數(shù)學分析課程習題解答

習題 重積分的性質(zhì)與計證明重積分的性質(zhì)8不妨設(shè)g(x)0，M、m分別是fx在區(qū)域上的上確界、下確界由mg(x)f(x)g(x)Mg(x、性質(zhì)1和性質(zhì)3，可m

f

Mg(x)dV當

0，積分中值定理顯然成立。當f(x)g(x)dVm M，g(x)dV

0，所以存在[mM]，使f(x)g(x)dV ，g(x)dV即f

g(x)dVf在有界閉區(qū)域上連續(xù)，由介值定理，存在，使得f()，所f(x)g(x)dV

f()g(x)dV根據(jù)二重積分的性質(zhì)，比較下列積分的大小(xy)2dxdy(xy)3dxdy，其Dxy軸與直線 xy1所圍的區(qū)域 解（1）因為在D上成

0xy1，所

(xy)2(xy)3，于(xy)2dxdy(xy)3dxdy （2）因為在D上成立xy3，所以lnxylnxy)]2，于D

D用重積分的性質(zhì)估計下列重積分的值xy(xy)dxdy，其中D為閉矩形[0,10,1D

100100cosxcosD

，其中D為區(qū)域xy)||x||y|1011x2y2

，其中Ω為單位球{(xyz)|x2y2z21解（1）因為在D上成立0xy(xy)2，所0xy(xy)dxdy2D因為在D ，所100 2。 D100cosxcos因為在Ω上成

1 1x2y2z

1，所2 4。 1x2y2z 計算下列重積分(x33x2yy3dxdy，其中D為閉矩形[0,10,1Dxyex2y2dxdy，其中D為閉矩形[a,bcd]；D(xy3，其中Ω為長方體[1,2[1,2[1,2解（1）(x33x2yy3dxdy1dy1(x33x2yy3 D11yy3dy104xyex2y2dxdybxex2dxdyey2dy1eb2ea2ed2ec24 D((xy

1 2 1dx1

y

1dx1

y

y1)2(212121dx1ln1282 21x x x 在下列積分中改變累次積分的次序

dxf(x,

(ab)a 2ax sin

f(x,

(a0)dxf(x,y)dy 2

f(x,y)dx

f(x,y)dx 1xxdx fxyz)dz（改成先y方向x方向和z方向的 序積分 2

f(xyz)dz（xyz2 1 x2向的次序積分 解（1）adxaf(xy)dyadyyf(xy)dx0 f(x,a2a2

a2a2

f(x,y)dx0dy

f(x,y)dx

f(x,y)dx sin

arcsin

2arcsindxf(x,y)dy0dyarcsin

f(x,y)dx1dyarcsin

f(xy)dx 1dy2yf(xy)dx3dy3yf(xy)dx2dx3xf(x,y)dy 1xx

12dx f(x,y, 1dz1dx1xf(x,yz)dy1dzzdxzxf(x,yz)dy

注：也可寫成0dzz

f(xyz)dy0dz0dxzxf(xyz)dyz2z2z2z2 dy 2f(x,y,z)dz0dzz f(x,y, x計算下列重積分2xy2dxdy，其中D為拋物y22px和直xpp0)所2D的區(qū)域2a2aD

(a0)D為圓心在(aa半徑為a并且和標軸相切的圓周上較短的一段弧和坐標軸所圍的區(qū)域exydxdy，其中D為區(qū)域{(xy)||x||y|1D(x2y2D

Dyx,yxa,yay3a(a0所圍的區(qū)域 ，其 為擺線的一Dxa(tsint),ya(1cost)(0t2與x軸所圍的區(qū)域 1(x2y2)y1xe dxdyD為直線yx,y1和x1所圍 區(qū)域x2ydxdy，其D

D{(x,y)|x2y22x,1x2,0yxy2z3dxdydz，其中Ω為曲面zxy，平面yx,x1和z所圍的區(qū)域(1xyz3Ω為平面x0,y0,z0和xyz所圍成的四面體

，其中 為拋物面zx2y2與平zh(h0所圍的區(qū)域x2y2z2

，其中 為球

x2y2z2R2(R0的公共部分（12）x2dxdydz，其中Ω為橢球體x2y2z

1p解（1）xy2dxdyp

py2dy2xdx

a c1p

1p5 2

8 2a2adxdy2a2a0D2 2

)a23exydxdy0exdx1xeydy1exdx

e1 De(x2y2)dxdy3adye

(x2y2 D3a(2ay2a2y1a3dy14a4aD

2a

y(dx

ydy 23 3

5a32 1(x2y2)

1 1(x2y2) dxdy

ydy1xe

y2

y 1yy21y(e D

x2xx2x1

2ydy 2xy2z3dxdydz

1dxx2dyxyz3 (1(1xy

0

1 1

1x0

(1xy1 1x 120

(1x 11111xdx1ln25 201 4 zdxdydzhzdzdxdyhz2dz1h3 zRR

z2dxdydzRz2dz

0R02z0

(2Rzz

)dz

Rz2

(R

z

)dz

59R5x2dxdydzax2dx

43x(1 ) 43 a 設(shè)平面薄片所占的區(qū)域是由直線xy2yx和x軸所圍成，它的面密度為(x,y)x2y2，求這個薄片的質(zhì)量。解設(shè)薄片的質(zhì)量為m，m(x,y)dxdy1dy2y(x2y2 D1(84y4y28y3dy40 求拋物線y22pxp2與y22qx (p,q0)所圍圖形的面積聯(lián)立兩個拋物線方程解得xqp,y2

于是兩拋物線所的面積S

q) y2

y p求四張平面x0,y0,x1,y1所圍成的柱體被平面z02x3yz6截的的的體積解設(shè)D0x1,0y1，利用對稱性， 于V(62x3y)dxdy651dx1ydy7 求柱y2z21x0,yx,z0所圍的在第一卦限的設(shè)D是所圍空間區(qū)域在xy平面的投影，D{(x,y)0xy,0y1}于 3V1y2dxdy 1y2dydxy1y2dy 3 D求旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y2三個坐標平面及平面xy1所圍有界區(qū)設(shè)D是所圍空間區(qū)域在xy平面的投影，D{(x,y)xy1,x0,y于V(x2y2dxdy2x2dxdy21x2dx1xdy1 fx在R上連續(xù)ab為常數(shù)。證 dxf(y)dyf(y)(by)dy y(ax

(axdy fx)dx(a fx)dx（a0 證（1）交換積分次序，則得 adxafy)dyafy)dyydxafy)(by)dy（2）交換積分次序，則得ay ay

(a

f(x)dx a0a

f x

(aa0a

f(x)dxfx在[0,1上連續(xù)，證11

yeyf(x)dx1(exex2f(x)dx01證交換積分次序，則得111

yeyf(x)dx

0f

xeydy

1(exex2f(x)dx0設(shè)D0,1[0,1]，證2 2D [sin(x2)cos(y2)]dxdy1sin(x2)dx1dy1cos(y2)dy1 D1sin(x2)dx1cos(y2)dy

2)cos(x2 2sinx ) 12x[0,1時，成立12

sin(x2)42 2D2設(shè)D0,1[0,1]，利用不等式122

cost1（|t|2）證cos(xy)2dxdy1D12

另一方面，由

cos(xy)2dxdyD[1(xy)4]dxdy111x4dx1y4dy49 2 所cos(xy)2dxdyD設(shè)D是由xy平面上的分段光滑簡單閉曲線所圍成的區(qū)域，D在xy軸上的投影長度分別為lx和ly，(是D內(nèi)任意一點。證明

(x)(y)dxdylxlymDD

(x)(yD

lxyl224l22證（1）xyD

D

x

ylxlydxdylxlymDD（2）設(shè)DDab][cd]，且balx,dcly。(x)(y)dxdy(x)(y) xydxdyx

ydy 由于[ab]，于bxdx(x)dxb(x)dx1[(a)2(b)2]， 2同理可

2dydy1l2 2所l2l4(xy)dxdyxy4Db2利用重積分的性質(zhì)和計算方法證明：設(shè)fx)在[a,b]上連續(xù)，b2由

f(f(x)dx2

a)af(x)]dx

f(x)f(y)dxdy

f2(x)f2(a由對稱性

2f2(x)f2(y)dxdy f2 2bf2(x)dxbdy2(ba)bf2(x)dxa所

b2 b

f

a)[f(x)]afx在[a,b上連續(xù)，證ef(x)fy)dxdyba2證明一將區(qū)間[ab]n等分,并取i[xi1xi]，f(x)f(

(ba)2

f(

f()

dxdylim

e

i

i再利用不等式：當xi0（i1,2,n）時成

)(1

1)n2(ba)2

ef(i)

ef(i

(ba)2n n所

ef(x)fy)dxdyba)2證明二設(shè)Dab][ab，由對稱性，ef(x)f(y)dxdyef(y)f(x)dxdy 于ef(x)f(y)dxdy1

(ba)2 2Ωx1x2,xn|0xi1i

，計算下列n重