六安市重點(diǎn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用1，2，3，4，5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位，數(shù)字1，3，5中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰，則滿(mǎn)足條件的不同五位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．60 C．72 D．1202．百年雙中的校訓(xùn)是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)中有這樣的一個(gè)小游戲.袋子中有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球，分別寫(xiě)有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個(gè)字，有放回地從中任意摸出一個(gè)小球，直到“仁”、“智”兩個(gè)字都摸到就停止摸球.小明同學(xué)用隨機(jī)模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間（含1和4）取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：141432341342234142243331112322342241244431233214344142134412由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止摸球的概率為（）A． B． C． D．3．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是其一條漸近線(xiàn)上一點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．5．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（）A． B． C． D．6．已知拋物線(xiàn)：，直線(xiàn)與分別相交于點(diǎn)，與的準(zhǔn)線(xiàn)相交于點(diǎn)，若，則（）A．3 B． C． D．7．小王因上班繁忙，來(lái)不及做午飯，所以叫了外賣(mài).假設(shè)小王和外賣(mài)小哥都在12：00~12：10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居住的樓下，則小王在樓下等候外賣(mài)小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形；③函數(shù)的極大值為；④函數(shù)的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④9．若點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn)，則（）A． B． C． D．10．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件11．設(shè)為非零實(shí)數(shù)，且，則（）A． B． C． D．12．已知雙曲線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，，且上點(diǎn)滿(mǎn)足，，，則雙曲線(xiàn)的離心率為A． B． C． D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則______.14．已知集合，，則____________．15．已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．16．已知函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)是曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，試判斷點(diǎn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系．18．（12分）為了解廣大學(xué)生家長(zhǎng)對(duì)校園食品安全的認(rèn)識(shí)，某市食品安全檢測(cè)部門(mén)對(duì)該市家長(zhǎng)進(jìn)行了一次校園食品安全網(wǎng)絡(luò)知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查，每一位學(xué)生家長(zhǎng)僅有一次參加機(jī)會(huì)，現(xiàn)對(duì)有效問(wèn)卷進(jìn)行整理，并隨機(jī)抽取出了200份答卷，統(tǒng)計(jì)這些答卷的得分（滿(mǎn)分：100分）制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問(wèn)卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，其中近似為這200人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）.（1）請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求；（2）該市食品安全檢測(cè)部門(mén)為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生家長(zhǎng)制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：①得分不低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話(huà)費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話(huà)費(fèi)：②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話(huà)費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：獲贈(zèng)的隨機(jī)話(huà)費(fèi)（單位：元）概率市食品安全檢測(cè)部門(mén)預(yù)計(jì)參加此次活動(dòng)的家長(zhǎng)約5000人，請(qǐng)依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出多少話(huà)費(fèi)？附：①；②若；則，，.19．（12分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，其中，.（1）求角的值；（2）若，，為邊上的任意一點(diǎn)，求的最小值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程是(為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求曲線(xiàn)的普通方程與直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求.21．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正方形的中心，平面，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.22．（10分）已知橢圓：的離心率為，直線(xiàn)：與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.為左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)，分別交直線(xiàn)于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）以線(xiàn)段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若是，寫(xiě)出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

對(duì)數(shù)字分類(lèi)討論，結(jié)合數(shù)字中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰，利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí)，數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位，共有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí)，同理也有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí)，數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位，共有個(gè)故滿(mǎn)足條件的不同的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是個(gè)故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列，組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是對(duì)數(shù)字分類(lèi)討論，屬于基礎(chǔ)題。2．A【解析】

由題意找出滿(mǎn)足恰好第三次就停止摸球的情況，用滿(mǎn)足恰好第三次就停止摸球的情況數(shù)比20即可得解.【詳解】由題意可知當(dāng)1，2同時(shí)出現(xiàn)時(shí)即停止摸球，則滿(mǎn)足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種：142，112，241，142，412.則恰好第三次就停止摸球的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用和古典概型概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】

求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)位于第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)在第一象限，求出此坐標(biāo)，再利用三角形的面積即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)在第一象限，雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，所以，，又以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，即，解得，，所以，，即，即，所以，雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的離心率，解決本題的關(guān)鍵在于求出與的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5．D【解析】

先化簡(jiǎn)得再求得解.【詳解】所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6．C【解析】

根據(jù)拋物線(xiàn)的定義以及三角形的中位線(xiàn)，斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)如圖，過(guò)A,M作準(zhǔn)線(xiàn)的垂直，垂足分別為C，D，過(guò)M作AC的垂線(xiàn)，垂足為E根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M為AN的中點(diǎn)，所以MD為三角形NAC的中位線(xiàn)，故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t，則MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦的斜率，常見(jiàn)于利用拋物線(xiàn)的定義構(gòu)建關(guān)系，屬于中檔題.7．C【解析】

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時(shí)間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣(mài)小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時(shí)間分別為，以12：00點(diǎn)為開(kāi)始算起，則有，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域，所以小王在樓下等候外賣(mài)小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率為：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8．D【解析】

因?yàn)?，所以①不正確；因?yàn)?，所以，，所以，所以函?shù)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形，②正確；易知函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可．當(dāng)時(shí)，，且，令，得，可知函數(shù)在處取得極大值為，③正確；因?yàn)?，所以，所以函?shù)的最小值為，④正確．故選D．9．A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【詳解】由題意，點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，則，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡(jiǎn)、求值，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10．A【解析】

首先利用二倍角正切公式由，求出，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：∵，∴可解得或，∴“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．11．C【解析】

取，計(jì)算知錯(cuò)誤，根據(jù)不等式性質(zhì)知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計(jì)算知錯(cuò)誤；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)于不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.12．D【解析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)定義可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出離心率.【詳解】依題意得，，，因此該雙曲線(xiàn)的離心率.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)定義及雙曲線(xiàn)的離心率，考查了運(yùn)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用奇函數(shù)的定義得出，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，，整理得，解得.當(dāng)時(shí)，真數(shù)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，，解不等式，解得或，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，合乎題意.綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查了函數(shù)奇偶性的定義和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14．【解析】

由于，，則．15．（-4，2）【解析】試題分析：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以考點(diǎn)：基本不等式求最值16．【解析】

求導(dǎo)，x=0代入求k，點(diǎn)斜式求切線(xiàn)方程即可【詳解】則又故切線(xiàn)方程為y=x+1故答案為y=x+1【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)方程，求導(dǎo)法則及運(yùn)算，考查直線(xiàn)方程，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）（2）點(diǎn)在曲線(xiàn)外．【解析】

（1）先消參化曲線(xiàn)的參數(shù)方程為普通方程,再化為極坐標(biāo)方程；（2）由點(diǎn)是曲線(xiàn)上的一點(diǎn),利用的范圍判斷的范圍,即可判斷位置關(guān)系.【詳解】（1）由曲線(xiàn)的參數(shù)方程為可得曲線(xiàn)的普通方程為,則曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,即（2）由題,點(diǎn)是曲線(xiàn)上的一點(diǎn),因?yàn)?所以,即,所以點(diǎn)在曲線(xiàn)外.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.18．（1）；（2）估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出100000元話(huà)費(fèi)【解析】

（1）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求的值.（2）設(shè)某家長(zhǎng)參加活動(dòng)可獲贈(zèng)話(huà)費(fèi)為元，利用題設(shè)條件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出的話(huà)費(fèi)數(shù)額.【詳解】（1）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表，結(jié)合題中所給的條件，可以求得又，，所以；（2）根據(jù)題意，某家長(zhǎng)參加活動(dòng)可獲贈(zèng)話(huà)費(fèi)的可能值有10，20，30，40元，且每位家長(zhǎng)獲得贈(zèng)送1次、2次話(huà)費(fèi)的概率都為，得10元的情況為低于平均值，概率，得20元的情況有兩種，得分低于平均值，一次性獲20元話(huà)費(fèi)；得分不低于平均值，2次均獲贈(zèng)10元話(huà)費(fèi)，概率，得30元的情況為：得分不低于平均值，一次獲贈(zèng)10元話(huà)費(fèi)，另一次獲贈(zèng)20元話(huà)費(fèi)，其概率為，得40元的其情況得分不低于平均值，兩次機(jī)會(huì)均獲20元話(huà)費(fèi)，概率為.所以變量的分布列為：某家長(zhǎng)獲贈(zèng)話(huà)費(fèi)的期望為.所以估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出100000元話(huà)費(fèi).【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，注意與正態(tài)分布有關(guān)的計(jì)算要利用該分布的密度函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性來(lái)進(jìn)行，本題屬于中檔題.19．（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果；（2）在中，由余弦定理得，在中結(jié)合正弦定理求出，從而得出，即可得出的解析式，最后結(jié)合斜率的幾何意義，即可求出的最小值.【詳解】（1），，由題知，，則，則，，；（2）在中，由余弦定理得，，設(shè)，其中.在中，，，，，所以，，所以的幾何意義為兩點(diǎn)連線(xiàn)斜率的相反數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得，故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，還涉及二倍角正弦公式和誘導(dǎo)公式，考查計(jì)算能力.20．（1）(x－1)2＋y2＝4,直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0；（2）3.【解析】

(1)消參得到曲線(xiàn)的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化公式求得直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；(2)先得到直線(xiàn)的參數(shù)方程，將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入到圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】(1)由曲線(xiàn)C的參數(shù)方程(α為參數(shù))(α為參數(shù))，兩式平方相加，得曲線(xiàn)C的普通方程為(x－1)2＋y2＝4；由直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，即直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0.(2)由題意可得P(2，0)，則直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，將(t為參數(shù))代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，則Δ>0，由韋達(dá)定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|