高中數(shù)學(xué)第四講用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式階段質(zhì)量檢測(cè)B卷(含解析)4-5-8531

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第四講用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(時(shí)間90分鐘，滿分120分)一、選擇題（本大題共10小題，每題5分，共50分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)吻合題目要求的）1．設(shè)S(n)＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋＋錯(cuò)誤!，則()A．S（n)共有n項(xiàng),當(dāng)n＝2時(shí)，S（2）＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!B．S(n)共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S（2）＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!C．S（n）共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí),S(2)＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!D．S(n)共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S（2）＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!剖析：選DS（n）共有n2－n＋1項(xiàng)，S(2）＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!.2．用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3（n≥3，n∈N*）,第一步應(yīng)試據(jù)(）A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．＝4n答案：C3．用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n∈N＊時(shí)1＋2＋22＋＋22n＝22n＋1－1時(shí)，當(dāng)n＝1時(shí)左邊為（）A．1B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23剖析:選C因?yàn)樽筮厼?n＋1項(xiàng)和，所以n＝1時(shí)，左邊＝1＋2＋22。4．用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)所有大于1的自然數(shù)n，不等式錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!〉錯(cuò)誤!成馬上，當(dāng)n＝2時(shí)考據(jù)的不等式是()A．1＋錯(cuò)誤!〉錯(cuò)誤!B.錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!〉錯(cuò)誤!C。錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!≥錯(cuò)誤!D．以上都不對(duì)剖析：選A當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋錯(cuò)誤!＝1＋錯(cuò)誤!，右邊＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，∴1＋錯(cuò)誤!>錯(cuò)誤!。5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和S＝（n－2）π對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí),第一步證明中的初步值n0應(yīng)取（）A．2B．3C．4D．5剖析:選Bn邊形的最少邊數(shù)為3，則n＝3.06．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n＋1）(n＋2)··（n＋n）＝2n×1×3××（2n－1），1學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精*n∈N”時(shí),從“n＝k”變到“n＝k＋1”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式是()A．2＋1B．2(2k＋1)kC.錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤!剖析:選B＊）時(shí)，當(dāng)n＝k(k∈N左式為(k＋1)(k＋2）··(k＋k）；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左式為(k＋1＋1)(k＋1＋2)··（k＋1＋k－1）（k＋1＋k）（k＋1＋k1），則左邊應(yīng)增乘的式子是錯(cuò)誤!＝2（2k＋1)．7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”,第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫成(）A．假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＊）時(shí)，xk＋yk能被x＋y整除B．假設(shè)當(dāng)n＝2k（k∈N*)時(shí)，xk＋yk能被x＋y整除C．假設(shè)當(dāng)n＝2k＋1(k∈N＊）時(shí),xk＋yk能被x＋y整除D．假設(shè)當(dāng)n＝2k－1（k∈N*）時(shí)，xk＋yk能被x＋y整除剖析：選D第k個(gè)奇數(shù)應(yīng)是n＝2k－1（k∈N＊)．8．記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k），則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(＋1）與（)的關(guān)系是()kfkA．f（k＋1）＝f（k）＋錯(cuò)誤!B．f（k＋1）＝f(k)＋πC．f（k＋1）＝f（k)＋錯(cuò)誤!D．f（k＋1)＝f(k）＋2π剖析：選B凸多邊形每增加一條邊，內(nèi)角和增加π。9．以下代數(shù)式，n∈N＊，可能被13整除的是()34n＋12n＋1A．n＋5nB．3＋5C．62n－12n＋1n＋2＋1D．4＋3剖析:選DA中，n＝1時(shí)，1＋5＝6，不能夠被13整除;B中，n＝1時(shí)，35＋53＝368不能夠被13整除；C中,n＝1時(shí),6＋1＝7亦不能夠被13整除．10．用數(shù)學(xué)歸納法證恒等式錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋＋錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，兩邊應(yīng)同時(shí)加上（）A.錯(cuò)誤!B。錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!C。錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤!剖析：選D觀察等式左邊可知＝＋1時(shí)，應(yīng)再加上1。nk2k＋22k＋4二、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分．把正確答案填寫在題中的橫線上）2學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精*11．證明1＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋＋錯(cuò)誤!〉錯(cuò)誤!(n∈N),假設(shè)n＝k時(shí)成立,當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是________．剖析：令f（n）＝1＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋＋錯(cuò)誤!,1則f（k）＝1＋2＋錯(cuò)誤!＋＋錯(cuò)誤!，f(k＋1)＝1＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋＋錯(cuò)誤!，所以f（k＋1)－f(k)＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋＋錯(cuò)誤!，分母首項(xiàng)為knk＋1公差d＝1，2＝a1,分母末項(xiàng)a＝2－1,∴n＝錯(cuò)誤!＋1＝2k.答案：2k12．設(shè)｛an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n＋1)·a錯(cuò)誤!－na錯(cuò)誤!＋an＋1·an＝0(n＝1，2,3，），則它的通項(xiàng)an＝________。剖析：法一：分別令n＝1，2，3求出a2＝錯(cuò)誤!，a3＝錯(cuò)誤!,經(jīng)過不完好歸納法知an＝錯(cuò)誤!.法二：對(duì)已知等式因式分解得·（an＋1＋an）＝0.由an>0知錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，再由累乘法求得an＝錯(cuò)誤!。答案:錯(cuò)誤!13．從1＝1,1－4＝－(1＋2）,1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－（1＋2＋3＋4)，,歸納出:1－4＋9－16＋＋(－1)n＋1n2＝________.剖析：等式的左邊符號(hào)正負(fù)間隔出現(xiàn)，先正后負(fù)，所以最后一項(xiàng)系數(shù)應(yīng)為（－1)n＋1，和的絕對(duì)值是前n個(gè)自然數(shù)的和，為錯(cuò)誤!.答案：（－1）n＋1·nn＋1214．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“錯(cuò)誤!〈錯(cuò)誤!”時(shí)，n的最小取值n0應(yīng)為________．剖析：n＝1時(shí)不成立，n＝2時(shí)，錯(cuò)誤!<錯(cuò)誤!,再用數(shù)學(xué)歸納法證明，故n＝2.000答案：2三、解答題（本大題共4小題，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15．(本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明:12＋32＋52＋＋（2－1)2＝錯(cuò)誤!(42－nnn．證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，命題成立．假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)（k≥1，k∈N＊），命題成立，22222即1＋3＋5＋＋(2k－1）＝錯(cuò)誤!k(4k－1），那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12＋32＋52＋＋(2k－1）2＋2＝錯(cuò)誤!k（4k2－1)＋（2k＋1)2＝錯(cuò)誤!k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)23學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精＝錯(cuò)誤!（2k＋1)（2k＋3）(k＋1)＝錯(cuò)誤!（k＋1）．∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立．由(1)（2）得：對(duì)于任意n∈N*,等式都成立．16．（本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)所有大于1的自然數(shù)，不等式錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!··錯(cuò)誤!＞錯(cuò)誤!均成立．14證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋3＝3；右邊＝錯(cuò)誤!.∵左邊＞右邊，∴不等式成立．2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥2，且k∈N*）時(shí)不等式成立，即錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!··錯(cuò)誤!＞錯(cuò)誤!。則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!··錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＞錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＞錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!.∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．由(1)(2）知，對(duì)于所有大于1的自然數(shù)n,不等式都成立．n*17．(本小題滿分12分)利用數(shù)學(xué)歸納法證明(3n＋1)·7－1（n∈N）能被9整除．能被9整除,所以命題成立．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1，k∈N*）時(shí)，命題成立,即(3k＋1）·7k－1能被9整除．那么當(dāng)n＝k＋1時(shí),k＋1k＋1·7－1＝(3k＋4）·7－1＝(3k＋1)·7k＋1－1＋3·7k＋1＝＋3·7k＋1＋6·(3k＋1）·7k＝＋7k（21＋6×3k＋6)＝＋9·7k(2k＋3）．由歸納假設(shè)知，(3k＋1）·7k－1能被9整除，k整除,而9·7(2k＋3)也能被9k＋1－1能被9整除．故·7這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立．由＊n(1)(2)知，對(duì)所有n∈N,（3n＋1）·7－1都能被9整除．18．（本小題滿分14分）｛an}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列,滿足a1＝0，a2＝3，an＋1an＝（an4學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1＋2）(an－2＋2），n＝3，4，5,.1)求a3；2)證明:an＝an－2＋2（n≥3，且n∈N*)．解:(1)由已知a4a3＝（a2＋2）（a1＋2）＝5×2＝10×1，∴a3可能取值1,2，5,10。若a3＝1，a4＝10,從而a5＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!,顯然a5不是非負(fù)整數(shù)，與題設(shè)矛盾．若a3＝10,則a4＝1，從而a5＝60。但再計(jì)算a6＝錯(cuò)誤!，也與題設(shè)矛盾．a(chǎn)3＝2,a4＝5.(因a3＝5，a4＝2?a5?N，舍去）（2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝3時(shí),a3＝2，a1＋2＝0＋2，a3＝a1＋2，即n＝3時(shí)等式成立；②假設(shè)n＝k（k≥3)時(shí),等式成立,即ak＝ak－2＋2，由題設(shè)ak＋1ak＝(ak－1＋2)（ak－2＋2），因?yàn)閍k