：a

sn

a

sn

1

a

s

a0

1

n

1n×n行列式：a1－

27

－a3

a5a0

a2

a4

a1

a3

a5a0

a2

a4

0an

1an

200an5.3.2

赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：各階主子行列式均大于0即：

1

a1

0202a3a

a

a103

a0－

28

－a1

a3

a5a2

a4

00

a1

a3……5.3.2

赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為

8s

3

17s

2

16s

5

0s

4試應(yīng)用赫爾維茨判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由方程系數(shù)可知滿足穩(wěn)定的必要條件。各系數(shù)排成行列式8

16

0

0

117

5例7－

29

－1

8

0

10

0由于故該系統(tǒng)穩(wěn)定。82

0

017

50

8

16

00

1

17

5

1例7

(續(xù))－

30

－勞斯判據(jù)和赫爾維茨判據(jù)為代數(shù)判據(jù)。注意：代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)使用的多項式是系統(tǒng)閉環(huán)特征多項式。代數(shù)判據(jù)的不足：必須知道系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。定性——不能從量上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。不能解決包含延時環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。－

31

－5.3

代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G(j)H

(j)的Nyquist圖判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性。優(yōu)點：無需求解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；可以解決包含延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題；能定量

系統(tǒng)的穩(wěn)定儲備，即系統(tǒng)相對穩(wěn)定性定量指標，及進一步提高和改善系統(tǒng)動態(tài)性能的途徑。5.4

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)－

32

－

n

2

p

q

2

2

ni2i1

arg

s

s

n

p

q

p

并令

0

連續(xù)增大時，復(fù)數(shù)角增量為5.4.1

米哈伊

定理設(shè)

n次多項式D(s)

有

p個根位于復(fù)平面的右半面，有

q個根在原點上，其余

n–

p-

q個根位于左半面，則當(dāng)以

s

j

代入D(s)

，D(j)的－

33

－12

arg

s

s

s1Re－

34

－Im2圖5-4

負實根情況當(dāng)變化時,s

j

:

0

證明：(1)

設(shè)

s1為負實根，對于矢量

s

s1

,－

35

－232

3

arg

s

s

arg

s

s

2

2

a

arg

s

s

arctan

b2

a

arg

s

s

arctan

b

2

變化時對于矢量s

s2和

s

s3

,當(dāng)

s

j

:

0

設(shè)s2、s3為具有負實部的共軛復(fù)根，s2

a

jb

(a

0,

b

0)s3

a

jb因此，(n-p-q)個左根的總角變化量為(n-p-q)π/2

。圖5-5

具有負實部的共軛復(fù)根情況ImRes2s3b－

36

－-b-a2m

arg

s

s

(2)

設(shè)sm

為正實根，對于矢量當(dāng)s

sm

,變化時,s

j

:

0

sm圖5-6

正實根情況Re2Im－

37

－－

38

－m2m1

m2

arctan

d

args

s

args

s

arctan2

2

2

c

args

sdc

2

變化時，

args

sm1

因此，p

個右根的總角變化量為

p(-π/2)。設(shè)sm+1、sm+2為具有正實部的共軛復(fù)根，sm1

c

jd

(c

0,

d

0)sm2

c

jd對于矢量s

sm1和s

sm2

,當(dāng)s

j

:

0

圖5-7

具有正實部的共軛復(fù)根情況ImRes

m1s

m2－

39

－cd-

d－

40

－

n

2

p

q

i1

2

ni

arg

s

s

n

p

q

2

p

2

另外，原點根不引起角變化量。綜上，注：共軛虛根既可以當(dāng)作左根處理，也可以當(dāng)作右根處理。－

41

－ni1i

arg

s

s

n

2

并令

0

角增量為推論：如果n次多項式D(s)的所有根都位于復(fù)平面的左半面，則當(dāng)以s

j

代入D(s)連續(xù)增大時，復(fù)數(shù)D(s)的設(shè)反饋控制系統(tǒng)前向通道和反饋通道傳A1

s

A2

s遞函數(shù)分別為G

s

B1

s

,H

s

B2

s則其開環(huán)傳遞函數(shù)為G

s

H

s

B1

s

B2

s

NK

sA1

s

A2

s

DK

s5.4.2

Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)G

sH

s－

42

－閉環(huán)傳遞函數(shù)為B1

s－

43

－X

i

s

NB

(s)DB

(s)A1

s

A2s1

G

s

H

s

A1

s

A2

s

B1

s

B2

s

DB

sA1

s

A2

s

DK

s分子為系統(tǒng)閉環(huán)特征多項式，而分母為系統(tǒng)開環(huán)特征多項式。由于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分母階次大于等于分子階次，故分子分母階次相同，均為n階。X

o

s

A1

s1

B1

s

B2

sB1

s

A2

sA1

s

A2

s

B1

s

B2

sK

arg

D

j

n

2

:

0

B

arg

D

j

n

2

:

0

:

0

arg

1G

j

H

j

0(1)

如果系統(tǒng)開環(huán)特征多項式的根均在

s左半平面，則根據(jù)米哈伊

定理推論，則這時如果閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即DB

s

的所有根均在

s

左半平面，根據(jù)米哈伊

定理推論，－

44

－或開環(huán)G

jH

j乃氏圖相對(-1，j0)

點的角變化量為

0

，系統(tǒng)閉環(huán)后就是穩(wěn)定的。即，如果1

G

jH

j的乃氏圖相對原點的角變化量為0

，系統(tǒng)閉環(huán)后就是穩(wěn)定的。－

45

－DB

s

的定理這時如果閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即所有根均在s

左半平面，根據(jù)米哈伊推論，

arg

DK

j

n

2

p

q

2

左半面，則根據(jù)

米哈伊

定

理

，

:0

B

arg

D

j

n

2

:0

(2)

如果系統(tǒng)開環(huán)特征多項式有p

個根在s

右半平面，q

個根在原點，其余(n-p-q)個根在s－

46

－－

47

－2也就是說，對于一個穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)而言，當(dāng)ω從0連續(xù)增大到∞時，開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的每一個極點使角增量為180°；開環(huán)傳遞函數(shù)在原點處的每一個極點使角增量為90°。則

arg

1G

j

H

j

2

n

n

2

p

q

p

q

2

2

:

0

若開環(huán)G

jH

j

乃氏圖相對(-1，j0)點的角變化量為p

q

，系統(tǒng)閉環(huán)后就是穩(wěn)定的。

p

q

2

時，系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定。這樣，閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，可以從開環(huán)頻率特性的角增量來判斷。設(shè)開環(huán)特征多項式在

s

右半平面有

p

個根，原點處有

q

個根，其余

(n

–

p

–

q)

個根在

s

左半平面，則乃

穩(wěn)定判據(jù)可表述為：對于系統(tǒng)開環(huán)乃氏圖，當(dāng)

從0

到∞變化時，其相對(-1，j0)

點的角變化量為－

48

－下圖所示反饋控制系統(tǒng)，K

為何值時穩(wěn)定?系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：G(s)

Ts

1p

1,

q

0K例8KTs

1開環(huán)乃氏圖：(1,

j0)－

49

－當(dāng)K

>1時，開環(huán)乃氏圖為直徑大于1的半圓。

arg

1G

j

180

0

此時系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)0<K

<1時，開環(huán)乃氏圖為直徑小于1的半圓。

arg

1G

j

0

0

此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。例8K(續(xù))G(s)Ts

1－

50

－某反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G

sKs

0.1s

10.05s

1例9－

51

－當(dāng)K＝10

和K＝40

時的頻率特性如圖所示，試判別其穩(wěn)定性。0

－

52

－2

arg

1G

j

解：因為p

=0,

q

=1,故使系統(tǒng)穩(wěn)定的條件應(yīng)為顯然，對于K

=10

的頻率特性，滿足上式，系統(tǒng)穩(wěn)定。對于K

=40

的頻率特性，當(dāng)0＜ω<∞變化時，

arg

1G

j

30

2所以，這時系統(tǒng)不穩(wěn)定。例9(續(xù))從0

增長到

得出的乃氏圖以實軸對稱的。5.4.3

Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)的另一表述令從增長到0

，得出的乃氏圖是與－

53

－當(dāng)開環(huán)特征式有右根時，乃氏判據(jù)可表述為：若開環(huán)特征式有p

個右根，對應(yīng)

封閉的開環(huán)乃氏曲線逆時針包圍(-1，j0)

點p

圈，則系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定；否則閉環(huán)后不穩(wěn)定。當(dāng)開環(huán)特征式均為左根時，乃氏判據(jù)就變?yōu)椋喝糸_環(huán)特征式均為左根，對應(yīng)

封閉的開環(huán)乃氏曲線不包圍(-1，j0)

點，則系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定；否則閉環(huán)后不穩(wěn)定。5.4.3

Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)的另一表述－

54

－p

1當(dāng)K

>1時，開環(huán)乃氏圖逆時針包圍(-1,

j0)

點1圈，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)0<K<1時，開環(huán)乃氏圖未包圍(-1,

j0)

點，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。例8K系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：G(s)Ts

1封閉的開環(huán)乃氏圖：Nyquist

DiagramImaginary

Axis-2-1.8-1.6-1.4-1.2

-1

-0.8Real

Axis-0.6-0.4-0.20-0.6-0.4-0.200.20.40.6KO－

55

－當(dāng)開環(huán)特征式在虛軸上有根時，對應(yīng)的乃氏曲線不封閉。為使其封閉，實用中可將其處理成左根。如下圖所示，其中

為非常小的正數(shù)，Oe

j

0(a)開環(huán)特征式有原點根

(含有s

項)=0

90

0(b)開環(huán)特征式有共軛虛根(含有s2+a2

(a>0)項)O

a

aej=

90

0

90－

56

－G

sKs

0.1s

10.05s

1判斷當(dāng)K=10

和K=40

時的穩(wěn)定性。例9開環(huán)特征式含有原點根，乃氏圖不封閉。－

57

－令s

ej，

0

90G

ej

0

90開環(huán)特征多項式?jīng)]有右根，乃氏圖不包圍(-1,

j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例9

(續(xù))

G

sKs

0.1s

10.05s

1G

ej

10

e

jejG

ej

K

10－

58

－令s

ej，

0

90例9

(續(xù))

G

sKs

0.1s

10.05s

1G

ej

40

e

jG

ej

0

90開環(huán)特征多項式?jīng)]有右根，乃氏圖包圍(-1,

j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。ejG

ej

K

40－

59

－也可將虛軸上的根處理成右根。如下圖所示，其中

為非常小的正數(shù)。＝270

180

90

a

aOe

j

0

0(a)開環(huán)特征式有原點根

(含有s

項)(b)開環(huán)特征式有共軛虛根(含有s2+a2

(a>0)項)Oej=180

90－

60

－例9

(續(xù))

G

sKs

0.1s

10.05s

1K

10將原點根處理成右根。令s

ej，

180

90ejG

e

j

180

90開環(huán)特征多項式有

1

個右根，乃氏圖逆時針包圍

(-1, j0)

點

1

圈，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。G

ej

10

e

j－

61

－例9

(續(xù))

G

sKs

0.1s

10.05s

1K

40將原點根處理成右根。令s

ej，

180

90G

ej

40

e

jejG

e

j

180

90開環(huán)特征多項式有

1

個右根，乃氏圖順時針包圍

(-1, j0)

點

1

圈，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。－

62

－例10G

s

s

1s2

Ts

1II型系統(tǒng)，開環(huán)特征多項式有2個原點根。將原點根處理成左根：G

e

j

1e

j

2

2－

63

－

1

ej2s

e

j，

0

90G

0

180例10G

s

s

1s2

Ts

10

0

T

T

乃氏圖包圍(-1, j0)

點，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。乃氏圖不包圍(-1, j0)

點，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。0

0

－

64

－III型最小相位系統(tǒng)的乃氏圖－

65

－例13系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：G(s)

K

(s

3)s(s

1)非最小相位系統(tǒng)，有一個右根和一個原點根。G

e

j

3K

3K

e

j180e

j

3K

e

j(180

)e

j將原點根處理成左根：s

e

j，

0

90

G

180

90K

>1

時，乃氏圖逆時針包圍(-1,j0)

點1

圈，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；0<K

<1時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。開環(huán)乃氏圖：ReIm-1－

66

－KKTs

1開環(huán)特征多項式無右根，乃氏圖不包圍

(-1,

j0)點，故只要K

>0

，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。下圖所示反饋控制系統(tǒng)，K

為何值時穩(wěn)定?例系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：G(s)

KTs

1(T

0)開環(huán)乃氏圖：Nyquis

t

D

iagramR

e

a

l

AxisImaginary

Axis-1-0.500.511.5-0.6-0.4-0.20.20.40.6KO－

67

－例開環(huán)特征多項式無右根，乃氏圖不包圍

(-1, j0)

點，故只要K

>0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。(T

0,

0)KT

2

s2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：G(s)

2

Ts

1K

為何值時穩(wěn)定?開環(huán)乃氏圖：Nyquist

DiagramImaginary

Axis-0.2

0Real

Axis-1-0.8-0.6-0.40.20.40.60.81-0.6-0.8-0.4-0.200.20.40.60.8KO－

68

－Nyquist

DiagramImaginary

Axis2Real

Axis-101345-3-2-10123例G

s

H

sKs

1s

2s

6判斷K

=20

和K=200

時的穩(wěn)定性。K=20

時，開環(huán)乃氏圖如下：開環(huán)特征多項式?jīng)]有右根，乃氏圖不包圍(-1,

j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。O－

69

－K

=200

時，開環(huán)乃氏圖如下：開環(huán)特征多項式?jīng)]有右根，乃氏圖包圍(-1, j0)

點，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。Nyquist

DiagramImaginary

Axis-1001020Real

Axis304050-30-20-100102030ONyquist

DiagramReal

AxisImaginary

Axis-7-6-5-4-3-2-10-1-0.500.51O－

70

－G

s

H

s

4

0.05s

1

s2

0.3s

10.05s2

0.2s

1例開環(huán)特征多項式有2

個原點根。Nyquist

DiagramImaginaryAxis-500-450-400-350-300-250 -200Real

Axis-150-100-500-20-10-15-505151020ONyquist

DiagramReal

AxisImaginary

Axis-1.2-1-0

8-0.6-0.4-0.200

2-1-0

500

51O—

71

－G

e

j

H

e

j

4e

j

2

2

4

e

j2將原點根處理成左根s

e

j，

0

90GH

0

1800

0

開環(huán)特征多項式無右根。乃氏圖包圍(-1,

j0)

點，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。－

72

－5.5

應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性e

sKs

s

1K

滿足什么條件時系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定？Kj

j

11G

j

2K

1G1

11G

90

arctan

j2j

eGG2

1G2

G

90

arctan

1－

73

－2

1G

K

112G

K

1G1

90

arctan

G2

1

G2

G

90

arctan

－

74

－12G

K

112KG

1

1令

2

1

K－

75

－G

90

arctan

180

arctan

1

例如：

10

ms

10rad/sK

100

1

ms

31.6

rad/sK

1000(2)開環(huán)在虛軸上有極點？(3)開環(huán)無右極點？－

76

－——處理成左根——不包圍Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：如果開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist

曲線逆時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)等于開環(huán)右極點的個數(shù)，則系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定。(1)

開環(huán)右極點個數(shù)如何判斷？——勞斯判據(jù)(4)

乃氏判據(jù)也適用于有延時環(huán)節(jié)的情況小結(jié)單位圓→0dB線－

77

－5.6

由Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性ImRe0°-1O-90°-180°-270°L()()ImRe-1OImRe-1OImRe-1OIm－

78

－Re-1O設(shè)0型或I型系統(tǒng)開環(huán)特征方程有p

個右根，且開環(huán)靜態(tài)放大倍數(shù)大于零，如果在所有L()

0

頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線()在(

)線上正負穿越之差為p/2次，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。乃氏圖從第三象限穿越負實軸到第二象限，負穿越；從第二象限穿越負實軸到第三象限，正穿越。如果

0

時，

()

，乃氏圖向第三象限去，半次正穿越，向第二象限去，半次負穿越。－

79

－5.6

由Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性圖5-36(a)，已知

p=0，即開環(huán)傳遞函數(shù)無右極點，在

L()

0

范圍內(nèi)，正負穿越之差為0，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。例16－

80

－圖5-36(b)，已知開環(huán)傳遞函數(shù)有一個右極點，p

=

1，在

L()

0

的頻率范圍內(nèi)，半次正穿越，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。例16－

81

－圖5-36(c)，已知p

=2

，在L()

0－

82

－的范圍內(nèi)，正負穿越之差為1-2=-1≠2／2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。例16圖5-36(d)，已知p=2，在－

83

－的范圍內(nèi)，正負穿越之差為2-1=1=2／2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。L()

0例16設(shè)II型系統(tǒng)開環(huán)特征方程有p

個右根，且開環(huán)靜態(tài)放大倍數(shù)大于零，－

84

－如果在所有L()

0

頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線

()

在

(

)

線上正負穿越之差為

(p+1)/2

次，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。5.6

由Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性定性→定量1.

用勞斯判據(jù)看系統(tǒng)相對穩(wěn)定性如果系統(tǒng)閉環(huán)特征根均在s

左半平面，且和虛軸有一段距離，則系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定裕量。虛軸左移σ，令z=s+σ，將s

=z

-σ代入系統(tǒng)特征式，得到z的方程式，采用勞斯判據(jù)，可知距離虛軸σ以右是否有根。5.7

控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性－

85

－Xi

sX

o

s

100000.3s

1

s410s3

35s2

50s

24

6z31601061令z

=s+1，即s

=z

–1，代入系統(tǒng)特征式，z

14

10

z

13

35

z

12

50

z

1

24

0即z4z4z3z2z1z0

11z2

6z

011

06

z的多項式系數(shù)無相反符號，勞斯陣列第一列未變號，系統(tǒng)在s=-1以右沒有根。實際4個根為-1,-2,-3,-4例18—

86

－2.

用Nyquist判據(jù)看系統(tǒng)相對穩(wěn)定性如果系統(tǒng)穩(wěn)定，Nyquist圖離(-1,j0)

越近，相對穩(wěn)定性越差。O5.7

控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性－

87

－ImRe-1O1KgG

jc

1剪切頻率相位裕量

c

180增益裕量g1G

jK

1Kg－

88

－ImRe-1

Og1G

j20

lg

K

20

lg

20

lg

G

j增益裕量也可用分貝數(shù)表示：-90°-180°-270°L()()0°正增益裕量正相位裕量－

89

－L()負增益裕量負相位裕量-90°()0°-180°-270°1Kg－

90

－KgdBL()()-90°-180°-270°Re

0°Im-1OKs

s

1s

5開環(huán)傳遞函數(shù)為G

s

求K=10、100時的相位裕量、幅值裕量。K

=

10例2120

lg

G(

j1)

20

lg(

K

)

6dB5c40

lg(c1)

20

lg

G(

j1)

20

lg

G(

j

)