全等三角形作輔助線經(jīng)典例題

-.z.全等三角形作輔助線經(jīng)典例題常見輔助線的作法有以下幾種：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用"三線合一〞的性質解題，思維模式是全等變換中的"對折〞．遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的"旋轉〞．遇到角平分線，可以自角平分線上的*一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的"對折〞，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理．過圖形上*一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的"平移〞或"翻轉折疊〞；〔遇垂線及角平分線時延長垂線段，構造等腰三角形〕截長法與補短法，具體做法是在*條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將*條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把*點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．一、倍長中線〔線段〕造全等1：，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.2：如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比擬BE+CF與EF的大小.3：如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.中考應用1、以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關系及數(shù)量關系．〔1〕如圖①當為直角三角形時，AM與DE的位置關系是，線段AM與DE的數(shù)量關系是；〔2〕將圖①中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(0<<90)后，如圖②所示，〔1〕問中得到的兩個結論是否發(fā)生改變？并說明理由．二、截長補短1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC2：如圖，AD∥BC，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過點E，求證;AB＝AD+BC3：如圖，在，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：5:如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點，求證;AB-AC＞PB-PC6．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B∶∠C的值．中考應用：三.借助角平分線造全等1：如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD2：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.〔1〕說明BE=CF的理由；〔2〕如果AB=，AC=，求AE、BE的長.中考應用:1、如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答以下問題：〔1〕如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關系；OPAMNEBCDFOPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③四、平移變換1.AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點，△ABC周長記為，△EBC周長記為.求證＞.2：如圖，在△ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.五、旋轉1：正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).2：D為等腰斜邊AB的中點，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F?！?〕當繞點D轉動時，求證DE=DF?！?〕假設AB=2，求四邊形DECF的面積。3.如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為；中考應用：1、四邊形中，，，，：，，繞點旋轉，它的兩邊分別交〔或它們的延長線〕于．〔1〕當繞點旋轉到時〔如圖1〕，易證．〔2〕當繞點旋轉到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？假設成立，請給予證明；假設不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜測，不需證明．〔圖〔圖1〕〔圖2〕〔圖3〕2、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,,BD=DC.探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系及的周長Q與等邊的周長L的關系．圖1圖2圖3〔=1\*ROMANI〕如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是；此時；〔=2\*ROMANII〕如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜測〔=1\*ROMANI〕問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜測并加以證明；〔=3\*ROMANIII〕如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，假設AN=，則Q=〔用、L表示〕．六、構造全等例1：：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，D為BC的中點，CE⊥AD于E，交AB于F，連接DF．求證：∠ADC=∠BDF．2．如圖，△ABC中，AB=AC，過點A作GE∥BC，角平分線BD、CF相交于點H，它們的延長線分別交GE于點E、G．試在圖10中找出3對全等三角形，并對其中一對全等三角形給出證明．3．△ABC，AB=AC，E、F分別為AB和AC延長線上的點，且BE=CF，EF交BC于G．求證：EG=GF．4．：△ABC中，BD=CD，∠1＝∠2．求證：AD平分∠BAC．說明：遇到有關角平分線的問題時，可引角的兩邊的垂線，先證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的性質得出垂線段相等，再利用角的平分線性質得出兩角相等．〔2〕利用角的平分線構造全等三角形：①過角平分線上一點作兩邊的垂線段練習：如圖22，AB∥CD，E為AD上一點，且BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD．求證：AE=ED．②以角的平分線為對稱軸構造對稱圖形例：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．求證：AB=AC+CD．分析：由于角平分線所在的直線是這個角的對稱軸，因此在AB上截取AE=AC，連接DE，我們就能構造出一對全等三角形，從而將線段AB分成AE和BE兩段，只需證明BE=CD就可以了．③延長角平分線的垂線段，使角平分線成為垂直平分線例：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求證：∠ACE=∠B+∠ECD．分析：注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延長CE交AB于點F，即可構造全等三角形．〔3〕利用角的平分線構造等腰三角形如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過點D作DE∥AB，DE交AC于點E．易證△AED是等腰三角形．因此，我們可以過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構造等腰三角形．例如圖，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于點E．求證：CD=BE．練習：1．如圖，在△ABC中，∠B=90o，AD為∠BAC的平分線，DF⊥AC于F，DE=DC．求證：BE=CF．2．：如圖，AD是△ABC的中線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF．求證：〔1〕AD是∠BAC的平分線；〔2〕AB=AC．3．在△ABC中，∠BAC=60o，∠C=40o，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q．求證：AB+BP=BQ+AQ．4．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC+CD．求證：∠C=2∠B．5．，E為△ABC的∠A的平分線AD上一點，AB＞AC．求證：AB-AC＞EB-EC．6．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC．求證：∠A+∠C=180o．7．如下圖，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直線DC過點E作交AD于點D，交BC于點C．求證：AD+BC=AB．8．，如圖，△ABC中，∠ABC=90o，AB=BC，AE是∠A的平分線，CD⊥AE于D．求證：CD=AE．9．△ABC中，AB=AC，∠A=100o，BD是∠B的平分線．求證：AD+BD=BC．10．如圖36，∠B和∠C的平分線相交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，假設BD+CE=9，則線段DE的長為〔〕A．9B．8C．7D．611．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于點D，且D是BC的中點．求證：AB=AC．12．：如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E是BC的中點，EF∥AD，交AB于M，交CA的延長線于F．求證：BM=CF．1.如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=450，將△ADC繞點A順時針旋轉900后，得到△AFB，連接ＥＦ，以下結論：〔１〕△ＡＥＤ≌△ＡＥＦ；〔２〕△ＡＢＥ∽△ＡＣＤ；〔３〕ＢＥ＋ＤＣ＝ＤＥ；〔４〕ＢＥ２＋ＤＣ２＝ＤＥ２．其中正確的選項是〔〕A．〔2〕〔4〕B．〔1〕(4)C．(2)(3)D．(1)(3)2.在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，則AM的最小值為．3.如圖，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長線上，且DE=CF，AF、BE交于點P.〔1〕求證：AF=BE；〔2〕請你猜測∠BPF的度數(shù)，并證明你的結論.4.：如圖，在△ABC中，∠ACB=，于點D,點E在AC上，CE=BC,過E點作AC的垂線，交CD的延長線于點F.求證：AB=FC5．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分線，AF∥DC，連接AC、CF，求證：CA是∠DCF的平分線.6.如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上移動，但A到EF的距離AH始終保持與AB長相等，問在E、F移動過程中：(1)求證：∠EAF=45o;(2)△ECF的周長是否有變化？請說明理由.7.如圖，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，點P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分別為D、E，DC=2，求BE的長。ABCDABCDEF(1)∠DEF和∠CBE相等嗎？請說明理由；(2)請找出圖中與EB相等的線段(不另添加輔助線和字母)，并說明理由.9.將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張紙片，再將這兩張三角形紙片