數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀能力的培養(yǎng)中國科學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校

孫樹雪

一、關(guān)于幾何直觀的一些觀點(diǎn)二、小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何直觀三、借助畫圖培養(yǎng)幾何直觀能力關(guān)于幾何直觀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。”關(guān)于幾何直觀缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的?！档轮庇^就是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知?！炖侮P(guān)于幾何直觀幾何直觀是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象（即空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。

——孔凡哲、史寧中小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何直觀

一、小學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的幾何直觀1.角的大小比較2.直線段的應(yīng)用（三角形任意兩邊之和大于第三邊；直線段與垂直；直線段與兩點(diǎn)間的距離。）3.對(duì)平行的理解4.圖畫還原小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何直觀二、小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的幾何直觀1.對(duì)自然數(shù)的抽象和理解2.對(duì)負(fù)數(shù)的理解3.對(duì)分?jǐn)?shù)的理解畫圖能表達(dá)兒童的喜好，能拉近數(shù)學(xué)與兒童之間的距離，能促進(jìn)情感、態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)的達(dá)成。借助畫圖培養(yǎng)幾何直觀能力①畫圖能表達(dá)兒童的喜好借助畫圖培養(yǎng)幾何直觀能力②畫圖能喚起兒童的經(jīng)驗(yàn)借助畫圖培養(yǎng)幾何直觀能力③畫圖給兒童提供了個(gè)性表達(dá)的機(jī)會(huì)1.讓學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念都具有“雙重性”，既有“數(shù)的特征”，又有“形的特征”，只有從兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)，才能很好地理解它們的本質(zhì)意義。只有從兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)，才能讓這些內(nèi)容、概念變得形象、生動(dòng)起來，變得更容易使學(xué)生接受并運(yùn)用它們?nèi)ニ伎紗栴}。案例：《因數(shù)和倍數(shù)》老師讓學(xué)生找12的因數(shù)，學(xué)生畫圖尋找。例1：借助“形”理解整數(shù)的意義1215是由1個(gè)千、2個(gè)百、1個(gè)十和5個(gè)一組成的例2：《萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》讓學(xué)生畫圖解讀對(duì)1323的理解?！度f以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》讓學(xué)生畫圖解讀對(duì)1323的理解?！度f以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》讓學(xué)生畫圖解讀對(duì)1323的理解?！度f以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》讓學(xué)生畫圖解讀對(duì)1323的理解。《萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》讓學(xué)生畫圖解讀對(duì)1323的理解。例3：借助“形”感知小數(shù)的含義例4：借助“形”理解分?jǐn)?shù)的意義師:要想知道這張紙條的長度怎么辦?生:用尺子來量用“米”做單位量:1米多,不到2米。用“厘米”做單位量:177厘米。用“單位1”量:恰好是“2”。教師改變紙條長度，繼續(xù)用“單位1”測(cè)量學(xué)生思考，想辦法，通過對(duì)折創(chuàng)造“單位”度量。13/41教師不斷改變紙條的長度，學(xué)生通過對(duì)折不斷創(chuàng)造出新的“分?jǐn)?shù)單位”來完成測(cè)量。在這樣的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生感悟到的是：度量、單位累加、數(shù)分?jǐn)?shù)單位認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。通過這樣的教學(xué)活動(dòng)，能讓學(xué)生把整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)、運(yùn)算統(tǒng)一在“數(shù)位、計(jì)數(shù)單位”這一核心概念之下。2.借助“直觀”幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)如何解決“兒童認(rèn)知特點(diǎn)與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、抽象之間的矛盾”是擺在我們面前的難題。兒童的認(rèn)知特點(diǎn)：天真、活潑、好動(dòng)，喜歡在多種感官都能參與的活動(dòng)中學(xué)習(xí)；兒童喜歡富有故事情節(jié)、與自己生活相貼近的學(xué)習(xí)內(nèi)容；兒童以直觀、形象思維為主，很難理解抽象的數(shù)學(xué)；兒童認(rèn)識(shí)存在片面性，他們往往關(guān)注自己最喜歡的“點(diǎn)”，不會(huì)全面考慮問題。溝通“圖”與“式”的聯(lián)系，讓學(xué)生明理。

例5：借助直觀幫助學(xué)生理解“算理”例題：一盒巧克力，老師先拿走一半，又拿走5塊，還剩40塊。這盒巧克力一共有多少塊？（1）教師引導(dǎo)學(xué)生分析原來一盒巧克力？（）40塊－5＋5×2÷2第一次變化現(xiàn)在第二次變化（2）學(xué)生獨(dú)立解決問題。例6：借助“直觀”理解解決問題的思路（3）學(xué)生匯報(bào)交流。生1：40+5=45（塊）45×2=90（塊）生2：（40+5）×2=90（塊）生3：老師，我還有和他們不一樣的方法。40×2+5×2=90（塊）老師評(píng)價(jià)：你的方法實(shí)際和他們的方法一樣。第三個(gè)孩子的想法真的和前兩種方法一樣嗎？拿走一半5塊40塊5塊40塊5塊40塊面對(duì)學(xué)生的生成問題，教師應(yīng)學(xué)會(huì)傾聽孩子的心聲，讓他嘗試用“直觀”的方式解釋自己的思路。例7:《比較》（1）創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)、提出問題①你看到了哪些數(shù)學(xué)信息？30千克26千克②你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？3.借助“直觀”溝通不同方法之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法。每只小狗重多少千克？每只小貓重多少千克？1只小狗和1只小貓各重多少千克？1只小狗和1只小貓相差多少千克？1只小狗和1只小貓共重多少千克？③梳理問題師：先解決哪個(gè)問題更好呢？生：先解決合并的問題更好。師：我們先解決各重多少千克的問題。教師可以對(duì)學(xué)生提出的問題進(jìn)行梳理，選擇哪個(gè)問題先解決，不需要學(xué)生參與，不過多浪費(fèi)時(shí)間。思考：創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題非常重要；讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題，不是多多益善，應(yīng)讓學(xué)生逐步感悟到：有些問題是有價(jià)值的，有些問題是由同一個(gè)問題衍生出來的。（2）嘗試探究，解決問題①學(xué)習(xí)提示：獨(dú)立思考嘗試解決問題，可以圈一圈、畫一畫，也可以借助線段圖、示意圖幫助理解題意；獨(dú)立思考后在小組內(nèi)交流。思考：教師對(duì)學(xué)生活動(dòng)有明確的要求，有方法引領(lǐng)，有材料支持，能處理好獨(dú)立思考與合作交流的關(guān)系，給學(xué)生提供了充足的時(shí)間，確保學(xué)生活動(dòng)能收到實(shí)效。②學(xué)生在小組內(nèi)嘗試探究，解決問題。③全班交流。方法一：30千克26千克30－26=4（千克）4÷（3－1）=2（千克）…一只小貓（26－2）÷3=8（千克）…一只小狗師：4表示什么？能用學(xué)具擺一擺，讓別人一眼就看出來嗎？方法二：30千克26千克師：他們組用的是什么方法？生：抵消法師：怎么抵消的？生：一個(gè)對(duì)著一個(gè)抵消的。方法三：30千克26千克30÷3=10（千克）…一只小狗和一只小貓26－10=16（千克）…2只小狗16÷2=8（千克）…1只小狗26－8×3=2（千克）…1只小貓方法四：△=狗□=貓△＋△＋△＋□＋□＋□=30△＋△＋△＋□

=26師：他們的方法和哪種方法有相同的地方？通過尋找相同，引出課題“比較”并板書“一一對(duì)應(yīng)”思考：這是一個(gè)有價(jià)值的問題，能引發(fā)學(xué)生思考，能讓學(xué)生透過“不同方法的表象”看到“相同的本質(zhì)”，有助于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法。教師啟發(fā)得出方法五：能不能把圖形變一下，讓人一眼就看出相差兩只小貓？方法五：30千克26千克教師繼續(xù)啟發(fā)得出方法六：觀察圖的變化，還有不同的方法嗎？方法六：（30＋26）÷2=28（千克）28－26=2（千克）…1只小貓（26－2）÷3=8（千克）…1只小狗思考：如何理解解決問題策略的多樣化？教學(xué)方式放開了，不同水平的學(xué)生獨(dú)立探究解決同一個(gè)問題會(huì)呈現(xiàn)出不同的方法，我們鼓勵(lì)學(xué)生用自己喜歡的方法解決問題，不強(qiáng)求學(xué)生用多種方法解決問題。在問題解決的教學(xué)中，如果把學(xué)生呈現(xiàn)出的不同方法全部展示出來，把教師想到的所有方法全部挖掘出來，會(huì)給一部分學(xué)生帶來困惑，會(huì)讓他們逐步懼怕數(shù)學(xué)、失去學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。學(xué)生獨(dú)立研究中還有很多有價(jià)值的資源，教師并未捕捉到。4.讓學(xué)生借助“直觀”展開想象?！?：《探索規(guī)律》一年級(jí)例9：《探索規(guī)律》五年級(jí)老師讓學(xué)生從棱長是2、3、4、5的正方體開始分類計(jì)數(shù)小正方體表面涂色情況，并得出下表。三面兩面一面無色a=2a=3a=4a=588880001261(4-2)×12(4-2)2×6(4-2)3(5-2)×12(5-2)2×6(5-2)3學(xué)生第一次用算式表示棱長是4、5的情況時(shí)都出現(xiàn)了錯(cuò)誤，說明學(xué)生不理解抽象的算式。三面兩面一面無色a=2a=3a=4a=588880001261(4-2)×12(4-2)

×6(4-2)3(5-2)×12(5-2)×6(5-2)3教師可以讓學(xué)生借助“直觀圖”展開四次想象：第一次想象：理解算式的含義——理解第二次想象：棱長是3、2時(shí)，能用算式表示嗎？——回顧第三次想象：棱長是6、7時(shí)，怎樣用算式表示？——拓展第四次想象：棱長是n時(shí)，怎樣用算式表示？——抽象5.培養(yǎng)學(xué)生“畫圖解決問題”的習(xí)慣與能力。能把握問題的結(jié)構(gòu)，畫枝形圖解決問題獨(dú)立研究問題的能力強(qiáng)，用直觀的方法解決問題獨(dú)立研究問題的能力強(qiáng)，用直觀的方法解決問題沒有理解題意養(yǎng)成了畫圖解決問題的習(xí)慣，有助于學(xué)生空間觀念的發(fā)展。在觀察、操作、畫圖、想象等活動(dòng)中學(xué)習(xí)圖形問題，讓學(xué)