08-第四章-平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答-童中華課件

彈性力學(xué)主講：童中華安徽工業(yè)大學(xué)《彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程》第三版徐芝綸彈性力學(xué)主講：童中華《彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程》§4+上一講回顧§4-1極坐標(biāo)中的平衡微分方程

可類比于直角坐標(biāo)系，附加力：(1)兩徑向面不平行；(2)兩環(huán)向面面積不相等?！?-2極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程

可類比于直角坐標(biāo)系，附加應(yīng)變：(1)半徑增加導(dǎo)致周長(zhǎng)增加；(2)環(huán)向轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)致方向變化。物理方程不變化。§4-3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程

坐標(biāo)變換關(guān)系式，應(yīng)力分量的極坐標(biāo)表示，Laplace算子，極坐標(biāo)中按應(yīng)力求解平面問(wèn)題。§4+上一講回顧§4-1極坐標(biāo)中的平衡微分方程

可類比于第四章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答§4-4

應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式§4-5

軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Α?-7壓力隧洞§4+小結(jié)第四章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式一定應(yīng)力狀態(tài)下，由一種坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量求另一坐標(biāo)系的應(yīng)力分量，需建立應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式。應(yīng)力分量不僅具有方向性，還與其作用面有關(guān)。取出一個(gè)包含xy面

(含sx,sy,txy)和r(或f)面（含sf,sr,trf）的三角形微分體，厚度為1，考慮其平衡條件。直角坐標(biāo)極坐標(biāo)§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式一定應(yīng)力狀態(tài)下，由一種坐標(biāo)系中的取包括x、y面和ρ面的三角形微分體§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式取包括x、y面和ρ面的三角形微分體§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換取包括x、y面和f面的三角形微分體§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量由直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)的變換式：取包括x、y面和f面的三角形微分體§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式由可反求出思考：如何由§2-3中公式直接導(dǎo)出極坐標(biāo)變換式？§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式由可反求出思考：如何由§2-3中在極坐標(biāo)平面內(nèi)的應(yīng)力分量?jī)H僅是徑向坐標(biāo)r

的函數(shù)，不隨角坐標(biāo)f

變化，應(yīng)力函數(shù)為【旋轉(zhuǎn)對(duì)稱】物體的形狀或某物理量繞中心軸旋轉(zhuǎn)任意角度后不變?！?-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移在極坐標(biāo)平面內(nèi)的應(yīng)力分量?jī)H僅是徑向坐標(biāo)r的函數(shù)，不隨角坐Laplace算子成為§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移相容方程成為積分四次得應(yīng)力函數(shù)通解Laplace算子成為§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移相容方應(yīng)變與角坐標(biāo)無(wú)關(guān)，也為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱?！?-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移應(yīng)變與角坐標(biāo)無(wú)關(guān)，也為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱?！?-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移代入，得軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題對(duì)應(yīng)的位移通解I，K—為x、y向的剛體平移，H—為繞o點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角度?！?-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移代入，得軸對(duì)稱應(yīng)力§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移【說(shuō)明】軸對(duì)稱應(yīng)力條件下，應(yīng)力函數(shù)（4-10）、應(yīng)力（4-11）位移（4-12）的解為通解，適用于任何軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題。實(shí)現(xiàn)軸對(duì)稱應(yīng)力的條件是，物體形狀、體力和面力應(yīng)為軸對(duì)稱。軸對(duì)稱應(yīng)力及對(duì)應(yīng)的位移的通解已滿足相容方程，它們還必須滿足邊界條件及多連體中的位移單值條件，并由此求出各待定系數(shù)A、B及C?！?-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移【說(shuō)明】圓環(huán)(平面應(yīng)力問(wèn)題)和圓筒(平面應(yīng)變問(wèn)題)受內(nèi)外均布?jí)毫?，屬于軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題，可以引用軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題的位移分量的通解。

§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫τ啥噙B體中位移單值條件可得B=0q1q2rR圓環(huán)(平面應(yīng)力問(wèn)題)和圓筒(平面應(yīng)變問(wèn)題)受內(nèi)外均布?jí)毫?，屬（?yīng)力分量）通解。

§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?yīng)力邊界條件要求：滿足B=0q1q2rR（應(yīng)力分量）通解。§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?yīng)力邊界條解出§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫M(jìn)而可得出拉梅解答：q1q2rR解出§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫M(jìn)而可得出拉梅解答：q1q帶圓孔的無(wú)限大薄板（或圓孔道）（1）只有內(nèi)壓力（2）只有外壓力§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫A孔的無(wú)限大薄板（或圓孔道）（1）只有內(nèi)壓力（2）只有外壓（1）多連體中的位移單值條件，實(shí)質(zhì)上就是物體的連續(xù)性條件（即位移連續(xù)性條件）（2）在連續(xù)體中，應(yīng)力、形變和位移都應(yīng)為單值按位移求解時(shí)：取位移為單值，求形變（幾何方程）也為單值，求應(yīng)力（物理方程）也為單值。按應(yīng)力求解時(shí)：取應(yīng)力為單值，求形變（物理方程）也為單值，求位移（由幾何方程積分），常常會(huì)出現(xiàn)多值項(xiàng)。對(duì)于單連體，通過(guò)校核邊界條件等，位移單值條件往往已自然滿足；

對(duì)于多連體，應(yīng)校核位移單值條件，并使之滿足?！?-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Γ?）多連體中的位移單值條件，實(shí)質(zhì)上就是物體的連續(xù)性條件（即本題是兩個(gè)圓筒的接觸問(wèn)題，兩個(gè)均為軸對(duì)稱問(wèn)題（平面應(yīng)變問(wèn)題）。壓力隧洞—圓筒（內(nèi)徑r，外徑R)埋在無(wú)限大彈性體中，受有均布內(nèi)壓力。圓筒和無(wú)限大彈性體的彈性常數(shù)分別為不符合均勻性假定，屬?gòu)?fù)合材料力學(xué)所研究的范疇，對(duì)不同的材料區(qū)域需采用不同的應(yīng)力函數(shù)，應(yīng)力和位移的函數(shù)也不同。圓筒無(wú)限大彈性體§4-7壓力隧洞本題是兩個(gè)圓筒的接觸問(wèn)題，兩個(gè)均為軸對(duì)稱問(wèn)題（平面應(yīng)變問(wèn)題）位移單值條件：§4-7壓力隧洞圓筒內(nèi)應(yīng)力無(wú)限大體內(nèi)應(yīng)力位移單值條件：§4-7壓力隧洞圓筒內(nèi)應(yīng)力無(wú)限大體內(nèi)應(yīng)力§4-7壓力隧洞圓筒內(nèi)應(yīng)力邊界條件無(wú)窮遠(yuǎn)應(yīng)力邊界條件接觸面上徑向應(yīng)力連續(xù)§4-7壓力隧洞圓筒內(nèi)應(yīng)力邊界條件無(wú)窮遠(yuǎn)應(yīng)力邊界條件接觸面§4-7壓力隧洞接觸面上位移連續(xù)圓筒內(nèi)位移無(wú)限大體內(nèi)位移接觸面上徑向應(yīng)力連續(xù)§4-7壓力隧洞接觸面上位移連續(xù)圓筒內(nèi)位移無(wú)限大體內(nèi)位移接§4-7壓力隧洞位移連續(xù)條件在整個(gè)接觸面上都滿足，與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，連續(xù)方程化簡(jiǎn)得到其中解出A,C,A’,C’，代回應(yīng)力表達(dá)式，可得全部應(yīng)力的解答?！?-7壓力隧洞位移連續(xù)條件在整個(gè)接觸面上都滿足，與坐標(biāo)§4-7壓力隧洞應(yīng)力分量表達(dá)式：當(dāng)n<1時(shí)的應(yīng)力分布圖更多精彩盡在復(fù)合材料力學(xué)§4-7壓力隧洞應(yīng)力分量表達(dá)式：當(dāng)n<1時(shí)的應(yīng)力分布圖更多§4+小結(jié)§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式

取含環(huán)向面和直角坐標(biāo)面的三角形微分體求徑向應(yīng)力和切應(yīng)力，取含徑向面的微分體求環(huán)向應(yīng)力和切應(yīng)力，與§2-3中求斜面應(yīng)力的法向和切向分量一樣?！?-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移

在極坐標(biāo)平面內(nèi)的應(yīng)力函數(shù)、應(yīng)力、應(yīng)變、位移的通解都僅僅是徑向坐標(biāo)r

的函數(shù)，三個(gè)待定系數(shù)。§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?/p>

多連體中的位移單值條件。§4-7壓力隧洞作業(yè)4-3§4+小結(jié)§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式

取含環(huán)向面和直角彈性力學(xué)主講：童中華安徽工業(yè)大學(xué)《彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程》第三版徐芝綸彈性力學(xué)主講：童中華《彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程》§4+上一講回顧§4-1極坐標(biāo)中的平衡微分方程

可類比于直角坐標(biāo)系，附加力：(1)兩徑向面不平行；(2)兩環(huán)向面面積不相等?！?-2極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程

可類比于直角坐標(biāo)系，附加應(yīng)變：(1)半徑增加導(dǎo)致周長(zhǎng)增加；(2)環(huán)向轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)致方向變化。物理方程不變化?！?-3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程

坐標(biāo)變換關(guān)系式，應(yīng)力分量的極坐標(biāo)表示，Laplace算子，極坐標(biāo)中按應(yīng)力求解平面問(wèn)題。§4+上一講回顧§4-1極坐標(biāo)中的平衡微分方程

可類比于第四章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答§4-4

應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式§4-5

軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Α?-7壓力隧洞§4+小結(jié)第四章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式一定應(yīng)力狀態(tài)下，由一種坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量求另一坐標(biāo)系的應(yīng)力分量，需建立應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式。應(yīng)力分量不僅具有方向性，還與其作用面有關(guān)。取出一個(gè)包含xy面

(含sx,sy,txy)和r(或f)面（含sf,sr,trf）的三角形微分體，厚度為1，考慮其平衡條件。直角坐標(biāo)極坐標(biāo)§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式一定應(yīng)力狀態(tài)下，由一種坐標(biāo)系中的取包括x、y面和ρ面的三角形微分體§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式取包括x、y面和ρ面的三角形微分體§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換取包括x、y面和f面的三角形微分體§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量由直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)的變換式：取包括x、y面和f面的三角形微分體§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式由可反求出思考：如何由§2-3中公式直接導(dǎo)出極坐標(biāo)變換式？§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式由可反求出思考：如何由§2-3中在極坐標(biāo)平面內(nèi)的應(yīng)力分量?jī)H僅是徑向坐標(biāo)r

的函數(shù)，不隨角坐標(biāo)f

變化，應(yīng)力函數(shù)為【旋轉(zhuǎn)對(duì)稱】物體的形狀或某物理量繞中心軸旋轉(zhuǎn)任意角度后不變?！?-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移在極坐標(biāo)平面內(nèi)的應(yīng)力分量?jī)H僅是徑向坐標(biāo)r的函數(shù)，不隨角坐Laplace算子成為§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移相容方程成為積分四次得應(yīng)力函數(shù)通解Laplace算子成為§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移相容方應(yīng)變與角坐標(biāo)無(wú)關(guān)，也為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱?！?-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移應(yīng)變與角坐標(biāo)無(wú)關(guān)，也為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移代入，得軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題對(duì)應(yīng)的位移通解I，K—為x、y向的剛體平移，H—為繞o點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角度?！?-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移代入，得軸對(duì)稱應(yīng)力§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移【說(shuō)明】軸對(duì)稱應(yīng)力條件下，應(yīng)力函數(shù)（4-10）、應(yīng)力（4-11）位移（4-12）的解為通解，適用于任何軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題。實(shí)現(xiàn)軸對(duì)稱應(yīng)力的條件是，物體形狀、體力和面力應(yīng)為軸對(duì)稱。軸對(duì)稱應(yīng)力及對(duì)應(yīng)的位移的通解已滿足相容方程，它們還必須滿足邊界條件及多連體中的位移單值條件，并由此求出各待定系數(shù)A、B及C?！?-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移【說(shuō)明】圓環(huán)(平面應(yīng)力問(wèn)題)和圓筒(平面應(yīng)變問(wèn)題)受內(nèi)外均布?jí)毫?，屬于軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題，可以引用軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題的位移分量的通解。

§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫τ啥噙B體中位移單值條件可得B=0q1q2rR圓環(huán)(平面應(yīng)力問(wèn)題)和圓筒(平面應(yīng)變問(wèn)題)受內(nèi)外均布?jí)毫?，屬（?yīng)力分量）通解。

§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?yīng)力邊界條件要求：滿足B=0q1q2rR（應(yīng)力分量）通解。§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?yīng)力邊界條解出§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫M(jìn)而可得出拉梅解答：q1q2rR解出§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫M(jìn)而可得出拉梅解答：q1q帶圓孔的無(wú)限大薄板（或圓孔道）（1）只有內(nèi)壓力（2）只有外壓力§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫A孔的無(wú)限大薄板（或圓孔道）（1）只有內(nèi)壓力（2）只有外壓（1）多連體中的位移單值條件，實(shí)質(zhì)上就是物體的連續(xù)性條件（即位移連續(xù)性條件）（2）在連續(xù)體中，應(yīng)力、形變和位移都應(yīng)為單值按位移求解時(shí)：取位移為單值，求形變（幾何方程）也為單值，求應(yīng)力（物理方程）也為單值。按應(yīng)力求解時(shí)：取應(yīng)力為單值，求形變（物理方程）也為單值，求位移（由幾何方程積分），常常會(huì)出現(xiàn)多值項(xiàng)。對(duì)于單連體，通過(guò)校核邊界條件等，位移單值條件往往已自然滿足；

對(duì)于多連體，應(yīng)校核位移單值條件，并使之滿足?！?-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Γ?）多連體中的位移單值條件，實(shí)質(zhì)上就是物體的連續(xù)性條件（即本題是兩個(gè)圓筒的接觸問(wèn)題，兩個(gè)均為軸對(duì)稱問(wèn)題（平面應(yīng)變問(wèn)題）。壓力隧洞—圓筒（內(nèi)徑r，外徑R)埋在無(wú)限大彈性體中，受有均布內(nèi)壓力。圓筒和無(wú)限大彈性體的彈性常數(shù)分別為不符合均勻性假定，屬?gòu)?fù)合材料力學(xué)所研究的范疇，對(duì)不同的材料區(qū)域需采用不同的應(yīng)力函數(shù)，應(yīng)力和位移的函數(shù)也不同。圓筒無(wú)限大彈性體§4-7壓力隧洞本題是兩個(gè)圓筒的接觸問(wèn)題，兩個(gè)均為軸對(duì)稱問(wèn)題（平面應(yīng)變問(wèn)題）位移單值條件：§4-7壓力隧洞圓筒內(nèi)應(yīng)力無(wú)限大體內(nèi)應(yīng)力