巖土力學(xué)課件：本構(gòu)及強(qiáng)度理論

巖土力學(xué)課件：本構(gòu)及強(qiáng)度理論第一頁(yè)，共42頁(yè)。

巖體力學(xué)研究對(duì)象:巖體是巖塊和結(jié)構(gòu)面的組合體，其力學(xué)性質(zhì)往往表現(xiàn)為彈性、塑性、粘性或三者之間的組合。

巖體力學(xué)問(wèn)題求解:是將巖體劃分成若干單元或稱(chēng)微分單元，其求解過(guò)程如下：§6.1概述

依據(jù)適合的強(qiáng)度理論，判斷巖體的破壞及其破壞形式。

巖體本構(gòu)關(guān)系:指巖體在外力作用下應(yīng)力或應(yīng)力速率與其應(yīng)變或應(yīng)變速率的關(guān)系。力的平衡關(guān)系（平衡方程）位移和應(yīng)變的關(guān)系（幾何方程）應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系（物理方程或本構(gòu)方程）應(yīng)力場(chǎng)位移場(chǎng)邊界條件+=第二頁(yè)，共42頁(yè)。

巖石或巖體的變形性質(zhì)：彈塑性或粘彈塑性。本構(gòu)關(guān)系：彈塑性或粘彈塑性本構(gòu)關(guān)系。本構(gòu)關(guān)系分類(lèi)：

①?gòu)椥员緲?gòu)關(guān)系：線(xiàn)性彈性、非線(xiàn)性彈性本構(gòu)關(guān)系。

②彈塑性本構(gòu)關(guān)系：各向同性、各向異性本構(gòu)關(guān)系。

③流變本構(gòu)關(guān)系：巖石產(chǎn)生流變時(shí)的本構(gòu)關(guān)系。流變性是指如果外界條件不變，應(yīng)變或應(yīng)力隨時(shí)間而變化的性質(zhì)。巖石強(qiáng)度理論：研究巖石在一定的假說(shuō)條件下在各種應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度準(zhǔn)則的理論。第三頁(yè)，共42頁(yè)。

巖石的強(qiáng)度是指巖石抵抗破壞的能力。巖石材料破壞的形式:斷裂破壞、流動(dòng)破壞（出現(xiàn)顯著的塑性變形或流動(dòng)現(xiàn)象）。斷裂破壞發(fā)生于應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限，流動(dòng)破壞發(fā)生于應(yīng)力達(dá)到屈服極限。巖體的力學(xué)性質(zhì)可分為變形性質(zhì)和強(qiáng)度性質(zhì)，

變形性質(zhì)主要通過(guò)本構(gòu)關(guān)系來(lái)反映，強(qiáng)度性質(zhì)主要通過(guò)強(qiáng)度準(zhǔn)則來(lái)反映。

第四頁(yè)，共42頁(yè)。一、巖石力學(xué)中的符號(hào)規(guī)定

（1）力和位移分量的正方向與坐標(biāo)軸的正方向一致；（2）壓縮的正應(yīng)變?nèi)檎?；?）壓縮的正應(yīng)力取為正。假如表面的外法線(xiàn)與坐標(biāo)軸的正方向一致，則該表面上正的剪應(yīng)力的方向與坐標(biāo)軸的正方向相反，反之亦然?！?.2巖石的本構(gòu)關(guān)系第五頁(yè)，共42頁(yè)。

二、巖石彈性本構(gòu)關(guān)系

1．平面彈性本構(gòu)關(guān)系

據(jù)廣義虎克定理有：式中：E為物體的彈性模量；為泊松比；G為剪切彈性模量，第六頁(yè)，共42頁(yè)。

對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題：因εz

＝γzx＝γyz

＝0，故τyz＝τzx＝0，可知：第七頁(yè)，共42頁(yè)。

對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題：σz＝τzx＝τzy＝0

對(duì)比平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變的本構(gòu)方程，可以看出，只要將平面應(yīng)力問(wèn)題的本構(gòu)關(guān)系式中的E換成，v換成。第八頁(yè)，共42頁(yè)。

2.空間問(wèn)題彈性本構(gòu)方程第九頁(yè)，共42頁(yè)。

三、巖石塑性本構(gòu)關(guān)系

圖6-1加－卸載應(yīng)力－應(yīng)變曲線(xiàn)

塑性本構(gòu)關(guān)系特點(diǎn)：1、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的多值性

同一應(yīng)力有多個(gè)應(yīng)變值與它相對(duì)應(yīng)。本構(gòu)關(guān)系采用應(yīng)力和應(yīng)變?cè)隽康年P(guān)系表達(dá)。塑性狀態(tài)描述：除用應(yīng)力、應(yīng)變，還需用塑性應(yīng)變，塑性功等內(nèi)狀態(tài)變量來(lái)刻畫(huà)塑性變形歷史。

第十頁(yè)，共42頁(yè)。

1）屈服條件：塑性狀態(tài)的應(yīng)力條件。2）加-卸載準(zhǔn)則：材料進(jìn)入塑性狀態(tài)后繼續(xù)塑性變形或回到彈性狀態(tài)的準(zhǔn)則，通式寫(xiě)成：

式中：垂直于軸的平面上平行于軸的應(yīng)力，為某一函數(shù)關(guān)系，為與加載歷史有關(guān)的參數(shù)，。3）本構(gòu)方程：或（7-7）式中：R為某一函數(shù)關(guān)系

2、本構(gòu)關(guān)系的復(fù)雜性塑性階段本構(gòu)關(guān)系包括三組方程：

第十一頁(yè)，共42頁(yè)。

1）巖石屈服條件和屈服面初始屈服條件：從彈性狀態(tài)開(kāi)始第一次屈服的條件。

后繼屈服條件：當(dāng)產(chǎn)生了塑性變形，屈服條件的形式發(fā)生了變化的屈服條件。式中：為總應(yīng)力，為塑性應(yīng)力，為標(biāo)量的內(nèi)變量，它可以代表塑性功，塑性體積應(yīng)變，或等效塑性應(yīng)變。屈服面：屈服條件在幾何上可以看成是應(yīng)力空間中的超曲面。初始屈服面和后繼屈服面。第十二頁(yè)，共42頁(yè)。

分類(lèi)：按塑性材料屈服面的大小和形狀是否發(fā)生變化。理想塑性材料（不變化）和硬化材料（變化）。第十三頁(yè)，共42頁(yè)。

（1）硬化材料的屈服面模型①等向硬化-軟化模型：塑性變形發(fā)展時(shí)，屈服面作均勻擴(kuò)大（硬化）或均勻收縮（軟化）。如果是初始屈服面，后繼屈服面為：

②隨動(dòng)硬化模型：塑性變形發(fā)展時(shí)，屈服面的大小和形狀保持不變，僅是整體地在應(yīng)力空間中做平動(dòng)，后繼屈服面為：式中：α是材料參數(shù)。

③混合硬化模型：介于等向硬化-軟化和隨動(dòng)硬化之間的模型，后繼屈服面為：

（2）塑性巖石力學(xué)最常用的屈服條件庫(kù)侖（Coulomb）、德魯克-普拉格（Drucker-Prager）屈服條件。第十四頁(yè)，共42頁(yè)。

2.塑性狀態(tài)的加-卸載準(zhǔn)則

塑性加載：對(duì)材料施加應(yīng)力增量后，材料從一種塑性狀態(tài)變化到另一種塑性狀態(tài)，且有新的塑性變形出現(xiàn)；中性變載：對(duì)材料施加應(yīng)力增量后，材料從一種塑性狀態(tài)變化到另一種塑性狀態(tài)，但沒(méi)有新的塑性變形出現(xiàn)；

塑性卸載：對(duì)材料施加應(yīng)力增量后，材料從塑性狀態(tài)退回到彈性狀態(tài)。

第十五頁(yè)，共42頁(yè)。

1）全量理論：描述塑性變形中全量關(guān)系的理論，稱(chēng)形變理論或小變形理論。漢基（Hencky）、依留申等依據(jù)類(lèi)似彈性理論的廣義胡克定律，提出如下公式：

3.本構(gòu)方程

塑性狀態(tài)時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是多值的，取決材料性質(zhì)和加-卸載歷史。第十六頁(yè)，共42頁(yè)。

2）增量理論：描述應(yīng)力和應(yīng)變?cè)隽块g關(guān)系的理論，又稱(chēng)流動(dòng)理論。

當(dāng)應(yīng)力產(chǎn)生一無(wú)限小增量時(shí)，假設(shè)應(yīng)變的變化可分成彈性的及塑性的兩部分：

彈性應(yīng)力增量與彈性應(yīng)變?cè)隽恐g仍由常彈性矩陣D聯(lián)系，塑性應(yīng)變?cè)隽坑伤苄詣?shì)理論給出，對(duì)彈塑性介質(zhì)存在塑性勢(shì)函數(shù)Q，它是應(yīng)力狀態(tài)和塑性應(yīng)變的函數(shù)，使得：式中：是一正的待定有限量，它的具體數(shù)值和材料硬化法則有關(guān)。第十七頁(yè)，共42頁(yè)。

其總應(yīng)變?cè)隽勘硎緸椋?/p>

由一致性條件可推出待定有限量為：

式

稱(chēng)為塑性流動(dòng)法則，對(duì)于穩(wěn)定的應(yīng)變硬化材料，Q通常取與后繼屈服函數(shù)F相同的形式，當(dāng)Q=F時(shí)，這種特殊情況稱(chēng)為關(guān)聯(lián)塑性。對(duì)于關(guān)聯(lián)塑性，塑性流動(dòng)法則可表示為：第十八頁(yè)，共42頁(yè)。式中：為塑性功，這樣加載時(shí)的本構(gòu)方程為：

對(duì)任何一個(gè)狀態(tài)，只要給出了應(yīng)力增量，就可以唯一地確定應(yīng)變?cè)隽俊?/p>

應(yīng)用增量理論求解塑性問(wèn)題，能夠反映應(yīng)變歷史對(duì)塑性變形的影響，因而比較準(zhǔn)確地描述了材料的塑性變形規(guī)律。對(duì)于系數(shù)A：理想塑性材料：

硬化材料：第十九頁(yè)，共42頁(yè)。

四、巖石流變理論流變：指材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與時(shí)間因素有關(guān)的性質(zhì)，材料變形過(guò)程中具有時(shí)間效應(yīng)的現(xiàn)象稱(chēng)為流變現(xiàn)象。

蠕變：當(dāng)應(yīng)力不變時(shí)，變形隨時(shí)間增加而增長(zhǎng)的現(xiàn)象。松弛：當(dāng)應(yīng)變不變時(shí)，應(yīng)力隨時(shí)間增加而減小的現(xiàn)象。

彈性后效：加載或卸載時(shí)，彈性應(yīng)變滯后于應(yīng)力的現(xiàn)象。第二十頁(yè)，共42頁(yè)。

蠕變?cè)囼?yàn)表明：1)當(dāng)巖石在某一較小的恒定荷載持續(xù)作用下，其變形量雖然隨時(shí)間增長(zhǎng)有所增加，但蠕變變形的速率則隨時(shí)間增長(zhǎng)而減少，最后變形趨于一個(gè)穩(wěn)定的極限值，這種蠕變稱(chēng)為穩(wěn)定蠕變。

2)當(dāng)荷載較大時(shí)，曲線(xiàn)所示，蠕變不能穩(wěn)定于某一極限值，而是無(wú)限增長(zhǎng)直到破壞，這種蠕變稱(chēng)為不穩(wěn)定蠕變。這是典型的蠕變曲線(xiàn)，根據(jù)應(yīng)變速率不同，其蠕變過(guò)程可分為三個(gè)階段，即減速蠕變階段或初始蠕變階段、等速蠕變階段及加速蠕變階段。圖巖石蠕變曲線(xiàn)示意圖第二十一頁(yè)，共42頁(yè)。

在一系列的巖石流變?cè)囼?yàn)基礎(chǔ)上建立反映巖石流變性質(zhì)的流變方程，通常有二種方法：

1．經(jīng)驗(yàn)法巖石蠕變經(jīng)驗(yàn)方程：圖巖石的典型蠕變曲線(xiàn)式中：為時(shí)間的應(yīng)變；瞬時(shí)應(yīng)變；初始段應(yīng)變；等速段應(yīng)變；加速段應(yīng)變。典型巖石蠕變方程：冪函數(shù)方程、指數(shù)方程、冪指數(shù)對(duì)數(shù)混合方程

2.理論模型模擬法將介質(zhì)理想化，歸納成各種模型，模型可用理想化的具有基本性能（包括彈性、塑性和粘性）的元件組合而成。第二十二頁(yè)，共42頁(yè)。巖石的長(zhǎng)期強(qiáng)度:由于流變作用，巖石強(qiáng)度隨外載作用時(shí)間的延長(zhǎng)而降低，通常把作用時(shí)間的強(qiáng)度（最低值）稱(chēng)為長(zhǎng)期強(qiáng)度。對(duì)于大多數(shù)巖石，長(zhǎng)期強(qiáng)度/瞬時(shí)強(qiáng)度（）一般為0.4～0.8，軟的和中等堅(jiān)固巖石為0.4～0.6，堅(jiān)固巖石為0.7～0.8。表7-1中列出某些巖石瞬時(shí)強(qiáng)度與長(zhǎng)期強(qiáng)度的比值。表6-1幾種巖石長(zhǎng)期強(qiáng)度與瞬時(shí)強(qiáng)度比值第二十三頁(yè)，共42頁(yè)。巖石強(qiáng)度理論：研究巖石在一定的假說(shuō)條件下在各種應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度準(zhǔn)則的理論。強(qiáng)度準(zhǔn)則：又稱(chēng)破壞判據(jù)，是表征巖石破壞條件的應(yīng)力狀態(tài)與巖石強(qiáng)度參數(shù)間的函數(shù)關(guān)系，可用如下的方程表示:

σ1=f(σ2,σ3,σC,σt,C,Ф)§6.3巖石強(qiáng)度理論與破壞判據(jù)

或處于極限平衡狀態(tài)截面上的剪應(yīng)力和正應(yīng)力間的關(guān)系方程：第二十四頁(yè)，共42頁(yè)?！?.3巖石強(qiáng)度理論與破壞判據(jù)一、庫(kù)侖強(qiáng)度準(zhǔn)則二、莫爾強(qiáng)度理論三、格里菲斯強(qiáng)度理論四、德魯克一普拉格準(zhǔn)則第二十五頁(yè)，共42頁(yè)。

一、庫(kù)侖強(qiáng)度準(zhǔn)則

巖石的破壞：剪切破壞。認(rèn)為巖石的剪切強(qiáng)度等于巖石本身的粘結(jié)力和剪切面上由法向力產(chǎn)生的摩擦阻力。平面應(yīng)力中的剪切強(qiáng)度準(zhǔn)則（圖）為：或（6-1）

圖6-6σ－τ坐標(biāo)下庫(kù)侖準(zhǔn)則第二十六頁(yè)，共42頁(yè)。

最大主應(yīng)力方向與剪切面（指其法線(xiàn)方向）間的夾角（稱(chēng)為破壞角）恒等為：

另外由圖6-6可得：并可改寫(xiě)為：若取，則極限應(yīng)力為巖石單軸抗壓強(qiáng)度，即有：或第二十七頁(yè)，共42頁(yè)。圖6-7σ1－σ3坐標(biāo)系的庫(kù)侖準(zhǔn)則

坐標(biāo)中庫(kù)侖準(zhǔn)則的強(qiáng)度曲線(xiàn)，如圖6-7所示，極限應(yīng)力條件下剪切面上正應(yīng)力和剪力用主應(yīng)力可表示為：由方程（7-27）式并取，得：第二十八頁(yè)，共42頁(yè)。上式表示（圖6-8)的直線(xiàn)交于，且：交軸于。注意：并不是實(shí)際抗拉強(qiáng)度圖6-8σ1－σ3坐標(biāo)系中的庫(kù)侖準(zhǔn)則的完整強(qiáng)度曲線(xiàn)第二十九頁(yè)，共42頁(yè)。

圖6-8中直線(xiàn)AP代表的有效取值范圍。為負(fù)值（拉應(yīng)力）時(shí)，特別在單軸拉伸實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)拉應(yīng)力達(dá)到巖石抗拉強(qiáng)度時(shí)，巖石發(fā)生張斷裂?；谠囼?yàn)結(jié)果和理論分析，庫(kù)侖準(zhǔn)則的有效取值范圍由圖6-8給出，并可用方程表示為：圖6-8σ1－σ3坐標(biāo)系中的庫(kù)侖準(zhǔn)則的完整強(qiáng)度曲線(xiàn)第三十頁(yè)，共42頁(yè)。

在此庫(kù)侖準(zhǔn)則條件下，巖石可能發(fā)生以下四種方式的破壞。(1)當(dāng)時(shí)，巖石屬單軸拉伸破裂；(2)當(dāng)時(shí)，巖石屬雙軸拉伸破裂；(3)當(dāng)時(shí)，巖石屬單軸壓縮破裂；(4)當(dāng)時(shí)，巖石屬雙軸壓縮破裂。另外，由圖6－8中強(qiáng)度曲線(xiàn)上A點(diǎn)坐標(biāo)可得，直線(xiàn)AP的傾角為：在主應(yīng)力坐標(biāo)平面內(nèi)的庫(kù)侖準(zhǔn)則可以利用單軸抗壓強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度來(lái)確定。第三十一頁(yè)，共42頁(yè)。二、莫爾強(qiáng)度理論莫爾（Mohr，1900年）把庫(kù)侖準(zhǔn)則推廣到考慮三向應(yīng)力狀態(tài)。最主要的貢獻(xiàn)是認(rèn)識(shí)到材料性質(zhì)本身乃是應(yīng)力的函數(shù)。他總結(jié)指出“到極限狀態(tài)時(shí)，滑動(dòng)平面上的剪應(yīng)力達(dá)到一個(gè)取決于正應(yīng)力與材料性質(zhì)的最大值”，并可用下列函數(shù)關(guān)系表示：

上式在坐標(biāo)系中為一條對(duì)稱(chēng)于軸的曲線(xiàn)，它可通過(guò)試驗(yàn)方法求得，即由對(duì)應(yīng)于各種應(yīng)力狀態(tài)（單軸拉伸、單軸壓縮及三軸壓縮）下的破壞莫爾應(yīng)力圓包絡(luò)線(xiàn)，即各破壞莫爾圓的外公切線(xiàn)（圖7-9)，稱(chēng)為莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線(xiàn)給定。第三十二頁(yè)，共42頁(yè)。

莫爾包絡(luò)線(xiàn)的具體表達(dá)式，可根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果用擬合法求得。包絡(luò)線(xiàn)形式有：斜直線(xiàn)型、二次拋物線(xiàn)型、雙曲線(xiàn)型等。斜直線(xiàn)型與庫(kù)侖準(zhǔn)則基本一致，庫(kù)侖準(zhǔn)則是莫爾準(zhǔn)則的一個(gè)特例。這里主要介紹二次拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)型的判據(jù)表達(dá)式。圖6-9完整巖石的莫爾強(qiáng)度曲線(xiàn)第三十三頁(yè)，共42頁(yè)。

1、二次拋物線(xiàn)型巖性較堅(jiān)硬至較弱的巖石。式中：為巖石的單軸抗拉強(qiáng)度；n為待定系數(shù)。

利用圖6-10中的關(guān)系，有：1.雙向壓縮應(yīng)力圓，2.雙向拉壓應(yīng)力圓，3..雙向拉伸應(yīng)力圓圖6-10二次拋物型強(qiáng)度包絡(luò)線(xiàn)第三十四頁(yè)，共42頁(yè)。其中：消去式中的，得二次拋物線(xiàn)型包絡(luò)線(xiàn)的主應(yīng)力表達(dá)式為：?jiǎn)屋S壓縮條件下，有：解得：利用這些式子可判斷巖石試件是否破壞。第三十五頁(yè)，共42頁(yè)。

2、雙曲線(xiàn)型砂巖、灰?guī)r、花崗巖等堅(jiān)硬、較堅(jiān)硬巖石的強(qiáng)度包絡(luò)線(xiàn)近似于雙曲線(xiàn)（圖6-11)，其表達(dá)式為：式中，φ1為包絡(luò)線(xiàn)漸近線(xiàn)的傾角，圖6-11雙曲線(xiàn)型強(qiáng)度包絡(luò)線(xiàn)第三十六頁(yè)，共42頁(yè)。

莫爾強(qiáng)度理論實(shí)質(zhì):剪應(yīng)力強(qiáng)度理論。優(yōu)點(diǎn)：(1)適用塑性巖石及脆性巖石的剪切破壞；(2)反映巖石抗拉強(qiáng)度遠(yuǎn)小于抗壓強(qiáng)度特性;(3)能解釋巖石在三向等拉時(shí)破壞，在三向等壓時(shí)不會(huì)破壞（曲線(xiàn)在受壓區(qū)不閉合）的特點(diǎn)。

缺點(diǎn):(1)忽略了中間主應(yīng)力的影響，與試驗(yàn)結(jié)果有一定的出入。(2)該判據(jù)只適用于剪破壞，受拉區(qū)的適用性還值得進(jìn)一步探討，不適用于膨脹或蠕變破壞。第三十七頁(yè)，共42頁(yè)。三、格里菲斯強(qiáng)度理論

格里菲斯（Griffith，1920年）認(rèn)為:脆性材料斷裂的起因是分布在材料中的微小裂紋尖端有拉應(yīng)力集中（這種裂紋稱(chēng)之為Griffith裂紋）。