線性代數(shù)3.矩陣初等變換

第三章矩陣的初等變換與線性方程組1、矩陣的初等變換2、矩陣的秩3、線性方程組的解§3.1

矩陣的初等變換(1)一、消元法解線性方程組分析:用消元法解下列方程組的過程.引例:求解線性方程組1

2

34

9

x3

7

x4

9

6

x23

x14

x

6

x

2

x

2

x

4x1

x2

2

x3

x4

2

x4

4

2

x1

x2

x3①②③④41

2

3

7

x4

93

x1

6

x2

9

x3

2

x

3

x

x

x

2

2

x1

①②③④x1

x2

2

x3

x4

4x2

x3

x4

2解:1(B

)(1)①②③22

34

4

x4

33

x2

3

x3

5

x

5

x

3

x

6

x4

4

x4

0

x1

x2

2

x3

x2

x3①②③④①②③④

3

x4

6

4

x4

3

5

x2

2

x4

0

x4

4x2

2

x32

x2

2

x3

5

x33

x2

3

x3

x1

2(B

)②③③2①④3①②23(B

)①②③④44x

32

x

6x2

x3

x4

0

x1

x2

2

x3

x4

4③+5②④–3②4(B

)③2④③④①②③④x2

x3

x4

0x4

30

0

x1

x2

2

x3

x4

45(B

)2

3

x

3

x

x1

x3

4用“回代”的方法求出解.于是得解:

x4

3其中x3可以任意取值.

或令x3=c,

方程組的解可記作:3,

3

4

c

3x

x

2x

x

c

30

x1

c

4

4

0

1

3

1

(2)其中c為任意常數(shù).或x

c

1

歸納以上過程:上述解方程組的方法稱為消元法．始終把方程組看作整體變形,用到如下三種變換:(1)

交換方程次序:

i

與

j

相互替換;(2)以非零數(shù)k

乘某個方程:以ik替換

i

;i

j若(A)(

A);若(A)(B),i

k

j若(A)i

k(B),

則(B)(B),

則(B)(

A);i

ji

k(

A).i

k

j則(B)(3)一個方程加上另一個方程的

k

倍:以

i

+k

j

替換

i

.3.上述三種變換都是可逆的.三種變換都是可逆的,所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的.故這三種變換是同解變換.因為在上述變換過程中,未知量并未參與本質(zhì)性運算,僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算,只因某未知量前的系數(shù)化為0,而不顯含該未知量.

7

96

3

2

4

4

2

1

1

1

21

2

1

4

6

2

9若記B

(A

|

b)

1則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組(1)的增廣矩陣)的變換.二、矩陣的初等變換定義:下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:ri

rj

：對調(diào)i,j

兩行;ri

k

：第i

行乘非零數(shù)k;ri+krj

：將第j

行的k

倍加到第i

行.同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．矩陣的初等行(列)變換統(tǒng)稱為初等變換.初等變換的逆變換仍為初等變換且變換類型相同.ri

rj

的逆變換為

rj

ri;ri

k

的逆變換為

ri

(1/k),

或

ri

k;ri+krj

的逆變換為

ri+(–k)rj

,或ri

–krj

.若矩陣A經(jīng)過有限次初等行(列)變換變成矩陣B，則稱A與B行(列)等價.記作Ar

B(AcB).若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B,則稱矩陣A與矩陣B等價.記作AB.矩陣的(行、列)等價關(guān)系具有如下性質(zhì):自反性:A

A;對稱性:若A

B,則B

A;傳遞性:若A

B,且B

C,則A

C.

3

4

1B

2用矩陣的初等行變換解方程組(1).r

r21r32

2

11

66

1

1

1

36

12

0

5

0

3r2–r3r

–2r3

1r4–3r1①②③2②③③2①④3①

0

0

0

0r3+5r2r4–3r2r2

21

53

1

1

21

10

00

01

21

10

0r3–2r4r4r30

0

0

0

0

0

0

0

0

11

1r

–r2

3r1–r3r1–r2②2③+5②④–3②③2④③④②③①③①②

4

x2

x3

3

3

3

c

3

c

4

x4

x

2

x1

x

x

c

034

0

3

1

1

c

1

B6對應(yīng)的方程組為:

x1

x3

x4

3或令x3=c(c為任意常數(shù)),方程組的解可記作:定義2:矩陣A稱為行階梯形矩陣,若(1).非零行在零行的上面；(2).非零行的首非零元所在列在上一行的首非零元所在列的后面(階梯型).進一步,若矩陣A還滿足(i).非零行的首非零元為1;(ii).首非零元所在的列的其他元素均為0;則A稱為行最簡形矩陣.行最簡形矩陣再經(jīng)過列初等列變換可化成標(biāo)準(zhǔn)形.

1

0

0

1

0

3

0

0

0

0

0

1

0

0

1

4B6c3c4

0

1

00

0

0

0

0

0

0

1

0

33

1

0

0

0

43

c4+c1+c2

0

1

0

0對任何矩陣Amn,總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它們變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣.注意:行最簡形矩陣是由矩陣(方程組)唯一確定,行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)由矩陣(方程組)唯一確定.

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

F

1

0

0

0

0c5–4c1–3c2+3c3

矩陣F稱為矩陣B的標(biāo)準(zhǔn)形.特點:標(biāo)準(zhǔn)形F的左上角是單位矩陣,其余元素全為零.O

mnO

OF

Er任一個矩陣Amn總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形由m,n,r三個數(shù)唯一確定,其中r

就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).所有與矩陣A等價的矩陣組成的集合,稱為等價類,標(biāo)準(zhǔn)形F是這個等價類中最簡單的矩陣.三、初等矩陣定義:由單位矩陣E

經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣.

a.對調(diào)兩行或兩列;

b.以非零數(shù)k乘某行或某列;

c.

以數(shù)k乘某行(列)加到另一行(列)上去.a.對調(diào)兩行或兩列11111

11

0

0

1對調(diào)E中第i,j兩行(或列),得初等矩陣E(i,j):第i

行第j

行E(i,

j)

=

mn

a

a

aa

a

a

a

m1

m

2j1j

2a1n

a11

a12jn

第i

行第j

行用m階初等矩陣Em(i,j)左乘A=(aij)mn,得0

1

1

1

1

0

mn

aaaa

aajnamm21jj21a1ana1211

Em(i,

j)A=

相當(dāng)于對矩陣A施行第一種初等行變換:把A的第i

行與第j

行對調(diào)(rirj).mn

aa

amj

a

a

am12n

2i21 2

ja1i

a1n

a1

j

a11AEn

(i,

j)

第i

列

ami

a第j

列用n階初等矩陣En(i,j)右乘A=(aij)mn,得相當(dāng)于對矩陣A施行第一種初等列變換:把A的第i列與第j列對調(diào)(cicj).111

1kE(i(k

))

b.以非零數(shù)k乘某行或某列以數(shù)k0乘單位矩陣的第i

行(或列)得初等矩陣E(i(k)).

第i

行

mn

m

aaa

mm21a1ana1211

((

))AkiEa

第i

行以Em(i

(k))左乘矩陣A=(aij)mn,得相當(dāng)于以數(shù)k乘A的第i

行(rik).類似地,以En(i

(k))右乘矩陣A=(aij)mn,其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù)k乘A的第i

列(cik).1

1

11

k第i

行第j

行c.以數(shù)k

乘某行(列)加到另一行(列)上去以k乘E的第j

行加到第i

行上,或以k乘E的第i

列加到第j

列上得初等矩陣E(ij(k)).以Em(ij(k))左乘矩陣A=(aij)mn,相當(dāng)于把A的第j

行乘數(shù)k加到A的第i

行上(ri+krj).inaaa

jn

a

amnm

2m1a

j

2a

j1j

2j1

i

2i1Em

(ij(k

))A

a11

a12

a1n

ka

a

ka

a

a

jn

第i

行

第j

行類似地,以En(ji(k))右乘矩陣A=(aij)mn,其結(jié)果相當(dāng)于把A的第j

列乘數(shù)k加到A的第i

列上(ci+kcj).mn

aa

ami

kamj

amj

a

a

am12n

2

j2i

2

j21

ka1

j

a1

j

a

kaa1i

a1n

a11AEn

(

ji(k

))

第i

列第j

列性質(zhì)1:設(shè)A是一個mn矩陣,對A施行一次初等行變換,相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣;對A施行一次初等列變換,相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣變換rirj

的逆變換是其本身,則E(i,

j)-1=

E(i,

j).變換rik

的逆變換是ri(1/k),則E(i(k))-1

=

E(i(1/k)).變換ri+krj

的逆變換是ri+(–k)rj

,則E(ij(k))-1

=

E(ij(–k)).Ps

F

Ps+1P1P2

Pl

=A.性質(zhì)2:方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣P1,

P2,···,Pl

,

使A=P1P2···

Pl

.證:

充分性.

設(shè)A

=

P1P2

Pl

,

因初等矩陣P1,

P2,

···,

Pl可逆,有限個可逆矩陣的乘積仍是可逆,故方陣A可逆.必要性.設(shè)矩陣A可逆,且A的標(biāo)準(zhǔn)形為F,則存在有限個初等矩陣P1,P2,···,Pl使得因A可逆,P1,P2,···,Pl可逆,故A的標(biāo)準(zhǔn)形F

必可逆,設(shè)O

nnO

OF

Er假若r

<n,則|

F

|=0,這與F

可逆A

=

P1P2···

Pl

..故有F

=E.從而,證畢.定理:設(shè)A

和B為mn矩陣,則ArB的充要條件是存在m階可逆矩陣P,使得PA=B.AcB的充要條件是存在n階可逆矩陣Q,使得AQ=B.AB的充要條件是存在m階可逆矩陣P

及n階可逆矩陣Q,使得PAQ=B.證:(iii).AB?A經(jīng)過有限次初等變換變成B?存在有限個m階初等矩陣P1,P2,···,Ps,及有限個n階初等變換Q1,

Q2,

···,

Qt,使得P1P2

PsA

Q1Q2

Qt

=

B.?存在可逆矩陣P,Q使得PAQ=B.l l

1

1

1

1P

1

P

1

P

1

A

E,及Pl1

Pl1P

1

E

A1

.11

1

1

1l l

1

1

l l

1

11

PP

P A

|

P

P

P E

1

E

|

A

11l l

11

1P

P

P

A

|

E

即,對n2n矩陣(A|E)施行初等行變換,當(dāng)把A變成E的同時,原來的E就變成了A-1.對n2n矩陣(A

E)分塊為(A

|

E),則推論1:方陣A可逆的充分必要條件是Ar

E

(Ac

E).證:方陣A可逆?存在方陣P使得PA=E?Ar

E?存在方陣P使得AP=E?AcE注意:可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形和行最簡形就是E.利用初等變換求逆陣的方法:當(dāng)|

A

|

0時,

則由

A=P1P2

Pl

,

得由性質(zhì)2得:

存在初等矩陣P1,

P2,···,

Pl

,

使A=P1P2···

Pl

,即

Pl1

Pl1

P

1

A

E,

及

Pl1

Pl1

P

1B

A1B.1

1

1

1故當(dāng)經(jīng)過初等行變換將A化為E的同時也將B化為A-1B.考慮分塊矩陣(A|

B),可得Pl1

Pl1

P

1

(

A

|

B)

(

E

|

A1B),1

1利用初等變換求A-1B

:對矩陣方程AX

=B,其中A為n階方陣,B為ns

階矩陣,如果A可逆,則X

=A-1B.對于有n個未知數(shù)n個方程的線性方程組,用矩陣

(向量)方程Ax=b

表示.如果增廣矩陣B

=(A

|

b)經(jīng)初等行變換化為(E

|

x)時,則系數(shù)矩陣A可逆,且x

=A-1b為方程Ax=b

的唯一解(向量).利用初等變換求線性方程組:

3

4

3

0

0

1

1

2

3

1

0

0A

|

E

2

2

1

0

1

0

3

4

3

1

2

3例1:

設(shè)A=

2

2

1,

求A-1.解:

3

0

1

0

2

1

0

0r2–2r1r3–3r1r

+r1

2r3–r20

1

1

1

100

2

5

2

1

0

1

1

0

1

0

2r1–2r3r2–5r31

1

1

1

00

3

6

5

0

1

2

3

1

0

0

2

5

2

6

1

0

0

1

3

2

2022

5

.

0

0

1r3(–1)

1r

(–2)

1

0

0

1

30

1

0

321

1

3

2135

1

21

3

3

.2

211所以A

3

1

2A

2

24

3(

A

|

B)

2例2:求矩陣X,使AX=B,其中解:若A可逆,則X=A-1B.

1

0

00

12

50

2r2–2r1r3–3r1r

+r1

2r3–r20

1

2

2

20

20r

–2r

11 3

02r

–5r30

30

21

1r2(–2)3r

(–1)13所以X

2

C

如果要求Y=CA-1,則可對矩陣

A作初等列變換.

C

1CAE

A

列變換,

即可求得Y=CA-1.也可改為對(AT|CT)作初等行變換.(AT

|

CT

)行變換(E

|(AT

)1

CT

),即可求得YT=(AT)-1CT=(A-1)TCT,從而求得Y=CA-1.利用初等變換求CA-1

:解:因為|A|=20,所以A可逆.又A*=|A|A-1.

0

0

000

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

2222100

0111010A

|

E

0

0

1r1–2r2ri–ri+1

001i=2,

···,n-1

0

000

1

0

0

0

1

1

0

21

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

10

0

1

0

0

1

0

2

2

2

21

1

0

1

0

0

0

1例3:已知n階方陣A=

0ni

,

j1的代數(shù)

式之和:

Aij

.1,求A中所有元素0

0

0

1

20

02

2

,010

0

0

2

0

1

11

101

10100A

A*

,0

2

2

0

0

0

2

1.n

Aiji

,

j1因為A*=|A|A-1,故A*=2A-1.即所以1.初等行(列)變換初等變換是可逆變換，其逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．3.矩陣等價具有的性質(zhì):自反性,對稱性,傳遞性.小結(jié)

(1)

ri

rj

(cicj);i

i(2)r

k

(c

k

);i

j

i

j

(3)r

+kr

(c

+kc

).2.A

初等變換B

AB.一次初等變換單位矩陣

初等矩陣.利用初等變換求逆陣的步驟是:(1)

構(gòu)造矩陣(A|E)或

A;

E

(2)對矩陣(A|E)施行初等行變換,將A化為單位矩陣E后,右邊E對應(yīng)部分即為A-1;或?qū)?/p>

A施行初等列

E

變換,將A化為單位陣E后,E對應(yīng)的部分即為A-1.小結(jié)思考題已知四元齊次方程組3

4

x