《線性代數(shù)》同濟大學(xué)課后習(xí)題詳解

《線性代數(shù)》同濟大學(xué)版-課后習(xí)題答案詳解《線性代數(shù)》同濟大學(xué)版-課后習(xí)題答案詳解《線性代數(shù)》同濟大學(xué)版-課后習(xí)題答案詳解111《線性代數(shù)》同濟大學(xué)版課后習(xí)題答案詳解解abca2b2c2第一章行列式

bc2ca2ab2ac2ba2cb2(ab)(bc)(ca)利用對角線法規(guī)計算以下三階行列式201(1)141183201解1411832(4)30(1)(1)1180132(1)81(4)(1)2481644abcbcacababc解bcacab

xyxy(4)yxyxxyxyxyxy解yxyxxyxyx(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3323333xy(xy)y3xyxyx2(x3y3)2按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序求以下各排列的逆序數(shù)(1)1234解逆序數(shù)為0(2)4132解逆序數(shù)為441434232(3)3421acbbaccbabbbaaaccc3abca3b3c3111abca2b2c2

解逆序數(shù)為532314241,21(4)2413解逆序數(shù)為3214143(5)13(2n1)24(2n)解逆序數(shù)為n(n1)232(1個)5254(2個)727476(3個)(2n1)2(2n1)4(2n1)6(2n1)(2n2)(n1個)(6)13(2n1)(2n)(2n2)2解逆序數(shù)為n(n1)32(1個)5254(2個)(2n1)2(2n1)4(2n1)6(2n1)(2n2)(n1個)42(1個)6264(2個)(2n)2(2n)4(2n)6(2n)(2n2)(n1個)3寫出四階行列式中含有因子a11a23的項解含因子a11a23的項的一般形式為(1)ta11a23a3ra4s其中rs是2和4構(gòu)成的排列這種排列共有兩個即24和42因此含因子a11a23的項分別是(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42計算以下各行列式412420210520117

解4124412101202c2c3120210520c7c1032140117430010411022(1)43103144110c2c39910012212c300210314c1171714214112112320622141cc2140r4r22140解31214231223122123212301230506250622140rr2140413122012300000abacaebdcddebfcfefabacaebce解bdcddeadfbcebfcfefbce111adfbce1114abcdef111a100(4)1b1001c1001da100rar01aba0解1b10121b1001c101c1001d001d(1)(1aba0c3dc21abaad1)211c11c1cd01d010(1)(321abad1)11cdabcdabcdad1證明:a2abb22aab2b(ab)3;111證明

a2abb2c2c1a2aba2b2a22aab2b2aba2b2a111c3c1100(1)31aba2b2a2(ba)(ba)aba(ab)3ba2b2a12axbyaybzazbxxyz(2)aybzazbxaxby(a3b3)yzx;azbxaxbyaybzzxy證明axbyaybzazbxaybzazbxaxbyazbxaxbyaybzxaybzazbxyaybzazbxayazbxaxbybzazbxaxbyzaxbyaybzxaxbyaybzxaybzzyzazbxa2yazbxxb2zxaxbyzaxbyyxyaybzxyzyzxa3yzxb3zxyzxyxyzxyzxyza3yzxb3yzxzxyzxyxyz(a3b3)yzxzxya2(a1)2(a2)2(a3)2b2(b1)2(b2)2(b3)20;(3)(c1)2(c2)2(c3)2c2d2(d1)2(d2)2(d3)2證明a2(a1)2(a2)2(a3)2b2(b1)2(b2)2(b3)2c2(c1)2(c2)2(c3)2(c4c3c3c2c2c1得)d2(d1)2(d2)2(d3)2a22a12a32a5b22b12b32b5c22c12c32c5(c4c3c3c2得)d22d12d32d5a22a122b22b1220c22c122d22d122

1111(4)abcda2b2c2d2a4b4c4d4(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);證明1111abcda2b2c2d2a4b4c4d411a1a1a0bcd0b(ba)c(ca)d(da)0b2(b2a2)c2(c2a2)d2(d2a2)111(ba)(ca)(da)bcdb2(ba)c2(ca)d2(da)11b1(ba)(ca)(da)0c(ccdb0b)(cba)d(db)(dba)11(ba)(ca)(da)(cb)(db)c(cba)d(dba)=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)x10000x100xna1xn1(5)00x1an1xan0anan1an2a2xa1證明用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n2時D2x1x2a1xa2命題成立a2xa1假設(shè)對于(n1)階行列式命題成立即Dn1xn1a1xn2an2xan1則Dn按第一列張開有1000DnxDa(1)n1x100n1n11x1xDn1anxna1xn1an1xan因此對于n階行列式命題成立設(shè)n階行列式Ddet(aij),把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時針旋轉(zhuǎn)90、或依副對角線翻轉(zhuǎn)依次得an1anna1nannanna1nD1a11D2a11an1D3a11a1nan1n(n1)證明D1D2(1)2DD3D證明由于Ddet(aij)因此

an1anna11a1nD1n1an1anna11a1n(1)a21a2na11a1na21a2n(1)n1(1)n2an1anna31a3n1)12(n2)(n1)Dn(n1)((1)2D同理可證n(n1)a11an1n(n1)n(n1)D2(1)2ann(1)2DT(1)2Da1nn(n1)n(n1)n(n1)D(1)2D(1)2(1)2D(1)n(n1)DD32計算以下各行列式(Dk為k階行列式)a1(1)Dn,其中對角線上元素都是a未寫出的元素都是01a解a00010a00000a00Dn(按第n行張開)000a01000a00001(a00001)n10a000000a0(n1)(n1)a(1)2naa(n1)(n1)a(1)n1(1)nananan2an2(a21)a(n2)(n2)xaa(2)Dnaxa;aax解將第一行乘(1)分別加到其余各行得

xaaaaxxa00Dnax0xa0ax000xa再將各列都加到第一列上得x(n1)aaaaDn0xa0a000x0[x(n1)a](xa)n10000xaan(a1)n(an)nan1(a1)n1(an)n1(3)Dn1a1an;a111解依照第6題結(jié)果有111n(n1)aa1anDn1(1)2an1(a1)n1(an)n1an(a1)n(an)n此行列式為范德蒙道德列式D(1)n(n1)[(ai1)(aj1)]2n1n1ij1(1)n(n1)[(ij)]2n1ij1(1)n(n1)(n(n1)1j)21)2(in1ij1(ij)n1ij1anbn(4)D2na1b1;c1d1cndn解anbnD2na1b1(按第1行張開)c1d1cndn

an1bn10a1b1anc1d1cn1dn1000dn0an1bn1(1)2n1bna1b1c1d1cn1dn1cn0再按最后一行張開得遞推公式D2nandnD2n2bncnD2n2即D2n(andnbncn)D2n2D2nnbici)D2于是(aidii2而D2a1b1a1d1b1c111D2nnbici)因此(aidi1Ddet(aij)其中aij|ij|;解aij|ij|0123n11012n2Dndet(aij)2101n33210n4n1n2n3n4011111r1r21111111111r2r311111n1n2n3n4010000c2c11200012200c3c112220n12n32n42n5n1(1)n1(n1)2n21a111(6)D11a21,其中a1a2an0n111an解1a11111a21Dn111an

a100c1c2a2a200a3a3c2c3000000100110aaa01112n000000100010a1a2an001000000(aaa)(1n1)12ni1ai用克萊姆法規(guī)解以下方程組

001001001an1an110an1an00a10011a002a1311a10n1111an00a1001a1002a1301a1n100na11i1ix1x2x3x45x12x2x34x422x13x2x35x423x1x22x311x40解由于1111D12141422315312115111D122141422315012111511D21214284221530211

5x16x26x31x15x20(2)x25x36x40x35x46x50x45x51解由于560001560001560665001560001516000D105600015601507001561001511515100010600D1224426D2005601145323250015631011010151115561005601012121500015600D42312142D301060703D40150039531200005600106D1D2D3D40011500015因此x11x22x33x41DDDD5600115600D5015602120015000011因此x11507x21145x3703x4395x4212665665665665665x1x2x309問取何值時齊次線性方程組x1x2x30有非零解？x12x2x30解系數(shù)行列式為D1111121令D0得0或1于是當(dāng)0或1時該齊次線性方程組有非零解(1)x12x24x3010問取何值時齊次線性方程組2x1(3)x2x30有非零x1x2(1)x30解？解系數(shù)行列式為

D124134231211111101(1)3(3)4(1)2(1)(3)(1)32(1)23令D0得02或3于是當(dāng)02或3時該齊次線性方程組有非零解第二章矩陣及其運算已知線性變換x12y12y2y3x23y1y25y3x33y12y23y3求從變量x1x2x3到變量y1y2y3的線性變換解由已知x221y1y2x2315x3323y2y12211x749y1y2637y2故315x2y323x3324y32y17x14x29x3y26x13x27x3y33x12x24x3已知兩個線性變換x12y1y3y13z1z2x22y13y22y3y22z1z3x34y1y25y3y3z23z3求從z1z2z3到x1x2x3的線性變換解由已知x201y1201310z1232y2201z2x2232x3415y415013z23613z149z210116z3x16z1z23z3因此有x212z14z29z3x310z1z216z31111233設(shè)A111B124求3AB2A及ATB111051111123111解3AB2A31111242111111051111

0581112132230562111217202901114292111123058ATB111124056111051290計算以下乘積431712325701431747321135解123217(2)23165701577201493(123)213解(123)2(132231)(10)121(12)322(1)2224解1(12)1(1)121233(1)3236131(4)214001211341314021312140012678解13413120561402a11a12a13x1(5)(x1x2x3)a12a22a23x2a13a23a33x3解a11a12a13x1(x1x2x3)a12a22a23x2a13a23a33x3x1(a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3a13x1a23x2a33x3)x2x3ax2ax2ax22axx2axx2axx111222333121213132323

5設(shè)A12B10問1312(1)ABBA嗎?解ABBA由于AB34BA12因此ABBA4638(2)(AB)2A22ABB2嗎?解(AB)2A22ABB2由于AB2225(AB)2222281425251429但A22ABB23868101016411812341527因此(AB)2A22ABB2(3)(AB)(AB)A2B2嗎?解(AB)(AB)A2B2由于AB22AB022501(AB)(AB)220206250109而A2B23810284113417故(AB)(AB)A2B2舉反列說明以下命題是錯誤的(1)若A20則A0解取A01則A20但A000(2)若A2A則A0或AE解取A11則A2A但A0且AE00(3)若AXAY且A0則XY解取A10X11Y11001101則AXAY且A0但XY7設(shè)A10求A2A3Ak1解A21010101121A3A2A10101021131

設(shè)A01081求Ak00解第一觀察A2010010110000A3A23323A0332003A4A344362A0443004A5A4A5541030554005kkk1k(k1)k02Akkk100k用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)k2時顯然成立

221022002k2Ak10k1

假設(shè)k時成立，則k1時，kkk1k(k1)k210Ak1AkA020kkk1100k00k1(k1)k1(k1)kk102k1(k1)k100k1由數(shù)學(xué)歸納法原理知kkk1k(k1)k2Ak02kkk100k9設(shè)AB為n階矩陣，且A為對稱矩陣，證明BTAB也是對稱矩陣證明由于ATA因此(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB從而BTAB是對稱矩陣10設(shè)AB都是n階對稱矩陣，證明AB是對稱矩陣的充分必要條件是ABBATT證明充分性由于AABB且ABBA因此TTTT(AB)(BA)ABAB即AB是對稱矩陣必要性由于ATABTB且(AB)TAB因此AB(AB)TBTATBA

求以下矩陣的逆矩陣225解A12|A|1故A1存在由于25A*A11A2152A12A2221故A11A*52|A|21(2)cossinsincos解Acossin|A|10故A1存在由于sincosA*A11A21cossinA12A22sincos因此A11A*cossin|A|sincos121(3)342541121解A342|A|20故A1存在由于541A11A21A31420A*A12A22A321361A13A23A3332142A11A*210因此1331|A|221671a1a02(4)(a1a2an0)0ana10解Aa2由對角矩陣的性質(zhì)知0an110a1A1a201an解以下矩陣方程25X46(1)1321

X2514635462231321122108211113(2)X2104321112111解X1134322101111113101232343233022185233(3)14X2031121101解X141312011201111243110121101121661011101230124解010100143(4)100X00120100101012001011431001解X100201001001120010010143100210100201001134001120010102利用逆矩陣解以下線性方程組x12x23x312x12x25x323x15x2x33解方程組可表示為123x11225x22351x33x1123111故x222520x335130x11從而有x20x30

x1x2x322x1x23x313x12x25x30解方程組可表示為111x12213x21325x03x1111125故x221310x332503x15故有x20x3314設(shè)AkO(k為正整數(shù))證明(EA)1EAA2Ak1證明由于AkO因此EAkE又由于EAk(EA)(EAA2Ak1)因此(EA)(EAA2Ak1)E由定理2推論知(EA)可逆且(EA)1EAA2Ak1證明一方面有E(EA)1(EA)另一方面由AkO有E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)(EAA2Ak1)(EA)故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)兩端同時右乘(EA)1就有(EA)1(EA)EAA2Ak115設(shè)方陣A滿足A2A2EO證明A及A2E都可逆并求A1及(A2E)1證明由A2A2EO得A2A2E即A(AE)2E或A1(AE)E2由定理2推論知A可逆且A11(AE)2由A2A2EO得A2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或(A2E)1(3EA)E4由定理2推論知(A2E)可逆且(A2E)11(3)4證明由A2A2EO得A2A2E兩端同時取行列式得|A2A|2即|A||AE|2故|A|0因此A可逆而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆由A2A2EOA(AE)2EA1A(AE)2A1EA11(AE)2又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E(A2E)(A3E)4E因此(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)1

(A2E)11(3EA)416設(shè)A為3階矩陣|A|1求|(2A)15A*|2解由于A11A*因此|A||(2A)15A*||1A15|A|A1||1A15A1|222|2A1|(2)3|A1|8|A|1821617設(shè)矩陣A可逆證明其陪同陣A*也可逆且(A*)1(A1)*證明由A11A*得A*|A|A1因此當(dāng)A可逆時有|A||A*||A|n|A1||A|n10從而A*也可逆由于A*|A|A1因此(A*)1|A|1AA1|11又|A1(A)*|A|(A)*因此(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*設(shè)n階矩陣A的陪同矩陣為A*證明(1)若|A|0則|A*|0(2)|A*||A|n1證明(1)用反證法證明假設(shè)|A*|0則有A*(A*)1E由此得AAA*(A*)1|A|E(A*)1O因此A*O這與|A*|0矛盾，故當(dāng)|A|0時有|A*|0(2)由于A11A*則AA*|A|E取行列式獲取|A||A||A*||A|n若|A|0則|A*||A|n1若|A|0由(1)知|A*|0此時命題也成立因此|A*||A|n103319設(shè)A110ABA2B求B123解由ABA2E可得(A2E)BA故2331033033B(A2E)1A11011012312112311010120設(shè)A020且ABEA2B求B101解由ABEA2B得(AE)BA2E即(AE)B(AE)(AE)001由于|AE|01010因此(AE)可逆從而100

BAE20103010221設(shè)Adiag(121)A*BA2BA8E求B解由A*BA2BA8E得(A*2E)BA8EB8(A*2E)1A18[A(A*2E)]18(AA*2A)18(|A|E2A)18(2E2A)14(EA)14[diag(212)]14diag(1,1,1)222diag(121)1000010022已知矩陣A的陪同陣A*10100308且ABA1BA13E求B解由|A*||A|38得|A|2由ABA1BA13E得ABB3AB3(AE)1A3[A(EA1)]1A3(E1A*)16(2EA*)12100010600601000600101060600306030123設(shè)P1AP其中P1410求A111102解由P1AP得APP1因此A11A=P11P1.|P|3P*14P111411311而11101110020211故14101427312732A11331102111168368433111124設(shè)APP其中P10211115求(A)A8(5E6AA2)解( )8(5E62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P( )P1

1P()P*|P|1111002222102000303111000121111411111125設(shè)矩陣A、B及AB都可逆證明A1B1也可逆并求其逆陣證明由于A1(AB)B1B1A1A1B1而A1(AB)B1是三個可逆矩陣的乘積因此A1(AB)B1可逆即A1B1可逆(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A1210103126計算010101210021002300030003解設(shè)A12A21B31010321121B22303則A1EEB1A1A1B1B2OA2OB2OA2B2而A1B1B21231235234O0121032428設(shè)A43求|A8|及A4212343O20A2B2220303093420所以解令A(yù)1A212524322A1EEB1A1A1B1B20124AAOOA2OB2OA2B20043則100092AO8O8A8121010311252故AOA2OA28即010101210124002100230043|A8||A18||A28||A1|8|A2|81016000300030009540OA4O10AB|A||B|4427取ABCD考據(jù)10501CD|C||D|AOA24O240101020002624AB010102002010429設(shè)n階矩陣A及s階矩陣B都可逆求解1CD101010100201OA01010101(1)BO而|A||B|110OA1C1C2|C||D|11解設(shè)BOC3C4則|A||B|故ABOAC1C2AC3AC4EnOCD|C||D|BOC3C4BC1BC2OEsACECA13n3由此得AC4OC4OBC1OC1OBC2EsC2B1

52002100008300521OB1因此OABOA1O1(2)AOCBAO1D1D2解設(shè)CBD3D4則AOD1D2AD1AD2EnOCBD3D4CD1BD3CD2BD4OEsADEDA11n1AD2OD2O

解設(shè)AA1B18352于5200210000830052

52B83則215252112212513581A1A1BB1

是1200250000230058由此得CDBDODB1CA1313CD2BD4EsD4B1AO1A1O因此B1CA1B1CB求以下矩陣的逆陣

1000(2)120021301214解設(shè)A10B30C21則1214121000120021301214

1

AO11OACBB1CA1B1

1021~0013(下一步r3r2)00101021011216524

00014

~0013(下一步r33)00031021~0013(下一步r23r3)00011021~0010(下一步r1(2)r2r1r3)0001第三章矩陣的初等變換與線性方程組把以下矩陣化為行最簡形矩陣1021203130431021解2031(下一步r2(2)r1r3(3)r1)30431021~0013(下一步r2(1)r3(2))0020

1000001000010231(2)034304710231解0343(下一步r22(3)r1r3(2)r1)04710231~0013(下一步r3r2r13r2)001302010~0013(下一步r12)00000105~0013000011343(3)33541223203342111343解33541(下一步r23r1r32r1r43r1)22320334211134300488~00366(下一步r2(4)r3(3)r4(5))005101011343~00122(下一步r13r2r3r2r4r2)0012200122

11023~00122000000000023137(4)1202432830237432313712024解32830(下一步r12r2r33r2r42r2)2374301111~12024(下一步r22r1r38r1r47r1)08891207781101111~10202r2r2(1)r4r3)0001(下一步r140001410202~01111(下一步r2r3)00014000001020201103~00014000000101011232設(shè)100A010456求A001001789010解100是初等矩陣E(12)其逆矩陣就是其自己001101010是初等矩陣E(12(1))其逆矩陣是001101E(12(1))010001010123101A100456010001789001456101452123010122789001782

321(1)315323321100321100解315010~0141103230010021013203/201/23007/229/2~010112~0101120021010011/201/21007/62/33/2~0101120011/201/2723632故逆矩陣為112101223201(2)0221123201213試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q求以下方陣的逆矩陣32011000解02210100123200100121000112320010~01210001049510300221010012320010~01210001001110340021010212320010~012100010011103400012161012001122~010001`010010113600012161010001124~0100010100101136000121610

11240101故逆矩陣為136121610412134(1)設(shè)A221B22求X使AXB31131解由于41213r100102(A,B)22122~01015331131001124A1B102因此X153124021123(2)設(shè)A213B2求X使XAB33431解考慮ATXTBT由于02312r10024(AT,BT)21323~010171343100114XT(AT)1BT24因此1714從而XBA12114741105設(shè)A011AX2XA求X101解原方程化為(A2E)XA由于110110(A2E,A)011011101101100011~0101010011102E)1A011因此X(A101110在秩是r的矩陣中,有沒有等于0的r1階子式?有沒有等于0的r階子式?解在秩是r的矩陣中可能存在等于0的r1階子式也可能存在等于0的r階子式1000比方A0100R(A)3001000000是等于0的2階子式100是等于0的3階子式00010

7從矩陣A中劃去一行獲取矩陣B問AB的秩的關(guān)系怎樣?解R(A)R(B)這是由于B的非零子式必是A的非零子式故A的秩不會小于B的秩8求作一個秩是4的方陣它的兩個行向量是(10100)(11000)解用已知向量簡單構(gòu)成一個有4個非零行的5階下三角矩陣00001000010000100000此矩陣的秩為4其第2行和第3行是已知向量9求以下矩陣的秩并求一個最高階非零子式3102(1)1121;13443102解1121(下一步r1r2)13441121~3102(下一步r23r1r3r1)13441121~0465(下一步r3r2)04651121~04650000矩陣的秩為2314是一個最高階非零子式1132131(2)213137051832132解21313(下一步r1r2r22r1r37r1)7051813441~071195(下一步r33r2)02133271513441~0711950000032矩陣的秩是27是一個最高階非零子式21

21837(3)23075325801032021837解23075(下一步r12r4r22r4r33r4)32580103200121703635~02420(下一步r23r1r32r1)1032001217000016~000014(下一步r216r4r316r2)10320012170000100000103201032001217~0000100000075700是一個最高階非零子式11211010矩陣的秩為3580A2111~013132022120014/310設(shè)A、B都是mn矩陣證明A~B的充分必要條件是R(A)R(B)4x證明依照定理3必要性是成立的x134充分性設(shè)R(A)R(B)則A與B的標(biāo)準(zhǔn)形是相同的設(shè)A與B的標(biāo)準(zhǔn)形為D則x2于是有x3A~DD~B

3x443x4由等價關(guān)系的傳達性有A~B123k11設(shè)A12k3問k為什么值可使k23(1)R(A)1(2)R(A)2(3)R(A)3A123kr11k解12k3~0k1k1k2300(k1)(k2)(1)當(dāng)k1時R(A)1(2)當(dāng)k2且k1時R(A)2(3)當(dāng)k1且k2時R(A)3

x4故方程組的解為x1x2x3x4x13x15x1

x44343(k為任意常數(shù))312x2x3x406x2x33x4010x2x35x40解對系數(shù)矩陣A進行初等行變換有12求解以下齊次線性方程組:12111201x1x22x3x40A3613~0010(1)2x1x2x3x405101500002x12x2x32x40解對系數(shù)矩陣A進行初等行變換有x12x2x4于是x2x2x30x4x4故方程組的解為x121x2k11k20(k1k2為任意常數(shù))x300x4012x13x2x35x40(3)3x1x22x37x404xx3x6x01234x12x24x37x40解對系數(shù)矩陣A進行初等行變換有2315100031270100A4136~001012470001x10于是x20x30x40故方程組的解為

x10x20x30x403x14x25x37x40(4)2x13x23x32x4004x11x13x16x12347x12x2x33x40解對系數(shù)矩陣A進行初等行變換有34571023324111316~0172130000x3x13x1173174于是x19x20x2173174x3x3x4x4故方程組的解為

313171920170000x13131717x21920x3k117k2(k1k2為任意常數(shù))17x4100113求解以下非齊次線性方程組:4x12x2x323x11x22x31011x13x28解對增廣矩陣B進行初等行變換有42121338B31210~0101134113080006于是R(A)2而R(B)3故方程組無解2x3yz4x2y4z53x8y2z134xy9z6解對增廣矩陣B進行初等行變換有23141021B1245~011238213000041960000

x2z1于是yz2zzx21即yk12(k為任意常數(shù))z102xyzw1(3)4x2y2zw22xyzw1解對增廣矩陣B進行初等行變換有2111111/21/201/2B42212~000102111100000x1y1z1y222于是yzzw0x111222yk1k2即100(k1k2為任意常數(shù))z010w0002xyzw1(4)3x2yz3w4x4y3z5w2解對增廣矩陣B進行初等行變換有21111101/71/76/7B32134~015/79/75/7

解依照已知可得x122x2c13c24x310x401與此等價地能夠?qū)懗?435200000x1z1w6777于是y5z9w5z777zww

或

x12c1c2x23c14c2x3c1x4c2x12x3x4x23x34x4x116777y595即k17k27(k1k2為任意常數(shù))z7w100010寫出一個以22xc13c241001

或x12x3x40x23x34x40這就是一個滿足題目要求的齊次線性方程組15取何值時非齊次線性方程組x1x2x31x1x2x32x1x2x3(1)有唯一解(2)無解(3)有無量多個解?111解B11112為通解的齊次線性方程組r112方程組解為1(1)~01x100(1)(2)(1)(1)2x2(1)要使方程組有唯一解必定R(A)3因此當(dāng)1且2時方程組有唯一解.(2)要使方程組無解必定R(A)R(B)故x1(1)(2)0(1)(1)20因此2時方程組無解即x2x3(3)要使方程組有有無量多個解必定R(A)R(B)3故(1)(2)0(1)(1)20當(dāng)2時因此當(dāng)1時方程組有無量多個解.B非齊次線性方程組2x1x2x32方程組解為x12x2x32x1x1x22x3x2當(dāng)取何值時有解？并求出它的解2112121x12(1)即x2解B121~011x311223000(1)(2)

x31x1x31或xxx323x3x311k10(k為任意常數(shù))10211210121212~011211240000x32x1x32或xx2x3223x3x312k12(k為任意常數(shù))10要使方程組有解必定(1)(2)0即12(2)x12x22x31當(dāng)1時17設(shè)2x(5)x4x2123211210112x14x2(5)x31B1211~0110問為什么值時此方程組有唯一解、無解或有無量多解?并在有無量多解時求解112100002221解B254224512542~011100(1)(10)(1)(4)要使方程組有唯一解必定R(A)R(B)3即必定(1)(10)0因此當(dāng)1且10時方程組有唯一解.要使方程組無解必定R(A)R(B)即必定(1)(10)0且(1)(4)0因此當(dāng)10時方程組無解.要使方程組有無量多解必定R(A)R(B)3即必定(1)(10)0且(1)(4)0因此當(dāng)1時方程組有無量多解此時，增廣矩陣為1221B~00000000方程組的解為x1x2x31x2x2x3x3x1k2k21或x1200(k1k2為任意常數(shù))21010x3

18證明R(A)1的充分必要條件是存在非零列向量a及非零行向量bT使AabT證明必要性由R(A)1知A的標(biāo)準(zhǔn)形為10010000(1,0,,0)0000即存在可逆矩陣P和Q使11PAQ0(1,0,,0)或AP10(1,0,,0)Q1001令aP10bT(100)Q1則a是非零列向量bT是非零行向量且0AabT充分性由于a與bT是都是非零向量因此A是非零矩陣從而R(A)1由于1R(A)R(abT)min{R(a)R(bT)}min{11}1因此R(A)1設(shè)A為mn矩陣證明(1)方程AXEm有解的充分必要條件是R(A)m證明由定理7方程AXEm有解的充分必要條件是R(A)R(AEm)而|Em|是矩陣(AEm)的最高階非零子式故R(A)R(AEm)m因此方程AXEm有解的充分必要條件是R(A)m(2)方程YAEn有解的充分必要條件是R(A)n證明注意方程YAEn有解的充分必要條件是ATYTEn有解由(1)ATYTEn有解的充分必要條件是R(AT)n因此，方程YAEn有解的充分必要條件是R(A)R(AT)n20設(shè)A為mn矩陣證明若AXAY且R(A)n則XY證明由AXAY得A(XY)O由于R(A)n由定理9方程A(XY)O只有零解即XYO也就是XY第四章向量組的線性相關(guān)性1設(shè)v1(110)Tv2(011)Tv3(340)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(110)T(011)T(101101)T(101)T3v12v2v33(110)T2(011)T(340)T(312033121430210)T(012)T2設(shè)3(a1a)2(a2a)5(a3a)求a其中a1(2513)Ta2(101510)Ta3(4111)T解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得1(3a12a25a3)61TTT[3(2,5,1,3)2(10,1,5,10)5(4,1,1,1)](1234)T

已知向量組Aa1(0123)Ta2(3012)Ta3(2301)TBb1(2112)Tb2(0211)Tb3(4413)T證明B組能由A組線性表示但A組不能夠由B組線性表示證明由032204r103124103124032204(A,B)210111~016157321213028179r103124r103124016157016157~~002051525004135004135000000知R(A)R(AB)3因此B組能由A組線性表示由204r102r102124022011B111~011~000213011000知R(B)2由于R(B)R(BA)因此A組不能夠由B組線性表示已知向量組Aa1(011)Ta2(110)TBb1(101)Tb2(121)Tb3(321)T證明A組與B組等價證明由11301r11301r11301因此R(B)3等于向量的個數(shù)從而所給向量組線性相沒關(guān)(B,A)02211~02211~022117問a取什么值時以下向量組線性相關(guān)？111100221100000a1(a11)Ta2(1a1)Ta3(11a)T知R(B)R(BA)2顯然在A中有二階非零子式故R(A)2又R(A)R(BA)2所以R(A)2從而R(A)R(B)R(AB)因此A組與B組等價5已知R(a1a2a3)2R(a2a3a4)3證明a1能由a2a3線性表示a4不能夠由a1a2a3線性表示證明(1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4線性沒關(guān)故a2a3也線性沒關(guān)又由R(a1a2a3)2知a1a2a3線性相關(guān)故a1能由a2a3線性表示(2)假如a4能由a1a2a3線性表示則由于a1能由a2a3線性表示故a4能由a2a3線性表示從而a2a3a4線性相關(guān)矛盾因此a4不能夠由a1a2a3線性表示判斷以下向量組是線性相關(guān)還是線性沒關(guān)(131)T(210)T(141)T(230)T(140)T(002)T解(1)以所給向量為列向量的矩陣記為A由于121r121r121A314~077~011101022000因此R(A)2小于向量的個數(shù)從而所給向量組線性相關(guān)(2)以所給向量為列向量的矩陣記為B由于210|B|340220002

解以所給向量為列向量的矩陣記為A由a11|A|1a1a(a1)(a1)11a知當(dāng)a1、0、1時R(A)3此時向量組線性相關(guān)8設(shè)a1a2線性沒關(guān)a1ba2b線性相關(guān)求向量b用a1a2線性表示的表示式解由于a1ba2b線性相關(guān)故存在不全為零的數(shù)12使1(a1b)2(a2b)0由此得b1a2a1a(11)a121212121212設(shè)c1則12bca1(1c)a2cR9設(shè)a1a2線性相關(guān)b1b2也線性相關(guān)問a1b1a2b2可否必然線性相關(guān)？試舉例說明之解不用然比方當(dāng)a1(12)T,a2(24)T,b1(11)T,b2(00)T時有a1b1(12)Tb1(01)T,a2b2(24)T(00)T(24)T而a1b1a2b2的對應(yīng)重量不行比率是線性沒關(guān)的舉例說明以下各命題是錯誤的(1)若向量組a1a2am是線性相關(guān)的則a1可由a2am線性表示解設(shè)a1e1(1000)a2a3am0則a1a2am線性相關(guān)但a1不能夠由a2am線性表示(2)若有不全為0的數(shù)12m使1a1mam1b1mbm0成立則a1a2am線性相關(guān),b1b2bm亦線性相關(guān)解有不全為零的數(shù)12m使1a1mam1b1mbm0原式可化為1(a1b1)m(ambm)0取a1e1b1a2e2b2amembm其中e1e2em為單位坐標(biāo)向量則上式成立而a1a2am和b1b2bm均線性沒關(guān)(3)若只有當(dāng)12m全為0時等式1a1mam1b1mbm0才能成立則a1a2am線性沒關(guān),b1b2bm亦線性沒關(guān)解由于只有當(dāng)12m全為0時等式由1a1mam1b1mbm0成立因此只有當(dāng)12m全為0時等式1(a1b1)2(a2b2)m(ambm)0成立因此a1b1a2b2ambm線性沒關(guān)取a1a2am0取b1bm為線性沒關(guān)組則它們滿足以上條件但a1a2am線性相關(guān)(4)若a1a2am線性相關(guān),b1b2bm亦線性相關(guān)則有不全為0的數(shù)12m使

1a1mam01b1mbm0同時成立解a1(10)Ta2(20)Tb1(03)Tb2(04)T1a12a201221b12b201(3/4)2120與題設(shè)矛盾11設(shè)b1a1a2b2a2a3b3a3a4b4a4a1證明向量組b1b2b3b4線性相關(guān)證明由已知條件得a1b1a2a2b2a3a3b3a4a4b4a1于是a1b1b2a3b1b2b3a4b1b2b3b4a1從而b1b2b3b40這說明向量組b1b2b3b4線性相關(guān)12設(shè)b1a1b2a1a2bra1a2ar且向量組a1a2ar線性沒關(guān)證明向量組b1b2br線性沒關(guān)證明已知的r個等式能夠?qū)懗?11(b,b,,b)(a,a,,a)01112r12r001上式記為BAK由于|K|10K可逆因此R(B)R(A)r從而向量組b1b2br線性沒關(guān)13求以下向量組的秩,并求一個最大沒關(guān)組(1)a1(1214)Ta2(9100104)Ta3(2428)T解由192r192r192(a1,a2,a3)2100408200101102~0190~0004480320000知R(a1a2a3)2由于向量a1與a2的重量不行比率故a1a2線性沒關(guān)因此a1a2是一個最大沒關(guān)組(2)a1T(1213)a2T(4156)a3T(1347)解由141141141(a1,a2,a3)213r095r095154~095~00036701810000知R(a1Ta2Ta3T)R(a1a2a3)2由于向量a1T與a2T的重量不行比率故a1Ta2T線性沒關(guān)因此a1Ta2T是一個最大沒關(guān)組利用初等行變換求以下矩陣的列向量組的一個最大沒關(guān)組2531174375945313275945413425322048解由于

25311743r23r125311743r4r3759453132r33r10123r~r~759454134410135rr25322048013525311743012300130000因此第1、2、3列構(gòu)成一個最大沒關(guān)組.11221021512031311041解由于11221r32r111221r3r20215102151~~20313r4r102151r3r4110410022211221021510022200000因此第1、2、3列構(gòu)成一個最大沒關(guān)組設(shè)向量組(a31)T(2b3)T(121)T(231)T的秩為2求ab解設(shè)a1(a31)Ta2(2b3)Ta3(121)Ta4(231)T由于12a2r1113r11(a3,a4,a1,a2)233b~01a11~01a1113011b6002而R(a1a2a3a4)2因此a2b5

充分性已知任一n維向量都可由a1a2an線性表示故單位坐標(biāo)向量組e1e2en能由a1a2an線性表示于是有nR(e1e2en)R(a1a2an)n即R(a1a2an)n因此a1a2an線性沒關(guān)1311ab518設(shè)向量組a1a2am線性相關(guān)且a10證明存在某個向量ak(2km)使ak能由a1a2ak1線性表示證明由于a1a2am線性相關(guān)因此存在不全為零的數(shù)12m使1a12a2mam016設(shè)a1a2an是一組n維向量已知n維單位坐標(biāo)向量而且23m不全為零這是由于如若否則則1a10由a10知10矛盾e1e2en能由它們線性表示證明a1a2an線性沒關(guān)因此存在k(2km)使證法一記A(a1a2an)E(e1e2en)由已知條件知存在矩陣K使k0k1k2m0于是EAK兩邊取行列式得|E||A||K|可見|A|0因此R(A)n從而a1a2an線性沒關(guān)證法二由于e1e2en能由a1a2an線性表示因此R(e1e2en)R(a1a2an)而R(e1e2en)nR(a1a2an)n因此R(a1a2an)n從而a1a2an線性沒關(guān)17設(shè)a1a2an是一組n維向量,證明它們線性沒關(guān)的充分必要條件是任一n維向量都可由它們線性表示證明必要性設(shè)a為任一n維向量由于a1a2an線性沒關(guān)而a1a2ana是n1個n維向量是線性相關(guān)的因此a能由a1a2an線性表示且表示式是唯一的

1a12a2kak0ak(1/k)(1a12a2k1ak1)即ak能由a1a2ak1線性表示19設(shè)向量組Bb1br能由向量組Aa1as線性表示為(b1br)(a1as)K其中K為sr矩陣且A組線性沒關(guān)證明B組線性沒關(guān)的充分必要條件是矩陣K的秩R(K)r證明令B(b1br)A(a1as)則有BAK必要性設(shè)向量組B線性沒關(guān)由向量組B線性沒關(guān)及矩陣秩的性質(zhì)有rR(B)R(AK)min{R(A)R(K)}R(K)及R(K)min{rs}r因此R(K)r充分性由于R(K)r因此存在可逆矩陣C使KCEr為K的標(biāo)準(zhǔn)形O于是(b1br)C(a1as)KC(a1ar)由于C可逆因此R(b1br)R(a1ar)r從而b1br線性沒關(guān)20設(shè)123n213nn123n1證明向量組12n與向量組12n等價證明將已知關(guān)系寫成01111011(1,2,,n)(1,2,,n)11011110將上式記為BAK由于01111011|K|1101(1)n1(n1)01110因此K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量組12n與向量組

12n可相互線性表示因此向量組12n與向量組12n等價21已知3階矩陣A與3維列向量x滿足A3x3AxA2x且向量組xAxA2x線性沒關(guān)(1)記P(xAxA2x)求3階矩陣B使APPB解由于APA(xAxA2x)(AxA2xA3x)(AxA2x3AxA2x)000(x,Ax,A2x)103011000因此B103011(2)求|A|解由A3x3AxA2x得A(3xAxA2x)0由于xAxA2x線性沒關(guān)故3xAxA2x0即方程Ax0有非零解因此R(A)3|A|0求以下齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系x18x210x32x402x14x25x3x403x18x26x32x40解對系數(shù)矩陣進行初等行變換有18102r1040A2451~013/41/438620000于是得x14x3x2(3/4)x3(1/4)x4取(x3x4)T(40)T得(x1x2)T(163)T取(x3x4)T(04)T得(x1x2)T(01)T因此方程組的基礎(chǔ)解系為1(16340)T2(0104)T2x13x22x3x403x15x24x32x408x17x26x33x40解對系數(shù)矩陣進行初等行變換有2321r102/191/19A3542~0114/197/1987630000于是得x1(2/19)x3(1/19)x4x2(14/19)x3(7/19)x4取(x3x4)T(190)T得(x1x2)T(214)T取(x3x4)T(019)T得(x1x2)T(17)T因此方程組的基礎(chǔ)解系為1(214190)T2(17019)T(3)nx1(n1)x22xn1xn0.解原方程組即為xnnx1(n1)x22xn1取x11x2x3xn10得xnn取x21x1x3x4xn10得xn(n1)n1

取xn11x1x2xn20得xn2因此方程組的基礎(chǔ)解系為1(1000n)T2(0100n1)Tn1(00012)T23設(shè)A2213,求一個42矩陣B,使AB0,且9528R(B)2.解顯然B的兩個列向量應(yīng)是方程組AB0的兩個線性沒關(guān)的解由于2213r101/81/8A~9528015/811/8因此與方程組AB0同解方程組為x1(1/8)x3(1/8)x4x2(5/8)x3(11/8)x4取(x3x4)T(80)T得(x1x2)T(15)T取(x3x4)T(08)T得(x1x2)T(111)T方程組AB0的基礎(chǔ)解系為1(1580)T2(11108)T11因此所求矩陣為B511800824求一個齊次線性方程組,使它的基礎(chǔ)解系為1(0123)T2(3210)T解顯然原方程組的通解為x103x13k2x21k22x2k12k2xk121,即x2kk(k1k2R)330312x4x43k1消去k1k2得2x13x2x40x13x32x40此即所求的齊次線性方程組.設(shè)四元齊次線性方程組Ix1x20IIx1x2x30xx0xxx024234求(1)方程I與II的基礎(chǔ)解系(2)I與II的公共解

因此方程II的基礎(chǔ)解系為1(0110)T2(1101)TI與II的公共解就是方程x1x20x2x40x1x2x30x2x3x40的解由于方程組III的系數(shù)矩陣1100r100101010101A1110~001201110000因此與方程組III同解的方程組為x1x4x2x4x1解(1)由方程I得x2取(x3x4)T(10)T得(x1取(x3x4)T(01)T得(x1因此方程I的基礎(chǔ)解系為

x4x4x2)T(00)Tx2)T(11)T

x32x4取x41得(x1x2x3)T(112)T方程組III的基礎(chǔ)解系為(1121)T因此I與II的公共解為xc(1121)TcR設(shè)n階矩陣A滿足A2AE為n階單位矩陣,證明1(0010)T2(1101)Tx1x4x由方程II得x2x43取(x3x4)T(10)T得(x1x2)T(01)T取(x3x4)T(01)T得(x1x2)T(11)T

R(A)R(AE)n證明由于A(AE)A2AAA0因此R(A)R(AE)n又R(AE)R(EA)可知R(A)R(AE)R(A)R(EA)R(AEA)R(E)n由此R(A)R(AE)n27設(shè)A為n階矩陣(n2)A*為A的陪同陣證明n當(dāng)R(A)nR(A*)1當(dāng)R(A)n10當(dāng)R(A)n2證明當(dāng)R(A)n時|A|0故有|AA*|||A|E||A|0|A*|0因此R(A*)n當(dāng)R(A)n1時|A|0故有AA*|A|E0即A*的列向量都是方程組Ax0的解由于R(A)n1因此方程組Ax0的基礎(chǔ)解系中只含一個解向量即基礎(chǔ)解系的秩為1因此R(A*)1當(dāng)R(A)n2時A中每個元素的代數(shù)余子式都為0故A*O從而R(A*)0求以下非齊次方程組的一個解及對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系x1x252x1x2x32x415x13x22x32x43解對增廣矩陣進行初等行變換有11005r10108B21121~0110135322300012與所給方程組同解的方程為x1x38x2x313x42當(dāng)x30時得所給方程組的一個解(81302)T與對應(yīng)的齊次方程組同解的方程為

x1x3x2x3x40當(dāng)x31時得對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系(1110)Tx15x22x33x4115x13x26x3x412x14x22x3x46解對增廣矩陣進行初等行變換有152311r109/71/21B53611~011/71/222421600000與所給方程組同解的方程為x1(9/7)x3(1/2)x41x2(1/7)x3(1/2)x42當(dāng)x3x40時得所給方程組的一個解(1200)T與對應(yīng)的齊次方程組同解的方程為x1(9/7)x3(1/2)x4x2(1/7)x3(1/2)x4分別取(x3x4)T(10)T(01)T得對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系1(9170)T2(1102)T29設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3已知123是它的三個解向量且1(2345)T23(1234)T求該方程組的通解解由于方程組中未知數(shù)的個數(shù)是4系數(shù)矩陣的秩為3因此對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個向量且由于123均為方程組的解由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得21(23)(12)(13)(3456)T為其基礎(chǔ)解系向量故此方程組的通解xk(3456)T(2345)T(kR)30設(shè)有向量組Aa1(210)Ta2(215)Ta3(114)T及b(11)T問為什么值時(1)向量b不能夠由向量組A線性表示(2)向量b能由向量組A線性表示且表示式唯一(3)向量b能由向量組A線性表示且表示式不唯一并求一般表示式解121r121(a3,a2,a1,b)1121~011145100043(1)當(dāng)40時R(A)R(Ab)此時向量b不能夠由向量組A線性表示(2)當(dāng)4時R(A)R(Ab)3此時向量組a1a2a3線性沒關(guān)而向量組a1a2a3b線性相關(guān)故向量b能由向量組A線性表示且表示式唯一(3)當(dāng)40時R(A)R(Ab)2此時向量b能由向量組A線性表示且表示式不唯一當(dāng)40時1241r1021(a3,a2,a1,b)1120~0131451010000

x1c212c1x313c1cR210cx3因此b(2c1)a3(3c1)a2ca1即bca1(3c1)a2(2c1)a3cR31設(shè)a(a1a2a3)Tb(b1b2b3)Tc(c1c2c3)T證明三直線l1a1xb1yc10l2a2xb2yc20(ai2bi20i123)l3a3xb3yc30訂交于一點的充分必要條件為向量組ab線性沒關(guān)且向量組abc線性相關(guān)證明三直線訂交于一點的充分必要條件為方程組a1xb1yc10a1xb1yc1a2xb2yc20即a2xb2yc2a3xb3yc30a3xb3yc3有唯一解上述方程組可寫為xaybc因此三直線訂交于一點的充分必要條件為c能由ab唯一線性表示而c能由ab唯一線性表示的充分必要條件為向量組ab線性沒關(guān)且向量組abc線性相關(guān)32設(shè)矩陣A(a1a2a3a4)其中a2a3a4線性沒關(guān)a12a2a3向量ba1a2a3a4求方程Axb的通解解由ba1a2a3a4知(1111)T是方程Axb的一個解由a12a2a3得a12a2a30知(1210)T是Ax0的一個解由a2a3a4線性沒關(guān)知R(A)3故方程Axb所對應(yīng)的齊次方程Ax0的基礎(chǔ)解系中含一個解向量因此(1210)T是方程Ax0的基礎(chǔ)解系方程Axb的通解為方程組(a3a2a1)xb的解為xc(1210)T(1111)TcR33設(shè)*是非齊次線性方程組Axb的一個解,12nr是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,證明(1)*12nr線性沒關(guān)(2)**1*2*nr線性沒關(guān)證明(1)反證法,假設(shè)*12nr線性相關(guān)由于12nr線性無關(guān)而*12nr線性相關(guān)因此*可由12nr線性表示且表示式是唯一的這說明*也是齊次線性方程組的解矛盾(2)顯然向量組**1*2*nr與向量組*12nr能夠相互表示故這兩個向量組等價而由(1)知向量組*12nr線性沒關(guān)因此向量組**1*2*nr也線性沒關(guān)34設(shè)12s是非齊次線性方程組Axb的s個解k1k2ks為實數(shù)滿足k1k2ks1.證明xk11k22kss也是它的解.證明由于12s都是方程組Axb的解因此Aib(i12s)從而A(k11k22kss)k1A1k2A2ksAs(k1k2ks)bb因此xk11k22kss也是方程的解35設(shè)非齊次線性方程組Axb的系數(shù)矩陣的秩為r12nr1是它的nr1個線性沒關(guān)的解試證它的任一解可表示為xk11k22knr1nr1(其中k1k2knr11).證明由于12nr1均為Axb的解因此121231nrnr11均為Axb的解

用反證法證12nr線性沒關(guān)設(shè)它們線性相關(guān)則存在不全為零的數(shù)12nr使得1122nrnr0即1(21)2(31)nr(nr11)0亦即(12nr)11223nrnr10由12nr1線性沒關(guān)知(12nr)12nr0矛盾因此12nr線性沒關(guān)12nr為Axb的一個基礎(chǔ)解系設(shè)x為Axb的任意解則x1為Ax0的解故x1可由12nr線性表出設(shè)x1k21k32knr1nrk2(21)k3(31)knr1(nr11)x1(1k2k3knr1)k22k33knr1nr1令k11k2k3knr1則k1k2k3knr11于是xk11k22knr1nr1設(shè)V1{x(x1x2xn)T|x1xnR滿足x1x2xn0}V2{x(x1x2xn)T|x1xnR滿足x1x2xn1}問V1V2可否是向量空間？為什么？解V1是向量空間由于任取(a1a2an)TV1(b1b2bn)TV1R有a1a2an0b1b2bn0從而(a1b1)(a2b2)(anbn)(a1a2an)(b1b2bn)0a1a2an(a1a2an)0因此(a1b1a2b2anbn)TV1(a1a2an)TV1V2不是向量空間(a1a2有a1a2b1b2從而(a1b1)(a2(a1a2因此(a1b1

由于任取an)TV1(b1b2bn)TV1an1bn1b2)(anbn)an)(b1b2bn)2a2b2anbn)TV1

TTT339考據(jù)a1(110)a2(213)a3(312)為R的一個基,并把v1(50TT7)v2(9813)用這個基線性表示.解設(shè)A(a1a2a3)由123|(a1,a2,a3)|1116003237試證由a1(011)Ta2(101)Ta3(110)T所生成的向量空間就是R3.證明設(shè)A(a1a2a3)由011|A|10120110知R(A)3故a1a2a3線性沒關(guān)因此a1a2a3是三維空間R3的一組基,因此由a1a2a3所生成的向量空間就是R3.38由a1(1100)Ta2(1011)T所生成的向量空間記作V1,由b1(2133)Tb2(0111)T所生成的向量空間記作V2,試證V1V2.證明設(shè)A(a1a2)B(b1b2)顯然R(A)R(B)2又由1120r112010110131(A,B)~0131000001310000知R(AB)2因此R(A)R(B)R(AB)從而向量組a1a2與向量組b1b2等價由于向量組a1a2與向量組b1b2等價因此這兩個向量組所生成的向量空間相同即V1V2.

知R(A)3故a1a2a3線性沒關(guān)因此a1a2a3為R3的一個基.設(shè)x1a1x2a2x3a3v1則x12x23x35x1x2x303x22x37解之得x12x23x31故線性表示為v12a13a2a3設(shè)x1a1x2a2x3a3v2則x12x23x39x1x2x383x22x313解之得x13x23x32故線性表示為v23a13a22a3已知R3的兩個基為a1(111)Ta2(101)Ta3(101)Tb1(121)Tb2(234)Tb3(343)T求由基a1a2a3到基b1b2b3的過渡矩陣P解設(shè)e1e2e3是三維單位坐標(biāo)向量組則111(a1,a2,a3)(e1,e2,e3)100111111(e1,e2,e3)(a1,a2,a3)100111123于是(b1,b2,b3)(e1,e2,e3)234143

1

1b1a111ba[b1,a2]b1022[b,b]1111ba[b1,a3]b[b2,a3]b33[b,b]1[b,b]21122

1121111123(a1,a2,a3)100234111143由基a1a2a3到基b1b2b3的過渡矩陣為1111123234P100234010111143101第五章相似矩陣及二次型試用施密特法把以下向量組正交化111(1)(a,a,a)124123139

111011(2)(a1,a2,a3)101110解依照施密特正交化方法1b1a1011[b1,a2]b1ba1322[b1,b1]1321解依照施密特正交化方法[b1,a3]b[b2,a3]b1ba1333[b1,b1]1[b2,b2]25342以下矩陣可否是正交陣:11123(1)111;212112解此矩陣的第一個行向量非單位向量,故不是正交陣184999(2)814999447999解該方陣每一個行向量均是單位向量且兩兩正交故為正交陣3設(shè)x為n維列向量xTx1令HE2xxT證明H是對稱的正交陣證明由于HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)TE2(xT)TxTE2xxT因此H是對稱矩陣由于HTHHH(E2xxT)(E2xxT)E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)

E4xxT4x(xTx)xTE4xxT4xxTE因此H是正交矩陣4設(shè)A與B都是n階正交陣證明AB也是正交陣證明由于AB是n階正交陣故A1ATB1BT(AB)T(AB)BTATABB1A1ABE故AB也是正交陣5求以下矩陣的特色值和特色向量:212(1)533;102212(1)3解|AE|533102故A的特色值為1(三重)對于特色值1由312101AE523~011101000得方程(AE)x0的基礎(chǔ)解系p1(111)T向量p1就是對應(yīng)于特色值1的特色值向量.123213;336解|AE|123(1)(9)213336故A的特色值為102139對于特色值10由123~123A213011336000得方程Ax0的基礎(chǔ)解系p1(111)T向量p1是對應(yīng)于特色值10的特色值向量.對于特色值21,由223223AE223~001337000得方程(AE)x0的基礎(chǔ)解系p2(110)T向量p2就是對應(yīng)于特色值21的特色值向量對于特色值39由823111A9E283~0112333000得方程(A9E)x0的基礎(chǔ)解系p3(1/21/21)T向量p3就是對應(yīng)于特色值39的特征值向量

00010010(3)0100.1000001解|AE|0110(1)2(1)200100故A的特色值為121341對于特色值121由10011001AE0110~01100110000010010000得方程(AE)x0的基礎(chǔ)解系p1(1001)Tp2(0110)T向量p1和p2是對應(yīng)于特色值121的線性沒關(guān)特色值向量對于特色值341由10011001AE0110~01100110000010010000得方程(AE)x0的基礎(chǔ)解系p3(1001)Tp4(0110)T向量p3和p4是對應(yīng)于特征值341的線性沒關(guān)特色值向量6設(shè)A為n階矩陣證明AT與A的特色值相同證明由于|ATE||(AE)T||AE|T|AE|因此AT與A的特色多項式相同從而AT與A的特色值相同7設(shè)n階矩陣A、B滿足R(A)R(B)n證明A與B有公共的特色值有公共的特色向量證明設(shè)R(A)rR(B)t則rtn若a1a2anr是齊次方程組Ax0的基礎(chǔ)解系顯然它們是A的對應(yīng)于特色值0的線性沒關(guān)的特色向量近似地設(shè)b1b2bnt是齊次方程組Bx0的基礎(chǔ)解系則它們是B的對應(yīng)于特色值0的線性沒關(guān)的特色向量由于(nr)(nt)n(nrt)n故a1a2anrb1b2bnt必線性有對于是有不全為0的數(shù)k1k2knrl1l2lnt使k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0記k1a1k2a2knranr(l1b1l2b2lnrbnr)則k1k2knr不全為0否則l1l2lnt不全為0而l1b1l2b2lnrbnr0與b1b2bnt線性沒關(guān)相矛盾因此0是A的也是B的對于0的特色向量因此A與B有公共的特色值有公共的特色向量設(shè)A23A2EO證明A的特色值只能取1或2證明設(shè)是A的任意一個特色值x是A的對應(yīng)于的特色向量則(A23A2E)x2x3x2x(232)x0由于x0因此2320即是方程2320的根也就是說1或29設(shè)A為正交陣且|A|1證明1是A的特色值證明由于A為正交矩陣因此A的特色值為1或1由于|A|等于所有特色值之積又|A|1因此必有奇數(shù)個特色值為1即1是A的特色值10設(shè)0是m階矩陣AmnBnm的特色值證明也是n階矩陣BA的特色值

證明設(shè)x是AB的對應(yīng)于0的特色向量則有(AB)xx于是B(AB)xB(x)或BA(Bx)(Bx)從而是BA的特色值且Bx是BA的對應(yīng)于的特色向量11已知3階矩陣A的特色值為123求|A35A27A|解令( )3527則(1)3(2)2(3)3是(A)的特色值故|A35A27A||(A)|(1)(2)(3)3231812已知3階矩陣A的特色值為123求|A*3A2E|解由于|A|12(3)60因此A可逆故A*|A|A16A1A*3A2E6A13A2E令( )61322則(1)1(2)5(3)5是(A)的特色值故|A*3A2E||6A13A2E||(A)|(1)(2)(3)15(5)2513設(shè)A、B都是n階矩陣且A可逆證明AB與BA相似證明取PA則P1ABPA1ABABA即AB與BA相似20114設(shè)矩陣A31x可相似對角化求x405解由201(1)2(6)|AE|31x405得A的特色值為16231由于A可相似對角化因此對于231齊次線性方程組(AE)x0有兩個線性沒關(guān)的解因此R(AE)1由101r101(AE)30x~00x3404000知當(dāng)x3時R(AE)1即x3為所求21215已知p(111)T是矩陣A5a3的一個特色向量1b2(1)求參數(shù)ab及特色向量p所對應(yīng)的特色值解設(shè)是特色向量p所對應(yīng)的特色值則21210(AE)p0即5a3101b210解之得1a3b0(2)問A能不能夠相似對角化？并說明原由解由212|AE|533(1)3102得A的特色值為1231由

112r101AE523~0111b1000知R(AE)2因此齊次線性方程組(AE)x0的基礎(chǔ)解系只有一個解向量因此A不能相似對角化16試求一個正交的相似變換矩陣,將以下對稱陣化為對角陣:220(1)212;20解將所給矩陣記為A由220AE212(1)(4)(2)02得矩陣A的特色值為122134對于12解方程(A2E)x0即420x1232x20022x3得特色向量(122)T單位化得p1(1,2,2)T333對于21,解方程(AE)x0即120x1202x20021x3得特色向量(212)T單位化得p2(2,1,2)T333對于34,解方程(A4E)x0即220x1232