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行列式第二章

n階行列式行列式性質(zhì)與展開定理

克拉默(Cramer)法則

應(yīng)用舉例11/21/20221行列式第二章n階行列式行列式性質(zhì)與展開定理克拉默(Cr第一節(jié)

n階行列式11/21/20222第一節(jié)

n階行列式11/21/20222

行列式(Determinant)是線性代數(shù)中的一個(gè)最基本、最常用的工具,最早出現(xiàn)于求解線性方程組.它被廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)以及工程技術(shù)等領(lǐng)域.了解:關(guān)于行列式11/21/20223行列式(Determinant)是線性代數(shù)中設(shè)二元線性方程組用消元法知:當(dāng)時(shí),(1)方程組(1)有解,且把由四個(gè)數(shù)排成兩行兩列,并定義為數(shù)

的式子,叫做二階行列式.數(shù)稱為行列式的元素,元素第一個(gè)下標(biāo)稱為行標(biāo),表明該元素位于第i行;第二個(gè)下標(biāo)稱為列標(biāo),表明該元素位于第j列.+-------運(yùn)算符主對(duì)角線一、二階與三階行列式1、基本概念行列式是一個(gè)數(shù)11/21/20224設(shè)二元線性方程組用消元法知:當(dāng)由二階行列式的定義,得:稱為方程組(1)的系數(shù)行列式Example2

便于表示、記憶和推廣求解二元線性方程組由于Solution:(1)用行列式形式表示方程組的解11/21/20225由二階行列式的定義,得:稱為Example類似地,定義三階行列式+-計(jì)算(定義)規(guī)則稱為對(duì)角線規(guī)則(或沙流氏規(guī)則).Example3

計(jì)算三階行列式=-5+12-2-5+8+3=11Solution:1、基本概念11/21/20226類似地,定義三階行列式+-計(jì)算(定義)規(guī)則稱為對(duì)角線規(guī)則(或二、n階行列式用遞歸的方法來(lái)定義n階行列式.由n2個(gè)元素aij

(i,j=1,2,…,n)排成n行n列,稱為n階行列式.數(shù)行數(shù)與列數(shù)相等特點(diǎn)?1、基本概念在(2)式中,a11,a22,…,ann所在的對(duì)角線稱為行列式的主對(duì)角線.11/21/20227二、n階行列式用遞歸的方法來(lái)定義n階行列式M11M12M13Definition1在n階行列式D中,將aij所在的第i

行第j列劃去后,余下的元素按原相對(duì)位置構(gòu)成的一個(gè)n-1階行列式,稱為aij的余子式,記作Mij

.稱

Aij

=(-1)i+jMij,稱為元素aij

的代數(shù)余子式.二、n階行列式11/21/20228M11M12M13Definition1Definition2

當(dāng)n=1時(shí),定義一階行列式,若定義了n-1(n

≥2)階行列式,則定義n階行列式為Dn=a11A11+a12A12+…+a1nA1n也稱(3)為n階行列式關(guān)于第一行的展開式.數(shù)aij

稱為行列式Dn的第i行第j列元素.Note:當(dāng)n≥4時(shí),對(duì)角線法則不再適用Dn的計(jì)算.如4階行列式:按對(duì)角線法共有8項(xiàng)代數(shù)和;4!=24項(xiàng).但按定義,共有n階行列式?二、n階行列式11/21/20229Definition2Example4

證明n階下三角行列式(當(dāng)i<j時(shí),aij=0,即主對(duì)角線以上元素全為零)Proof:對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納法,n=2時(shí),結(jié)論顯然成立,假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1階下三角行列式成立,則由定義得右端行列式是n-1階下三角行列式,根據(jù)歸納假設(shè)得Dn=a11a22…ann特別地,主對(duì)角行列式二、n階行列式例子11/21/202210Example4Example5

證明n階行列式Proof:對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納法,n=2時(shí),結(jié)論顯然成立,

假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1階行列式成立,則由定義得根據(jù)歸納假設(shè)得特別地,二、n階行列式例子11/21/202211Example5證明n階行列式Proof第二節(jié)

行列式性質(zhì)與展開定理11/21/202212第二節(jié)

行列式性質(zhì)與展開定理11/21/202212行列式的計(jì)算是一個(gè)重要卻很麻煩的問題.

n階行列式共有n!項(xiàng),計(jì)算它需要n!(n-1)次乘法,直接用定義計(jì)算行列式幾乎是不可能的.因此,有必要進(jìn)一步討論行列式的性質(zhì),利用這些性質(zhì)簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算.說(shuō)明1:一、行列式按行(或列)展開定理

一般說(shuō)來(lái),低階行列式的計(jì)算比高階行列式的計(jì)算更簡(jiǎn)便,所以,是否可用低階行列式表示高階行列式,行列式定義已表示n階行列式可按第一行展開.11/21/202213行列式的計(jì)算是一個(gè)重要卻很麻煩的問題.此式說(shuō)明三階行列式也可以關(guān)于第一列展開.說(shuō)明2:三階行列式的另幾種表達(dá)11/21/202214此式說(shuō)明三階行列式也可以關(guān)于第一列展開.說(shuō)明2此式說(shuō)明三階行列式也可以關(guān)于第一列展開.Theorem

1行列式等于它的某一行(或列)的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和,即或可用數(shù)學(xué)歸納法證明之

一、行列式按行(或列)展開定理11/21/202215此式說(shuō)明三階行列式也可以關(guān)于第一列展開.The利用Th.1可降低行列式的階數(shù),便于計(jì)算.Example6

計(jì)算Solution:按第一列展開=12二、行列式展開實(shí)例11/21/202216利用Th.1可降低行列式的階數(shù),便于計(jì)算.Exam記(6)(7)稱行列式DT為行列式D的轉(zhuǎn)置(Transposition)行列式.Definition3將D中的行與列互換

也記

D’Property1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.Proof

由Pro.1可知,在行列式中,行與列具有相等的地位.因而,行列式對(duì)其行具有的性質(zhì),對(duì)列也成立.三、行列式的性質(zhì)11/21/202217記(6)(7)稱行列式DT為行列式D的轉(zhuǎn)置(TranProperty1的證明Proof:對(duì)行列式的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法.

階數(shù)為2,結(jié)論顯然成立.假設(shè)階數(shù)為n–1時(shí),結(jié)論成立.當(dāng)階數(shù)為n時(shí),

Dn=a11A11+a12A12+…+a1nA1n按定義(按第一行展開)得由歸納假設(shè)按

Th.1,上式右端是按第一列展開式,即因此,三、行列式的性質(zhì)11/21/202218Property1的證明Proof:對(duì)行列式的階數(shù)用Example7

Solution:

計(jì)算上三角行列式(i>j時(shí),aij=0)利用Pro.1和Ex.4得=a11a22…ann.Property2互換行列式的兩行(列),行列式值變號(hào).三、行列式的性質(zhì)11/21/202219Example7Solution:Property2的證明Proof:對(duì)行列式的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法.

階數(shù)為2,結(jié)論顯然成立.假設(shè)階數(shù)為n–1時(shí),結(jié)論成立.當(dāng)階數(shù)為n時(shí),設(shè)交換第i行與第j行為其中bi1=aj1,bj1=ai1,bk1=ak1(k=1,2,…,n;k≠i,j)三、行列式的性質(zhì)11/21/202220Property2的證明Proof:對(duì)行列式的階數(shù)用對(duì)D*按第一列展開,得:其中Bk1為D*的元素bk1的代數(shù)余子式.對(duì)k=1,2,…,n;k≠i,j,由歸納假設(shè),Bk1=-Ak1;Bi1=(-1)i+1(-1)(j-i)-1

Mj1由歸納假設(shè)=-(-1)j+1Mj1=-

Aj1同理可得:Bj1=-Ai1D*=b11B11+…+bi1Bi1+…+bj1Bj1+…+bn1Bn1=a11(-A11)+…+aj1(-Aj1)+…+ai1(-Ai1)+…+an1(-An1)=-(a11A11+…+ai1Ai1+…+aj1Aj1+…+an1An1)=-

D三、行列式的性質(zhì)11/21/202221對(duì)D*按第一列展開,得:其中Bk1為D*的元素Corollary1

如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式為零.只需把這相同的兩行(列)互換,得Corollary2

行列式某行(列)的元素乘另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零.即0k≠i0k≠j三、行列式的性質(zhì)11/21/202222Corollary1行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即推論證明:由前面的定理,行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和。在中,如果令第

i

行的元素等于另外一行,譬如第k行的元素11/21/202223行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)推論證明:由前面則,第i行右端的行列式含有兩個(gè)相同的行,值為0。證畢行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即推論11/21/202224則,第i行右端的行列式含有兩個(gè)相同的行,值為0。證畢行列綜上,得公式注:直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡(jiǎn)化計(jì)算,因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成n個(gè)(n-1)階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量;只是在行列式中某一行或某一列含有較多的

零時(shí),應(yīng)用展開定理才有意義。但展開定理在理論上是重要的。11/21/202225綜上,得公式注:直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡(jiǎn)化計(jì)Theorem

1行列式等于它的某一行(或列)的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和,即或內(nèi)容回顧:一、行列式按行(或列)展開定理三、行列式的性質(zhì)-回顧Property1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.Property2互換行列式的兩行(列),行列式值變號(hào).11/21/202226Theorem1Corollary1

如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式為零.Corollary2

行列式某行(列)的元素乘另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零.即0k≠i0k≠j三、行列式的性質(zhì)11/21/202227Corollary1Property3用數(shù)k乘以行列式,相當(dāng)于用數(shù)k乘以行列式的某一行(列)的所有元素.即第i行(列)乘以k,記作

Corollary1

行列式中某一行(列)的所有元素的公因子,可以提到行列式符號(hào)外面.三、行列式的性質(zhì)11/21/202228Property3Corollary2

如果行列式中一行(列)為零,則該行列式為零.(取

k=0)Corollary3

行列式中如果有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零.(由Pro.3Co.1及Pro.2Co.1)Property4由Th.1,按該行(列)展開可得.該行每個(gè)元素為兩個(gè)元素之和三、行列式的性質(zhì)11/21/202229Corollary2Property5

把行列式的某一行(列)的各元素乘以數(shù)

k,然后加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去,行列式不變.即以數(shù)k乘第j行加到第i行,記作

(由Pro.4、Pro.3Co.3即得)注意表示!三、行列式的性質(zhì)11/21/202230Property5Example8

計(jì)算Solution:化行列式為上(下)三角行列式是一重要方法=-45改為6,如何?4階及以上行列式不能用對(duì)角線法

三、行列式的性質(zhì)11/21/202231Example8計(jì)算Solution:化行列式Example9

計(jì)算Solution:方法一D4=(a+3b)(a-b)3方法二D4=(a+3b)(a-b)3方法一、方法二對(duì)n階也很適用三、行列式的性質(zhì)11/21/202232Example9計(jì)算Solution:方法一D方法三將a=b+(a-b)則利用Pro.5進(jìn)行拆項(xiàng),幾項(xiàng)?

應(yīng)有16項(xiàng).但包含兩個(gè)或兩個(gè)以上第一個(gè)子列,則為零.三、行列式的性質(zhì)11/21/202233方法三將a=b+(a-b)則利用Pro.5Example10

試證

Proof:分析特點(diǎn):列之和相等(實(shí)質(zhì)是計(jì)算)確定方法左邊=右邊三、行列式的性質(zhì)11/21/202234Example10試證Proof:分析特Example11

n階行列式,滿足aij=-aji

i,j=1~n證明:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),D=0.Proof:由條件可知:aii=-aii

i=1~n得aii=0D=(-1)nD

Pro.1Pro.3因?yàn)閚為奇數(shù),D=-D,所以D=0.三、行列式的性質(zhì)11/21/202235Example11Example12

計(jì)算Solution:方法一將各列加到第一列,得方法二

Dncj+cj+1j=n-1,…,1三、行列式的性質(zhì)11/21/202236Example12計(jì)算Solution:方法一Example13

計(jì)算Solution:方法一每行減去第一行,得方法二(添加一行一列)三、行列式的性質(zhì)11/21/202237Example13計(jì)算Solution:方法一Example14

計(jì)算Solution:方法一從第二行起,前行乘以x加到后一行,得三、行列式的性質(zhì)11/21/202238Example14計(jì)算Solution:按最后一行展開,得:Dn=xDn-1+an-1Dn-1=xDn-2+an-2方法二(遞推法)…..……D2=xa0+a1Dn

=xDn-1+an-1=x2Dn-2+an-2x+an-1所以=x3Dn-3+an-3x2+an-2x+an-1=…==xn-2D2+a2xn-1+…+an-3x2+an-2x+an-1Dn-2=xDn-3+an-3=a0xn-1+a1xn-2+…+an-2x+an-1三、行列式的性質(zhì)11/21/202239按最后一行展開,得:Dn=xDn-1+an-1Dn-1Example15

設(shè)證明:D=D1D2.對(duì)m用數(shù)學(xué)歸納法即可證明((B)1(2);2)=?三、行列式的性質(zhì)后m列換到前面;注11/21/202240Example15設(shè)證明:D=D1D2Example16

證明范德蒙德(Vandermonde)行列式Proof:用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)

n=2結(jié)論成立;假設(shè)對(duì)于n-1階V-行列式,結(jié)論成立;

對(duì)于n階V-行列式,從第n行開始,后行減去前行的x1倍.三、行列式的性質(zhì)11/21/202241Example16證明范德蒙德(VanderDn上式右端行列式是n-1階V-行列式,由歸納假設(shè),得三、行列式的性質(zhì)11/21/202242Dn上式右端行列式是n-1階V-行列式,由歸納假設(shè),Example17

計(jì)算Solution:D4為4階V-行列式其中故三、行列式的性質(zhì)11/21/202243Example17計(jì)算Solution:D4第三節(jié)

克萊姆(Cramer)法則11/21/202244第三節(jié)

克萊姆(Cramer)法則11/21/202244

首次討論線性方程組的求解問題,利用行列式得出一類特殊方程的求解公式.克萊姆法則:如果線性方程組(1)其系數(shù)行列式則方程組(1)有唯一解

其中Dj是用常數(shù)項(xiàng)(自由項(xiàng))b1,b2,…,bn替換D中第j列所成的行列式.一、克萊姆法則簡(jiǎn)記為11/21/202245首次討論線性方程組的求解問題,利用行列式得出Proof:①是解;②唯一性.①所以,(2)是(1)的解.②設(shè)是方程組(1)的一個(gè)解.代入方程得用D中第j列元素的代數(shù)余子式依次乘方程組(3)的n個(gè)方程,再相加,得

左邊=右邊=Dj由Th.1.2可知Dcj=Dj一、克萊姆法則11/21/202246Proof:①是解Example18

解方程組Solution:該位置展開一定帶正號(hào)D1=-2,D2=4,D3=0,D4=-1

所以,x1=1,x2=-2,x3=0,x4=1/2.二、克萊姆法則應(yīng)用實(shí)例11/21/202247Example18解方程組Solution:該位置

克萊姆法則的意義在于它給出了解與系數(shù)的關(guān)系,在方程理論上很有價(jià)值.但用它來(lái)求解是很不方便的.因?yàn)?,它求解一個(gè)n個(gè)未知量、n個(gè)方程的線性方程組,需計(jì)算n+1個(gè)n階行列式,計(jì)算量很大.Definition1.8在方程組(1)中,如果自由項(xiàng)b1,b2,…,bn

不全為零,則稱(1)為非齊次線性方程組;否則,稱為齊次線性方程組.

Corollary1

零一定是它的解,更關(guān)心的是非零解如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式,則方程組只有零解.Corollary2

如果齊次線性方程組有非零解的必要條件是D=0.第三章將證明這也是充分的三、克萊姆法則應(yīng)用11/21/202248克萊姆法則的意義在于它給出了解與系數(shù)的關(guān)系Example19

設(shè)方程組

問a、b、c滿足什么條件,方程組有非零解.Solution:由D=0a、b、c至少有兩個(gè)相等.

不難驗(yàn)證,當(dāng)a、b、c中至少有兩個(gè)相等,方程組有非零解.11/21/202249Example19設(shè)方程組問a、b、c滿小

結(jié)行列式計(jì)算、證明的常用方法定義性質(zhì)降(升)階遞推V-行列式數(shù)學(xué)歸納法11/21/202250小結(jié)行列式計(jì)算、證明的常用方法定義性質(zhì)降(升)階遞推V-第二章行列式完11/21/202251第二章行列式完11/21/202251第二章練習(xí)P36,習(xí)題2(A)第7,5,3(5);(B)11/21/202252第二章練習(xí)P36,習(xí)題2(A)第7,5,3(5);(B)1習(xí)題2作業(yè)P36,習(xí)題2(A)第2(1,2);3(3,5);4(3,4);6,8(1);9;1011/21/202253習(xí)題2作業(yè)P36,習(xí)題2(A)第2(1,2);3(3,行列式第二章

n階行列式行列式性質(zhì)與展開定理

克拉默(Cramer)法則

應(yīng)用舉例11/21/202254行列式第二章n階行列式行列式性質(zhì)與展開定理克拉默(Cr第一節(jié)

n階行列式11/21/202255第一節(jié)

n階行列式11/21/20222

行列式(Determinant)是線性代數(shù)中的一個(gè)最基本、最常用的工具,最早出現(xiàn)于求解線性方程組.它被廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)以及工程技術(shù)等領(lǐng)域.了解:關(guān)于行列式11/21/202256行列式(Determinant)是線性代數(shù)中設(shè)二元線性方程組用消元法知:當(dāng)時(shí),(1)方程組(1)有解,且把由四個(gè)數(shù)排成兩行兩列,并定義為數(shù)

的式子,叫做二階行列式.數(shù)稱為行列式的元素,元素第一個(gè)下標(biāo)稱為行標(biāo),表明該元素位于第i行;第二個(gè)下標(biāo)稱為列標(biāo),表明該元素位于第j列.+-------運(yùn)算符主對(duì)角線一、二階與三階行列式1、基本概念行列式是一個(gè)數(shù)11/21/202257設(shè)二元線性方程組用消元法知:當(dāng)由二階行列式的定義,得:稱為方程組(1)的系數(shù)行列式Example2

便于表示、記憶和推廣求解二元線性方程組由于Solution:(1)用行列式形式表示方程組的解11/21/202258由二階行列式的定義,得:稱為Example類似地,定義三階行列式+-計(jì)算(定義)規(guī)則稱為對(duì)角線規(guī)則(或沙流氏規(guī)則).Example3

計(jì)算三階行列式=-5+12-2-5+8+3=11Solution:1、基本概念11/21/202259類似地,定義三階行列式+-計(jì)算(定義)規(guī)則稱為對(duì)角線規(guī)則(或二、n階行列式用遞歸的方法來(lái)定義n階行列式.由n2個(gè)元素aij

(i,j=1,2,…,n)排成n行n列,稱為n階行列式.數(shù)行數(shù)與列數(shù)相等特點(diǎn)?1、基本概念在(2)式中,a11,a22,…,ann所在的對(duì)角線稱為行列式的主對(duì)角線.11/21/202260二、n階行列式用遞歸的方法來(lái)定義n階行列式M11M12M13Definition1在n階行列式D中,將aij所在的第i

行第j列劃去后,余下的元素按原相對(duì)位置構(gòu)成的一個(gè)n-1階行列式,稱為aij的余子式,記作Mij

.稱

Aij

=(-1)i+jMij,稱為元素aij

的代數(shù)余子式.二、n階行列式11/21/202261M11M12M13Definition1Definition2

當(dāng)n=1時(shí),定義一階行列式,若定義了n-1(n

≥2)階行列式,則定義n階行列式為Dn=a11A11+a12A12+…+a1nA1n也稱(3)為n階行列式關(guān)于第一行的展開式.數(shù)aij

稱為行列式Dn的第i行第j列元素.Note:當(dāng)n≥4時(shí),對(duì)角線法則不再適用Dn的計(jì)算.如4階行列式:按對(duì)角線法共有8項(xiàng)代數(shù)和;4!=24項(xiàng).但按定義,共有n階行列式?二、n階行列式11/21/202262Definition2Example4

證明n階下三角行列式(當(dāng)i<j時(shí),aij=0,即主對(duì)角線以上元素全為零)Proof:對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納法,n=2時(shí),結(jié)論顯然成立,假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1階下三角行列式成立,則由定義得右端行列式是n-1階下三角行列式,根據(jù)歸納假設(shè)得Dn=a11a22…ann特別地,主對(duì)角行列式二、n階行列式例子11/21/202263Example4Example5

證明n階行列式Proof:對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納法,n=2時(shí),結(jié)論顯然成立,

假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1階行列式成立,則由定義得根據(jù)歸納假設(shè)得特別地,二、n階行列式例子11/21/202264Example5證明n階行列式Proof第二節(jié)

行列式性質(zhì)與展開定理11/21/202265第二節(jié)

行列式性質(zhì)與展開定理11/21/202212行列式的計(jì)算是一個(gè)重要卻很麻煩的問題.

n階行列式共有n!項(xiàng),計(jì)算它需要n!(n-1)次乘法,直接用定義計(jì)算行列式幾乎是不可能的.因此,有必要進(jìn)一步討論行列式的性質(zhì),利用這些性質(zhì)簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算.說(shuō)明1:一、行列式按行(或列)展開定理

一般說(shuō)來(lái),低階行列式的計(jì)算比高階行列式的計(jì)算更簡(jiǎn)便,所以,是否可用低階行列式表示高階行列式,行列式定義已表示n階行列式可按第一行展開.11/21/202266行列式的計(jì)算是一個(gè)重要卻很麻煩的問題.此式說(shuō)明三階行列式也可以關(guān)于第一列展開.說(shuō)明2:三階行列式的另幾種表達(dá)11/21/202267此式說(shuō)明三階行列式也可以關(guān)于第一列展開.說(shuō)明2此式說(shuō)明三階行列式也可以關(guān)于第一列展開.Theorem

1行列式等于它的某一行(或列)的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和,即或可用數(shù)學(xué)歸納法證明之

一、行列式按行(或列)展開定理11/21/202268此式說(shuō)明三階行列式也可以關(guān)于第一列展開.The利用Th.1可降低行列式的階數(shù),便于計(jì)算.Example6

計(jì)算Solution:按第一列展開=12二、行列式展開實(shí)例11/21/202269利用Th.1可降低行列式的階數(shù),便于計(jì)算.Exam記(6)(7)稱行列式DT為行列式D的轉(zhuǎn)置(Transposition)行列式.Definition3將D中的行與列互換

也記

D’Property1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.Proof

由Pro.1可知,在行列式中,行與列具有相等的地位.因而,行列式對(duì)其行具有的性質(zhì),對(duì)列也成立.三、行列式的性質(zhì)11/21/202270記(6)(7)稱行列式DT為行列式D的轉(zhuǎn)置(TranProperty1的證明Proof:對(duì)行列式的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法.

階數(shù)為2,結(jié)論顯然成立.假設(shè)階數(shù)為n–1時(shí),結(jié)論成立.當(dāng)階數(shù)為n時(shí),

Dn=a11A11+a12A12+…+a1nA1n按定義(按第一行展開)得由歸納假設(shè)按

Th.1,上式右端是按第一列展開式,即因此,三、行列式的性質(zhì)11/21/202271Property1的證明Proof:對(duì)行列式的階數(shù)用Example7

Solution:

計(jì)算上三角行列式(i>j時(shí),aij=0)利用Pro.1和Ex.4得=a11a22…ann.Property2互換行列式的兩行(列),行列式值變號(hào).三、行列式的性質(zhì)11/21/202272Example7Solution:Property2的證明Proof:對(duì)行列式的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法.

階數(shù)為2,結(jié)論顯然成立.假設(shè)階數(shù)為n–1時(shí),結(jié)論成立.當(dāng)階數(shù)為n時(shí),設(shè)交換第i行與第j行為其中bi1=aj1,bj1=ai1,bk1=ak1(k=1,2,…,n;k≠i,j)三、行列式的性質(zhì)11/21/202273Property2的證明Proof:對(duì)行列式的階數(shù)用對(duì)D*按第一列展開,得:其中Bk1為D*的元素bk1的代數(shù)余子式.對(duì)k=1,2,…,n;k≠i,j,由歸納假設(shè),Bk1=-Ak1;Bi1=(-1)i+1(-1)(j-i)-1

Mj1由歸納假設(shè)=-(-1)j+1Mj1=-

Aj1同理可得:Bj1=-Ai1D*=b11B11+…+bi1Bi1+…+bj1Bj1+…+bn1Bn1=a11(-A11)+…+aj1(-Aj1)+…+ai1(-Ai1)+…+an1(-An1)=-(a11A11+…+ai1Ai1+…+aj1Aj1+…+an1An1)=-

D三、行列式的性質(zhì)11/21/202274對(duì)D*按第一列展開,得:其中Bk1為D*的元素Corollary1

如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式為零.只需把這相同的兩行(列)互換,得Corollary2

行列式某行(列)的元素乘另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零.即0k≠i0k≠j三、行列式的性質(zhì)11/21/202275Corollary1行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即推論證明:由前面的定理,行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和。在中,如果令第

i

行的元素等于另外一行,譬如第k行的元素11/21/202276行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)推論證明:由前面則,第i行右端的行列式含有兩個(gè)相同的行,值為0。證畢行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即推論11/21/202277則,第i行右端的行列式含有兩個(gè)相同的行,值為0。證畢行列綜上,得公式注:直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡(jiǎn)化計(jì)算,因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成n個(gè)(n-1)階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量;只是在行列式中某一行或某一列含有較多的

零時(shí),應(yīng)用展開定理才有意義。但展開定理在理論上是重要的。11/21/202278綜上,得公式注:直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡(jiǎn)化計(jì)Theorem

1行列式等于它的某一行(或列)的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和,即或內(nèi)容回顧:一、行列式按行(或列)展開定理三、行列式的性質(zhì)-回顧Property1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.Property2互換行列式的兩行(列),行列式值變號(hào).11/21/202279Theorem1Corollary1

如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式為零.Corollary2

行列式某行(列)的元素乘另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零.即0k≠i0k≠j三、行列式的性質(zhì)11/21/202280Corollary1Property3用數(shù)k乘以行列式,相當(dāng)于用數(shù)k乘以行列式的某一行(列)的所有元素.即第i行(列)乘以k,記作

Corollary1

行列式中某一行(列)的所有元素的公因子,可以提到行列式符號(hào)外面.三、行列式的性質(zhì)11/21/202281Property3Corollary2

如果行列式中一行(列)為零,則該行列式為零.(取

k=0)Corollary3

行列式中如果有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零.(由Pro.3Co.1及Pro.2Co.1)Property4由Th.1,按該行(列)展開可得.該行每個(gè)元素為兩個(gè)元素之和三、行列式的性質(zhì)11/21/202282Corollary2Property5

把行列式的某一行(列)的各元素乘以數(shù)

k,然后加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去,行列式不變.即以數(shù)k乘第j行加到第i行,記作

(由Pro.4、Pro.3Co.3即得)注意表示!三、行列式的性質(zhì)11/21/202283Property5Example8

計(jì)算Solution:化行列式為上(下)三角行列式是一重要方法=-45改為6,如何?4階及以上行列式不能用對(duì)角線法

三、行列式的性質(zhì)11/21/202284Example8計(jì)算Solution:化行列式Example9

計(jì)算Solution:方法一D4=(a+3b)(a-b)3方法二D4=(a+3b)(a-b)3方法一、方法二對(duì)n階也很適用三、行列式的性質(zhì)11/21/202285Example9計(jì)算Solution:方法一D方法三將a=b+(a-b)則利用Pro.5進(jìn)行拆項(xiàng),幾項(xiàng)?

應(yīng)有16項(xiàng).但包含兩個(gè)或兩個(gè)以上第一個(gè)子列,則為零.三、行列式的性質(zhì)11/21/202286方法三將a=b+(a-b)則利用Pro.5Example10

試證

Proof:分析特點(diǎn):列之和相等(實(shí)質(zhì)是計(jì)算)確定方法左邊=右邊三、行列式的性質(zhì)11/21/202287Example10試證Proof:分析特Example11

n階行列式,滿足aij=-aji

i,j=1~n證明:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),D=0.Proof:由條件可知:aii=-aii

i=1~n得aii=0D=(-1)nD

Pro.1Pro.3因?yàn)閚為奇數(shù),D=-D,所以D=0.三、行列式的性質(zhì)11/21/202288Example11Example12

計(jì)算Solution:方法一將各列加到第一列,得方法二

Dncj+cj+1j=n-1,…,1三、行列式的性質(zhì)11/21/202289Example12計(jì)算Solution:方法一Example13

計(jì)算Solution:方法一每行減去第一行,得方法二(添加一行一列)三、行列式的性質(zhì)11/21/202290Example13計(jì)算Solution:方法一Example14

計(jì)算Solution:方法一從第二行起,前行乘以x加到后一行,得三、行列式的性質(zhì)11/21/202291Example14計(jì)算Solution:按最后一行展開,得:Dn=xDn-1+an-1Dn-1=xDn-2+an-2方法二(遞推法)…..……D2=xa0+a1Dn

=xDn-1+an-1=x2Dn-2+an-2x+an-1所以=x3Dn-3+an-3x2+an-2x+an-1=…==xn-2D2+a2xn-1+…+an-3x2+an-2x+an-1Dn-2=xDn-3+an-3=a0xn-1+a1xn-2+…+an-2x+an-1三、行列式的性質(zhì)11/21/202292按最后一行展開,得:Dn=xDn-1+an-1Dn-1Example15

設(shè)證明:D=D1D2.對(duì)m用數(shù)學(xué)歸納法即可證明((B)1(2);2)=?三、行列式的性質(zhì)后m列換到前面;注11/21/202293Example15設(shè)證明:D=D1D2Example16

證明范德蒙德(Vandermonde)行列式Proof:用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)

n=2結(jié)論成立;假設(shè)對(duì)于n-1階V-行列

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