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初中數(shù)學(xué)(北師大版)八年級(jí)上冊(cè)第一章勾股定理初中數(shù)學(xué)(北師大版)第一章勾股定理1探索勾股定理1探索勾股定理2知識(shí)點(diǎn)一

勾股定理的探索探索勾股定理的方法

1探索勾股定理知識(shí)點(diǎn)一

勾股定理的探索1探索勾股定理3例1如圖1-1-1,在直角三角形外部作出3個(gè)正方形.設(shè)小方格的邊長為

1,完成下列問題.

圖1-1-1(1)正方形A中含有

個(gè)小方格,即A的面積是

;(2)正方形B中含有

個(gè)小方格,即B的面積是

;(3)正方形C的面積是

;(4)如果用SA、SB、SC分別表示正方形A、B、C的面積,那么它們之間的

關(guān)系是

.1探索勾股定理例1如圖1-1-1,在直角三角形外部作出3個(gè)正方形.設(shè)小方4解析在正方形A、B中,可以直接數(shù)小方格的個(gè)數(shù)進(jìn)而得到面積,正方

形C的面積的求法有如下兩種:

圖1-1-2圖1-1-2(1)中,正方形C的面積可看成是4個(gè)直角三角形與1個(gè)小正方形的

面積和;圖1-1-2(2)中,正方形C的面積可看成是大正方形與4個(gè)直角三角形的面積差.答案(1)16;16(2)9;9(3)25(4)SA+SB=SC1探索勾股定理解析在正方形A、B中,可以直接數(shù)小方格的個(gè)數(shù)進(jìn)而得到面積,5知識(shí)點(diǎn)二

驗(yàn)證勾股定理項(xiàng)目內(nèi)容勾股定理驗(yàn)證的思路用拼圖法驗(yàn)證勾股定理的思路:(1)圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后,只要沒有重疊,沒有空隙,那么面積不會(huì)改變;(2)根據(jù)同種圖形面積的不同表示方法列出等式,推導(dǎo)勾股定理勾股定理驗(yàn)證的實(shí)質(zhì)勾股定理的驗(yàn)證是通過拼圖法,即圖形割補(bǔ)來完成的,探索的關(guān)鍵是要找面積相等,通過面積之間的相等關(guān)系,將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題拓展延伸拼圖法步驟①拼出圖形;②寫出圖形面積表達(dá)式;③找出等量關(guān)系;④恒等變形;⑤推導(dǎo)出勾股定理原則圖形割補(bǔ)、拼接前后不重疊、沒有空隙1探索勾股定理知識(shí)點(diǎn)二

驗(yàn)證勾股定理項(xiàng)目內(nèi)容勾股定理驗(yàn)證的思路用拼圖6常見的幾種驗(yàn)證方法如下表:1探索勾股定理常見的幾種驗(yàn)證方法如下表:1探索勾股定理71探索勾股定理1探索勾股定理8

A的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖1-1-3①

圖1-1-3②

例2(1)觀察圖1-1-3,并填寫下表(圖中每個(gè)小方格的面積為1個(gè)單位面積):(2)三個(gè)正方形A,B,C的面積之間有什么關(guān)系?(3)三個(gè)正方形圍成的一個(gè)直角三角形的三邊長之間存在什么關(guān)系?

圖1-1-31探索勾股定理A的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積9解析(1)如下表:(2)三個(gè)正方形A,B,C的面積之間的關(guān)系為SA+SB=SC.(3)三個(gè)正方形圍成的一個(gè)直角三角形的三邊長之間的關(guān)系:直角三角

形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

A的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖1-1-3①16925圖1-1-3②49131探索勾股定理解析(1)如下表:(2)三個(gè)正方形A,B,C的面積之間的關(guān)10知識(shí)點(diǎn)三

勾股定理及其簡單應(yīng)用1探索勾股定理知識(shí)點(diǎn)三

勾股定理及其簡單應(yīng)用1探索勾股定理11例3如圖1-1-4所示,隔湖有A、B兩點(diǎn),AB⊥BC于點(diǎn)B,測(cè)得AC=50米,BC

=40米.求A、B兩點(diǎn)間的距離.你能求出B點(diǎn)到直線AC的距離嗎?

圖1-1-41探索勾股定理例3如圖1-1-4所示,隔湖有A、B兩點(diǎn),AB⊥BC于點(diǎn)B12解析由題意知△ABC是直角三角形,由勾股定理知AC2=BC2+AB2,∵AC=50米,BC=40米,∴AB2=AC2-BC2,∴AB=30米.如圖1-1-5所示,過B點(diǎn)作BD⊥AC于點(diǎn)D,

圖1-1-5BD的長度即為B點(diǎn)到直線AC的距離.∵△ABC的面積=

·AB·BC=

·AC·BD,1探索勾股定理解析由題意知△ABC是直角三角形,由勾股定理知AC2=BC13∴AB·BC=AC·BD,∴BD=

=

=24(米).答:A、B兩點(diǎn)間的距離為30米,B點(diǎn)到直線AC的距離為24米.1探索勾股定理∴AB·BC=AC·BD,1探索勾股定理14題型

利用勾股定理求三角形邊長例在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊的長分別為a,b,c,∠C=90°.(1)若a=6,b=8,則c=

;(2)若a=5,c=13,則b=

;(3)若c=34,a∶b=8∶15,則a=

,b=

.1探索勾股定理題型

利用勾股定理求三角形邊長1探索勾股定理15解析(1)已知兩直角邊長a、b,則由c2=a2+b2=62+82=100,得c=10(舍負(fù)).(2)已知直角三角形的斜邊長c和一條直角邊長a,則由b2=c2-a2=132-52=144,得b=12(舍負(fù)).(3)因?yàn)閍∶b=8∶15,所以可設(shè)a=8k,b=15k(k>0),因?yàn)椤螩=90°,c=34,所以c2=a2+b2,即342=(8k)2+(15k)2.所以k=2(舍負(fù)).所以a=16,b=30.答案(1)10(2)12(3)16;30點(diǎn)撥在直角三角形中,已知斜邊長及兩條直角邊長的比,設(shè)出兩條直

角邊長,用一個(gè)參數(shù)表示,結(jié)合勾股定理可求出兩直角邊長.1探索勾股定理解析(1)已知兩直角邊長a、b,則由c2=a2+b2=6216知識(shí)點(diǎn)一

勾股定理的探索1.測(cè)量你的兩塊直角三角尺的三邊的長度,并將各邊的長度填入下表:三角尺直角邊a直角邊b斜邊c關(guān)系1

2

根據(jù)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù),請(qǐng)猜想三邊的長度a、b、c之間的關(guān)系.解析根據(jù)實(shí)際測(cè)量結(jié)果猜想a2+b2=c2,注意測(cè)量值均為近似值.1探索勾股定理知識(shí)點(diǎn)一

勾股定理的探索三角尺直角邊a直角邊b斜邊c關(guān)172.利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖1-1-1所示的圖形,這個(gè)圖形

被稱為弦圖.通過該圖形,可以驗(yàn)證公式

()圖1-1-1A.(a+b)(a-b)=a2-b2

B.(a+b)2=a2+2ab+b2知識(shí)點(diǎn)二

驗(yàn)證勾股定理C.c2=a2+b2

D.(a-b)2=a2-2ab+b2

1探索勾股定理2.利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖1-1-1所示的圖形18答案

C大正方形的面積可以表示為c2,也可以表示為

ab×4+(b-a)2,∴c2=

ab×4+(b-a)2,即c2=2ab+b2-2ab+a2,∴c2=a2+b2.1探索勾股定理答案

C大正方形的面積可以表示為c2,1探索勾股定19知識(shí)點(diǎn)三

勾股定理及其簡單應(yīng)用3.如圖1-1-2,陰影部分是一個(gè)正方形,該正方形的面積為

()

圖1-1-2A.25cm2

B.5cm2

C.313cm2

D.20cm2

答案

A設(shè)正方形的邊長為acm,由勾股定理得a2=132-122=25,∴a=5,

即正方形的邊長為5,故正方形的面積為5×5=25(cm2).1探索勾股定理知識(shí)點(diǎn)三

勾股定理及其簡單應(yīng)用答案

A設(shè)正方形204.(2013四川資陽中考)如圖1-1-3,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),滿足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,則陰影部分的面積是

()

圖1-1-3A.48

B.60

C.76

D.801探索勾股定理4.(2013四川資陽中考)如圖1-1-3,點(diǎn)E在正方形AB21答案

C∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,∴在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2=100,∴S陰影=S正方形ABCD-S△ABE=AB2-

×AE×BE=100-

×6×8=76,故選C.1探索勾股定理答案

C∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,1221.如圖,已知三個(gè)正方形中的兩個(gè)正方形的面積分別為S1=25,S3=169,則

另一個(gè)正方形的面積S2為

.答案144解析由S1+S2=S3得S2=S3-S1=169-25=144.1探索勾股定理1.如圖,已知三個(gè)正方形中的兩個(gè)正方形的面積分別為S1=25232.如圖是一個(gè)外輪廓為長方形的機(jī)器零件平面示意圖,根據(jù)圖中的尺寸

(單位:mm)計(jì)算知兩圓孔中心A和B的距離為

.

答案100mm解析

在Rt△ABC中,∵AC=120-60=60(mm),BC=140-60=80(mm),∴AB2

=AC2+BC2=10000,∴AB=100mm,∴兩圓孔中心A和B的距離為100mm.1探索勾股定理2.如圖是一個(gè)外輪廓為長方形的機(jī)器零件平面示意圖,根據(jù)圖中的243.(2016江西宜春高安期中)已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14,c=10,則Rt△ABC的面積等于

.答案24解析在△ABC中,∠C=90°,∴a2+b2=c2,即(a+b)2-2ab=c2,∵a+b=14,c=10,∴196-2ab=100,即ab=48,則Rt△ABC的面積為

ab=24.1探索勾股定理3.(2016江西宜春高安期中)已知Rt△ABC中,∠C=9251.如圖1-1-4所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分別以AC,BC為直徑作半圓,面

積分別記為S1,S2,則S1+S2的值等于

()圖1-1-4A.2πB.4πC.8πD.16π1探索勾股定理1.如圖1-1-4所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分別以26答案

A在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=42=16,S1=

π=

·AC2,S2=

π=

·BC2,∴S1+S2=

(AC2+BC2)=

×16=2π.1探索勾股定理答案

A在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=4272.(2017廣西防城港期中)如圖1-1-5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=15,

則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為

()

圖1-1-5A.225

B.200

C.250

D.150答案

A正方形ADEC的面積為AC2,正方形BCFG的面積為BC2.在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,AB=15,則AC2+BC2=225.故選A.1探索勾股定理2.(2017廣西防城港期中)如圖1-1-5,在Rt△ABC283.一直角三角形的三邊長分別為2、3、x,那么以x為邊長的正方形的面

積為

.答案13或5解析以x為邊長的正方形的面積為x2.當(dāng)2和3都是直角邊時(shí),x2=4+9=1

3;當(dāng)3是斜邊時(shí),x2=9-4=5.故答案為13或5.1探索勾股定理3.一直角三角形的三邊長分別為2、3、x,那么以x為邊長的正294.(2017北京通州二模改編)2002年8月,在北京召開國際數(shù)學(xué)家大會(huì),大

會(huì)的會(huì)標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》.其中的“弦

圖”是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方

形,如圖1-1-6所示.如果直角三角形的直角邊分別為a,b(a>b),斜邊為c,那

么小正方形的面積可以表示為

(用含有a,b的式子表示),小正

方形的面積還可以表示為

(用含有a,b,c的式子表示),可以驗(yàn)

證一個(gè)等式:

.

圖1-1-61探索勾股定理4.(2017北京通州二模改編)2002年8月,在北京召開國30答案(a-b)2;c2-2ab;a2+b2=c2

解析由題意知,小正方形的邊長為a-b,因此小正方形的面積=邊長×邊

長=(a-b)2;小正方形的面積還可以表示為大正方形的面積-4個(gè)直角三角

形的面積.而4個(gè)直角三角形的面積=4×

ab=2ab,大正方形的面積=c2,所以小正方形的面積=c2-2ab.因此(a-b)2=c2-2ab,整理得a2+b2=c2.1探索勾股定理答案(a-b)2;c2-2ab;a2+b2=c2解析由311.(2017湖北孝感云夢(mèng)期中)有一個(gè)面積為1的正方形,經(jīng)過一次“生長”

后,在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形(如圖1),其中,三個(gè)正方形圍成的

三角形是直角三角形,再經(jīng)過一次“生長”后,生出了4個(gè)正方形(如圖

2),如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長”下去,它將變得“枝繁葉茂”.在“生

長”了2017次后形成的圖形中所有正方形的面積和是

()A.2015

B.2016

C.2017

D.20181探索勾股定理1.(2017湖北孝感云夢(mèng)期中)有一個(gè)面積為1的正方形,經(jīng)過32答案

D設(shè)正方形A,B,C圍成的直角三角形的三條邊長分別是a,b,c.

如圖,根據(jù)勾股定理,得a2+b2=c2,一次“生長”后,SA+SB=SC=1.第二次“生

長”后,SD+SE+SF+SG=SA+SB=SC=1,推而廣之,“生長”了2017次后形成的

圖形中所有的正方形的面積和是2018×1=2018.故選D.

1探索勾股定理答案

D設(shè)正方形A,B,C圍成的直角三角形的三條邊長332.(2015貴州遵義中考)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了

一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”(如圖(1)),圖(2)由弦圖變化得

到,它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成,記圖中正方形ABCD、正方

形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3.若正方形EFGH的邊

長為2,則S1+S2+S3=

.

1探索勾股定理2.(2015貴州遵義中考)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定34答案12解析設(shè)AH=a,AE=b,EH=c,則c=2且a2+b2=c2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a

-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=3×22=12.1探索勾股定理答案12解析設(shè)AH=a,AE=b,EH=c,則c=2且a353.已知:如圖,以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形.若

AB=3,則圖中陰影部分的面積為

.

答案

解析因?yàn)椤鰽CH為直角三角形,所以AH2+HC2=AC2.又因?yàn)锳H=HC,1探索勾股定理3.已知:如圖,以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角36所以AH2=

AC2,所以S△ACH=

AH·HC=

AH2=

AC2.同理,S△BCF=

BC2,S△ABE=

AB2.在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,AB=3,故陰影部分的面積為S△ACH+S△BCF+S△ABE=

AC2+

BC2+

AB2=

(AC2+BC2+AB2)=

×2AB2=

×9=

.1探索勾股定理所以AH2=?AC2,=?(AC2+BC2+AB2)1探索37一、選擇題1.(2018云南文山廣南月考,3,★☆☆)已知一個(gè)直角三角形三邊長的平

方和為800,則斜邊長為

()A.10

B.20

C.30

D.40答案

B設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,根據(jù)勾股定理得a2+b2=c2,∵a2+b2+c2=800,∴2c2=800,∴c2=400,∴c=20.1探索勾股定理一、選擇題答案

B設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為a,382.(2018江蘇張家港梁豐期中,2,★★☆)在Rt△ABC中,斜邊AB=2,則AB2+

BC2+AC2的值是

()A.2

B.4

C.8

D.6答案

C因?yàn)锳B2=BC2+AC2,所以AB2+BC2+AC2=AB2+AB2=2AB2=2×22=

8.1探索勾股定理2.(2018江蘇張家港梁豐期中,2,★★☆)在Rt△ABC393.(2017天津武清期中,10,★☆☆)如圖1-1-7,“趙爽弦圖”是由四個(gè)全

等的直角三角形和一個(gè)小正方形構(gòu)成的大正方形,若直角三角形的兩直

角邊長分別為5和3,則小正方形的面積為

()

圖1-1-7A.4

B.3

C.2

D.11探索勾股定理3.(2017天津武清期中,10,★☆☆)如圖1-1-7,“40答案

A解法一:∵3和5為兩條直角邊長,∴小正方形的邊長=5-3=2,∴小正方形的面積為22=4.故選A.解法二:設(shè)直角三角形的斜邊長為c,即大正方形的邊長為c,由勾股定理

得c2=52+32=34,∴小正方形的面積為34-4×

×5×3=4.1探索勾股定理答案

A解法一:∵3和5為兩條直角邊長,1探索勾股41二、填空題4.(2016福建南平松溪期中,16,★☆☆)如圖1-1-8所示的圖形中,所有的

四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形

的邊長為5,則正方形A,B,C,D的面積和為

.

圖1-1-81探索勾股定理二、填空題1探索勾股定理42答案25解析如圖,SA+SB=SE,SC+SD=SF,SE+SF=SG=25,所以SA+SB+SC+SD=25.

1探索勾股定理答案25解析如圖,SA+SB=SE,SC+SD=SF,S435.(2017江蘇南京師大附中單元練,4,★☆☆)若直角三角形的三邊長分

別為3、4、x,則x2=

.答案25或7解析分兩種情況:①若4為斜邊長,則42=x2+32,即x2=7;②若x為斜邊長,

則x2=32+42=25.綜上,x2=25或7.1探索勾股定理5.(2017江蘇南京師大附中單元練,4,★☆☆)若直角三角441.(2016福建泉州永春第一次月考,9,★☆☆)直角三角形的兩直角邊長

分別為5厘米、12厘米,則斜邊上的高是

()A.6厘米

B.8厘米C.

厘米

D.

厘米答案

D∵直角三角形的兩直角邊長分別為5厘米、12厘米,又52+122

=132,∴斜邊長為13厘米,∴斜邊上的高=

=

(厘米).故選D.1探索勾股定理1.(2016福建泉州永春第一次月考,9,★☆☆)直角三角形452.(2016安徽蕪湖南陵期中,4,★☆☆)已知x、y為正數(shù),且|x2-4|+(y2-3)2=0,

如果以x、y為直角邊長作一個(gè)直角三角形,那么以這個(gè)直角三角形的斜

邊長為邊長的正方形的面積為

()A.5

B.25

C.7

D.15答案

C依題意得x2-4=0,y2-3=0,∴x2=4,y2=3,∴正方形的面積=x2+y2=4+3=7.故選C.1探索勾股定理2.(2016安徽蕪湖南陵期中,4,★☆☆)已知x、y為正數(shù)463.(2016廣西防城港期中,13,★★☆)如圖,長方體的長、寬、高分別為4cm、3cm、12cm,則BD'=

.

答案13cm解析連接BD,則BD2=32+42=25,∴BD=5cm,故BD'2=52+122=169,∴BD'=13cm.1探索勾股定理3.(2016廣西防城港期中,13,★★☆)如圖,長方體的長47一、選擇題1.(2017湖北襄陽中考,10,★☆☆)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證

明了勾股定理,是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖1-1-9所示的“趙爽弦圖”

是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直

角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b,若(a+b)2=21,大正方形的

面積為13,則小正方形的面積為

()

圖1-1-9A.3

B.4

C.5

D.61探索勾股定理一、選擇題 圖1-1-91探索勾股定理48答案

C∵大正方形的面積為13,∴a2+b2=13,∵(a+b)2=21,∴a2+2ab+b2=21,∴13+2ab=21,∴2ab=8,∵直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b,∴4S直角三角形=4×

ab=2ab=8,∴S小正方形=S大正方形-4S直角三角形=13-8=5,故選C.1探索勾股定理答案

C∵大正方形的面積為13,1探索勾股定理492.(2016湖北荊門中考,4,★☆☆)如圖1-1-10,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分線,已知AB=5,AD=3,則BC的長為

()

圖1-1-10A.5

B.6

C.8

D.10答案

C因?yàn)锳B=AC,AD是∠BAC的平分線,所以AD⊥BC,且BD=CD,

在Rt△ABD中,AB=5,AD=3,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=52-32=42,所以BD

=4,所以BC=2BD=8.1探索勾股定理2.(2016湖北荊門中考,4,★☆☆)如圖1-1-10,在503.(2016浙江杭州中考,9,★☆☆)已知直角三角形紙片的兩條直角邊長

分別為m和n(m<n),過銳角頂點(diǎn)把該紙片剪成兩個(gè)三角形.若這兩個(gè)三角

形都為等腰三角形,則

()A.m2+2mn+n2=0

B.m2-2mn+n2=0C.m2+2mn-n2=0

D.m2-2mn-n2=0答案

C根據(jù)題意畫圖,如圖,在Rt△ABC中,n>m且△ABE和△AEC均

為等腰三角形,∴AB=BE=m,則AE=EC=n-m,根據(jù)勾股定理可得AE2=2AB2,即(n-m)2=2m2,整理得m2+2mn-n2=0,故選C.

1探索勾股定理3.(2016浙江杭州中考,9,★☆☆)已知直角三角形紙片的51二、填空題4.(2017浙江麗水中考,15,★☆☆)我國三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾

股定理,創(chuàng)造了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”,如圖1-1-11①

所示.在圖1-1-11②中,若正方形ABCD的邊長為14,正方形IJKL的邊長為

2,且IJ∥AB,則正方形EFGH的邊長為

.

圖1-1-111探索勾股定理二、填空題圖1-1-111探索勾股定理52答案10解析題圖②中有8個(gè)全等的直角三角形,每個(gè)直角三角形的面積為(14

×14-2×2)÷8=(196-4)÷8=192÷8=24,則正方形EFGH的面積為24×4+2×2=96+4=100,∴正方形EFGH的邊長為10.1探索勾股定理答案10解析題圖②中有8個(gè)全等的直角三角形,每個(gè)直角三角531.(2013貴州安順中考改編,6,★★☆)如圖,有兩棵樹,一棵高10米,另一棵

高4米,兩樹相距8米.一只小鳥從一棵樹的樹頂飛到另一棵樹的樹頂,則

小鳥飛行

()

A.8米

B.10米

C.12米

D.14米1探索勾股定理1.(2013貴州安順中考改編,6,★★☆)如圖,有兩棵樹,54答案

B如圖,設(shè)大樹高AB=10米,小樹高CD=4米,

過C點(diǎn)作CE⊥AB于E,則四邊形EBDC是長方形,連接AC,∴EB=CD=4米,EC=BD=8米,AE=AB-EB=10-4=6(米).∵在Rt△AEC中,AC2=AE2+EC2=100,∴AC=10米.故選B.1探索勾股定理答案

B如圖,設(shè)大樹高AB=10米,小樹高CD=4米552.(2016湖南益陽中考,20,★★☆)在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求

△ABC的面積.某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流,給出了下面的解題思路,請(qǐng)你按照他們的解

題思路完成解答過程.

1探索勾股定理2.(2016湖南益陽中考,20,★★☆)在△ABC中,AB56解析設(shè)BD=x,則CD=14-x.由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,∴152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.∴AD=12.∴S△ABC=

BC·AD=

×14×12=84.1探索勾股定理解析設(shè)BD=x,則CD=14-x.1探索勾股定理571.(2016湖南株洲中考)如圖1-1-12,以直角三角形的邊a、b、c為邊,向外

作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形,上述四種情況的面積

關(guān)系滿足S1+S2=S3的圖形個(gè)數(shù)為

()

圖1-1-12A.1

B.2

C.3

D.41探索勾股定理1.(2016湖南株洲中考)如圖1-1-12,以直角三角形的58答案

D根據(jù)勾股定理可得a2+b2=c2.(1)第一個(gè)圖形中,首先根據(jù)等邊三角形的面積的求法,表示出3個(gè)等邊三

角形的面積,然后根據(jù)a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.(2)第二個(gè)圖形中,首先根據(jù)圓的面積的求法,表示出3個(gè)半圓的面積,然

后根據(jù)a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.(3)第三個(gè)圖形中,首先根據(jù)等腰直角三角形的面積的求法,表示出3個(gè)等

腰直角三角形的面積,然后根據(jù)a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.(4)第四個(gè)圖形中,首先根據(jù)正方形的面積的求法,表示出3個(gè)正方形的面

積,然后根據(jù)a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.故滿足S1+S2=S3的圖形個(gè)數(shù)為4.1探索勾股定理答案

D根據(jù)勾股定理可得a2+b2=c2.1探索勾592.(2014浙江溫州中考改編)勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,且巧妙

各有不同,其中的“面積法”給了小聰以靈感.他驚喜地發(fā)現(xiàn):當(dāng)兩個(gè)全

等的直角三角形如圖1-1-13或圖1-1-14擺放時(shí),都可以用“面積法”來

證明勾股定理.下面是小聰利用圖1-1-13證明勾股定理的過程:將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖1-1-13所示擺放,其中∠DAB=90°.求

證:a2+b2=c2.

圖1-1-131探索勾股定理2.(2014浙江溫州中考改編)勾股定理神秘而美妙,它的證法60證明:連接DB,過點(diǎn)D作BC邊上的高DF,則DF=EC=b-a.∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=

b2+

ab,S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=

c2+

a(b-a),∴

b2+

ab=

c2+

a(b-a).∴a2+b2=c2.將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖1-1-14所示擺放,其中∠DAB=90°.請(qǐng)參

照上述證法,證明a2+b2=c2.

圖1-1-141探索勾股定理證明:連接DB,過點(diǎn)D作BC邊上的高DF,則DF=EC=b-61證明連接BD,過點(diǎn)B作DE邊上的高BF,則BF=b-a.∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=

ab+

b2+

ab,S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=

ab+

c2+

a(b-a),∴

ab+

b2+

ab=

ab+

c2+

a(b-a),∴a2+b2=c2.

1探索勾股定理證明連接BD,過點(diǎn)B作DE邊上的高BF,則BF=b-a.162在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠ACB=90°,如圖①,則根據(jù)勾股定

理,得a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如圖②和圖③所示,請(qǐng)你類比勾

股定理,試猜想a2+b2與c2的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

1探索勾股定理在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠ACB=963解析若△ABC是銳角三角形,則有a2+b2>c2;若△ABC是鈍角三角形,∠C為鈍角,則有a2+b2<c2.證明:當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí),過點(diǎn)A作AD⊥CB,垂足為D.

設(shè)CD=x,則有DB=a-x.根據(jù)勾股定理,得b2-x2=c2-(a-x)2,即b2-x2=c2-a2+2ax-x2,所以a2+b2=c2+2ax.因?yàn)閍>0,x>0,所以2ax>0.所以a2+b2>c2.當(dāng)△ABC是鈍角三角形,且∠C為鈍角時(shí),1探索勾股定理解析若△ABC是銳角三角形,則有a2+b2>c2;1探索64過點(diǎn)B作BD⊥AC,交AC的延長線于點(diǎn)D.

設(shè)CD=x,則BD2=a2-x2,根據(jù)勾股定理,得(b+x)2+a2-x2=c2,即b2+2bx+x2+a2-x2=c2,所以a2+b2+2bx=c2.因?yàn)閎>0,x>0,所以2bx>0,所以a2+b2<c2.1探索勾股定理過點(diǎn)B作BD⊥AC,交AC的延長線于點(diǎn)D.1探索勾股定理65初中數(shù)學(xué)(北師大版)八年級(jí)上冊(cè)第一章勾股定理初中數(shù)學(xué)(北師大版)第一章勾股定理1探索勾股定理1探索勾股定理67知識(shí)點(diǎn)一

勾股定理的探索探索勾股定理的方法

1探索勾股定理知識(shí)點(diǎn)一

勾股定理的探索1探索勾股定理68例1如圖1-1-1,在直角三角形外部作出3個(gè)正方形.設(shè)小方格的邊長為

1,完成下列問題.

圖1-1-1(1)正方形A中含有

個(gè)小方格,即A的面積是

;(2)正方形B中含有

個(gè)小方格,即B的面積是

;(3)正方形C的面積是

;(4)如果用SA、SB、SC分別表示正方形A、B、C的面積,那么它們之間的

關(guān)系是

.1探索勾股定理例1如圖1-1-1,在直角三角形外部作出3個(gè)正方形.設(shè)小方69解析在正方形A、B中,可以直接數(shù)小方格的個(gè)數(shù)進(jìn)而得到面積,正方

形C的面積的求法有如下兩種:

圖1-1-2圖1-1-2(1)中,正方形C的面積可看成是4個(gè)直角三角形與1個(gè)小正方形的

面積和;圖1-1-2(2)中,正方形C的面積可看成是大正方形與4個(gè)直角三角形的面積差.答案(1)16;16(2)9;9(3)25(4)SA+SB=SC1探索勾股定理解析在正方形A、B中,可以直接數(shù)小方格的個(gè)數(shù)進(jìn)而得到面積,70知識(shí)點(diǎn)二

驗(yàn)證勾股定理項(xiàng)目內(nèi)容勾股定理驗(yàn)證的思路用拼圖法驗(yàn)證勾股定理的思路:(1)圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后,只要沒有重疊,沒有空隙,那么面積不會(huì)改變;(2)根據(jù)同種圖形面積的不同表示方法列出等式,推導(dǎo)勾股定理勾股定理驗(yàn)證的實(shí)質(zhì)勾股定理的驗(yàn)證是通過拼圖法,即圖形割補(bǔ)來完成的,探索的關(guān)鍵是要找面積相等,通過面積之間的相等關(guān)系,將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題拓展延伸拼圖法步驟①拼出圖形;②寫出圖形面積表達(dá)式;③找出等量關(guān)系;④恒等變形;⑤推導(dǎo)出勾股定理原則圖形割補(bǔ)、拼接前后不重疊、沒有空隙1探索勾股定理知識(shí)點(diǎn)二

驗(yàn)證勾股定理項(xiàng)目內(nèi)容勾股定理驗(yàn)證的思路用拼圖71常見的幾種驗(yàn)證方法如下表:1探索勾股定理常見的幾種驗(yàn)證方法如下表:1探索勾股定理721探索勾股定理1探索勾股定理73

A的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖1-1-3①

圖1-1-3②

例2(1)觀察圖1-1-3,并填寫下表(圖中每個(gè)小方格的面積為1個(gè)單位面積):(2)三個(gè)正方形A,B,C的面積之間有什么關(guān)系?(3)三個(gè)正方形圍成的一個(gè)直角三角形的三邊長之間存在什么關(guān)系?

圖1-1-31探索勾股定理A的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積74解析(1)如下表:(2)三個(gè)正方形A,B,C的面積之間的關(guān)系為SA+SB=SC.(3)三個(gè)正方形圍成的一個(gè)直角三角形的三邊長之間的關(guān)系:直角三角

形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

A的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖1-1-3①16925圖1-1-3②49131探索勾股定理解析(1)如下表:(2)三個(gè)正方形A,B,C的面積之間的關(guān)75知識(shí)點(diǎn)三

勾股定理及其簡單應(yīng)用1探索勾股定理知識(shí)點(diǎn)三

勾股定理及其簡單應(yīng)用1探索勾股定理76例3如圖1-1-4所示,隔湖有A、B兩點(diǎn),AB⊥BC于點(diǎn)B,測(cè)得AC=50米,BC

=40米.求A、B兩點(diǎn)間的距離.你能求出B點(diǎn)到直線AC的距離嗎?

圖1-1-41探索勾股定理例3如圖1-1-4所示,隔湖有A、B兩點(diǎn),AB⊥BC于點(diǎn)B77解析由題意知△ABC是直角三角形,由勾股定理知AC2=BC2+AB2,∵AC=50米,BC=40米,∴AB2=AC2-BC2,∴AB=30米.如圖1-1-5所示,過B點(diǎn)作BD⊥AC于點(diǎn)D,

圖1-1-5BD的長度即為B點(diǎn)到直線AC的距離.∵△ABC的面積=

·AB·BC=

·AC·BD,1探索勾股定理解析由題意知△ABC是直角三角形,由勾股定理知AC2=BC78∴AB·BC=AC·BD,∴BD=

=

=24(米).答:A、B兩點(diǎn)間的距離為30米,B點(diǎn)到直線AC的距離為24米.1探索勾股定理∴AB·BC=AC·BD,1探索勾股定理79題型

利用勾股定理求三角形邊長例在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊的長分別為a,b,c,∠C=90°.(1)若a=6,b=8,則c=

;(2)若a=5,c=13,則b=

;(3)若c=34,a∶b=8∶15,則a=

,b=

.1探索勾股定理題型

利用勾股定理求三角形邊長1探索勾股定理80解析(1)已知兩直角邊長a、b,則由c2=a2+b2=62+82=100,得c=10(舍負(fù)).(2)已知直角三角形的斜邊長c和一條直角邊長a,則由b2=c2-a2=132-52=144,得b=12(舍負(fù)).(3)因?yàn)閍∶b=8∶15,所以可設(shè)a=8k,b=15k(k>0),因?yàn)椤螩=90°,c=34,所以c2=a2+b2,即342=(8k)2+(15k)2.所以k=2(舍負(fù)).所以a=16,b=30.答案(1)10(2)12(3)16;30點(diǎn)撥在直角三角形中,已知斜邊長及兩條直角邊長的比,設(shè)出兩條直

角邊長,用一個(gè)參數(shù)表示,結(jié)合勾股定理可求出兩直角邊長.1探索勾股定理解析(1)已知兩直角邊長a、b,則由c2=a2+b2=6281知識(shí)點(diǎn)一

勾股定理的探索1.測(cè)量你的兩塊直角三角尺的三邊的長度,并將各邊的長度填入下表:三角尺直角邊a直角邊b斜邊c關(guān)系1

2

根據(jù)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù),請(qǐng)猜想三邊的長度a、b、c之間的關(guān)系.解析根據(jù)實(shí)際測(cè)量結(jié)果猜想a2+b2=c2,注意測(cè)量值均為近似值.1探索勾股定理知識(shí)點(diǎn)一

勾股定理的探索三角尺直角邊a直角邊b斜邊c關(guān)822.利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖1-1-1所示的圖形,這個(gè)圖形

被稱為弦圖.通過該圖形,可以驗(yàn)證公式

()圖1-1-1A.(a+b)(a-b)=a2-b2

B.(a+b)2=a2+2ab+b2知識(shí)點(diǎn)二

驗(yàn)證勾股定理C.c2=a2+b2

D.(a-b)2=a2-2ab+b2

1探索勾股定理2.利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖1-1-1所示的圖形83答案

C大正方形的面積可以表示為c2,也可以表示為

ab×4+(b-a)2,∴c2=

ab×4+(b-a)2,即c2=2ab+b2-2ab+a2,∴c2=a2+b2.1探索勾股定理答案

C大正方形的面積可以表示為c2,1探索勾股定84知識(shí)點(diǎn)三

勾股定理及其簡單應(yīng)用3.如圖1-1-2,陰影部分是一個(gè)正方形,該正方形的面積為

()

圖1-1-2A.25cm2

B.5cm2

C.313cm2

D.20cm2

答案

A設(shè)正方形的邊長為acm,由勾股定理得a2=132-122=25,∴a=5,

即正方形的邊長為5,故正方形的面積為5×5=25(cm2).1探索勾股定理知識(shí)點(diǎn)三

勾股定理及其簡單應(yīng)用答案

A設(shè)正方形854.(2013四川資陽中考)如圖1-1-3,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),滿足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,則陰影部分的面積是

()

圖1-1-3A.48

B.60

C.76

D.801探索勾股定理4.(2013四川資陽中考)如圖1-1-3,點(diǎn)E在正方形AB86答案

C∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,∴在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2=100,∴S陰影=S正方形ABCD-S△ABE=AB2-

×AE×BE=100-

×6×8=76,故選C.1探索勾股定理答案

C∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,1871.如圖,已知三個(gè)正方形中的兩個(gè)正方形的面積分別為S1=25,S3=169,則

另一個(gè)正方形的面積S2為

.答案144解析由S1+S2=S3得S2=S3-S1=169-25=144.1探索勾股定理1.如圖,已知三個(gè)正方形中的兩個(gè)正方形的面積分別為S1=25882.如圖是一個(gè)外輪廓為長方形的機(jī)器零件平面示意圖,根據(jù)圖中的尺寸

(單位:mm)計(jì)算知兩圓孔中心A和B的距離為

.

答案100mm解析

在Rt△ABC中,∵AC=120-60=60(mm),BC=140-60=80(mm),∴AB2

=AC2+BC2=10000,∴AB=100mm,∴兩圓孔中心A和B的距離為100mm.1探索勾股定理2.如圖是一個(gè)外輪廓為長方形的機(jī)器零件平面示意圖,根據(jù)圖中的893.(2016江西宜春高安期中)已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14,c=10,則Rt△ABC的面積等于

.答案24解析在△ABC中,∠C=90°,∴a2+b2=c2,即(a+b)2-2ab=c2,∵a+b=14,c=10,∴196-2ab=100,即ab=48,則Rt△ABC的面積為

ab=24.1探索勾股定理3.(2016江西宜春高安期中)已知Rt△ABC中,∠C=9901.如圖1-1-4所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分別以AC,BC為直徑作半圓,面

積分別記為S1,S2,則S1+S2的值等于

()圖1-1-4A.2πB.4πC.8πD.16π1探索勾股定理1.如圖1-1-4所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分別以91答案

A在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=42=16,S1=

π=

·AC2,S2=

π=

·BC2,∴S1+S2=

(AC2+BC2)=

×16=2π.1探索勾股定理答案

A在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=4922.(2017廣西防城港期中)如圖1-1-5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=15,

則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為

()

圖1-1-5A.225

B.200

C.250

D.150答案

A正方形ADEC的面積為AC2,正方形BCFG的面積為BC2.在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,AB=15,則AC2+BC2=225.故選A.1探索勾股定理2.(2017廣西防城港期中)如圖1-1-5,在Rt△ABC933.一直角三角形的三邊長分別為2、3、x,那么以x為邊長的正方形的面

積為

.答案13或5解析以x為邊長的正方形的面積為x2.當(dāng)2和3都是直角邊時(shí),x2=4+9=1

3;當(dāng)3是斜邊時(shí),x2=9-4=5.故答案為13或5.1探索勾股定理3.一直角三角形的三邊長分別為2、3、x,那么以x為邊長的正944.(2017北京通州二模改編)2002年8月,在北京召開國際數(shù)學(xué)家大會(huì),大

會(huì)的會(huì)標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》.其中的“弦

圖”是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方

形,如圖1-1-6所示.如果直角三角形的直角邊分別為a,b(a>b),斜邊為c,那

么小正方形的面積可以表示為

(用含有a,b的式子表示),小正

方形的面積還可以表示為

(用含有a,b,c的式子表示),可以驗(yàn)

證一個(gè)等式:

.

圖1-1-61探索勾股定理4.(2017北京通州二模改編)2002年8月,在北京召開國95答案(a-b)2;c2-2ab;a2+b2=c2

解析由題意知,小正方形的邊長為a-b,因此小正方形的面積=邊長×邊

長=(a-b)2;小正方形的面積還可以表示為大正方形的面積-4個(gè)直角三角

形的面積.而4個(gè)直角三角形的面積=4×

ab=2ab,大正方形的面積=c2,所以小正方形的面積=c2-2ab.因此(a-b)2=c2-2ab,整理得a2+b2=c2.1探索勾股定理答案(a-b)2;c2-2ab;a2+b2=c2解析由961.(2017湖北孝感云夢(mèng)期中)有一個(gè)面積為1的正方形,經(jīng)過一次“生長”

后,在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形(如圖1),其中,三個(gè)正方形圍成的

三角形是直角三角形,再經(jīng)過一次“生長”后,生出了4個(gè)正方形(如圖

2),如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長”下去,它將變得“枝繁葉茂”.在“生

長”了2017次后形成的圖形中所有正方形的面積和是

()A.2015

B.2016

C.2017

D.20181探索勾股定理1.(2017湖北孝感云夢(mèng)期中)有一個(gè)面積為1的正方形,經(jīng)過97答案

D設(shè)正方形A,B,C圍成的直角三角形的三條邊長分別是a,b,c.

如圖,根據(jù)勾股定理,得a2+b2=c2,一次“生長”后,SA+SB=SC=1.第二次“生

長”后,SD+SE+SF+SG=SA+SB=SC=1,推而廣之,“生長”了2017次后形成的

圖形中所有的正方形的面積和是2018×1=2018.故選D.

1探索勾股定理答案

D設(shè)正方形A,B,C圍成的直角三角形的三條邊長982.(2015貴州遵義中考)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了

一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”(如圖(1)),圖(2)由弦圖變化得

到,它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成,記圖中正方形ABCD、正方

形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3.若正方形EFGH的邊

長為2,則S1+S2+S3=

.

1探索勾股定理2.(2015貴州遵義中考)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定99答案12解析設(shè)AH=a,AE=b,EH=c,則c=2且a2+b2=c2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a

-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=3×22=12.1探索勾股定理答案12解析設(shè)AH=a,AE=b,EH=c,則c=2且a1003.已知:如圖,以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形.若

AB=3,則圖中陰影部分的面積為

.

答案

解析因?yàn)椤鰽CH為直角三角形,所以AH2+HC2=AC2.又因?yàn)锳H=HC,1探索勾股定理3.已知:如圖,以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角101所以AH2=

AC2,所以S△ACH=

AH·HC=

AH2=

AC2.同理,S△BCF=

BC2,S△ABE=

AB2.在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,AB=3,故陰影部分的面積為S△ACH+S△BCF+S△ABE=

AC2+

BC2+

AB2=

(AC2+BC2+AB2)=

×2AB2=

×9=

.1探索勾股定理所以AH2=?AC2,=?(AC2+BC2+AB2)1探索102一、選擇題1.(2018云南文山廣南月考,3,★☆☆)已知一個(gè)直角三角形三邊長的平

方和為800,則斜邊長為

()A.10

B.20

C.30

D.40答案

B設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,根據(jù)勾股定理得a2+b2=c2,∵a2+b2+c2=800,∴2c2=800,∴c2=400,∴c=20.1探索勾股定理一、選擇題答案

B設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為a,1032.(2018江蘇張家港梁豐期中,2,★★☆)在Rt△ABC中,斜邊AB=2,則AB2+

BC2+AC2的值是

()A.2

B.4

C.8

D.6答案

C因?yàn)锳B2=BC2+AC2,所以AB2+BC2+AC2=AB2+AB2=2AB2=2×22=

8.1探索勾股定理2.(2018江蘇張家港梁豐期中,2,★★☆)在Rt△ABC1043.(2017天津武清期中,10,★☆☆)如圖1-1-7,“趙爽弦圖”是由四個(gè)全

等的直角三角形和一個(gè)小正方形構(gòu)成的大正方形,若直角三角形的兩直

角邊長分別為5和3,則小正方形的面積為

()

圖1-1-7A.4

B.3

C.2

D.11探索勾股定理3.(2017天津武清期中,10,★☆☆)如圖1-1-7,“105答案

A解法一:∵3和5為兩條直角邊長,∴小正方形的邊長=5-3=2,∴小正方形的面積為22=4.故選A.解法二:設(shè)直角三角形的斜邊長為c,即大正方形的邊長為c,由勾股定理

得c2=52+32=34,∴小正方形的面積為34-4×

×5×3=4.1探索勾股定理答案

A解法一:∵3和5為兩條直角邊長,1探索勾股106二、填空題4.(2016福建南平松溪期中,16,★☆☆)如圖1-1-8所示的圖形中,所有的

四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形

的邊長為5,則正方形A,B,C,D的面積和為

.

圖1-1-81探索勾股定理二、填空題1探索勾股定理107答案25解析如圖,SA+SB=SE,SC+SD=SF,SE+SF=SG=25,所以SA+SB+SC+SD=25.

1探索勾股定理答案25解析如圖,SA+SB=SE,SC+SD=SF,S1085.(2017江蘇南京師大附中單元練,4,★☆☆)若直角三角形的三邊長分

別為3、4、x,則x2=

.答案25或7解析分兩種情況:①若4為斜邊長,則42=x2+32,即x2=7;②若x為斜邊長,

則x2=32+42=25.綜上,x2=25或7.1探索勾股定理5.(2017江蘇南京師大附中單元練,4,★☆☆)若直角三角1091.(2016福建泉州永春第一次月考,9,★☆☆)直角三角形的兩直角邊長

分別為5厘米、12厘米,則斜邊上的高是

()A.6厘米

B.8厘米C.

厘米

D.

厘米答案

D∵直角三角形的兩直角邊長分別為5厘米、12厘米,又52+122

=132,∴斜邊長為13厘米,∴斜邊上的高=

=

(厘米).故選D.1探索勾股定理1.(2016福建泉州永春第一次月考,9,★☆☆)直角三角形1102.(2016安徽蕪湖南陵期中,4,★☆☆)已知x、y為正數(shù),且|x2-4|+(y2-3)2=0,

如果以x、y為直角邊長作一個(gè)直角三角形,那么以這個(gè)直角三角形的斜

邊長為邊長的正方形的面積為

()A.5

B.25

C.7

D.15答案

C依題意得x2-4=0,y2-3=0,∴x2=4,y2=3,∴正方形的面積=x2+y2=4+3=7.故選C.1探索勾股定理2.(2016安徽蕪湖南陵期中,4,★☆☆)已知x、y為正數(shù)1113.(2016廣西防城港期中,13,★★☆)如圖,長方體的長、寬、高分別為4cm、3cm、12cm,則BD'=

.

答案13cm解析連接BD,則BD2=32+42=25,∴BD=5cm,故BD'2=52+122=169,∴BD'=13cm.1探索勾股定理3.(2016廣西防城港期中,13,★★☆)如圖,長方體的長112一、選擇題1.(2017湖北襄陽中考,10,★☆☆)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證

明了勾股定理,是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖1-1-9所示的“趙爽弦圖”

是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直

角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b,若(a+b)2=21,大正方形的

面積為13,則小正方形的面積為

()

圖1-1-9A.3

B.4

C.5

D.61探索勾股定理一、選擇題 圖1-1-91探索勾股定理113答案

C∵大正方形的面積為13,∴a2+b2=13,∵(a+b)2=21,∴a2+2ab+b2=21,∴13+2ab=21,∴2ab=8,∵直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b,∴4S直角三角形=4×

ab=2ab=8,∴S小正方形=S大正方形-4S直角三角形=13-8=5,故選C.1探索勾股定理答案

C∵大正方形的面積為13,1探索勾股定理1142.(2016湖北荊門中考,4,★☆☆)如圖1-1-10,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分線,已知AB=5,AD=3,則BC的長為

()

圖1-1-10A.5

B.6

C.8

D.10答案

C因?yàn)锳B=AC,AD是∠BAC的平分線,所以AD⊥BC,且BD=CD,

在Rt△ABD中,AB=5,AD=3,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=52-32=42,所以BD

=4,所以BC=2BD=8.1探索勾股定理2.(2016湖北荊門中考,4,★☆☆)如圖1-1-10,在1153.(2016浙江杭州中考,9,★☆☆)已知直角三角形紙片的兩條直角邊長

分別為m和n(m<n),過銳角頂點(diǎn)把該紙片剪成兩個(gè)三角形.若這兩個(gè)三角

形都為等腰三角形,則

()A.m2+2mn+n2=0

B.m2-2mn+n2=0C.m2+2mn-n2=0

D.m2-2mn-n2=0答案

C根據(jù)題意畫圖,如圖,在Rt△ABC中,n>m且△ABE和△AEC均

為等腰三角形,∴AB=BE=m,則AE=EC=n-m,根據(jù)勾股定理可得AE2=2AB2,即(n-m)2=2m2,整理得m2+2mn-n2=0,故選C.

1探索勾股定理3.(2016浙江杭州中考,9,★☆☆)已知直角三角形紙片的116二、填空題4.(2017浙江麗水中考,15,★☆☆)我國三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾

股定理,創(chuàng)造了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”,如圖1-1-11①

所示.在圖1-1-11②中,若正方形ABCD的邊長為14,正方形IJKL的邊長為

2,且IJ∥AB,則正方形EFGH的邊長為

.

圖1-1-111探索勾股定理二、填空題圖1-1-111探索勾股定理117答案10解析題圖②中有8個(gè)全等的直角三角形,每個(gè)直角三角形的面積為(14

×14-2×2)÷8=(196-4)÷8=192÷8=24,則正方形EFGH的面積為24×4+2×2=96+4=100,∴正方形EFGH的邊長為10.1探索勾股定理答案10解析題圖②中有8個(gè)全等的直角三角形,每個(gè)直角三角1181.(2013貴州安順中考改編,6,★★☆)如圖,有兩棵樹,一棵高10米,另一棵

高4米,兩樹相距8米.一只小鳥從一棵樹的樹頂飛到另一棵樹的樹頂,則

小鳥飛行

()

A.8米

B.10米

C.12米

D.14米1探索勾股定理1.(2013貴州安順中考改編,6,★★☆)如圖,有兩棵樹,119答案

B如圖,設(shè)大樹高AB=10米,小樹高CD=4米,

過C點(diǎn)作CE⊥AB于E,則四邊形EBDC是長方形,連接AC,∴EB=CD=

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