《數(shù)學(xué)物理方法》第1章復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)課件

《數(shù)學(xué)物理方法》第1章復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)《數(shù)學(xué)物理方法》第1章復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)《數(shù)學(xué)物理方法》的性質(zhì)和目的性質(zhì)為信息工程與技術(shù)專業(yè)開設(shè)的專業(yè)基礎(chǔ)必修課，在教學(xué)培養(yǎng)計(jì)劃中列為主干課程。目的通過本課程的學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)物理中的常用方法，為學(xué)習(xí)理論物理課程與專業(yè)基礎(chǔ)理論課程提供基礎(chǔ)。《數(shù)學(xué)物理方法》的性質(zhì)和目的性質(zhì)2022/11/183教學(xué)內(nèi)容與基本要求教學(xué)內(nèi)容本課程主要講述復(fù)冪級(jí)數(shù)展開、路徑積分、積分變換、特殊函數(shù)與線性數(shù)學(xué)物理方程的定解方法數(shù)學(xué)物理方法-教學(xué)內(nèi)容與進(jìn)度表-11級(jí).doc教學(xué)基本要求以教師課堂講授為主，精講；學(xué)生課前預(yù)習(xí)，多練！布置習(xí)題或討論題，學(xué)生自學(xué)部分例題和部分章節(jié)；因公式推導(dǎo)過多，部分（或全部）課時(shí)采用電子教案，便于學(xué)生理解全過程；2022/11/93教學(xué)內(nèi)容與基本要求教學(xué)內(nèi)容32022/11/184教學(xué)方式：課堂講授教與學(xué)互動(dòng)，要求課前必須預(yù)習(xí)；標(biāo)有*的章節(jié)為自學(xué)內(nèi)容。成績：平時(shí)考勤：5%；平時(shí)作業(yè)：10%；期中考試：15%(第一篇的教學(xué)考核成績)期終考試：70%(期末考試成績)本課程的考試均以閉卷方式進(jìn)行。教學(xué)方式與過程2022/11/94教學(xué)方式：課堂講授教學(xué)方式與過程42022/11/185

教材：汪德新，《數(shù)學(xué)物理方法》，第三版，科學(xué)出版社，2006年8月參考書：［1］吳崇試，數(shù)學(xué)物理方法，北京大學(xué)出版社2003-12-26出版［2］胡嗣柱、倪光炯，《數(shù)學(xué)物理方法》，第二版，高等教育出版社，復(fù)旦大學(xué)出版社，2002；［3］梁昆森，《數(shù)學(xué)物理方法》，第三版，高等教育出版社，1998；［4］郭敦仁，《數(shù)學(xué)物理方法》，第二版，人民教育出版社，1991。教材與參考書2022/11/95教材：汪德新，《數(shù)學(xué)物理方法》，52022/11/186［5］鐘毓澍，數(shù)學(xué)物理方法習(xí)題指導(dǎo)，北京大學(xué)出版社2004-09-01出版［6］姚端正，《數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)》，第一版，科學(xué)出版社，2001；［7］胡嗣柱，數(shù)學(xué)物理方法解題指導(dǎo)，高等教育出版社1998年［8］李惜雯，《數(shù)學(xué)物理方法典型題解法.技巧.注釋》，西安交通大學(xué)出版社，2001；習(xí)題參考書2022/11/96［5］鐘毓澍，數(shù)學(xué)物理方法習(xí)題指導(dǎo)，67作業(yè)：請(qǐng)介紹你有關(guān)學(xué)習(xí)本課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)情況；你對(duì)本課程教學(xué)的建議與期望。高等數(shù)學(xué)掌握程度自我評(píng)價(jià)。高等數(shù)學(xué)中：向量代數(shù)與空間解析幾何學(xué)過嗎?常微分方程的解學(xué)過嗎?三重積分、曲線積分、曲面積分學(xué)過嗎?無窮級(jí)數(shù)學(xué)過嗎?其中包括傅里葉級(jí)數(shù)嗎?

線性代數(shù)學(xué)過嗎?你對(duì)本課程教學(xué)的建議與期望。7作業(yè)：請(qǐng)介紹你有關(guān)學(xué)習(xí)本課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)情況；你對(duì)本課程教學(xué)7第一篇復(fù)變函數(shù)導(dǎo)論

自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)．本篇討論復(fù)變函數(shù)論的基本概念、基本定理和基本方法，以及若干實(shí)際運(yùn)用．解析函數(shù)是本篇研究的重點(diǎn)。復(fù)變函數(shù)導(dǎo)論是本書其后三篇的基礎(chǔ)．第一篇復(fù)變函數(shù)導(dǎo)論

自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)．9第1章介紹復(fù)變函數(shù)的微分理論．著重討論解析函數(shù)的微分性質(zhì)及其應(yīng)用．第2章介紹復(fù)變函數(shù)的積分理論．著重討論解析函數(shù)的積分性質(zhì)及其應(yīng)用．第3章介紹復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)理論．著重討論解析函數(shù)與泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)、洛朗（Laurent）級(jí)數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用．9第1章介紹復(fù)變函數(shù)的微分理論．著重討論解析函數(shù)的微分性質(zhì)及910第4章介紹留數(shù)理論，它是復(fù)變函數(shù)積分理論與級(jí)數(shù)理論相結(jié)合的產(chǎn)物．本章利用留數(shù)定理進(jìn)行實(shí)變積分計(jì)算，整數(shù)與半整數(shù)級(jí)數(shù)和的計(jì)算．第5章介紹解析延拓與多值函數(shù)的一些基本概念．著重討論擴(kuò)大解析函數(shù)的定義域，以及將多值函數(shù)轉(zhuǎn)化為黎曼(Riemann)面上的單值解析函數(shù)的問題．10第4章介紹留數(shù)理論，它是復(fù)變函數(shù)積分理論與級(jí)數(shù)理論相結(jié)合10第1章復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)

本章首先介紹復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)的基本概念著重討論解析函數(shù)的定義、充要條件，解析函數(shù)的共扼性、調(diào)和性和保角性，以及常用的解析函數(shù)的性質(zhì)．解析函數(shù)是本篇各章研究的主要對(duì)象．第1章復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)

本章首先介紹復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)的基本概12思考：復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系。實(shí)變函數(shù)：實(shí)變量的函數(shù)。例：x,y—實(shí)變量；f(x,y)—實(shí)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)：復(fù)變量的函數(shù)，實(shí)變函數(shù)的推廣。實(shí)數(shù)→實(shí)變量→實(shí)變函數(shù)復(fù)數(shù)→復(fù)變量→復(fù)變函數(shù)12思考：復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系。實(shí)變函數(shù)：實(shí)變量1213第1章復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)內(nèi)容1.1復(fù)數(shù)1.2復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)柯西一黎曼條件1.4解析函數(shù)13第1章復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)內(nèi)容13§1.1復(fù)數(shù)本節(jié)討論復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的幾何表示法，復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算和復(fù)數(shù)序列的極限．§1.1復(fù)數(shù)本節(jié)討論復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的幾何表示法，復(fù)15

§1.1.1復(fù)數(shù)的定義和基本概念§1.1.2復(fù)數(shù)的幾何表示§1.1.3復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則151516§1.1.1復(fù)數(shù)的定義和基本概念在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，代數(shù)方程z2+1=0

沒有解．如果把數(shù)域擴(kuò)大，則可得到兩個(gè)根，我們把*稱為虛數(shù)單位，并規(guī)定它與實(shí)數(shù)在一起可進(jìn)行通常的四則運(yùn)算．這樣，形如z=x+iy的數(shù)（其中x,y為實(shí)數(shù)）稱為復(fù)數(shù)x與y分別稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，記作

x=Rez，y=Imz*i為瑞士著名數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家歐拉（Euler)1777年首次采用記號(hào)，稱為虛數(shù)單位．

16§1.1.1復(fù)數(shù)的定義和基本概念在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，代數(shù)方1617實(shí)數(shù)和純虛數(shù)是復(fù)數(shù)的特殊情形

如2=z=2+i0實(shí)部為2，虛部為0，是純實(shí)數(shù)

4i=z=0+i4

實(shí)部為0，虛部為4，是純虛數(shù)當(dāng)x1=x2，y1=y2時(shí)，則稱z1=x1+iy1與z2=x2+iy2相等。當(dāng)x1=x2，y1=-y2時(shí)，則稱z1=x1+iy1與z2=x2+iy2

互為共軛復(fù)數(shù)。常用z*

表示z的共扼復(fù)數(shù)。(z*)*=z例：z1=2+3i與z2=2-3i稱z1與z2互為共軛復(fù)數(shù)。17實(shí)數(shù)和純虛數(shù)是復(fù)數(shù)的特殊情形

如2=z=2+i01718復(fù)數(shù)能不能比較大小?!18復(fù)數(shù)能不能比較大小?!1819§1.1.2復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)可以用平面上的點(diǎn)來表示，稱為復(fù)數(shù)的平面表示法；球面上的點(diǎn)來表示，稱為球面表示法。

19§1.1.2復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)可以用平面上的點(diǎn)來表示19201.復(fù)數(shù)平面表示法在復(fù)數(shù)平面中可以引入笛卡爾直角坐標(biāo)，也可以引人平面極坐標(biāo)在使用直角坐標(biāo)時(shí)，用平面上的點(diǎn)(x,y)表示復(fù)數(shù)

z=x+iy平面上的一點(diǎn)(x,y)就與一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy

相對(duì)應(yīng)，而平面上所有的點(diǎn)就與全體復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，

xoy平面就稱為復(fù)平面．每一復(fù)數(shù)還可以用一個(gè)矢量來表示．矢量由坐標(biāo)原點(diǎn)指向點(diǎn)(x,y)，如圖1.1所示，稱為復(fù)矢量

201.復(fù)數(shù)平面表示法在復(fù)數(shù)平面中可以引入笛卡爾2021在使用平面極坐標(biāo)時(shí)，復(fù)數(shù)平面上的點(diǎn)可用極坐標(biāo)(ρ，φ)表示，它與x,y的關(guān)系為:從笛卡爾直角坐標(biāo)變換到平面極坐標(biāo)，就可從復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式變換到三角表示式:這里ρ為復(fù)矢量的長度，稱為復(fù)數(shù)的模j為復(fù)矢量與x軸的夾角，稱為復(fù)數(shù)的輻角21在使用平面極坐標(biāo)時(shí)，復(fù)數(shù)平面上的點(diǎn)可用極坐標(biāo)(ρ，φ)2122一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)于無限多個(gè)輻角，設(shè)j0是其中的一個(gè)，則通常用argz表示輻角Argz的主值，主值的取值范圍是復(fù)數(shù)z=0的輻角沒有確定值，說”z=0”的輻角等于多少”是沒有意義的。用極坐標(biāo)表示一個(gè)復(fù)數(shù)z時(shí)，輻角Argz的值不唯一22一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)于無限多個(gè)輻角，2223（3）指數(shù)表示．復(fù)數(shù)的指數(shù)表示為

z＝reij（1.1.10)利用歐拉公式eij

=cosj+isinj可以將復(fù)數(shù)的三角表示變換為指數(shù)表示①z＝reij

=r(cosj+isinj)（1.1.11)①23（3）指數(shù)表示．復(fù)數(shù)的指數(shù)表示為①2324下面舉例說明從復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式到三角表示式的變換。例1求的三角表示式與指數(shù)表示式。解本題的關(guān)鍵在于求出所給的復(fù)數(shù)的模與幅角，并注意到點(diǎn)位于第二象限，故有24下面舉例說明從復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式到三角表示式的變換。本題的24252.用復(fù)數(shù)球面表示復(fù)數(shù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)正如復(fù)數(shù)平面上的每一點(diǎn)與一個(gè)復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，因而可以用復(fù)數(shù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)球面上的每一點(diǎn)也可以與一個(gè)復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，所以可以用復(fù)數(shù)球面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)。252.用復(fù)數(shù)球面表示復(fù)數(shù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)正如復(fù)數(shù)平面上的每一點(diǎn)與2526首先，過復(fù)數(shù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)。作一個(gè)球面與復(fù)數(shù)平面相切（圖1.2).然后過。作復(fù)數(shù)平面的垂線交球面于N點(diǎn)，稱為北極點(diǎn)．再作射線NP交球面于P’點(diǎn)．這樣，球面上的P’點(diǎn)與平面上的P點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，因而球面上所有的點(diǎn)也與全體復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)；由圖1.2可見，復(fù)數(shù)平面上以O(shè)為圓心的圓L上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)球面緯線L’上的點(diǎn)相對(duì)應(yīng)；圓L內(nèi)部的點(diǎn)與球面緯線L’下方的點(diǎn)相對(duì)應(yīng);當(dāng)平面上圓L的半徑ρ→∞時(shí)，球面上的緯線L’趨向球頂并縮成一點(diǎn)N.26首先，過復(fù)數(shù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)。作一個(gè)球面與復(fù)數(shù)平面相切（圖2627由此可見，復(fù)平面的無限遠(yuǎn)處，對(duì)應(yīng)于球面上的一點(diǎn)N.在這個(gè)意義上，把復(fù)平面無限遠(yuǎn)處看成一個(gè)“點(diǎn)”，稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)平面的無限遠(yuǎn)處看成一個(gè)“點(diǎn)”-無限遠(yuǎn)點(diǎn)。27由此可見，復(fù)平面的無限遠(yuǎn)處，對(duì)應(yīng)于球面上的一點(diǎn)N.2728§1.1.3復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則(1)加法復(fù)數(shù)z1和z2

的和定義為

z=z1+z2=(x1+iy1)+(x2+iy2)

=(x1+x2)+i(y1+y2)復(fù)數(shù)加法的幾何意義是：兩個(gè)復(fù)矢量的和遵守平行四邊形法則。從右圖可以得到兩個(gè)重要不等式：（三角形兩邊長之和不小于第三邊）

（三角形兩邊之差小于第三邊）等號(hào)是在三角形變成直線時(shí)成立．這些不等式在導(dǎo)出復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)時(shí)要用到．(1)加法復(fù)數(shù)z1和z2

的和定義為

z=z1+z2=(x1+iy1)+(x2+iy2)

=(x1+x2)+i(y1+y2)復(fù)數(shù)加法的幾何意義是：兩個(gè)復(fù)矢量的和遵守平行四邊形法則。從右圖可以得到兩個(gè)重要不等式：

（三角形兩邊之差小于第三邊）等號(hào)是在三角形變成直線時(shí)成立．這些不等式在導(dǎo)出復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)時(shí)要用到．28§1.1.3復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則(1)加法復(fù)數(shù)z1和z2829

(2）減法復(fù)數(shù)的減法是作加法的逆運(yùn)算來定義的．若存在z，使得z2+z

=z1，則稱z為復(fù)數(shù)z1與z2之差，即z=z1-z2=(x1+iy1)-(x2+iy2)

=(x1-x2)+i(y1-y2)29(2）減法復(fù)數(shù)的減法是作加法的逆運(yùn)算來定義的．2930（3）乘法復(fù)數(shù)z1與z2的乘積定義為

z=z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2–y1y2)+i(x1y2+y1x2)特別是：(x+iy)(x-iy)=x2+y2，即兩共扼復(fù)數(shù)的乘積等于它們的模的平方（簡稱模方）利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式計(jì)算復(fù)數(shù)的乘積，往往更為方便兩復(fù)數(shù)乘積的幾何意義是將兩復(fù)數(shù)的模相乘而輻角相加．30（3）乘法復(fù)數(shù)z1與z2的乘積定義為

z=z1z3031（4）乘方乘方可由乘法規(guī)則得到，用n個(gè)z相乘

313132【例1.1.1-A】試證明棣莫弗(DeMoivre)公式

證由歐拉公式代入式兩邊，即有令ρ=1，即為棣摩弗公式

32【例1.1.1-A】試證明棣莫弗(DeMoivre)公3233【例1.1.1-B

】試用cosφ及sinφ表示cosnφ及sinnφ.解在棣摩弗公式中，利用牛頓二項(xiàng)式展開（cosφ+isinφ

）n，即有cosnφ+isinnφ=（cosφ+isinφ

）n

牛頓二項(xiàng)式展開公式33【例1.1.1-B】試用cosφ及sinφ表示cosn3334[n/2]記號(hào)常用來簡化公式的表達(dá)，6.1節(jié)將利用它來表示勒讓德多項(xiàng)式．由于求和式中k=2l的項(xiàng)為實(shí)數(shù)，k=2l+1的項(xiàng)為虛數(shù)，根據(jù)上式兩邊的實(shí)部與虛部分別相等，即得(1.1.30)(1.1.29)(1.1.31)34[n/2]記號(hào)常用來簡化公式的表達(dá)，6.1節(jié)將利用它來表3435（5）除法復(fù)數(shù)的除法是作為乘法的逆運(yùn)算來定義的，若存在z，使得，則稱z2z=z1，則稱z為z1除以z2所得之商同樣，利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式將更方便．35（5）除法復(fù)數(shù)的除法是作為乘法的逆運(yùn)算來定義的，若存3536（6）開方復(fù)數(shù)的開方是乘方的逆運(yùn)算。將

開n次方，就是求滿足方程的復(fù)數(shù)w，記作為此，設(shè)將w及z0代入

（k為整數(shù)）即有36（6）開方復(fù)數(shù)的開方是乘方的逆運(yùn)算。將3637這樣，復(fù)數(shù)的n次根有n個(gè)不同值

可見，k=0與k=n得到相同的w，k=1與k=n＋1得到的w相同…，只有當(dāng)k=0，1，…，n-1時(shí)，得到的w是不同的，即僅有n個(gè)。37這樣，復(fù)數(shù)的n次根有n個(gè)不同值

可見，k=0與k=n得到3738383839【例1.1.2-B】如圖所示，已知求解首先寫出z0的指數(shù)表示式

，k為整數(shù)四個(gè)不同的根是

39【例1.1.2-B】如圖所示，已知3940§1.1.4復(fù)數(shù)序列的極限1.復(fù)數(shù)序列按一定順序排列的復(fù)數(shù)zn=xn+iyn，n=1，2，…，稱為復(fù)數(shù)序列，記作｛zn｝；一個(gè)復(fù)數(shù)序列等價(jià)于兩個(gè)實(shí)數(shù)序列｛xn｝和｛yn｝的有序組合。40§1.1.4復(fù)數(shù)序列的極限1.復(fù)數(shù)序列40412.聚點(diǎn)與極限

(1)聚點(diǎn)．任給e＞0，存在無窮多個(gè)zn滿足|zn–z|<e則稱

z為復(fù)數(shù)序列｛zn｝的一個(gè)聚點(diǎn)．(2)極限．任給e>0，存在N(e)>0，使當(dāng)n>N(e)時(shí)，有

|zn–z|<e（1.1.35)則稱：為復(fù)數(shù)序列｛zn｝的極限，或稱復(fù)數(shù)序列收斂于z，記作412.聚點(diǎn)與極限

(1)聚點(diǎn)．4142(3)有的序列可以有多個(gè)聚點(diǎn)，當(dāng)序列的極限存在時(shí)，序列的極限是序列的唯一聚點(diǎn)．在實(shí)數(shù)序列｛xn｝中，數(shù)值最大的聚點(diǎn)稱為｛xn｝的上極限，記作；數(shù)值最小的聚點(diǎn)稱為序列｛xn｝的下極限，記作對(duì)于序列(l.1.37)，有上極限與下極限的概念在計(jì)算級(jí)數(shù)收斂半徑時(shí)要用到（見3.2節(jié)）．42(3)有的序列可以有多個(gè)聚點(diǎn)，當(dāng)序列的極限存在時(shí)，序列42433.復(fù)數(shù)序列極限存在的充要條件—柯西判別法任給e>0，存在自然數(shù)N(e)，當(dāng)n>N(e)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)p，有

|zn–z|<e（1.1.39)則｛zn｝的極限存在，定理的證明見習(xí)題1.1.7.4.極限趨于無窮任給M>0，存在自然數(shù)N(e)，使當(dāng)n>N(e)時(shí)，有|zn

|>M（1.1.40)則｛zn

｝趨于無窮，記作433.復(fù)數(shù)序列極限存在的充要條件—柯西判別法4344作業(yè)-§1.1第8頁Group1Group2Group31.1.11.1.2(1)1.1.31.1.61.1.9(3)，(6)，1.1.11.1.2(3)1.1.41.1.71.1.9(2)，(5)，1.1.11.1.2(4)1.1.51.1.81.1.9(1)，(4)44作業(yè)-§1.1第8頁Group1Group44§1.2復(fù)變函數(shù)

復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)本節(jié)介紹區(qū)域的概念，復(fù)變函數(shù)的定義及其幾何意義，復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)．§1.2復(fù)變函數(shù)

復(fù)變函數(shù)46§1.2.1區(qū)域如果將函數(shù)的概念由實(shí)數(shù)域推廣到復(fù)數(shù)域，那么自變量取值的范圍就是復(fù)平面上的區(qū)域（稱為定義域），如圖1.4所示，開區(qū)域D是指邊界線L所包圍的區(qū)域（不含邊界線L)如果要給區(qū)域作出嚴(yán)格的定義，則要介紹有關(guān)點(diǎn)集（點(diǎn)的集合）的一些基本概念46§1.2.1區(qū)域如果將函數(shù)的概念由實(shí)數(shù)域推廣到復(fù)數(shù)域4647點(diǎn)集（點(diǎn)的集合）的一些基本概念(1-a)點(diǎn)z0的e鄰域．它是指以點(diǎn)z0為圓心，任意小的正實(shí)數(shù)e為半徑的一個(gè)開圓，即滿足|z-z0|<e

(1.2.1)的點(diǎn)的集合。(1-b)點(diǎn)z0的無心鄰域它是指滿足0<|z-z0|<

e（1.2.2)的點(diǎn)的集合，與前者的區(qū)別就是不包含點(diǎn)z0.47點(diǎn)集（點(diǎn)的集合）的一些基本概念(1-a)點(diǎn)z0的e鄰域4748(2)點(diǎn)集D的內(nèi)點(diǎn)．若某點(diǎn)的。鄰域中所有的點(diǎn)都屬于點(diǎn)集D，則此點(diǎn)稱為點(diǎn)集D的內(nèi)點(diǎn)，如圖1.4中的a點(diǎn)。48(2)點(diǎn)集D的內(nèi)點(diǎn)．若某點(diǎn)的。鄰域中所有的點(diǎn)都屬于點(diǎn)集D4849(3)區(qū)域．滿足如下兩個(gè)條件的點(diǎn)集D稱為區(qū)域（開區(qū)域）：①每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)（開集性）；②點(diǎn)集D中的任意兩點(diǎn)都可以用一條由該點(diǎn)集D的點(diǎn)構(gòu)成的曲線連接起來（連通性）區(qū)域D通常用不等式表示，例如|z|＜R（1.2.3)表示以O(shè)為圓心，R為半徑的開圓，如圖1.5所示．49(3)區(qū)域．滿足如下兩個(gè)條件的點(diǎn)集D稱為區(qū)域（開區(qū)域）：4950

(4)邊界點(diǎn)．若某點(diǎn)不屬于D，但其e鄰域中含有屬于D的點(diǎn)，則該點(diǎn)稱為D的邊界點(diǎn)。在圖1.4的b點(diǎn)就是區(qū)域D的邊界點(diǎn)（注意，b點(diǎn)不屬于D）．邊界點(diǎn)的全體就構(gòu)成邊界L；在圖1.5中，|z|=R就是區(qū)域D的邊界線．50(4)邊界點(diǎn)．5051開區(qū)域D加上邊界L稱為閉區(qū)域例如，開圓|z|<R加上邊界線|z|=R就構(gòu)成閉圓|z|≤R通常還把不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的平面叫作全平面，把包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的整個(gè)平面稱為閉平面。(5)閉區(qū)域51開區(qū)域D加上邊界L稱為閉區(qū)域(5)閉區(qū)域5152(6)單通區(qū)域與復(fù)通區(qū)域．圖1.6(a)，(b)，(c)給出的三個(gè)區(qū)域都具有連通性：區(qū)域內(nèi)的任意兩點(diǎn)均可用一根在區(qū)域內(nèi)的曲線把它們連接．但是，它們的邊界分別由一根、兩根和三根不相連接的閉合曲線構(gòu)成（圖中的斜線部分不屬于D).區(qū)域不相連接的邊界數(shù)目稱為連通階數(shù)，n=1的區(qū)域稱單通區(qū)域，n>l的區(qū)域稱復(fù)通區(qū)域．兩者的本質(zhì)區(qū)別是：區(qū)域中任一閉合曲線能否連續(xù)變形而縮成一點(diǎn)．“連續(xù)變形”是指曲線變形時(shí)不跨越不屬于D的(標(biāo)有斜線的)區(qū)域．52(6)單通區(qū)域與復(fù)通區(qū)域．圖1.6(a)，(b)，(5253以后常常要將在單通區(qū)域成立的定理推廣到復(fù)通區(qū)域，這只要通過作割線(見圖1.7中的割線L”)將圖1.7復(fù)通區(qū)域割開，變成單通區(qū)域即可．535354[例1.2.1]在復(fù)平面上畫出下述區(qū)域，并指出區(qū)域的連通性：

54[例1.2.1]在復(fù)平面上畫出下述區(qū)域，并指出區(qū)域的連5455(2)首先把輻角不等式變?yōu)殛P(guān)于x,y的不等式．令55(2)首先把輻角不等式變?yōu)殛P(guān)于x,y的不等式．令5556圖1.9的區(qū)域(以灰色作標(biāo)記)在w平面和z平面分別由下面三個(gè)方程界定：

56圖1.9的區(qū)域(以灰色作標(biāo)記)在w平面和z平面分5657如圖

所示，給出幾種典型的區(qū)域57如圖所示，給出幾種典型的區(qū)域5758§1.2.2復(fù)變函數(shù)的定義及幾何意義復(fù)變函數(shù)的定義

如果區(qū)域D內(nèi)的每一個(gè)z值，均有一個(gè)或多個(gè)w值與之對(duì)應(yīng)，則w稱為z的函數(shù)，記作

w＝f(z)(1.2.15)

如果令w＝u+iv(1.2.16)并將z=x十iy代入，則有w＝f(z)＝u(x,y)十iv(x,y)(1.2.17)這表明，復(fù)變函數(shù)其實(shí)是兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的有序組合．因此，復(fù)變函數(shù)的許多性質(zhì)(當(dāng)然不是全部)都是實(shí)變函數(shù)相應(yīng)性質(zhì)的直接推廣．58§1.2.2復(fù)變函數(shù)的定義及幾何意義復(fù)變函數(shù)的定義5859如果一個(gè)z值僅對(duì)應(yīng)一個(gè)w值，則w=f(z)稱為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù)．本書主要討論單值函數(shù)，后者僅于1.4節(jié)，5.2節(jié)及6.4節(jié)涉及．59如果一個(gè)z值僅對(duì)應(yīng)一個(gè)w值，則w=f(z)稱為單值函5960復(fù)變函數(shù)的幾何意義—由Z平面到W平面的映射設(shè)w=f(z)是在區(qū)域D中的單值函數(shù)，即Z平面上的一點(diǎn)z=x+iy與W平面上的一點(diǎn)w=u+iv相對(duì)應(yīng)例如，對(duì)于復(fù)變函數(shù)w=f(z)=z+1

來說，Z平面上的z=1+i

點(diǎn)與W平面上的w=z+1=2+i

點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。當(dāng)z在Z平面上沿某一曲線L變動(dòng)時(shí)，與它相應(yīng)的w也將在W-平面沿另一曲線L’變動(dòng)。曲線L與L’上的點(diǎn)根據(jù)w=f(z)的關(guān)系一一對(duì)應(yīng)，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為由Z平面到W平面的一個(gè)映射這就是復(fù)變函數(shù)的幾何意義。

60復(fù)變函數(shù)的幾何意義—由Z平面到W平面的映射6061616162626263§1.2.3復(fù)變函數(shù)的極限1.函數(shù)極限的定義設(shè)w=f(z)是在z0點(diǎn)的無心鄰域中定義的單值函數(shù)．若任給實(shí)數(shù)e>0，存在實(shí)數(shù)d＞0，使當(dāng)0＜|z-z0|＜d時(shí)，有|f(z)-w0|＜e(1.2.25)則稱z→z0時(shí)f(z)的極限為w0

，記作由定義可見，極限值w0是與z→z0的方式無關(guān)的，換句話說，當(dāng)z以不同方式趨于z0，如果f(z)的取值不同，則其極限不存在。63§1.2.3復(fù)變函數(shù)的極限1.函數(shù)極限的定義由定義6364由于w=f(z)=u(x,y)

+iv(x,y)，因此復(fù)變函數(shù)中極限的定義可以歸結(jié)為實(shí)變二元函數(shù)極限的定義，并且復(fù)變函數(shù)極限的性質(zhì)就是實(shí)變函數(shù)極限性質(zhì)的自然推廣．646465

2.函數(shù)極限的性質(zhì)

652.函數(shù)極限的性質(zhì)6566§1.2.4復(fù)變函數(shù)的連續(xù)1.連續(xù)函數(shù)的定義設(shè)w=f(z)是在z0點(diǎn)鄰域中定義的函數(shù)．若任給實(shí)數(shù)e>0，存在實(shí)數(shù)d＞0，使當(dāng)|z-z0|＜d時(shí)，有|f(z)-w0|＜e(1.2.30)則稱函數(shù)w=f(z)在z0處連續(xù)。66§1.2.4復(fù)變函數(shù)的連續(xù)1.連續(xù)函數(shù)的定義6667§1.2.4復(fù)變函數(shù)的連續(xù)在極限的定義中，只要求在z0點(diǎn)的無心鄰域0＜|z-z0|＜d中|f(z)-w0|＜e，w0

可以不等于f(z0)；在連續(xù)的定義中要求在z0點(diǎn)的鄰域|f(z)-f(z0)|＜e

f(z)是x,y的函數(shù)，因而w=u+iv也是x,y的函數(shù)，f(z)在z0=x0+iy0連續(xù)與u(x,y)，v(x,y)必在(x0,y0)連續(xù)是等價(jià)的，f(z)

=f(z0)。如果w=f(z)在D內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，則稱函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)。67§1.2.4復(fù)變函數(shù)的連續(xù)在極限的定義中，只要求在z6768

2.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在實(shí)變函數(shù)中有關(guān)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可以自然地推廣到復(fù)變函數(shù)中來．首先，如果f(z)在D上連續(xù)，則f(z)在D上一致連續(xù)．即任給實(shí)數(shù)e>0，存在實(shí)數(shù)d＞0，使D上任何兩點(diǎn)z'和z"滿足|z'-z"|＜d

時(shí)，必有|f(z')一f(z")|＜e(1.2.31)在連續(xù)的定義中，只要求f(z)在z0點(diǎn)的鄰域中有定義，并且z0是定點(diǎn)，z為動(dòng)點(diǎn)；在一致連續(xù)的定義中，要求f(z)閉區(qū)域D上連續(xù)，且z'和z“為D上的兩動(dòng)點(diǎn)．682.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在實(shí)變函數(shù)中有關(guān)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可6869

2.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

類似地，連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(在分母不為零的點(diǎn))仍為連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)．以上性質(zhì)的證明，可參看實(shí)變函數(shù)相應(yīng)性質(zhì)的證明．692.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

類似地，連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(6970作業(yè)-§1.2第14頁Group1Group2Group31.2.1(1)、（4）1.2.21.2.1(1)、（3）

1.2.21.2.1(1)、（2）

1.2.270作業(yè)-§1.2第14頁Group1Grou70§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

柯西-黎曼條件本節(jié)首先介紹復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分的定義，進(jìn)而導(dǎo)出復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分必要條件；定理的證明過程表明，柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)條件是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件；最后，討論復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義．§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

72§1.3.1導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù)的定義與導(dǎo)數(shù)公式設(shè)w=f(z)是區(qū)域D中定義的單值函數(shù)，若在D內(nèi)某點(diǎn)z，極限

存在，則稱函數(shù)f(z)在z點(diǎn)可導(dǎo)，并稱此極限值為f(z)在z點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記作72§1.3.1導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù)的定義與導(dǎo)數(shù)公式7273討論第一，由極限的定義可知，無論Dz以任何方式趨于零，式(1.3.1)均應(yīng)趨于同一有限的極限值．第二，f(z)在z點(diǎn)可導(dǎo)，則f(z)必在z點(diǎn)連續(xù)。因?yàn)椋鬴(z)不連續(xù)，即當(dāng)Dz→0時(shí)，Dw=f(z+Dz)-f(z)不趨于零，式(1.3.1)必定沒有有限的極限，與f(z)在z點(diǎn)可導(dǎo)矛盾。第三，由于復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義與實(shí)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義在形式上相同，實(shí)變函數(shù)所有導(dǎo)數(shù)公式都可以推廣到復(fù)變函數(shù)中來．特別是，當(dāng)f1'(z)和f2'(z)都存在時(shí)，f1(z)和f2(z)的和、差、積、商以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式也具有與實(shí)變函數(shù)相同的形式．例如，復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式為73討論第一，由極限的定義可知，無論Dz以任何方式趨于73742.微分的定義與微分公式742.微分的定義與微分公式7475這樣，導(dǎo)數(shù)也可理解為函數(shù)微分除以自變量微分之商，稱為微商．復(fù)變函數(shù)的微分公式也具有與實(shí)變函數(shù)相同的形式，此處不再贅述．現(xiàn)在，我們轉(zhuǎn)向研究函數(shù)w=f(z)可導(dǎo)的條件是什么．75這樣，導(dǎo)數(shù)也可理解為函數(shù)微分除以自變量微分之商，稱為微7576§1.3.2復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分必要條件定理函數(shù)f(z)=u(x,y)

+iv(x,y)在(x,y)點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件是(1)u(x,y)與v(x,y)在(x,y)點(diǎn)可微；(2)u(x,y)與v(x,y)在(x,y)點(diǎn)滿足柯西一黎曼條件(簡稱C-R條件)采用簡寫記號(hào)C-R條件可簡寫為采用簡寫記號(hào)C-R條件可簡寫為76§1.3.2復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分必要條件定理函數(shù)7677證明(1)充分性．由u，v可微，可知u，v的全微分存在，即其中ε1和ε2是無窮小量（當(dāng)Δx與Δy→0）對(duì)于任意的Δz=Δx+iΔy有77證明(1)充分性．由u，v可微，可知u，v的全微分7778利用C-R條件，把對(duì)y的偏導(dǎo)改為對(duì)x的偏導(dǎo)，消去公因子，即有利用，當(dāng)Δz→0時(shí)，即Δx→0及Δy→0時(shí)，上式第二項(xiàng)趨于零，即即f(z)可導(dǎo)，充分性得證．78利用C-R條件，把對(duì)y的偏導(dǎo)改為對(duì)x的偏導(dǎo)，消去公因子，7879(2)必要性．若f(z)在z點(diǎn)可導(dǎo)，則式(1.3.1)有確定的極限79(2)必要性．若f(z)在z點(diǎn)可導(dǎo)，則式(1.3.1)7980將式(1.3.19)與式(1.3.20)聯(lián)立即得C-R條件，必要性得證．80將式(1.3.19)與式(1.3.20)聯(lián)立即得C-R條8081討論

第一，從“函數(shù)可微”的定義可見，判斷式(1.3.4)的第二項(xiàng)是否關(guān)于r的高階小量要費(fèi)些周折．通常以可微的充分條件(u，v有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù))來代替*．因?yàn)橐袛鄒，v是否遵守C-R條件就要計(jì)算ux，uy，vx，vy，考察它們是否連續(xù)是輕而易舉的．第二，從定理的證明過程可見；C-R條件是f(z)可導(dǎo)的必要條件，而不是充分條件．例1.3.1是一個(gè)非常形象的例子．81討論

第一，從“函數(shù)可微”的定義可見，判斷式(1.3.8182828283838384§1.3.3復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)函數(shù)w=f(z)在z=z0點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)由復(fù)變函數(shù)的幾何意義可知，當(dāng)z在z平面沿曲線L變動(dòng)時(shí)，w在w平面沿曲線L’變動(dòng)(圖1.12)．(1.3.22)84§1.3.3復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)函數(shù)w=f(z)在8485858586由等式兩邊復(fù)數(shù)的模與輻角相等(一般來說，兩者輻角可相差2kp，便有

由此可得導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)的模|f'(z0)|表示通過點(diǎn)z0的無窮小線段Dz映射為w平面的Dw時(shí)，長度的放大系數(shù)．導(dǎo)數(shù)的輻角argf'(z0)表示曲線L上z。點(diǎn)的切線與曲線L'上的w0點(diǎn)的切線的夾角，即從z平面到w平面映射前后切線的轉(zhuǎn)動(dòng)角．86由等式兩邊復(fù)數(shù)的模與輻角相等(一般來說，兩者輻角可相差28687作業(yè)-§1.3第19頁Group1Group2Group31.3.21.3.31.3.4(1)\(3)1.3.21.3.31.3.4(2)\(5)1.3.21.3.31.3.4(1)\(4)87作業(yè)-§1.3第19頁Group1Grou87

§1.4解析函數(shù)本節(jié)介紹解析函數(shù)的定義;函數(shù)解析的充要條件及解析函數(shù)的共扼性、調(diào)和性和保角性;在此基礎(chǔ)上介紹從解析函數(shù)的虛部(或?qū)嵅?求解析函數(shù)的四種常用方法．最后介紹初等解析函數(shù)．§1.4解析函數(shù)本節(jié)介紹解析函數(shù)的定義;89§1.4.1解析函數(shù)的定義若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)，則稱f(z)為D內(nèi)的解析函數(shù)．若函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)的鄰域(|z-

z0|＜e)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)，則稱f(z)在z0點(diǎn)解析，它比“f(z)在z0點(diǎn)可導(dǎo)”要求為高(參看例1.4.1).若函數(shù)f(z)在包含D的某個(gè)開區(qū)域D+內(nèi)解析，則稱f(z)在閉區(qū)域D中解析．89§1.4.1解析函數(shù)的定義若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)點(diǎn)8990如果f1(z)和f2(z)在D內(nèi)解析，即f1(z)與f2(z)在D內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)，1.3節(jié)指出f1(z)和f2(z)的和、差、積、商(f2(z)≠0)也在D內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)，可見它們均為解析函數(shù)．特別是，令f1(z)=1，則解析函數(shù)f2(z)的倒函數(shù)g(z)也是解析函數(shù)(當(dāng)然，仍要求f2(z)≠0)．90如果f1(z)和f2(z)在D內(nèi)解析，即f1(z)與f29091【例1.4.1】函數(shù)f(z)=|z|2在z=0點(diǎn)是否可導(dǎo)？是否解析？解由f(z)=|z|2=x2+y2

，得u=x2+y2，v=0，由此得ux=2x，uy=2y，vx=0，vy

=0即u，v在z=0點(diǎn)可微且滿足C-R條件，可見f(z)僅于z=0點(diǎn)可導(dǎo)．因?yàn)閒(z)在z=0的鄰域除z=0點(diǎn)外均不可導(dǎo)，故f(z)在z=0不解析．若函數(shù)f(z)在某點(diǎn)a沒有定義，或者在a點(diǎn)不解析，則稱a點(diǎn)為f(z)的奇點(diǎn)．例如z=a就是函數(shù)f(z)=1/(1-z)的奇點(diǎn)．91【例1.4.1】函數(shù)f(z)=|z|2在z=0點(diǎn)是否可導(dǎo)9192§1.4.2函數(shù)解析的充要條件定理:函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件為(1)f(z)在D內(nèi)連續(xù)；(2)u，v遵守C-R條件．92§1.4.2函數(shù)解析的充要條件定理:函數(shù)f(z)在區(qū)9293既然f(z)在D內(nèi)解析定義為f(z)在D內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)，而f(z)可導(dǎo)的充要條件是u，v可微且滿足C-R條件，自然會(huì)得出函數(shù)解析的充要條件是u，v在D內(nèi)可微且滿足C-R條件．1923年，Looman等試圖利用f(z)連續(xù)代替u，v可微作為函數(shù)解析的充要條件，可惜他們的證明有缺陷．10年之后前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家在1933年完成了這一證明，定理的證明超出本書的范圍．93既然f(z)在D內(nèi)解析定義為f(z)在D內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)，而f9394§1.4.3解析函數(shù)的共扼性、調(diào)和性和保角性1．解析函數(shù)的共扼性

解析函數(shù)的實(shí)部與虛部由C-R條件聯(lián)系，稱為解析函數(shù)的共扼性。首先，可以利用解析函數(shù)的虛部確定其實(shí)部，或用實(shí)部確定其虛部，準(zhǔn)確到一個(gè)可加常數(shù)．如果給出f(z)在D內(nèi)某一點(diǎn)的值，則可加常數(shù)便能完全確定．設(shè)f(z)在D內(nèi)解析，已知v(x,y)，利用C-R條件可得du＝uxdx+uydy=vydx-vxdy(1.4.1)因?yàn)樗且粋€(gè)全微分，可以采用四種方法求出u(x,y)，分別稱為全微分法，曲線積分法，不定積分法和求導(dǎo)法。94§1.4.3解析函數(shù)的共扼性、調(diào)和性和保角性1．解析函9495959596969697(3)不定積分法．將ux=-4y對(duì)x作不定積分，由于被積函數(shù)是二元函數(shù)，故“積分常數(shù)”應(yīng)與積分變量x無關(guān)，但它可以是另一變量y的函數(shù)，即

97(3)不定積分法．將ux=-4y對(duì)x作不定積分，由于被積9798

(4)求導(dǎo)法．由98(4)求導(dǎo)法．由9899解析函數(shù)共扼性的幾何意義：曲線族u(x,y)=C1(稱為等u線)與曲線族v(x,y)=C2

(稱為等v線)互相正交．證明由矢量分析(見附錄A)可知，等u線的法線沿?u的方向，等v線的法線沿?v的方向，要證明兩曲線族正交，只要證明?u與?v正交即可，亦即證明兩矢量的標(biāo)積為零?u·?v＝0(1.4.13)由C-R條件利用這個(gè)結(jié)論容易求得靜電場等勢線與電力線的分布，詳見14.3節(jié)“用保角變換法求解邊值問題”。99解析函數(shù)共扼性的幾何意義：曲線族u(x,y)=C1(稱為991002.解析函數(shù)的調(diào)和性調(diào)和函數(shù)的定義：遵守二維拉普拉斯方程(l.4.15)的函數(shù)u(x,y)，v(x,y)稱為調(diào)和函數(shù)．解析函數(shù)的實(shí)部與虛部均為調(diào)和函數(shù)，這個(gè)性質(zhì)稱為解析函數(shù)的調(diào)和性．證明由f(z)在D內(nèi)解析，將C-R條件ux=vy和uy=-vx分別對(duì)x和y求偏導(dǎo)后相加，即得

(l.4.16)

這就證明了f(z)的實(shí)部為調(diào)和函數(shù)，同理可證其虛部亦為調(diào)和函數(shù)。1002.解析函數(shù)的調(diào)和性調(diào)和函數(shù)的定義：遵守二維拉普拉斯100101滿足C-R條件的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)稱為共扼調(diào)和函數(shù)．解析函數(shù)的實(shí)部與虛部是一對(duì)共扼性調(diào)和函數(shù)．1011011023.解析函數(shù)的保角性設(shè)w=f(z)在D內(nèi)解析，D內(nèi)的z0點(diǎn)有f'(z0)≠0，如圖1.13(a)所示．L1和L2是通過z0點(diǎn)的兩任意曲線，兩曲線在z0點(diǎn)的兩切線夾角為q=q1-q2．w=f(z)的幾何意義是從z平面到w平面的映射．設(shè)點(diǎn)z0與w平面的w0相對(duì)應(yīng)，曲線L1和L2分別與w平面曲線L'1和L'2相對(duì)應(yīng)．在w0點(diǎn)的兩切線的夾角為q'=q'1-q'2

，如圖1.3(b)所示．1023.解析函數(shù)的保角性設(shè)w=f(z)在D內(nèi)解析，D內(nèi)的z102103解析函數(shù)保角性解析函數(shù)w=f(z)在f'(z0)≠0的點(diǎn)處所實(shí)現(xiàn)的映射是保角的，即映射前后兩切線的夾角是相等的：q=q'.這個(gè)性質(zhì)稱為解析函數(shù)的保角性．103解析函數(shù)保角性解析函數(shù)w=f(z)在f'(z0)≠0的103104解析函數(shù)保角性的證明由于導(dǎo)數(shù)值與?z→0的方式無關(guān)，故分別沿曲線L1和L2取z→

z0來計(jì)算f'(z0)時(shí)，均有(1.4.17)又由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，argf'(z0)表示映射前后切線的轉(zhuǎn)動(dòng)角，這樣

(1.4.18)由右邊兩式相等，得q'1-q1=q2-q'2

移項(xiàng)后便有q1-q2=q'1-q'2由此得

q=q'104解析函數(shù)保角性的證明由于導(dǎo)數(shù)值與?z→0的方式無關(guān)，故104105解析函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)，共扼性、調(diào)和性、保角性

共扼性直接來自C-R條件調(diào)和性表現(xiàn)為保角性則由于解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的輻角argf'(z)=q'1-q1=q2-q'2

這三個(gè)性質(zhì)都是從微分角度考察解析函數(shù)得到的，在第2章則從積分角度，第3章從級(jí)數(shù)展開的角度來研究解析函數(shù)的性質(zhì)。105解析函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)，共扼性、調(diào)和性、保角性

共扼性直接105106§1.4.4初等復(fù)變函數(shù)初等復(fù)變函數(shù)是初等實(shí)變函數(shù)的自然推廣，只要把y=f(x)的自變量x和函數(shù)y分別改為復(fù)自變量z和復(fù)函數(shù)w，即w=f(z).

這里著重介紹它們作為復(fù)變函數(shù)所特有的性質(zhì)．相同的性質(zhì)不再贅述．(1)冪函數(shù)w=zn，多項(xiàng)式

有理函數(shù)是實(shí)變函數(shù)的簡單推廣，其性質(zhì)與實(shí)變函數(shù)相似。106§1.4.4初等復(fù)變函數(shù)初等復(fù)變函數(shù)是初等實(shí)變函數(shù)的106107(2)指數(shù)函數(shù)的定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的特有性質(zhì)是①

ez以2pi為周期．由定義(1.4.19)出發(fā)，有②在實(shí)數(shù)域，ex＞0；在復(fù)數(shù)域，ez可小于零，如eip=-1.③ez在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無定義．因?yàn)楫?dāng)z沿不同方向趨于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)，ez趨于不同的值．(1.4.20)107(2)指數(shù)函數(shù)的定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的特有性質(zhì)是107108(3)三角函數(shù)的定義復(fù)變量三角函數(shù)特有的性質(zhì)：正、余弦函數(shù)的?？梢源笥?.實(shí)際上令z=iy，當(dāng)y→∞時(shí)，|sinz|與|cosz|均無界．例如(1.4.21)108(3)三角函數(shù)的定義復(fù)變量三角函數(shù)特有的性質(zhì)：正、108109(4)雙曲函數(shù)的定義復(fù)變量雙曲函數(shù)特有的性質(zhì)：①雙曲正、余弦，雙曲正、余割的周期為2pi雙曲正、余切的周期為pi;②雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系為

shz＝-isin(iz)，chz＝cos(iz)，thz＝-itan(iz)

(1.4.24)(1.4.23)109(4)雙曲函數(shù)的定義復(fù)變量雙曲函數(shù)特有的性質(zhì)：(1.4109110【例1.4.3】求cosz的實(shí)部、虛部和模解按兩角和的三角公式及式(1.4.24)可得cosz＝cos(x+iy)＝cosxcos(iy)-sinxsin(iy)＝cosxchy-isinxshy(1.4.25)由此得Re(cosz)=cosxchy，Im(cosz)＝-sinxshy

(1.4.26)利用雙曲函數(shù)恒等式ch2y-sh2y=1，可得110【例1.4.3】求cosz的實(shí)部、虛部和模解按兩角和110111復(fù)變量的冪函數(shù)*、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)的反函數(shù)是多值函數(shù)，多值函數(shù)在第5章討論．本節(jié)僅介紹它們的一個(gè)單值分支（主值支）的定義，主值支在指定的區(qū)域內(nèi)是解析的．*一般冪函數(shù)(s為復(fù)數(shù))當(dāng)s≠n(整數(shù)）時(shí)，zs為多值函數(shù);當(dāng)s=n(整數(shù)）時(shí)，zn為單值函數(shù);

111復(fù)變量的冪函數(shù)*、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)的反函111112(5)根式函數(shù)定義為冪函數(shù)的反函數(shù)，滿足wn＝z

（1.4.28)的復(fù)數(shù)w稱為z的根式函數(shù)，記作將z=|z|eiArgz代入式（1.4.29），即有這表明，是多值函數(shù)．但對(duì)于其中的任一分支，如主值支(k=0)，除原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)之外是解析的．112(5)根式函數(shù)定義為冪函數(shù)的反函數(shù)，滿足wn＝z112113(6)對(duì)數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)．滿足ew＝z

z≠0（1.4.32)的復(fù)數(shù)w稱為z的對(duì)數(shù)，記作w＝Lnz(1.4.33)復(fù)變量對(duì)數(shù)函數(shù)特有的性質(zhì)是①多值性．將z=|z|eiArgz代入式(1.4.33)，可得

w=Lnz=ln|z|+iArgz=ln|z|+i(argz+2kp)，k=0，±1，±2，…(1.4.34)這表明，w=Lnz是多值函數(shù)，Lnz的主值為

Lnz=Ln|z|＋iargz(1.4.35)②在實(shí)數(shù)域，當(dāng)x<0時(shí)lnx不存在；在復(fù)數(shù)域，負(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù).113(6)對(duì)數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)．滿足ew＝z113114【例1.4.4】試計(jì)算ln(-4)的值．【例1.4.4.1】試計(jì)算Ln(-4)的值．解Ln(-4)

＝Ln|-4|+iArg(-4)＝ln4+

i[2kp+arg(-4)]＝ln4+

i(2kp+p)k=0，±1，±2，…解ln(-4)

＝ln|-4|+iarg(-4)＝ln4+ip.

114【例1.4.4】試計(jì)算ln(-4)的值．【例1.4.4114115一般冪函數(shù)由于Lnz的多值性，當(dāng)s≠n(整數(shù)）時(shí)，zs為多值函數(shù)

sLnz=s(ln|z|+iArgz)=s[ln|z|+i(argz+2kp)]=s(ln|z|+iargz)+i2skp(s為復(fù)數(shù))115一般冪函數(shù)由于Lnz的多值性，當(dāng)s≠n(整數(shù)）時(shí)，115116116116117117117118118118119119119120120120121作業(yè)-§1.4第26頁Group1Group2Group31.4.1-(1)1.4.2-(1)1.4.31.4.1-(2)1.4.2-(2)1.4.31.4.1-(3)1.4.2-(3)1.4.3121作業(yè)-§1.4第26頁Group1Gro121學(xué)習(xí)愉快學(xué)習(xí)愉快《數(shù)學(xué)物理方法》第1章復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)《數(shù)學(xué)物理方法》第1章復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)《數(shù)學(xué)物理方法》的性質(zhì)和目的性質(zhì)為信息工程與技術(shù)專業(yè)開設(shè)的專業(yè)基礎(chǔ)必修課，在教學(xué)培養(yǎng)計(jì)劃中列為主干課程。目的通過本課程的學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)物理中的常用方法，為學(xué)習(xí)理論物理課程與專業(yè)基礎(chǔ)理論課程提供基礎(chǔ)?！稊?shù)學(xué)物理方法》的性質(zhì)和目的性質(zhì)2022/11/18125教學(xué)內(nèi)容與基本要求教學(xué)內(nèi)容本課程主要講述復(fù)冪級(jí)數(shù)展開、路徑積分、積分變換、特殊函數(shù)與線性數(shù)學(xué)物理方程的定解方法數(shù)學(xué)物理方法-教學(xué)內(nèi)容與進(jìn)度表-11級(jí).doc教學(xué)基本要求以教師課堂講授為主，精講；學(xué)生課前預(yù)習(xí)，多練！布置習(xí)題或討論題，學(xué)生自學(xué)部分例題和部分章節(jié)；因公式推導(dǎo)過多，部分（或全部）課時(shí)采用電子教案，便于學(xué)生理解全過程；2022/11/93教學(xué)內(nèi)容與基本要求教學(xué)內(nèi)容1252022/11/18126教學(xué)方式：課堂講授教與學(xué)互動(dòng)，要求課前必須預(yù)習(xí)；標(biāo)有*的章節(jié)為自學(xué)內(nèi)容。成績：平時(shí)考勤：5%；平時(shí)作業(yè)：10%；期中考試：15%(第一篇的教學(xué)考核成績)期終考試：70%(期末考試成績)本課程的考試均以閉卷方式進(jìn)行。教學(xué)方式與過程2022/11/94教學(xué)方式：課堂講授教學(xué)方式與過程1262022/11/18127

教材：汪德新，《數(shù)學(xué)物理方法》，第三版，科學(xué)出版社，2006年8月參考書：［1］吳崇試，數(shù)學(xué)物理方法，北京大學(xué)出版社2003-12-26出版［2］胡嗣柱、倪光炯，《數(shù)學(xué)物理方法》，第二版，高等教育出版社，復(fù)旦大學(xué)出版社，2002；［3］梁昆森，《數(shù)學(xué)物理方法》，第三版，高等教育出版社，1998；［4］郭敦仁，《數(shù)學(xué)物理方法》，第二版，人民教育出版社，1991。教材與參考書2022/11/95教材：汪德新，《數(shù)學(xué)物理方法》，1272022/11/18128［5］鐘毓澍，數(shù)學(xué)物理方法習(xí)題指導(dǎo)，北京大學(xué)出版社2004-09-01出版［6］姚端正，《數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)》，第一版，科學(xué)出版社，2001；［7］胡嗣柱，數(shù)學(xué)物理方法解題指導(dǎo)，高等教育出版社1998年［8］李惜雯，《數(shù)學(xué)物理方法典型題解法.技巧.注釋》，西安交通大學(xué)出版社，2001；習(xí)題參考書2022/11/96［5］鐘毓澍，數(shù)學(xué)物理方法習(xí)題指導(dǎo)，128129作業(yè)：請(qǐng)介紹你有關(guān)學(xué)習(xí)本課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)情況；你對(duì)本課程教學(xué)的建議與期望。高等數(shù)學(xué)掌握程度自我評(píng)價(jià)。高等數(shù)學(xué)中：向量代數(shù)與空間解析幾何學(xué)過嗎?常微分方程的解學(xué)過嗎?三重積分、曲線積分、曲面積分學(xué)過嗎?無窮級(jí)數(shù)學(xué)過嗎?其中包括傅里葉級(jí)數(shù)嗎?

線性代數(shù)學(xué)過嗎?你對(duì)本課程教學(xué)的建議與期望。7作業(yè)：請(qǐng)介紹你有關(guān)學(xué)習(xí)本課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)情況；你對(duì)本課程教學(xué)129第一篇復(fù)變函數(shù)導(dǎo)論

自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)．本篇討論復(fù)變函數(shù)論的基本概念、基本定理和基本方法，以及若干實(shí)際運(yùn)用．解析函數(shù)是本篇研究的重點(diǎn)。復(fù)變函數(shù)導(dǎo)論是本書其后三篇的基礎(chǔ)．第一篇復(fù)變函數(shù)導(dǎo)論

自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)．131第1章介紹復(fù)變函數(shù)的微分理論．著重討論解析函數(shù)的微分性質(zhì)及其應(yīng)用．第2章介紹復(fù)變函數(shù)的積分理論．著重討論解析函數(shù)的積分性質(zhì)及其應(yīng)用．第3章介紹復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)理論．著重討論解析函數(shù)與泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)、洛朗（Laurent）級(jí)數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用．9第1章介紹復(fù)變函數(shù)的微分理論．著重討論解析函數(shù)的微分性質(zhì)及131132第4章介紹留數(shù)理論，它是復(fù)變函數(shù)積分理論與級(jí)數(shù)理論相結(jié)合的產(chǎn)物．本章利用留數(shù)定理進(jìn)行實(shí)變積分計(jì)算，整數(shù)與半整數(shù)級(jí)數(shù)和的計(jì)算．第5章介紹解析延拓與多值函數(shù)的一些基本概念．著重討論擴(kuò)大解析函數(shù)的定義域，以及將多值函數(shù)轉(zhuǎn)化為黎曼(Riemann)面上的單值解析函數(shù)的問題．10第4章介紹留數(shù)理論，它是復(fù)變函數(shù)積分理論與級(jí)數(shù)理論相結(jié)合132第1章復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)

本章首先介紹復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)的基本概念著重討論解析函數(shù)的定義、充要條件，解析函數(shù)的共扼性、調(diào)和性和保角性，以及常用的解析函數(shù)的性質(zhì)．解析函數(shù)是本篇各章研究的主要對(duì)象．第1章復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)

本章首先介紹復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)的基本概134思考：復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系。實(shí)變函數(shù)：實(shí)變量的函數(shù)。例：x,y—實(shí)變量；f(x,y)—實(shí)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)：復(fù)變量的函數(shù)，實(shí)變函數(shù)的推廣。實(shí)數(shù)→實(shí)變量→實(shí)變函數(shù)復(fù)數(shù)→復(fù)變量→復(fù)變函數(shù)12思考：復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系。實(shí)變函數(shù)：實(shí)變量134135第1章復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)內(nèi)容1.1復(fù)數(shù)1.2復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)柯西一黎曼條件1.4解析函數(shù)13第1章復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)內(nèi)容135§1.1復(fù)數(shù)本節(jié)討論復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的幾何表示法，復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算和復(fù)數(shù)序列的極限．§1.1復(fù)數(shù)本節(jié)討論復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的幾何表示法，復(fù)137

§1.1.1復(fù)數(shù)的定義和基本概念§1.1.2復(fù)數(shù)的幾何表示§1.1.3復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則15137138§1.1.1復(fù)數(shù)的定義和基本概念在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，代數(shù)方程z2+1=0

沒有解．如果把數(shù)域擴(kuò)大，則可得到兩個(gè)根，我們把*稱為虛數(shù)單位，并規(guī)定它與實(shí)數(shù)在一起可進(jìn)行通常的四則運(yùn)算．這樣，形如z=x+iy的數(shù)（其中x,y為實(shí)數(shù)）稱為復(fù)數(shù)x與y分別稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，記作

x=Rez，y=Imz*i為瑞士著名數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家歐拉（Euler)1777年首次采用記號(hào)，稱為虛數(shù)單位．

16§1.1.1復(fù)數(shù)的定義和基本概念在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，代數(shù)方138139實(shí)數(shù)和純虛數(shù)是復(fù)數(shù)的特殊情形

如2=z=2+i0實(shí)部為2，虛部為0，是純實(shí)數(shù)

4i=z=0+i4

實(shí)部為0，虛部為4，是純虛數(shù)當(dāng)x1=x2，y1=y2時(shí)，則稱z1=x1+iy1與z2=x2+iy2相等。當(dāng)x1=x2，y1=-y2時(shí)，則稱z1=x1+iy1與z2=x2+iy2

互為共軛復(fù)數(shù)。常用z*

表示z的共扼復(fù)數(shù)。(z*)*=z例：z1=2+3i與z2=2-3i稱z1與z2互為共軛復(fù)數(shù)。17實(shí)數(shù)和純虛數(shù)是復(fù)數(shù)的特殊情形

如2=z=2+i0139140復(fù)數(shù)能不能比較大小?!18復(fù)數(shù)能不能比較大小?!140141§1.1.2復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)可以用平面上的點(diǎn)來表示，稱為復(fù)數(shù)的平面表示法；球面上的點(diǎn)來表示，稱為球面表示法。

19§1.1.2復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)可以用平面上的點(diǎn)來表示1411421.復(fù)數(shù)平面表示法在復(fù)數(shù)平面中可以引入笛卡爾直角坐標(biāo)，也可以引人平面極坐標(biāo)在使用直角坐標(biāo)時(shí)，用平面上的點(diǎn)(x,y)表示復(fù)數(shù)

z=x+iy平面上的一點(diǎn)(x,y)就與一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy

相對(duì)應(yīng)，而平面上所有的點(diǎn)就與全體復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，

xoy平面就稱為復(fù)平面．每一復(fù)數(shù)還可以用一個(gè)矢量來表示．矢量由坐標(biāo)原點(diǎn)指向點(diǎn)(x,y)，如圖1.1所示，稱為復(fù)矢量

201.復(fù)數(shù)平面表示法在復(fù)數(shù)平面中可以引入笛卡爾142143在使用平面極坐標(biāo)時(shí)，復(fù)數(shù)平面上的點(diǎn)可用極坐標(biāo)(ρ，φ)表示，它與x,y的關(guān)系為:從笛卡爾直角坐標(biāo)變換到平面極坐標(biāo)，就可從復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式變換到三角表示式:這里ρ為復(fù)矢量的長度，稱為復(fù)數(shù)的模j為復(fù)矢量與x軸的夾角，稱為復(fù)數(shù)的輻角21在使用平面極坐標(biāo)時(shí)，復(fù)數(shù)平面上的點(diǎn)可用極坐標(biāo)(ρ，φ)143144一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)于無限多個(gè)輻角，設(shè)j0是其中的一個(gè)，則通常用argz表示輻角Argz的主值，主值的取值范圍是復(fù)數(shù)z=0的輻角沒有確定值，說”z=0”的輻角等于多少”是沒有意義的。用極坐標(biāo)表示一個(gè)復(fù)數(shù)z時(shí)，輻角Argz的值不唯一22一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)于無限多個(gè)輻角，144145（3）指數(shù)表示．復(fù)數(shù)的指數(shù)表示為

z＝reij（1.1.10)利用歐拉公式eij

=cosj+isinj可以將復(fù)數(shù)的三角表示變換為指數(shù)表示①z＝reij

=r(cosj+isinj)（1.1.11)①23（3）指數(shù)表示．復(fù)數(shù)的指數(shù)表示為①145146下面舉例說明從復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式到三角表示式的變換。例1求的三角表示式與指數(shù)表示式。解本題的關(guān)鍵在于求出所給的復(fù)數(shù)的模與幅角，并注意到點(diǎn)位于第二象限，故有24下面舉例說明從復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式到三角表示式的變換。本題的1461472.用復(fù)數(shù)球面表示復(fù)數(shù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)正如復(fù)數(shù)平面上的每一點(diǎn)與一個(gè)復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，因而可以用復(fù)數(shù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)球面上的每一點(diǎn)也可以與一個(gè)復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，所以可以用復(fù)數(shù)球面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)。252.用復(fù)數(shù)球面表示復(fù)數(shù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)正如復(fù)數(shù)平面上的每一點(diǎn)與147148首先，過復(fù)數(shù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)。作一個(gè)球面與復(fù)數(shù)平面相切（圖1.2).然后過。作復(fù)數(shù)平面的垂線交球面于N點(diǎn)，稱為北極點(diǎn)．再作射線NP交球面于P’點(diǎn)．這樣，球面上的P’點(diǎn)與平面上的P點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，因而球面上所有的點(diǎn)也與全體復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)；由圖1.2可見，復(fù)數(shù)平面上以O(shè)為圓心的圓L上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)球面緯線L’上的點(diǎn)相對(duì)應(yīng)；圓L內(nèi)部的點(diǎn)與球面緯線L’下方的點(diǎn)相對(duì)應(yīng);當(dāng)平面上圓L的半徑ρ→∞時(shí)，球面上的緯線L’趨向球頂并縮成一點(diǎn)N.26首先，過復(fù)數(shù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)。作一個(gè)球面與復(fù)數(shù)平面相切（圖148149由此可見，復(fù)平面的無限遠(yuǎn)處，對(duì)應(yīng)于球面上的一點(diǎn)N.在這個(gè)意義上，把復(fù)平面無限遠(yuǎn)處看成一個(gè)“點(diǎn)”，稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)平面的無限遠(yuǎn)處看成一個(gè)“點(diǎn)”-無限遠(yuǎn)點(diǎn)。27由此可見，復(fù)平面的無限遠(yuǎn)處，對(duì)應(yīng)于球面上的一點(diǎn)N.149150§1.1.3復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則(1)加法復(fù)數(shù)z1和z2

的和定義為

z=z1+z2=(x1+iy1)+(x2+iy2)

=(x1+x2)+i(y1+y2)復(fù)數(shù)加法的幾何意義是：兩個(gè)復(fù)矢量的和遵守平行四邊形法則。從右圖可以得到兩個(gè)重要不等式：（三角形兩邊長之和不小于第三邊）

（三角形兩邊之差小于第三邊）等號(hào)是在三角形變成直線時(shí)成立．這些不等式在導(dǎo)出復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)時(shí)要用到．(1)加法復(fù)數(shù)z1和z2

的和定義為

z=z1+z2=(x1+iy1)+(x2+iy2)

=(x1+x2)+i(y1+y2)復(fù)數(shù)加法的幾何意義是：兩個(gè)復(fù)矢量的和遵守平行四邊形法則。從右圖可以得到兩個(gè)重要不等式：

（三角形兩邊之差小于第三邊）等號(hào)是在三角形變成直線時(shí)成立．這些不等式在導(dǎo)出復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)時(shí)要用到．28§1.1.3復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則(1)加法復(fù)數(shù)z1和z150151

(2）減法