《第一章三角形及其性質》知識點講解典型例題輔導講義

?第一章三角形及其性質?知識點解說典型例題指導講義?第一章三角形及其性質?知識點解說典型例題指導講義?第一章三角形及其性質?知識點解說典型例題指導講義三角形及其性質〔提升〕知識解說【學習目標】理解三角形及與三角形相關的見解,掌握它們的文字、符號語言及圖形表述方法．理解三角形內角和定理的證明方法；掌握并會把三角形按邊和角分類掌握并會應用三角形三邊之間的關系．理解三角形的高、中線、角均分線的見解，學會它們的畫法．對三角形的堅固性有所認識，知道這個性質有寬泛的應用．【重點梳理】重點一、三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾挨次相接所構成的圖形叫做三角形．重點解說：1〕三角形的根本元素：①三角形的邊：即構成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所構成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角；③三角形的極點：即相鄰兩邊的公共端點.2〕三角形的定義中的三個要求：“不在同一條直線上〞、“三條線段〞、“首尾挨次相接〞.〔3〕三角形的表示：三角形用符號“△〞表示，極點為A、B、C的三角形記作“△ABC〞，讀作“三角形ABC〞，注意獨自的△沒存心義；△ABC的三邊能夠用大寫字母AB、BC、AC來表示，也能夠用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．重點二、三角形的內角和三角形內角和定理：三角形的內角和為180°．重點解說：應用三角形內角和定理能夠解決以下三類問題：①在三角形中隨意兩個角的度數(shù)能夠求出第三個角的度數(shù)；②三角形三個內角的關系，能夠求出其內角的度數(shù)；③求一個三角形中各角之間的關系．重點三、三角形的分類按角分類：直角三角形三角形銳角三角形斜三角形鈍角三角形重點解說：①銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個內角為鈍角的三角形.按邊分類：不等邊三角形三角形底邊和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等邊三角形重點解說：①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，其余一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;③等邊三角形：三邊都相等的三角形.重點四、三角形的三邊關系定理：三角形隨意兩邊之和大于第三邊.推論：三角形隨意兩邊之差小于第三邊.重點解說：〔1〕理論依據(jù)：兩點之間線段最短.〔2〕三邊關系的應用：判斷三條線段能否構成三角形，假定兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，那么這三條線段能夠構成三角形；反之，那么不可以夠構成三角形．當三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．〔3〕證明線段之間的不等關系．重點五、三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角均分線是三角形中三條重要的線段，它們供給了重要的線段或角的關系，為我們此后深入研究三角形的一些特點起著很大的幫助作用，所以，我們需要從不同樣的角度弄清這三條線段，列表以下：線段三角形的高三角形的中線三角形的角均分線名稱三角形一個內角的均分線從三角形的一個極點向它的三角形中，連結一個頂文字與它的對邊訂交，這個角對邊所在的直線作垂線，頂點和它對邊中點的線語言的極點與交點之間的線點和垂足之間的線段．段．段．圖形語言作圖過點A作AD⊥BC于點D．取BC邊的中點D，連結作∠BAC的均分線AD，交語言AD．BC于點D．標示圖形1．AD是△ABC的高．1．AD是△ABC的中線．1．AD是△ABC的角均分線．2．AD是△ABC中BC邊上的2．AD是△ABC中BC邊符號2．AD均分∠BAC，交BC高．上的中線．語言于點D．3．AD⊥BC于點D．3．BD＝DC＝1BC3．∠1＝∠2＝1∠BAC．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝224．點D是BC邊的中點．90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)因為AD是△ABC的高，所以因為AD是△ABC的中線，因為AD均分∠BAC，所以推理AD⊥BC．所以BD＝DC＝1BC．∠1＝∠2＝1∠BAC．語言22(或∠ADB＝∠ADC＝90°)用途1．線段垂直．1．線段相等．角度相等．舉例2．角度相等．2．面積相等．注意1．與邊的垂線不同樣．—與角的均分線不同樣．事項2．不用然在三角形內．三角形的三條高(或它們的一個三角形有三條中一個三角形有三條角均分重要延伸線)交于一點．線，它們交于三角形內線，它們交于三角形內一特點一點．點．重點六、三角形的堅固性三角形的三條邊確立后，三角形的形狀和大小就確立不變了，這個性質叫做三角形的堅固性。重點解說：1〕三角形的形狀固定是指三角形的三個內角不會改變，大小固定指三條邊長不改變．2〕三角形的堅固性在生產和生活中很合用．比方，房子的人字梁擁有三角形的構造，它就堅固而堅固；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構成一個三角形，就能夠使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采納三角形構造，也是這個道理．3〕四邊形沒有堅固性，也就是說，四邊形的四條邊長確立后，不可以夠確立它的形狀，它的各個角的大小能夠改變．四邊形的不堅固性也有寬泛應用，如活動掛架，伸縮尺．有時我們又要戰(zhàn)勝四邊形的不堅固性，如在門框未安好以前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．【典型例題】種類一、三角形的內角和1．在△ABC中，假定∠A＝1∠B＝1∠C，試判斷該三角形的形狀．23【思路點撥】由∠A＝1∠B＝1∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和23∠C的度數(shù)，進而判斷三角形的形狀．【答案與解析】解：設∠A＝x，那么∠B＝2x，∠C＝3x．因為∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．【總結升華】本題利用設未知數(shù)的方法求出三角形三個內角的度數(shù)，解法較為奇妙．貫串交融：【變式1】〔2021春?泰興市期末〕如圖，BD是∠ABC的均分線，DE∥CB，交AB于點E，∠A=45°，∠BDC=60°，求△BDE各內角的度數(shù)．【答案】解：∵∠A=45°，∠BDC=60°，∴∠ABD=∠BDC﹣∠A=15°．∵BD是∠ABC的角均分線，∴∠DBC=∠EBD=15°，∵DE∥BC，∴∠BDE=∠DBC=15°；∴∠BED=180°﹣∠EBD﹣∠EDB=150°．【高清講堂：與三角形相關的角練習〔3〕】【變式2】如圖，AC⊥BC,CD⊥AB,圖中有對互余的角？有對相等的銳角？【答案】3,2．在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC邊上的高，∠ABD＝30°，那么∠C的度數(shù)是多少?【思路點撥】按△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種狀況，分類討論．【答案與解析】解：分兩種狀況討論：〔1〕當△ABC為銳角三角形時，以以下列圖，在△ABD中，BD是AC邊上的高( )，∴∠ADB＝90°(垂直定義)．又∵∠ABD＝30°( )，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形內角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．當△ABC為鈍角三角形時，以以下列圖．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°( )，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形內角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．綜上，∠C的度數(shù)為60°或30°．【總結升華】在解決無圖的幾何題的過程中，只有正確作出圖形才能解決問題．這就要求解答者必然具備依據(jù)條件作出圖形的能力；要注意考慮圖形的圓滿性和其余各樣可能性，雙解和多解問題也是我們在學習過程中應當注意的一個重要環(huán)節(jié)．種類二、三角形的分類3.一個三角形一個內角的度數(shù)是108°，這個三角形是〔〕三角形；一個三角形三條邊的長度分別是7cm，8cm，7cm，這個三角形是〔〕三角形.【答案】鈍角；等腰貫串交融：【變式】一個等腰三角形的邊長為5cm和4cm，圍成這個等腰三角形最少需要〔〕cm長的繩索，最多需要〔〕cm長繩索〔接頭忽視不計〕.【思路點撥】關于所給邊長要分類討論：當4cm為腰長時，需要繩索的長度最短；當5cm為腰長時，需要繩索的長度最長.【答案】13；14種類三、三角形的三邊關系〔2021春?太康縣期末〕在△ABC中，AB=9，AC=2，并且BC的長為偶數(shù)，求△ABC的周長．【答案與解析】解：依據(jù)三角形的三邊關系得：9﹣2＜BC＜9+2，即7＜BC＜11，∵BC為偶數(shù)，AC=8或10，∴△ABC的周長為：9+2+8=19或9+2+10=21．【總結升華】本題主要察看了三角形的三邊關系，重點是掌握三角形的三邊關系，還要注意第三邊是偶數(shù)這一條件．貫串交融：【變式】三角形的三邊長為2，x-3，4，且都為整數(shù)，那么共能構成個不同樣的三角形.當x為時，所構成的三角形周長最大.【答案】三；8(由三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因為x為整數(shù)，故x可取6，7，8；當x=8時，構成的三角形周長最大為11).如圖，O是△ABC內一點，連結OB和OC．你能說明OB+OC＜AB+AC的原由嗎?假定AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能寫出OB+OC的取值范圍嗎?【答案與解析】解：(1)如圖，延伸BO交AC于點E，依據(jù)三角形的三邊關系能夠獲得，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，兩不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由圖可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因為OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因為OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【總結升華】充分利用三角形三邊關系的性質進行解題．貫串交融：【變式】假定五條線段的長分別是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm,那么以此中三條線段為邊可構成______個三角形.【答案】3.種類四、三角形中的重要線段在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩局部，求三角形的各邊長．【思路點撥】因為中線BD的端點D是AC邊的中點，所以AD＝CD，造成兩局部不等的原由是BC邊與AB、AC邊不等，故應分類討論．【答案與解析】解：如圖(1)，設AB＝x，AD＝CD＝1x．2(1)假定AB+AD＝12，即x1x12，所以x＝8，2即AB＝AC＝8，那么CD＝4．故BC＝15-4＝11．此時AB+AC＞BC，所以三邊長為8，8，11．(2)如圖(2)，假定AB+AD＝15，即x1x15，所以x＝10．2即AB＝AC＝10，那么CD＝5．故BC＝12-5＝7．明顯此時三角形存在，所以三邊長為10，10，7．綜上所述此三角形的三邊長分別為8，8，11或10，10，7．【總結升華】BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩局部，哪局部是12cm，哪局部是15cm，問題中沒有交代，所以，必然進行分類討論．【高清講堂：與三角形相關的線段例5、】貫串交融：【變式】有一塊三角形優(yōu)秀品種試驗田，現(xiàn)引進四個品種進行比較試驗，需將這塊土地分紅面積相等的四塊，請你制定出兩種以上的方案供選擇.【答案】解：方案1：如圖〔1〕，在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，連結AE、AD、AF．方案2：如圖(2)，分別取AB、BC、CA的中點D、E、F，連結DE、EF、DF．方案3：如圖(3)，取AB中點D，連結AD，再取AD的中點E，連結BE、CE．方案4：如圖(4)，在AB取點D，使DC＝2BD，連結AD，再取AD的三均分點E、F，連結CE、CF．種類五、三角形的堅固性如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條〔四長四短〕構成的幾個連續(xù)的菱形〔四條邊都相等〕，每一個極點處都有一個掛鉤〔連在軸上〕，不只雅觀，并且使用，你知道它能縮短的原由和固定方法嗎？【答案與解析】解：這類衣帽架能縮短是利用四邊形的不堅固性，能夠依據(jù)需要改變掛鉤間的距離。它的固定方法是：任選兩個不在同一木條上的極點固定就行了?！究偨Y升華】要使物體擁有堅固性，應做成三角形，否那么做成四邊形、五邊形等等.貫串交融：【變式】如圖，我們知道要使四邊形木架不變形，最少要釘一根木條．那么要使五邊形木架不變形，最少要釘幾根木條?使七邊形木架不變形，最少要釘幾根木條?使n邊形木架不變形．又最少要釘多少根木條?【答案】要使五邊形木架不變形，最少要釘2根木條；使七邊形木架不變形，最少要釘4根木條；使n邊形木架不變形，最少要釘(n-3)根木條．全等三角形的見解和性質〔提升〕責編：杜少波【學習目標】1．理解全等三角形及其對應邊、對應角的見解；能正確鑒識全等三角形的對應元素.2．掌握全等三角形的性質；會用全等三角形的性質進行簡單的推理和計算，解決某些實詰問題.【重點梳理】重點一、全等形形狀、大小同樣的圖形放在一同能夠圓滿重合.能夠圓滿重合的兩個圖形叫做全等形.重點解說：一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，地點變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等.兩個全等形的周長相等，面積相等.重點二、全等三角形能夠圓滿重合的兩個三角形叫全等三角形.重點三、對應極點，對應邊，對應角1.對應極點，對應邊，對應角定義兩個全等三角形重合在一同，重合的極點叫對應極點，重合的邊叫對應邊，重合的角叫對應角重點解說：在寫兩個三角形全等時，平常把對應極點的字母寫在對應地點上，這樣簡單找出對應邊、對應角

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.如以以下列圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，此中點A和點D，點B和點E，點C和點F是對應極點；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對應邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對應角.找對應邊、對應角的方法1〕全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；2〕全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；3〕有公共邊的，公共邊是對應邊；4〕有公共角的，公共角是對應角；5〕有對頂角的，對頂角必然是對應角；〔6〕兩個全等三角形中一對最長的邊〔或最大的角〕是對應邊〔或角〕的角〕是對應邊〔或角〕，等等.

，一對最短的邊〔或最小重點四、全等三角形的性質全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等；重點解說：全等三角形對應邊上的高相等，對應邊上的中線相等，周長相等，面積相等.全等三角形的性質是此后研究其余全等圖形的重要工具.【典型例題】種類一、全等形和全等三角形的見解1、請察看以以下列圖中的6組圖案，此中是全等形的是__________.【答案】〔1〕〔4〕〔5〕〔6〕；【解析】〔1〕〔5〕是由此中一個圖形旋轉必然角度獲得另一個圖形的，〔4〕是將此中一個圖形翻折后獲得另一個圖形的，〔6〕是將此中一個圖形旋轉180°再平移獲得的，〔2〕〔3〕形狀同樣，但大小不等.【總結升華】能否是全等形，既要看形狀能否同樣，還要看大小能否相等.貫串交融：【變式1】全等三角形又叫做合同三角形，平面內的合同三角形分為真吻合同三角形與鏡面合同三角形，假定△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，點A與點A1對應，點B與點B1對應，點C與點C1對應，當沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1圍繞時，假定運動方向同樣，那么稱它們是真吻合同三角形(如圖1)，假定運動方向相反，那么稱它們是鏡面合同三角形(如圖2)，兩個真吻合同三角形都能夠在平面內經過平移或旋轉使它們重合，兩個鏡面合同三角形要重合，那么必然將此中一個翻轉180°，以下各組合同三角形中，是鏡面合同三角形的是( )【答案】B；提示：抓住重點語句，兩個鏡面合同三角形要重合，那么必然將此中一個翻轉180°，B答案中的兩個三角形經過翻轉180°就能夠重合，應選B；其余三個選項都需要經過平移或旋轉使它們重合.種類二、全等三角形的對應邊，對應角2、〔2021春?新疆期末〕如圖，△ABC≌△AEF，那么與∠EAC相等的角是〔〕A．∠ACBB.∠BAFC.∠CAFD.∠AFE【答案】B【解析】∵△ABC≌△AEF，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC-∠CAF＝∠EAF-∠CAF，即∠BAF=∠EAC.【總結升華】全等三角形的對應極點的字母放在對應地點上簡單確立出對應邊或對應角.種類三、全等三角形性質3、〔2021秋?鹽城期中〕如圖，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，1〕求DE的長．2〕假定A、B、C在一條直線上，那么DB與AC垂直嗎？為何？【思路點撥】〔1〕依據(jù)全等三角形對應邊相等可得BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，此后依據(jù)DE=BD﹣BE代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；〔2〕DB⊥AC．依據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ABD=∠EBC，又A、B、C在一條直線上，依據(jù)平角的定義得出∠ABD+∠EBC=180°，所以∠ABD=∠EBC=90°，由垂直的定義即可獲得DB⊥AC．【答案與解析】解：〔1〕∵△ABD≌△EBC，BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，DE=BD﹣BE=3cm；2〕DB⊥AC．原由以下：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD=∠EBC，又∵∠ABD+∠EBC=180°，∴∠ABD=∠EBC=90°，∴DB⊥AC．【總結升華】本題主要察看了全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等．也察看了平角的定義與垂直的定義，熟記性質與定義是解題的重點．貫串交融：【變式】〔2021春?吉州區(qū)期末〕以下命題中：〔1〕形狀同樣的兩個三角形是全等形；〔2〕在兩個全等三角形中，相等的角是對應角，相等的邊是對應邊；〔3〕全等三角形對應邊上的高、中線及對應角平分線分別相等，此中真命題的個數(shù)有〔〕A.3個個個個【答案】C；提示：〔1〕形狀同樣、大小相等的兩個三角形是全等形，而原說法沒有指出大小相等這一點，故〔1〕錯誤；〔2〕在兩個全等三角形中，對應角相等，對應邊相等，而非相等的角是對應角，相等的邊是對應邊，故〔2〕錯誤；〔3〕全等三角形對應邊上的高、中線及對應角均分線分別相等，故〔3〕正確．綜上可得只有〔3〕正確．應選C．【高清講堂：全等三角形的見解和性質例14】4、如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC翻折180