都是“經(jīng)驗”惹的禍

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韓冬青

[摘

要]為提高教學(xué)效率、學(xué)習(xí)效率，老師和學(xué)生都希望把題目歸類，舉一反三，避免無謂的重復(fù)，這當(dāng)然無可厚非，絕大多數(shù)狀況下確實提高了教學(xué)效率和學(xué)習(xí)效率.但有時我們歸納得不夠完整，不夠完善，或者不夠嚴(yán)謹(jǐn)，甚至?xí)霈F(xiàn)錯誤.文章針對不太完整、不太確切或不太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臍w納舉了幾個例子，如“SSA〞問題、借助平移求面積問題、線段旋轉(zhuǎn)掃過的面積問題.經(jīng)驗會讓我們受益匪淺，也會讓我們固步不前，甚至?xí)屛覀兎附?jīng)驗主義錯誤.

[關(guān)鍵詞]“SSA〞;旋轉(zhuǎn);平移;轉(zhuǎn)化;經(jīng)驗

古語說“經(jīng)驗大于學(xué)問〞，可見經(jīng)驗之重要.當(dāng)然，經(jīng)驗至少可以分為兩類，一類是成功的經(jīng)驗，另一類是失敗的經(jīng)驗.成功的經(jīng)驗會讓我們少走好多彎路，失敗的經(jīng)驗則會提醒我們避開那條失敗的路，總之無論是成功的經(jīng)驗，還是失敗的經(jīng)驗，都會讓我們受益匪淺.下面，筆者就數(shù)學(xué)上常見的幾個問題談?wù)勛约旱目捶?

“SSA〞問題

好多學(xué)生都知道“SSA〞是一個假命題，但對其本質(zhì)了解得并不明了，看到“兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等〞就認(rèn)為兩個三角形不全等;好多教師知道“SSA〞雖然是一個假命題，但在特別條件下也能成立，卻忽略了“在特別的圖形關(guān)系中，滿足‘SSA的兩個圖形也能全等〞這一事實.教材上為什么給出了那樣的反例？反例是不是要具備特別的條件？“SSA〞有沒有成立的可能？在什么狀況下成立？在什么狀況下不成立？筆者通過查閱資料和自己的思考，找出了“SSA〞成立和不成立的根本原因.

在三角形全等的證明方法中，“SSS〞“SAS〞“ASA〞等都是借助尺規(guī)作圖來進(jìn)行探究的，只要作出來的三角形與原三角形能夠完全重合，便得到了“SSS〞“SAS〞“ASA〞證明全等的基才能實，所以“SSA〞是否成立也可以借助尺規(guī)作圖來看作出的三角形是不是和原三角形全等.“兩組邊及其中較大邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等.〞“假如兩個三角形滿足最大的角對應(yīng)相等，那么無論是銳角三角形還是鈍角三角形，‘SSA能說明兩個三角形全等.當(dāng)‘SSA中角的對邊大于或等于鄰邊時，‘SSA能證明兩個三角形全等.〞現(xiàn)筆者對上面的命題進(jìn)行再次探究.

現(xiàn)在對圖1（αa，我們用尺規(guī)作圖，作出滿足上述條件的△DEF，我們發(fā)現(xiàn)所作的△DEF是唯一的（如圖2），所以此時△DEF與△CBA全等.

（2）若b=a，△ABC是等腰三角形，我們不需要通過尺規(guī)作圖，便可根據(jù)“SAS〞或“ASA〞或“AAS〞得到這樣的兩個等腰三角形全等.

（3）若b=asinα，即AB⊥AC，此時△ABC是直角三角形，我們簡單得到通過尺規(guī)作圖作出符合條件的直角三角形唯一（如圖3），所以兩三角形全等.

（4）若asinα1時，如α=60°，β=60°時，S>x2，此時圖17中空白部分的面積不等于圖18中空白部分的面積，不可以把圖17轉(zhuǎn)化為圖18來解決;當(dāng)S;假如α為銳角且β為鈍角，或α為鈍角且β為銳角，有SOA），假如∠OBA是鈍角（OA>OB），那么上述問題的結(jié)果就會變成S=S-S.假如∠OAB（或∠OBA）是直角或者是銳角，結(jié)論是否會發(fā)生變化呢？我們來逐一研究.

（1）假如∠OAB=90°，如圖21，此時S=S+S-（S+S）=S-S.這與∠OAB為鈍角時的求解