柯西積分公式及高階導(dǎo)數(shù)公式課件

第三章復(fù)變函數(shù)的積分第3節(jié)柯西積分公式柯西積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式第三章復(fù)變函數(shù)的積分第3節(jié)柯西積分公式柯西積分公式高1

設(shè)B為單連通域,f(z)在B內(nèi)解析,z0∈B,在C內(nèi)部作CR:

|z-z0|=R

(取其正向)繞z0的任一正向簡單閉曲線,則設(shè)C為B內(nèi)BC一、柯西積分公式設(shè)B為單連通域,f(z)在B內(nèi)解析,z0∈B2

定理(柯西積分公式)：如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析,C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D,z0為C內(nèi)部的任一點(diǎn),則DC定理(柯西積分公式)：如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析3證明:

由于f(z)在z0連續(xù),DCCR

zz0R

且R<d.故任給e>0,存在d>0,當(dāng)|z-z0|<d時(shí),|f(z)-f(z0)|<e.在C內(nèi)部作CR:

|z-z0|=R

(取其正向),=0

證明:由于f(z)在z0連續(xù),DCCRzz0R且4——柯西積分公式——柯西積分公式5特別,如C:|z-z0|=R,z=z0+Reiq,則上式成為說明:1)這里的D可為單連通域，也可為多連通域；只要f(z)在簡單閉曲線C及其所圍的區(qū)域內(nèi)解析,且z0在C的內(nèi)部,則柯西積分公式也成立。2)

柯西積分公式的含義3)

柯西積分公式的應(yīng)用:可求積分a)

f(z)在簡單閉曲線C及其內(nèi)部解析,b)

z0在C的內(nèi)部.要注意:

函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值可用它在邊界上的值通過積分唯一確定。特別,如C:|z-z0|=R,z=z0+Reiq,6例1：求下列積分(沿圓周正方向)的值:例2：求其中C為包含圓周|z|=1在內(nèi)的任意正向簡單閉曲線.例1：求下列積分(沿圓周正方向)的值:例2：求其中C為包含圓7如果各階導(dǎo)數(shù)存在,并且導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可在積分號下進(jìn)行,則由,解析函數(shù)的積分表達(dá)式為(1)解析函數(shù)是否存在各階導(dǎo)數(shù)?(2)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可否在積分號下進(jìn)行?高階導(dǎo)數(shù)公式.二、高階導(dǎo)數(shù)公式如果各階導(dǎo)數(shù)存在,并且導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可在積分號下進(jìn)行,則由8高階導(dǎo)數(shù)公式定理(高階導(dǎo)數(shù)公式)

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0

在D內(nèi)，C是D內(nèi)繞z0的任一正向簡單閉曲線,且C的內(nèi)部全含于D,則f(z)在z0處存在各階導(dǎo)數(shù),并且說明:1)

解析函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)；可用函數(shù)f(z)在邊界上的值通過積分唯一2)確定。高階導(dǎo)數(shù)公式定理(高階導(dǎo)數(shù)公式)設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域9說明:3)

高階導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用:可求積分a)

f(z)在簡單閉曲線C及其內(nèi)部解析,b)

z0在C的內(nèi)部.要注意:高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:

不在于通過積分來求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來求積分.說明:3)高階導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用:可求積分a)f(z10證明首先考慮n=1的情形.因?yàn)閦0在C的內(nèi)部,故當(dāng)|z|適當(dāng)小時(shí),z0+z也在C的內(nèi)部.所以應(yīng)用于是

可知證明首先考慮n=1的情形.因?yàn)閦0在C的內(nèi)部,故當(dāng)11因?yàn)閒(z)在C上解析,所以在C上連續(xù),故有界.因?yàn)閒(z)在C上解析,所以在C上連續(xù),故有界.12于是存在M>0,使得|f(z)|M.又因?yàn)閦0是C內(nèi)部區(qū)域內(nèi)的點(diǎn),所以存在R>0,使在C的內(nèi)部區(qū)域.因此當(dāng)z在C上時(shí),取則所以其中L是曲線C的弧長.于是存在M>0,使得|f(z)|M.又因?yàn)閦013利用類似的方法可求得因此,當(dāng)時(shí),從而證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù).利用類似的方法可求得因此,當(dāng)14例1.

求積分解因?yàn)楹瘮?shù)在復(fù)平面解析,在內(nèi),n=3,根據(jù)例1.求積分解因?yàn)楹瘮?shù)15例2.

求積分解因?yàn)楹瘮?shù)在復(fù)平面解析,在內(nèi),n=1,根據(jù)例2.求積分解因?yàn)楹瘮?shù)16例3.

求積分解.

函數(shù)在C內(nèi)的處不解析.在C內(nèi)分別以i和-i為中心作正向圓周C1和C2,由其中C是正向圓周例3.求積分解.函數(shù)17于是同理于是同理18柯西-古薩(Cauchy－Goursat)基本定理

設(shè)B為單連通域，則

f(z)在B內(nèi)解析

C為

B內(nèi)任何一條閉曲線。？Morera定理

設(shè)B為單連通域，

如f(z)在B內(nèi)連續(xù)，

且對

B內(nèi)任

何一條簡單閉曲線C,有則

f(z)在B內(nèi)解析?？挛?古薩(Cauchy－Goursat)基本定理19典型例題例4.計(jì)算積分解由,典型例題例4.計(jì)算積分解由20例5.設(shè)C表示正向圓周求于是而1+i在C內(nèi),所以解根據(jù),當(dāng)z在C內(nèi)時(shí),例5.設(shè)C表示正向圓周求于是21例6.計(jì)算積分其中解(1)根據(jù),例6.計(jì)算積分其中解(122(2)根據(jù),(2)根據(jù)23(3)根據(jù)以及前面的結(jié)果,(3)根據(jù)以24解例7.求積分其中n為整數(shù).(1)n

0時(shí),函數(shù)在上解析.(2)n=1時(shí),由得由得解例7.求積分其中n為整數(shù).(1)n0時(shí),函數(shù)25可得(3)n>1時(shí),根據(jù)可得(3)n>1時(shí),根據(jù)26例8.計(jì)算積分其中C是正向圓周解因?yàn)楹瘮?shù)在C內(nèi)z=1處不解析,但在C內(nèi)處處解析,所以根據(jù)例8.計(jì)算積分其中C是正向圓周解27作業(yè)P59：5(3,4);6(3,5,7,9)；7(1,3,5)；8；11;14.P60-61：9；15.作業(yè)P59：5(3,4);6(3,5,7,9)；28第三章復(fù)變函數(shù)的積分第3節(jié)柯西積分公式柯西積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式第三章復(fù)變函數(shù)的積分第3節(jié)柯西積分公式柯西積分公式高29

設(shè)B為單連通域,f(z)在B內(nèi)解析,z0∈B,在C內(nèi)部作CR:

|z-z0|=R

(取其正向)繞z0的任一正向簡單閉曲線,則設(shè)C為B內(nèi)BC一、柯西積分公式設(shè)B為單連通域,f(z)在B內(nèi)解析,z0∈B30

定理(柯西積分公式)：如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析,C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D,z0為C內(nèi)部的任一點(diǎn),則DC定理(柯西積分公式)：如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析31證明:

由于f(z)在z0連續(xù),DCCR

zz0R

且R<d.故任給e>0,存在d>0,當(dāng)|z-z0|<d時(shí),|f(z)-f(z0)|<e.在C內(nèi)部作CR:

|z-z0|=R

(取其正向),=0

證明:由于f(z)在z0連續(xù),DCCRzz0R且32——柯西積分公式——柯西積分公式33特別,如C:|z-z0|=R,z=z0+Reiq,則上式成為說明:1)這里的D可為單連通域，也可為多連通域；只要f(z)在簡單閉曲線C及其所圍的區(qū)域內(nèi)解析,且z0在C的內(nèi)部,則柯西積分公式也成立。2)

柯西積分公式的含義3)

柯西積分公式的應(yīng)用:可求積分a)

f(z)在簡單閉曲線C及其內(nèi)部解析,b)

z0在C的內(nèi)部.要注意:

函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值可用它在邊界上的值通過積分唯一確定。特別,如C:|z-z0|=R,z=z0+Reiq,34例1：求下列積分(沿圓周正方向)的值:例2：求其中C為包含圓周|z|=1在內(nèi)的任意正向簡單閉曲線.例1：求下列積分(沿圓周正方向)的值:例2：求其中C為包含圓35如果各階導(dǎo)數(shù)存在,并且導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可在積分號下進(jìn)行,則由,解析函數(shù)的積分表達(dá)式為(1)解析函數(shù)是否存在各階導(dǎo)數(shù)?(2)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可否在積分號下進(jìn)行?高階導(dǎo)數(shù)公式.二、高階導(dǎo)數(shù)公式如果各階導(dǎo)數(shù)存在,并且導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可在積分號下進(jìn)行,則由36高階導(dǎo)數(shù)公式定理(高階導(dǎo)數(shù)公式)

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0

在D內(nèi)，C是D內(nèi)繞z0的任一正向簡單閉曲線,且C的內(nèi)部全含于D,則f(z)在z0處存在各階導(dǎo)數(shù),并且說明:1)

解析函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)；可用函數(shù)f(z)在邊界上的值通過積分唯一2)確定。高階導(dǎo)數(shù)公式定理(高階導(dǎo)數(shù)公式)設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域37說明:3)

高階導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用:可求積分a)

f(z)在簡單閉曲線C及其內(nèi)部解析,b)

z0在C的內(nèi)部.要注意:高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:

不在于通過積分來求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來求積分.說明:3)高階導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用:可求積分a)f(z38證明首先考慮n=1的情形.因?yàn)閦0在C的內(nèi)部,故當(dāng)|z|適當(dāng)小時(shí),z0+z也在C的內(nèi)部.所以應(yīng)用于是

可知證明首先考慮n=1的情形.因?yàn)閦0在C的內(nèi)部,故當(dāng)39因?yàn)閒(z)在C上解析,所以在C上連續(xù),故有界.因?yàn)閒(z)在C上解析,所以在C上連續(xù),故有界.40于是存在M>0,使得|f(z)|M.又因?yàn)閦0是C內(nèi)部區(qū)域內(nèi)的點(diǎn),所以存在R>0,使在C的內(nèi)部區(qū)域.因此當(dāng)z在C上時(shí),取則所以其中L是曲線C的弧長.于是存在M>0,使得|f(z)|M.又因?yàn)閦041利用類似的方法可求得因此,當(dāng)時(shí),從而證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù).利用類似的方法可求得因此,當(dāng)42例1.

求積分解因?yàn)楹瘮?shù)在復(fù)平面解析,在內(nèi),n=3,根據(jù)例1.求積分解因?yàn)楹瘮?shù)43例2.

求積分解因?yàn)楹瘮?shù)在復(fù)平面解析,在內(nèi),n=1,根據(jù)例2.求積分解因?yàn)楹瘮?shù)44例3.

求積分解.

函數(shù)在C內(nèi)的處不解析.在C內(nèi)分別以i和-i為中心作正向圓周C1和C2,由其中C是正向圓周例3.求積分解.函數(shù)45于是同理于是同理46柯西-古薩(Cauchy－Goursat)基本定理

設(shè)B為單連通域，則

f(z)在B內(nèi)解析

C為

B內(nèi)任何一條閉曲線。？Morera定理

設(shè)B為單連通域，

如f(z)在B內(nèi)連續(xù)，

且對

B內(nèi)任

何一條簡單閉曲線C,有則

f(z)在B內(nèi)解析?？挛?古薩(Cauchy－Goursat)基本定理47典型例題例4.計(jì)算積分解由,典型例題例4.計(jì)算積分解由48例5.設(shè)C表示正向圓周求于是而1+i在C內(nèi),所以解根據(jù),當(dāng)z在C內(nèi)時(shí),例5.設(shè)C表示正向圓