高考數(shù)學(xué)《28 函數(shù)與方程》課件

2.8

函數(shù)與方程2.8函數(shù)與方程-2-知識梳理雙基自測2311.函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使

成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點.

(2)函數(shù)零點的等價關(guān)系方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與

有交點?函數(shù)y=f(x)有

.

(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)f(x)=0x軸

零點

連續(xù)曲線

f(a)·f(b)<0f(x0)=0-2-知識梳理雙基自測2311.函數(shù)的零點f(x)=0x軸-3-知識梳理雙基自測2312.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系

(x1,0),(x2,0)

(x1,0)

210-3-知識梳理雙基自測2312.二次函數(shù)y=ax2+bx+c-4-知識梳理雙基自測2313.二分法對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且

的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間

,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近

,進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法.

f(a)·f(b)<0一分為二

零點

-4-知識梳理雙基自測2313.二分法f(a)·f(b)<02-5-知識梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的打“√”,錯誤的打“×”.(1)函數(shù)f(x)=x2-1的零點是(-1,0)和(1,0).(

)(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0時沒有零點.(

)(3)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象是連續(xù)的),則f(a)·f(b)<0.(

)(4)若函數(shù)f(x)在(a,b)上連續(xù)單調(diào)且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)f(x)在[a,b]上有且只有一個零點.(

)(5)函數(shù)y=2sinx-1的零點有無數(shù)多個.(

)(6)只要函數(shù)有零點,我們就可以用二分法求出零點的近似值.(

)答案答案關(guān)閉(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

(5)√

(6)×

2-5-知識梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的打“√”,-6-知識梳理雙基自測234152.(2016山東青島一模)函數(shù)f(x)=1-xlog2x的零點所在區(qū)間是(

)C.(1,2) D.(2,3)答案解析解析關(guān)閉∵f(1)=1>0,f(2)=1-2=-1<0,∴f(1)·f(2)<0,且函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)的,故選C.答案解析關(guān)閉C-6-知識梳理雙基自測234152.(2016山東青島一模)-7-知識梳理雙基自測234153.如果二次函數(shù)y=x2+mx+m+3有兩個不同的零點,那么m的取值范圍是(

)A.(-2,6) B.[-2,6] C.{-2,6} D.(-∞,-2)∪(6,+∞)答案解析解析關(guān)閉由題意,有Δ=m2-4(m+3)>0,即(m-6)·(m+2)>0,解得m>6或m<-2,故選D.答案解析關(guān)閉D-7-知識梳理雙基自測234153.如果二次函數(shù)y=x2+m-8-知識梳理雙基自測234154.函數(shù)f(x)=x2-2x在x∈R上的零點的個數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-8-知識梳理雙基自測234154.函數(shù)f(x)=x2-2x-9-知識梳理雙基自測234155.(教材例題改編

P116例2)函數(shù)f(x)=ex+3x,則方程ex+3x=0實數(shù)解的個數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案解析解析關(guān)閉由已知得f'(x)=ex+3>0,故f(x)在R上是增函數(shù),又f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0,且函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)的,所以f(x)的零點個數(shù)是1,故方程ex+3x=0有一個實數(shù)解.答案解析關(guān)閉B-9-知識梳理雙基自測234155.(教材例題改編P116-10-考點1考點2考點3例1(1)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=ex+4x-3的零點所在的區(qū)間為(

)(2)(2016山西陽泉高三模擬)設(shè)定義域為(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)函數(shù)f(x),對任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-lnx]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一個解,則x0可能存在的區(qū)間是(

)A.(0,1) B.(e-1,1)C.(0,e-1) D.(1,e)思考判斷函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是否存在零點的常用方法有哪些?答案答案關(guān)閉(1)C

(2)D

-10-考點1考點2考點3例1(1)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x-11-考點1考點2考點3(2)令f(x)-ln

x=k,則f(x)=ln

x+k.由f[f(x)-ln

x]=e+1,得f(k)=e+1.又f(k)=ln

k+k=e+1,可知k=e.-11-考點1考點2考點3(2)令f(x)-lnx=k,則-12-考點1考點2考點3解題心得判斷函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是否存在零點,常用以下方法:(1)解方程:當(dāng)對應(yīng)方程易解時,可通過解方程,觀察方程是否有根落在給定區(qū)間上.(2)利用函數(shù)零點的存在性定理進(jìn)行判斷:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點.(3)通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.-12-考點1考點2考點3解題心得判斷函數(shù)y=f(x)在某個-13-考點1考點2考點3(2)已知函數(shù)

的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)(3)函數(shù)f(x)=x2-3x-18在區(qū)間[1,8]上

零點.(填“存在”或“不存在”)

答案答案關(guān)閉(1)C

(2)C

(3)存在對點訓(xùn)練1(1)(2017山西重點中學(xué)協(xié)作體期末)函數(shù)f(x)=2x-1+x-5的零點所在的區(qū)間是(

)A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)-13-考點1考點2考點3答案答案關(guān)閉(1)C(2-14-考點1考點2考點3由f(1)f(2)=(1+1-5)(2+2-5)>0,可排除B;由f(2)f(3)=(2+2-5)(4+3-5)<0,可知函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為(2,3).故選C.(2)由條件可知f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3.(3)(方法一)∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)·f(8)<0,又f(x)=x2-3x-18在區(qū)間[1,8]上的圖象是連續(xù)的,∴f(x)=x2-3x-18在區(qū)間[1,8]上存在零點.-14-考點1考點2考點3由f(1)f(2)=(1+1-5)-15-考點1考點2考點3(方法二)令f(x)=0,得x2-3x-18=0,∴(x-6)·(x+3)=0.∴x=6或x=-3.∵x=6∈[1,8],x=-3?[1,8],∴f(x)=x2-3x-18在區(qū)間[1,8]上存在零點.-15-考點1考點2考點3(方法二)令f(x)=0,得x2--16-考點1考點2考點3例2(1)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點個數(shù)為

(

)A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對于任意的x∈[0,+∞),滿足f(x+2)=f(x),若當(dāng)x∈[0,2)時,f(x)=|x2-x-1|,則函數(shù)y=f(x)-1在區(qū)間[-2,4]上的零點個數(shù)為

.

思考判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法有哪些?答案答案關(guān)閉

(1)B

(2)7

-16-考點1考點2考點3例2(1)函數(shù)f(x)=2x|lo-17-考點1考點2考點3-17-考點1考點2考點3-18-考點1考點2考點3(2)由題意作出y=f(x)在區(qū)間[-2,4]上的圖象,可知與直線y=1的交點共有7個,故函數(shù)y=f(x)-1在區(qū)間[-2,4]上的零點個數(shù)為7.-18-考點1考點2考點3(2)由題意作出y=f(x)在區(qū)間-19-考點1考點2考點3解題心得判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法:(1)解方程法:若對應(yīng)方程f(x)=0可解時,通過解方程,則有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在性定理法:利用定理不僅要判斷函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點.(3)數(shù)形結(jié)合法:轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題.先畫出兩個函數(shù)的圖象,再看其交點的個數(shù),其中交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù).-19-考點1考點2考點3解題心得判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法:-20-考點1考點2考點3對點訓(xùn)練2(1)函數(shù)f(x)=sin(πcosx)在區(qū)間[0,2π]上的零點個數(shù)是(

)A.3 B.4 C.5 D.6A.0 B.1 C.2 D.3答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-20-考點1考點2考點3對點訓(xùn)練2(1)函數(shù)f(x)=si-21-考點1考點2考點3答案答案關(guān)閉A-21-考點1考點2考點3答案答案關(guān)閉A-22-考點1考點2考點3解析:

作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.設(shè)f(a)=f(b)=f(c)=t,由a<b<c,可知0<t<1.由f(a)=ea=t,得a=ln

t;由f(b)=1-b=t,得b=1-t;-22-考點1考點2考點3解析:作出函數(shù)f(x)的圖象如圖-23-考點1考點2考點3-23-考點1考點2考點3-24-考點1考點2考點3解題心得已知函數(shù)有零點(方程有根),求參數(shù)的取值范圍常用的方法:(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,再數(shù)形結(jié)合求解.-24-考點1考點2考點3解題心得已知函數(shù)有零點(方程有根)-25-考點1考點2考點3對點訓(xùn)練3(2016山東淄博高三期末)已知函數(shù)k∈R,若函數(shù)y=|f(x)|+k有三個零點,則實數(shù)k的取值范圍是(

)A.k≤2 B.-1<k<0C.-2≤k<-1 D.k≤-2答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-25-考點1考點2考點3對點訓(xùn)練3(2016山東淄博高三期2.8

函數(shù)與方程2.8函數(shù)與方程-27-知識梳理雙基自測2311.函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使

成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點.

(2)函數(shù)零點的等價關(guān)系方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與

有交點?函數(shù)y=f(x)有

.

(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)f(x)=0x軸

零點

連續(xù)曲線

f(a)·f(b)<0f(x0)=0-2-知識梳理雙基自測2311.函數(shù)的零點f(x)=0x軸-28-知識梳理雙基自測2312.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系

(x1,0),(x2,0)

(x1,0)

210-3-知識梳理雙基自測2312.二次函數(shù)y=ax2+bx+c-29-知識梳理雙基自測2313.二分法對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且

的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間

,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近

,進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法.

f(a)·f(b)<0一分為二

零點

-4-知識梳理雙基自測2313.二分法f(a)·f(b)<02-30-知識梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的打“√”,錯誤的打“×”.(1)函數(shù)f(x)=x2-1的零點是(-1,0)和(1,0).(

)(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0時沒有零點.(

)(3)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象是連續(xù)的),則f(a)·f(b)<0.(

)(4)若函數(shù)f(x)在(a,b)上連續(xù)單調(diào)且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)f(x)在[a,b]上有且只有一個零點.(

)(5)函數(shù)y=2sinx-1的零點有無數(shù)多個.(

)(6)只要函數(shù)有零點,我們就可以用二分法求出零點的近似值.(

)答案答案關(guān)閉(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

(5)√

(6)×

2-5-知識梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的打“√”,-31-知識梳理雙基自測234152.(2016山東青島一模)函數(shù)f(x)=1-xlog2x的零點所在區(qū)間是(

)C.(1,2) D.(2,3)答案解析解析關(guān)閉∵f(1)=1>0,f(2)=1-2=-1<0,∴f(1)·f(2)<0,且函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)的,故選C.答案解析關(guān)閉C-6-知識梳理雙基自測234152.(2016山東青島一模)-32-知識梳理雙基自測234153.如果二次函數(shù)y=x2+mx+m+3有兩個不同的零點,那么m的取值范圍是(

)A.(-2,6) B.[-2,6] C.{-2,6} D.(-∞,-2)∪(6,+∞)答案解析解析關(guān)閉由題意,有Δ=m2-4(m+3)>0,即(m-6)·(m+2)>0,解得m>6或m<-2,故選D.答案解析關(guān)閉D-7-知識梳理雙基自測234153.如果二次函數(shù)y=x2+m-33-知識梳理雙基自測234154.函數(shù)f(x)=x2-2x在x∈R上的零點的個數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-8-知識梳理雙基自測234154.函數(shù)f(x)=x2-2x-34-知識梳理雙基自測234155.(教材例題改編

P116例2)函數(shù)f(x)=ex+3x,則方程ex+3x=0實數(shù)解的個數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案解析解析關(guān)閉由已知得f'(x)=ex+3>0,故f(x)在R上是增函數(shù),又f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0,且函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)的,所以f(x)的零點個數(shù)是1,故方程ex+3x=0有一個實數(shù)解.答案解析關(guān)閉B-9-知識梳理雙基自測234155.(教材例題改編P116-35-考點1考點2考點3例1(1)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=ex+4x-3的零點所在的區(qū)間為(

)(2)(2016山西陽泉高三模擬)設(shè)定義域為(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)函數(shù)f(x),對任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-lnx]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一個解,則x0可能存在的區(qū)間是(

)A.(0,1) B.(e-1,1)C.(0,e-1) D.(1,e)思考判斷函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是否存在零點的常用方法有哪些?答案答案關(guān)閉(1)C

(2)D

-10-考點1考點2考點3例1(1)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x-36-考點1考點2考點3(2)令f(x)-ln

x=k,則f(x)=ln

x+k.由f[f(x)-ln

x]=e+1,得f(k)=e+1.又f(k)=ln

k+k=e+1,可知k=e.-11-考點1考點2考點3(2)令f(x)-lnx=k,則-37-考點1考點2考點3解題心得判斷函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是否存在零點,常用以下方法:(1)解方程:當(dāng)對應(yīng)方程易解時,可通過解方程,觀察方程是否有根落在給定區(qū)間上.(2)利用函數(shù)零點的存在性定理進(jìn)行判斷:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點.(3)通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.-12-考點1考點2考點3解題心得判斷函數(shù)y=f(x)在某個-38-考點1考點2考點3(2)已知函數(shù)

的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)(3)函數(shù)f(x)=x2-3x-18在區(qū)間[1,8]上

零點.(填“存在”或“不存在”)

答案答案關(guān)閉(1)C

(2)C

(3)存在對點訓(xùn)練1(1)(2017山西重點中學(xué)協(xié)作體期末)函數(shù)f(x)=2x-1+x-5的零點所在的區(qū)間是(

)A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)-13-考點1考點2考點3答案答案關(guān)閉(1)C(2-39-考點1考點2考點3由f(1)f(2)=(1+1-5)(2+2-5)>0,可排除B;由f(2)f(3)=(2+2-5)(4+3-5)<0,可知函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為(2,3).故選C.(2)由條件可知f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3.(3)(方法一)∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)·f(8)<0,又f(x)=x2-3x-18在區(qū)間[1,8]上的圖象是連續(xù)的,∴f(x)=x2-3x-18在區(qū)間[1,8]上存在零點.-14-考點1考點2考點3由f(1)f(2)=(1+1-5)-40-考點1考點2考點3(方法二)令f(x)=0,得x2-3x-18=0,∴(x-6)·(x+3)=0.∴x=6或x=-3.∵x=6∈[1,8],x=-3?[1,8],∴f(x)=x2-3x-18在區(qū)間[1,8]上存在零點.-15-考點1考點2考點3(方法二)令f(x)=0,得x2--41-考點1考點2考點3例2(1)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點個數(shù)為

(

)A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對于任意的x∈[0,+∞),滿足f(x+2)=f(x),若當(dāng)x∈[0,2)時,f(x)=|x2-x-1|,則函數(shù)y=f(x)-1在區(qū)間[-2,4]上的零點個數(shù)為

.

思考判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法有哪些?答案答案關(guān)閉

(1)B

(2)7

-16-考點1考點2考點3例2(1)函數(shù)f(x)=2x|lo-42-考點1考點2考點3-17-考點1考點2考點3-43-考點1考點2考點3(2)由題意作出y=f(x)在區(qū)間[-2,4]上的圖象,可知與直線y=1的交點共有7個,故函數(shù)y=f(x)-1在區(qū)間[-2,4]上的零點個數(shù)為7.-18-考點1考點2考點3(2)由題意作出y=f(x)在區(qū)間-44-考點1考點2考點3解題心得判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法:(1)解方程法:若