浙教版初二上數(shù)學(xué)第三講-全等三角形的相關(guān)模型

.PAGE1.第三講全等三角形的相關(guān)模型[要點(diǎn)梳理]要點(diǎn)一：手拉手模型特點(diǎn)：由兩個(gè)等頂角的等腰三角形所組成,并且頂角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn)結(jié)論：〔1△ABD≌△AEC〔2∠α+∠BOC=180°〔3OA平分∠BOC變形：要點(diǎn)二：角平分線模型特點(diǎn)：由角平分線構(gòu)成了的兩個(gè)三角形。結(jié)論：〔1△AFG≌△AEG〔2FG=GE變形：要點(diǎn)三：半角模型特點(diǎn)：結(jié)論：〔1MN=BM+DN〔2△CMN的周長(zhǎng)=2AB〔3AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM變形：要點(diǎn)四：等腰直角三角形模型1.在斜邊上任取一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)全等操作過程：〔1將△ABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使△ACM≌△ABD,從而推出△ADM為等腰直角三角形?！?過點(diǎn)C作BC⊥MC,連AM導(dǎo)出上述結(jié)論2.定點(diǎn)是斜邊中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在兩直角邊上滾動(dòng)的旋轉(zhuǎn)全等操作過程：連AD.〔1使BF=AE〔或AF=CE,導(dǎo)出△BDF≌△ADE〔2使∠EDF+∠BAC=180°,導(dǎo)出△BDF≌△ADE3.將等腰直角三角形補(bǔ)全為正方形,如下圖：要點(diǎn)五：雙垂直模型特點(diǎn)：圖形中包含兩條垂線,且有一組邊或角相等。結(jié)論：若AD=BD,則BH=AC變形：∠1=∠2,則AE=AF∠1=∠2,∠BAP=∠DAP,則AE=AF,AP⊥CF要點(diǎn)六：三垂直模型特點(diǎn)：圖形中包含三條垂線,且有一組邊。結(jié)論：〔1△ABE≌△BCD〔2ED=AE-CD變形：要點(diǎn)七：全等三角形問題中常見的輔助線的作法1.遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用"三線合一"的性質(zhì)解題,思維模式是全等變換中的"對(duì)折"法構(gòu)造全等三角形。2.遇到三角形的中線,倍長(zhǎng)中線,使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的"旋轉(zhuǎn)"法構(gòu)造全等三角形。3.遇到角平分線：〔1可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線；〔2可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交,形成一對(duì)全等三角形；〔3可以在該角的兩邊上,距離角的頂點(diǎn)相等長(zhǎng)度的位置上截取二點(diǎn),然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線,構(gòu)造一對(duì)全等三角形。以上利用的思維模式是全等變換中的"對(duì)折"法構(gòu)造全等三角形。4.過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的"平移"或"翻轉(zhuǎn)折疊"。5.截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法,具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或是將某條線段延長(zhǎng),是之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法,適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。6.已知某線段的垂直平分線,可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線,形成一對(duì)全等三角形。7.在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí),常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來,利用三角形面積的知識(shí)解答。[典型例題]例1〔手拉手模型：如圖,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),△ABC、△CDE是等邊三角形,請(qǐng)你證明：。〔1AD=BE〔2∠ACB=∠AOB〔3△PCQ為等邊三角形〔4PQ∥AE〔5AP=BQ〔6CO平分∠AOE〔7OA=OB+OC〔8OE=OC+OD例2〔角平分線模型：如圖,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求證：AP平分∠BAC。舉一反三：1、如圖,在四邊形ABCD中,BC>AB,AD=CD,BD平分BAC,求證∠A+∠C=180°2、如圖,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分線,BE⊥AD于F。求證：3、△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求證：AB+BP=BQ+AQ。例3〔半角模型：在正方形ABCD中,若M、N分別在邊BC、CD上移動(dòng),且滿足MN=BM+DN,求證：①∠MAN=45°；②△CMN的周長(zhǎng)=2AB；③AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM舉一反三：在正方形ABCD中,已知∠MAN=45°,若M、N分別在邊CB、DC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)：①試探究線段MN、BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系；②求證：AB=AH.2、在四邊形ABCD中,∠B+∠D=180°,AB=AD,若E、F分別在邊BC、CD且上,滿足EF=BE+DF.求證：例4〔等腰直角三角形模型：等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)M、N在斜邊BC上滑動(dòng),且∠MAN=45°,試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系。舉一反三：1、兩個(gè)全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC,如圖所示放置,E、A、C三點(diǎn)在一條直線上,連接BD,取BD的中點(diǎn)M,連接ME、MC,試判斷△EMC的形狀,并證明你的結(jié)論。2.如圖,在等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn),滿足PB=PC,AP=AC。求證：BCP=15°例5<雙垂線模型>：如右圖,△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交點(diǎn),則線段BH的長(zhǎng)度為。舉一反三：1、如圖14-1,在△ABC中,BC邊在直線L上,AC⊥BC,且AC=BC?！鱁FP的邊FP也在直線L上,邊EF與AC重合,且EF=FP.<1>猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；〔2將△EFP沿直線L向左平移至圖14-2的位置時(shí),EP交AC于點(diǎn)Q,連接AP、BQ,則BQ與AP滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,請(qǐng)猜想并證明；〔3將△EFP沿直線L向左平移至圖14-3的位置時(shí),EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接AP、BQ,你認(rèn)為〔2中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？例6〔三垂線模型：如圖所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為AC中點(diǎn),AF⊥BD于E,交BC于F,連接DF.求證：∠ADB=∠CDF.舉一反三：如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AM=CN,AF⊥BM于E,交BC于F,連接NF.求證：①∠ADB=∠CDF；②BM=AF+FN2、如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AM=CN,AF⊥BM于E,交BC于F,連接NF,并分別延長(zhǎng)BM和FN交于點(diǎn)P.求證：①PM=PN；②PB＝PF+AF[鞏固練習(xí)]如圖,在四邊形ABCD中,∠B+∠D=180°,BC=CD,,求證：AC平分BAD.2、如圖,AB＞AC,∠A的平分線與BC的垂直平分線相交于D,自D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F．求證：BE=CF．3、如圖所示,在△ABC中,BC邊的垂直平分線DF交△BAC的外角平分線AD于點(diǎn)D,F為垂足,DE⊥AB于E,并且AB>AC。求證：BE－AC=AE。4、如圖,D、E、F分別是△ABC的三邊上的點(diǎn),CE=BF,且△DCE的面積與△DBF的面積相等,求證：AD平分∠BAC。5、如圖,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,CE垂直于BD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。6、如圖,在△ABC中,∠BAC的角平分線AD交BC于D,且AB=AD,作CM⊥AD的延長(zhǎng)線與M,求證：7、如圖,在△ODC中,∠D=90°,CE是∠DCO的角平分線,且OE⊥CE,過點(diǎn)E作FF⊥OC交OC于點(diǎn)F,猜想：線段OD與EE之間的關(guān)系,并證明。8、如圖,BD、CE分別是△ABC的外角平分線,過點(diǎn)A作AD⊥BD,AE⊥CE,垂足分別是D、E,連接DE.求證：〔1DE∥BC,且〔2若BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線〔如圖2,其他條件不變,則線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？〔3若BD為△ABC的內(nèi)角平分線,CE為△ABC的外角平分線〔如圖3,則線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？9、如圖,在△ABC中,AD是BAC的外角平分線,P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn),試比較PB+PC與AB+AC的大小,并說明理由。10.如圖,Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O為BC中點(diǎn),若M、N分別在線段AC、AB上移動(dòng),且在移動(dòng)中保持AN=CM.〔1判斷△OMN的形狀,并證明你的結(jié)論.<2>當(dāng)M、N分別在線段AC、AB上移動(dòng)時(shí),四邊形AMON的面積如何變化？11.在正方形ABCD中,BE=3,EF=5,DF=4,求∠BAE+∠DCF=?13.如圖,在△ABC中,AC=BC