對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)應用

對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用第2課時對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用學習目標：1.掌握對數(shù)函數(shù)的單一性，會進行同底對數(shù)和不一樣底對數(shù)大小的比較．(要點)2.經(jīng)過指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的學習，加深理解分類議論、數(shù)形聯(lián)合這兩種重要數(shù)學思想的意義和作用．(要點)[合作研究·攻重難]比較對數(shù)值的大小比較以下各組值的大?。?(1)log54與log53；(2)log12與log12；5(3)log23與log54.34[解](1)法一(單一性法)：對數(shù)函數(shù)y＝log5x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，而4<3，4因此log54<log53.34法二(中間值法)：因為log5<0，log5>0，4334因此log54<log53.(2)因為log12＝1，log12＝1.3151log23log25又因?qū)?shù)函數(shù)y＝log2在(0，＋∞上是增函數(shù)，x)1111且3>5，因此0>log23>log25，因此1<1，因此log12<log12.1135log23log25(3)取中間值1，因為log23>log22＝1＝log55>log54，因此log23>log54.1[規(guī)律方法]比較對數(shù)值大小的常用方法同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單一性同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)變底數(shù)和真數(shù)都不一樣，找中間量提示：比較數(shù)的大小時先利用性質(zhì)比較出與零或的大小[追蹤訓練]1．比較以下各組值的大?。?1)log2，log20.6.33(2)log，log1.4.(3)log7，log7.(4)log3π，log20.8.[解](1)因為函數(shù)y＝log2x是減函數(shù)，且，因此log20.5>log20.6.333(2)因為函數(shù)y＝logx是增函數(shù)，且，因此log1.6>log1.4.(3)因為0>log70.6>log7，1因此log7<log7，log7<log7.(4)因為log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，因此log3π>log20.8.解對數(shù)不等式函數(shù)f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．(1)求函數(shù)φ(x)＝f(x)＋g(x)的定義域；(2)試確立不等式f(x)≤g(x)中x的取值范圍．思路研究：(1)直接由對數(shù)式的真數(shù)大于0聯(lián)立不等式組求解x的取值會合；(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．x－1>0，[解](1)由解得1＜x＜3，∴函數(shù)φ(x)的定義域為{x|1＜x＜3}．6－2x>0，(2)不等式f(x)≤g(x)，即為loga(x－1)≤loga(6－2x)，2①當a＞1時，不等式等價于1<x<3，解得1<x≤7；x－1≤6－2x，3②當0＜a＜1時，不等式等價于1<x<3，解得7≤x<3.x－1≥6－2x，3綜上可得，當a＞1時，不等式的解集為1，7；37當0＜a＜1，不等式的解集為3，3.[規(guī)律方法]常有的對數(shù)不等式有三種種類：形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單一性求解，假如a的取值不確立，需分a＞1與0＜a＜1兩種狀況議論；2形如logax＞b的不等式，應將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式，再借助y＝logax的單一性求解；3形如logax＞logbx的不等式，可利用圖象求解.[追蹤訓練]12．(1)loga2>1，求a的取值范圍；(2)log(2x)<log(x－1)，求x的取值范圍.11[解](1)由loga2>1得loga2>logaa.1①當a>1時，有a<2，此時無解．②當0<a<1時，有112<a，進而2<a<1.1因此a的取值范圍是2，1.(2)因為函數(shù)y＝logx在(0，＋∞)上為減函數(shù)，2x>0，因此由log0.7－1)得x－1>0，解得x>1.2x<log(x2x>x－1，即x的取值范圍是(1，＋∞)．3對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用[研究問題]1．函數(shù)f(x)＝log1(2x－1)的單一性怎樣？求出其單一區(qū)間．2提示：函數(shù)f(x)＝log1－1)的定義域為1，＋∞，因為函數(shù)y＝log1x是減函數(shù)，(2x222函數(shù)y＝2x－1是增函數(shù)，因此f(x)＝log1(2x－1)是1，＋∞上的減函數(shù)，其單22調(diào)遞減區(qū)間是1，＋∞.22．怎樣求形如y＝logaf(x)的值域？提示：先求y＝f(x)的值域，注意f(x)>0，在此根基上，分a>1和0<a<1兩種狀況，借助y＝logax的單一性求函數(shù)y＝logaf(x)的值域．(1)y＝loga－是[0,1]上的減函數(shù)，那么a的取值范圍為()(2ax)A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．[2，＋∞)(2)函數(shù)f(x)＝log1(x2＋2x＋3)的值域是________．2思路研究：(1)聯(lián)合對數(shù)函數(shù)及y＝2－ax的單一性，結(jié)構(gòu)對于a的不等式組，解不等式組可得．(2)先求真數(shù)的范圍，再依據(jù)對數(shù)函數(shù)的單一性求解．(1)B(2)(－∞，－1][(1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是減函數(shù)，且y＝2－ax在[0,1]上是減函數(shù)，f0＞f1，∴a>1，loga2＞loga2－a，∴a>1，即∴1＜a＜2.a>1，2－a>0，(2)f(x)＝log1(x2＋2x＋3)＝log1[(x＋1)2＋2]，22因為(x＋1)2＋2≥2，因此log1[(x＋1)2＋2]≤log12＝－1，因此函數(shù)f(x)的值域是(－∞，－1]．]22母題研究：1.求本例(2)的函數(shù)f(x)在[－3,1]上的值域．[解]∵x∈[－3,1]，42≤x2＋2x＋3≤6，log16≤log1(x2＋2x＋3)≤log22，22即－log26≤f(x)≤1，f(x)的值域為[－log26,1]．2．假定本例(2)中的函數(shù)在(－∞，a]上單一遞加，求a的取值范圍．[解]由復合函數(shù)的單一性可知，函數(shù)g(x)＝x2＋2x＋3在(－∞，a]上單一遞減，因此a≤－1，即實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－1]．[規(guī)律方法]．對數(shù)型函數(shù)的單一性求參數(shù)的取值范圍，要聯(lián)合復合函數(shù)的單一性規(guī)律，注意函數(shù)的定義域求解；假定是分段函數(shù)，那么需注意兩段函數(shù)最值的大小關系．．求對數(shù)型函數(shù)的值域一般是先求真數(shù)的范圍，而后利用對數(shù)函數(shù)的單一性求解．[當堂達標·固雙基]1．設a＝log32，b＝log52，c＝log23，那么()A．a(chǎn)>c>bB．b>c>aC．c>b>aD．c>a>b[a＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知log52<log32，∴b<a<c，應選D.]2．函數(shù)y＝log1(2x＋1)的值域為________.2(－∞，0)[∵2x＋1>1，函數(shù)y＝log1x是(0，＋∞)上的減函數(shù)，2log1(2x＋1)<log11＝0，即所求函數(shù)的值域為(－∞，0)．]223．假定函數(shù)f(x)＝log2(ax＋1)在[0,1]上單一遞加，那么實數(shù)a的取值范圍是________．(0，＋∞)[由題意得a>0，解得a>0.]a×0＋1>0，4．函數(shù)f(x)＝log(1＋2x)的單一增區(qū)間是______．2－1，＋∞[易知函數(shù)f(x)的定義域為－1，＋∞，又因為函數(shù)y＝log2和y22x51＝1＋2x都是增函數(shù)，因此f(x)的單一增區(qū)間是－2，＋∞.]5．a(chǎn)＞0且知足不等式22a＋1＞25a－2.(1)務實數(shù)a的取值范圍；(2)求不等式loga(3x＋1)<loga(7－5x)的解集；(3)假定函數(shù)y＝loga(2x－1)在區(qū)間[1,3]上有最小值為－2，務實數(shù)a的值.[解](1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga