概率統(tǒng)計(jì)-課件王xtk

第二章

習(xí)題課本章主要內(nèi)容量的引入1.

隨量.?定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={e}.X=X(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù).稱X=X(e)為隨?與普通實(shí)函數(shù)的區(qū)別：(1)它的定義域是樣本空間S，而S不一定是實(shí)數(shù)集;(2)它的取值是隨機(jī)的，所取每一個(gè)可能值都有一定的概率.?隨

量的分類：離散型/非離散型(連續(xù)型)2.離散型隨 量及其概率分布?定義:

取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)值的隨

量;?分布律：P{X=xk}=

pk,

k

=1,2,…其中

pk

滿足：(1)

pk

0,?常見(jiàn)分布：(2)

pk

1.k

1k

0,1,2,

.,

n1）(0-1)分布：P{X=k}=

pk(1-p)1-k, k=0,1

(0<p<1)2)二項(xiàng)分布：X

～b(n,p)k

kk

nnkp

(1

p)

,p

P{X

k}

C3)泊松分布：X

~

(

)P{

X

k}

,

k

0,1,2,...k!k

e

3.隨

量的分布函數(shù)?定義：設(shè)X是一個(gè)隨 量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F(x)=P{X

x}------稱為X的分布函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)P{x1

X

x2

}

F(x2

)

F(x1

)P{X

x1}

1

F(x1

)P{X

x1}

F(x1

)

F(x1

0)?分布函數(shù)的性質(zhì)0

F

(x)

1

,

x

F(x)是單調(diào)不減的,即若x1

x2

,則Fx1

Fx2

(3)

F

0lF,imFx

Fx

1xx(4)F(x)是右連續(xù)的,即F(x+0)=F(x)(1)

離散型隨 量X的分布函數(shù)F

(

x)

P{

X

x}

P{

X

xk

}xk

x(2)

連續(xù)型隨

量xf

(t

)dtF

(

x)

1.

f

(

x)

013.{1

2xx2

fx(P})Xdxxx4.F(x)

f

(x)，在f

(x)的連續(xù)點(diǎn).2.

f

(

x)dx

1f(x)的性質(zhì)?三種重要的連續(xù)型隨量(一)均勻分布

0f

(

x)

b

a，a

x

b,,

其它1(二)指數(shù)分布0f

(

x)

1,

x

0,

x

0

xe(三)正態(tài)分布

x

,21f

()x

2

2x

)(2e?標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:X～N(0,1)21e

x

2

(

x)

21

t

2e

2

dtx(

x)

2X

~

N(,

2

)Z

X

~

N

(0,1)x(

x)F

(

x)

(

x

)

12x

x

P{x1

X

x2

}

4隨量的函數(shù)的分布一、離散型隨二、連續(xù)型隨量函數(shù)的分布律量函數(shù)的概率密度方法：由隨

量X的概率密度

f

X

(x)

去求隨

量Y=g(X)的概率密度.求出Y的分布函數(shù)的表達(dá)式;由分布函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，即可得到.第二章

練習(xí)題一、填空題1.設(shè)隨

量X的概率密度為X012p1/31/61/2則X

的分布函數(shù)F(x)

=.kxb

,

0

x

1,(b

0,

k

0)f

(

x)

0,

其它.且P{X>1/2}=0.75，則k

=

22.設(shè)隨

量X的分布律為,

b

=

1

.0,

x<0,1/3,

0x<11/2,

1x<21,

2x以Y

表示對(duì)X

的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件{X1/2}出現(xiàn)的次數(shù),則P{Y=2}=2x,4.設(shè)隨 量X的概率密度為

f

(

x)

0,0

x

1其它.9/64

.5.設(shè)X服從參數(shù)為(2,

p)的二項(xiàng)分布,隨

量Y服從參數(shù)為(3,p)的二項(xiàng)分布.若P{X1}=5/9,則P{Y1}=19/27利用常見(jiàn)連續(xù)型隨

量的分布求事件的概率若隨

量

X

在(1,

6)上服從均勻分布,

則方程x2+Xx+1=0

有實(shí)根的概率是

0.8

.利用常見(jiàn)離散型隨

量的分布求事件的概率(A)2[1-F(a)](C)

2-F(a)(B)2F(a)-1(D)

1-2F(a)2.設(shè)隨

量X的概率密度為(

x

)2

1f

(

x)

4e

(

x

3)22X

3(C)2X

3(D)2(A)

X

32X

3(B)二、選擇題1.設(shè)隨

量X具有對(duì)稱的概率密度，即f(x)=f(-x),其分布函數(shù)為F(x),

則

P{|X|>a}=(

A

).則(

B

)~N(0,1).(B)

p1

p2(D)

p1

p2(A)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)有p1

=p2(C)只對(duì)

的個(gè)別值才有p1

=p23.設(shè)X~N(,42),Y~N

(,52)，記P(X

-4)=p1

,P(Y

+5)=p2

,

則(

A

)5(

A)a

3

b

255.設(shè)隨(B)a

2

b

2

(C)a

1

b

3

(D)

a

13

3

2

2

2b

324.設(shè)隨

量X1

,X2的分布函數(shù)為F1(x),F2(x),為使

F(x)=a

F1(x)-bF2(x)是某一隨

量的分布函數(shù),在下面給出的各組數(shù)中應(yīng)?。?/p>

A

）.量X~N(2,

2),

且

P{2<X<4}=0.3,

則P{X<0}=（

D

）(A)0.5

(B)0.7

(C)0.3

(D)0.2X

~

N

(,

2

)，則隨的增大，概率6.設(shè)隨

量PX

(A)單調(diào)增大．(B)

單調(diào)減?。?C)保持不變．(D)增減不定．分析

應(yīng)選(C)．因?yàn)閷?duì)于任意

和

，P

X

為常數(shù)P

1

0.8413

(1

0.8413)

0.6826

X

1.

設(shè)隨

量X的分布函數(shù)為

1,x

b,

ax2

,F

(

x)

0

x

1,1

x

4

/

3,x

4

/

3.0,

x

0,4

3

3F0())F

(

4

試確定常數(shù)a,b的值.【解】由分布函數(shù)的右連續(xù)性,可知F0((1

F

3即1

4

b1

b

a解得:a=2/3,b=1/3.三、解答題會(huì)求待定常數(shù)

離散型：作業(yè)1一(1)二（1）三（3）pk0.75

0.204

0.041

0.005P{

X

2}

P{

X

3}

0.005P{0.5

X

2}

P{

X

1}

0.204作業(yè)1

三（2）會(huì)求離散型隨量的分布律，分布函數(shù)和事件的概率（實(shí)質(zhì)：古典概型）2.一批零件中有9件正品和3件次品,從中不放回地抽取零件,求(1)在取得正品前已取出次品數(shù)X的分布律和分布函數(shù);(2)概率P{X>2},P{0.5<X<2}.【解】(1)的所有可能的取值為0,1,2,3,

且X

0

1

2

3012141

1

18

16

163.

設(shè)X的分布律為

X

4

2

2

4p求Y=cosX的分布律.2412141

1

18

16

16p

cosX

0X【解】22cosX0122165181691

2

00

4

22會(huì)求離散型隨量函數(shù)的分布律4.設(shè)連續(xù)性隨

1量X的概率密度為ke

x

,

x

0,

40,f

(

x)

,0

x

2,x

2求(1)k=?(2)P{1<X<5},

(3)F(x)答(1)k=1/2,(2)

1/4,

1,

21

e

x,x

20

x

2,x

0,24(3)F

(

x)

1

x

1

,已知連續(xù)型隨

量的概率密度，求待定常數(shù)，分布函數(shù)和一些事件的概率5.設(shè)X的分布函數(shù)為1,x

0,0

x

1,x

130,F

(

x)

cx

,求

c=?;

f(x);

P{X<-3},

P{X<1/2},P{X>1/2},P{X>1/2|X<2/3},

P{X=3}.已知連續(xù)型隨

量的分布函數(shù)，求待定常數(shù)，概率密度和一些事件的概率6.設(shè)連續(xù)型隨量X

的分布函數(shù)為F

(x)

A

Be0,

x

0,

x

0

x22求:(1)系數(shù)A與B;(2)X的概率密度f(wàn)(x);(3)X的取值落在區(qū)間[1,2]內(nèi)的概率.(2)

由F

'(x)

f

(x)得X的概率密度為f

(x)

xe0,

x

0,

x

0

x

22(3)2

12P{1

x

2}

F(2)

F(1)

[1

e

]

[1

e

]22

1

e

e

0.4712(1)

由F()

lim

F(x)

1

,得A=1x又因?yàn)閄是連續(xù)型隨

量,所以F(x)處處連續(xù),故有F(0-0)=F(0),即A+B=0,

所以B=-A=

-1

故A=1,B=

-1

.于是F(x)

1

e0,

x

0,

x

0

x227.設(shè)X的概率密度函數(shù)為

f

X

(x)

1

x2

,

(

y

)1量

Y

13

XY的分布函數(shù)為求隨【解】Y的概率密.度函數(shù)

f

(

y).YF

(

y)

P{Y

y}

P{1

3

X

y}

P{3

X

1

y}33X

P{

X

1

y

}

1

F

[(1

y)

]所以Y的概率密度函數(shù)為f

(

y)

F(

y)

f

[(1

y)3

][(1

y)3

]Y

Y

X(

y

)

3

31

y2

3(1

y)2

f

[(1

y)3

]

X

1

1

y會(huì)求連續(xù)型隨

量函數(shù)的分布

課堂練習(xí)題

1.從

為1,2,…,9的九個(gè)球中任取三個(gè),試求所取三球的

數(shù)依大小排列位于中間的

數(shù)的分布律.答:

X

2

3

4

5

6

7

8

71215161512

784848484848484kp2.設(shè)某汽車站在某一時(shí)間區(qū)間內(nèi)候車人數(shù)服從參數(shù)為5的泊松分布.求(1)候車人數(shù)不多于2個(gè)的概率;(2)候車人數(shù)多于10人的概率.答:

0.124,(2)1P{X

k}

0.01369523710k

05(1)

e3.已知隨量X的概率密度函數(shù)f

(

x)

1e

x

,

x

2求X的分布函數(shù)F(x).x

21

1F

(

x)

2e

,

x

01

e

x

,

x

0xxf

(t

)dt

【解】F

(x)21e

t

dt1et

dt

1

e

x2

2x當(dāng)x

0時(shí),F

(x)當(dāng)

時(shí)

(,0)0

21ext

dFtx21

1e

x02x

1et

dt4.設(shè)X的分布函數(shù)為求X的分布律.【解】X-1130.8,0.4,F

(

x)

0,x

1,

1

x

1,1

x

3,x

3.1,(A)

1

F

(

y

1)2(B)

FX

(1

y

1)X(C)

2F

(

y)

1(D)

1

F

(

y)

12

X

2p

0.4

0.4

0.25.設(shè)隨

量X的分布函數(shù)為FX(x),

則隨

量Y=2X+1的分布函數(shù)為

(

A

)2

2X【答：（1）第二條；（2）第一條】6. 去火車站乘車,

有兩條路可以走.

第一條路程較短,但交通擁擠,

所需時(shí)間(分鐘)服從正態(tài)分布N(40,100);第二條路程較長(zhǎng),但意外阻塞較少,所需時(shí)間(分鐘)服從正態(tài)分布N(50,16). 求:(1)若動(dòng)身時(shí)離開(kāi)車時(shí)間有60分鐘，應(yīng)走哪一條路線？(2)若動(dòng)身時(shí)離開(kāi)車時(shí)間有40分鐘，應(yīng)走哪一條路線？【解】設(shè)走第一、二條路所需時(shí)間為X、Y，則X~N(40,100)，Y~

N(50,16).(1)

P{X>60}=

P{

X

40

60

40

10

10

0(917.2712})

0.0228

}1(2.5)100..90903682P{Y>60}=

P{Y

50

60504

4設(shè)某批雞蛋每只的重量X(以克記)服從正態(tài)分布X~N(50,25).求從中任取一只,其重量不足45克的概率;從中任取一只,其重量介于40~60克的概率;從中任取一只,其重量超過(guò)60克的概率;求最小的n,使從中任取n只雞蛋,至少有一只超過(guò)60克的概率大于0.99.【答】(1)0.158,(2)

0.9544,(3)0.0228,(4)

=2008.

有兩種雞蛋混放在一起,

甲種單只重量X(克)服從X

~N(50,25),

乙種單只重量Y(克)服從Y

~N(45,16).

設(shè)甲種蛋占總數(shù)的70%.

求【答】(1)0.11295,(2)

0.9835從中任取一只,其重量超過(guò)55克的概率;

若已知抽出的雞蛋超過(guò)55克,問(wèn)它是甲種雞蛋的概率.解：P{X

55}

P{X

50

55

50}

1

(1)

1

0.8413

0.15875

5P{Y

55}

P{Y

45

55

45}

1

(2.5)

1

0.9938

0.00624

4p

0.7

0.1587

0.3

0.0062

0.112959.公共汽車車門的高度是按男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的,設(shè)男子身