命題及其關(guān)系充分條件與必要條件

第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件(1)理解命題的概念.(2)了解“若p,則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題,會分析四種命題的相互關(guān)系.(3)理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.1.命題的概念在數(shù)學(xué)中用語言、符號或式子表達(dá)的,可以①判斷真假的陳述句叫做命題,其中②判斷為真的語句叫做真命題,③判斷為假的語句叫做假命題.

2.四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系:(2)四種命題的真假關(guān)系:(i)兩個命題互為逆否命題,它們有⑦相同的真假性;

(ii)兩個命題互為逆命題或互為否命題,它們的真假性⑧沒有關(guān)系.

?提醒在判斷命題之間的關(guān)系時,要先分清命題的條件與結(jié)論,再比較每個命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系.要注意四種命題關(guān)系的相對性.3.充分條件與必要條件(1)若p?q,則p是q的⑨充分條件,q是p的⑩必要條件.

(2)若p?q,且q?/p,則p是q的充分不必要條件.

(3)若p?/q,且q?p,則p是q的必要不充分條件.

(4)若p?q,則p是q的充要條件.

(5)若p?/q,且q?/p,則p是q的既不充分也不必要條件.

?提醒不能將“若p,則q”與“p?q”混為一談,只有“若p,則q”為真命題時,才有“p?q”.知識拓展(1)若p是q的充分不必要條件,q是r的充分不必要條件,則p是r的充分不必要條件;(2)若p是q的充分不必要條件,則?q是?p的充分不必要條件.1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“?”).(1)“x2-3x+2=0”是命題.()(2)一個命題的逆命題與否命題,它們的真假沒有關(guān)系.()(3)命題“若p不成立,則q不成立”等價于“若q成立,則p成立”.()(4)若p是q成立的充分條件,則q是p成立的必要條件.()(5)命題“若p,則q”的否命題是“若p,則?q”.()(6)一個命題非真即假.()答案(1)?(2)?(3)√(4)√(5)?(6)√2.下列命題的逆命題為真命題的是()A.若x>2,則(x-2)(x+1)>0B.若x2+y2≥4,則xy=2C.若x+y=2,則xy≤1D.若a≥b,則ac2≥bc2答案B3.當(dāng)命題“若p,則q”為真時,下列命題中一定為真的是()A.若q,則p B.若?p,則?qC.若?q,則?p D.若p,則?q答案C4.若x∈R,則“x>1”是“1x<1”的(A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A5.已知p:x>1或x<-3,q:x>a,若q是p的充分不必要條件,則a的取值范圍是()A.[1,+∞) B.(-∞,1]C.[-3,+∞) D.(-∞,-3)答案A命題及其相互關(guān)系典例1(1)命題“若x,y都是偶數(shù),則x+y也是偶數(shù)”的逆否命題是()A.若x+y是偶數(shù),則x與y不都是偶數(shù)B.若x+y是偶數(shù),則x與y都不是偶數(shù)C.若x+y不是偶數(shù),則x與y不都是偶數(shù)D.若x+y不是偶數(shù),則x與y都不是偶數(shù)(2)給定下列命題:①若k>0,則方程x2+2x-k=0有實數(shù)根;②“若a>b,則a+c>b+c”的否命題;③“矩形的對角線相等”的逆命題;④“若xy=0,則x,y中至少有一個為0”的否命題;⑤“若x≠2或y≠3,則x+y≠5”.其中真命題的序號是.

答案(1)C(2)①②解析(1)將原命題的條件和結(jié)論互換的同時進(jìn)行否定即得逆否命題.方法技巧1.寫一個命題的其他三種命題時,需注意:(1)對于不是“若p,則q”形式的命題,需先改寫成“若p,則q”的形式;(2)若命題有大前提,則寫其他三種命題時須保留大前提.2.判斷一個命題為真命題,要給出推理證明;判斷一個命題是假命題,只需舉出反例.3.當(dāng)一個命題直接判斷不易進(jìn)行時,根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì),可將命題轉(zhuǎn)化為等價命題,再判斷真假.1-1命題“若x2<1,則-1<x<1”的逆否命題是()A.若x2≥1,則x≥1或x≤-1B.若-1<x<1,則x2<1C.若x>1或x<-1,則x2>1D.若x≥1或x≤-1,則x2≥1答案D1-2下列命題中為真命題的是()A.命題“若x>y,則x>|y|”的逆命題B.命題“x>1,則x2>1”的否命題C.命題“若x=1,則x2+x-2=0”的否命題D.命題“若x2>0,則x>1”的逆否命題答案A充分條件、必要條件的判斷典例2(1)設(shè)x∈R,則“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)“a=2”是“函數(shù)f(x)=x2-2ax-3在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(3)給定兩個命題p,q,若?p是q的必要不充分條件,則p是?q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案(1)B(2)A(3)A解析(1)由2-x≥0,得x≤2;由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,因為[0,2]?(-∞,2],所以“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分條件,故選B.方法技巧判斷充要條件的常用方法(1)定義法:根據(jù)p?q,q?p進(jìn)行判斷.(2)集合法:根據(jù)p,q成立的對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.(3)等價轉(zhuǎn)化法:根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性,把需判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題.2-1已知p:x2-3x+2>0,q:1x2-5x+4>0,則p是q的條件;?q是?p的條件;?p答案必要不充分;必要不充分;充分不必要2-2集合A={x|x>1},B={x|x<2},則“x∈A或x∈B”是“x∈(A∩B)”的條件.

答案必要不充分充分條件、必要條件的應(yīng)用典例3(1)設(shè)α:1≤x≤3,β:m+1≤x≤2m+4,m∈R,若α是β的充分條件,則m的取值范圍是.

(2)已知條件p:2x2-3x+1≤0,條件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若?p是?q的必要不充分條件,則實數(shù)a的取值范圍是.

答案(1)-12,0解析(1)若α是β的充分條件,則α對應(yīng)的集合是β對應(yīng)集合的子集,則m+1≤1,2m+4(2)由2x2-3x+1≤0,得12≤x≤1,設(shè)條件p對應(yīng)的集合為P,則P=x由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,設(shè)條件q對應(yīng)的集合為Q,則Q={x|a≤x≤a+1}.∵?p是?q的必要不充分條件,∴q是p的必要不充分條件,∴P?Q,∴0≤a≤12,∴實數(shù)a的取值范圍是0方法技巧1.解題“2關(guān)鍵”:(1)把充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系.(2)根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.2.解題“1注意”:求參數(shù)的取值范圍時,一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗,尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時,不等式能否取等號決定端點(diǎn)值的取舍,處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.3-1已知命題p:“關(guān)于x的方程x2-4x+a=0有實根”,若?p是真命題的充分不必要條件為a>3m+1,則實數(shù)m的取值范圍是()A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1]答案B3-2已知p:A={x|x2-2x-3≤0},q:B={x|x2-2mx+m2-4≤0,m∈R}.若p是?q的充分條件,則實數(shù)m的取值范圍是.

答案(-∞,-3)∪(5,+∞)解析易知A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2},∴?RB={x|x<m-2或x>m+2}.∵p是?q的充分條件,∴A??RB,∴m-2>3或m+2<-1,∴m>5或m<-3.1.命題“若x≥a2+b2,則x≥2ab”的逆命題是()A.若x<a2+b2,則x<2abB.若x≥a2+b2,則x<2abC.若x<2ab,則x<a2+b2D.若x≥2ab,則x≥a2+b2答案D>3的一個充分不必要條件是()>2 >4<4 <2答案B3.下列說法正確的是()A.“x<2”是“x<4”是必要條件B.“xy=0”是“y=0”的充分條件C.“x=0”是“x2+y2=0”的必要條件D.“|x|<1”是“x<1”的充要條件答案C4.下列結(jié)論錯誤的是()A.命題“若x2-3x-4=0,則x=4”的逆否命題是“若x≠4,則x2-3x-4≠0”B.命題“若m>0,則方程x2+x-m=0有實根”的逆命題為真命題C.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分條件D.命題“若m2+n2=0,則m=0且n=0”的否命題是“若m2+n2≠0,則m≠0或n≠0”答案B5.“x(x-5)<0”是“|x-1|<4”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A6.已知命題p:“正數(shù)a的平方不等于0”,命題q:“若a不是正數(shù),則它的平方等于0”,則q是p的()A.逆命題 B.否命題C.逆否命題 D.否定答案B7.已知命題α:如果x<3,那么x<5;命題β:如果x≥3,那么x≥5;命題γ:如果x≥5,那么x≥3.關(guān)于這三個命題之間的關(guān)系,下列三種說法正確的是()①命題α是命題β的否命題,且命題γ是命題β的逆命題;②命題α是命題β的逆命題,且命題γ是命題β的否命題;③命題β是命題α的否命題,且命題γ是命題α的逆否命題.A.①③ B.② C.②③ D.①②③答案A8.設(shè)原命題:若a+b≥2,則a,b中至少有一個不小于1,則原命題與其逆命題的真假情況是()A.原命題真,逆命題假B.原命題假,逆命題真C.原命題與逆命題均為真命題D.原命題與逆命題均為假命題答案A9.已知p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A因為p:x+y≠-2,q:x≠-1或y≠-1,所以?p:x+y=-2,?q:x=-1且y=-1,易知?q??p,但?p?/?q,所以?q是?p的充分不必要條件,即p是q的充分不必要條件.10.已知p:實數(shù)x,y滿足x>1,且y>1,q:實數(shù)x,y滿足x+y>2,則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A若x>1,且y>1,則x+y>2成立,所以p?q;反之由x+y>2不能得到x>1,且y>1.所以p是q的充分不必要條件.11.函數(shù)f(x)=log2x,<0 <a<1C.12<a<1 ≤0或答案A12.圓x2+y2=1與直線y=kx-3有公共點(diǎn)的充分不必要條件是()≤-22或k≥22 ≤-22≥2 ≤-22或k>2答案B若直線與圓有公共點(diǎn),則圓心(0,0)到直線kx-y-3=0的距離d=|-3|k2+1≤1,即k2+1≥3,∴k2+1≥9,即k2≥8,∴k≥22或k≤-22,∴由選項知圓x2+y2=1與直線y=kx-3有公共點(diǎn)的充分不必要的條件是13.已知條件p:|x-4|≤6;條件q:(x-1)2-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要條件,則m的取值范圍是()A.[21,+∞) B.[9,+∞)C.[19,+∞) D.(0,+∞)答案B條件p:-2≤x≤10,條件q:1-m≤x≤m+1,又p是q的充分不必要條件,故有1-m≤-14.已知命題“若a<b,則ac2<bc2”,則該命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個數(shù)是.

答案215.以下命題的說法正確的是(填序號).

①“若log2a>0,則函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)”是真命題;②命題“若a=0,則ab=0”的否命題是“若a≠0,則ab≠0”;③命題“若x,y都是偶數(shù),則x+y也是偶數(shù)”的逆命題為真命題;④命題“若a∈M,則b?M”與命題“若b∈M,則a?M”等價.答案②④16.設(shè)有非空集合A、B、C,若“a∈A”的充要條件是“a