隨機過程-第三章sjgc

§3.1

正態(tài)過程在現(xiàn)實問題中,滿足一定條件的隨

量之和的極限服從正態(tài)分布.電子技術(shù)中的熱噪聲是由大量的熱運動引起,也服從正態(tài)分布.由于一個隨機過程可以用有限維分布來描述,為研究正態(tài)過程應(yīng)首先研究

正態(tài)分布隨量.電子科技大學一、

正態(tài)隨

量1.概率密度與特征函數(shù)2

21

1

2

2若(X,Y)～

N

(

μ

,

σ

;

μ

,

σ

;

ρ)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為1

21

ρ212

(

x,

y)

2112

2

2(

x

)

(

y

)

1

(

x

)2(

y

)2

exp

1

2ρ

1

2

2

2(1

)2

電子科技大學

2

μ

E(Y

)

Y

記μ

E

X

E(

X

)

μ1

,2

1 2

B

211

2

2

y

xX

其中σ1>0,σ2>0,|

|<1,故協(xié)方差矩陣滿足|B|≠0.電子科技大學(X,Y)的聯(lián)合概率密度為1

211

ρ22

(

x,

y)

2211222112)

2

2(

x

)

(

y

)

(

y

)

1

(

x

2exp

2(1

)2

電子科技大學12

exp

1τ

11(X

μ)(X

μ)

B2π

B

2記為(X,Y)～N(μ,B).n定義3.1.1

設(shè)B=(bij)是n階正定對稱矩陣,μ是值列向量,定義n維隨機向量X=(X1,

X2,

…,

Xn)的聯(lián)合密度函數(shù)為f

x1

,

x2

,,

xn

1112n(2π)2B

2τ

1exp

(X

μ)

B

(X

μ)

其中X=(x1,x2,…,xn)τ,稱X服從n

維正態(tài)分布.

（*）電子科技大學電子科技大學記為X=(X1,X2,…,Xn)τ

～N(μ,B).注當B=(bij)是n階正定對稱矩陣,有B

0;若

B

則0不能用(*)式給出其概率密度.定理3.1.1

n維正態(tài)分布隨機向量X=(X1,X2,…,Xn)的特征函數(shù)為12u

Bu(u)

exp

i

u

n其中u

(u1

,

u2

,.

,

u

)(**)定義3.1.2

若μ是n

向量,B是n

階非負定對稱陣,稱以(**)式中的(t

)

為其特征函數(shù)的n

維隨

量X

服從n

維正態(tài)分布.注若(**)式中的奇異正態(tài)分布.B,稱X0

服從

正態(tài)分布或2.邊緣分布及二階矩以下結(jié)論總假定隨機向量X=(X1,X2,…,Xn)τ服從N(μ,B).非電子科技大學量X的任一(m

n)定理3.1.2n維正態(tài)分布隨子向量(

Xk

,

Xk

,,

Xk

)τ1

2

m~

~也服從正態(tài)分布B(μ,B),1

2

mk

k

k其中μ~

(

,

,,

),B1

2

m~

是B

保留第k

,k

,…,k

行及列所得的m

階矩陣.多元正態(tài)分布的邊緣分布仍是正態(tài)分布電子科技大學定理3.1.3

設(shè)μ和

B分別是隨機向量X的數(shù)學期望向量及協(xié)方差矩陣,

即E(Xi)=μi

,

1≤i≤n;bij=E{(Xi－μi)(Xj－μj)},1≤i

,j≤n.n維正態(tài)分布由二階矩確定.3.獨立性問題定理3.1.4

n維正態(tài)分布隨機向量X1,X2,…,X

相互獨立的充要條n件是它們兩兩不相關(guān).等價于其協(xié)方差矩陣是對角陣.電子科技大學4.正態(tài)隨機向量的線性變換電子科技大學nL=(l1,

l2,…,

ln

)τj

k

jkD(Y

)

l

l

b

LBL

,n

nj1

k1n

Lμ,Y

lj

X

j

LX

,j1有

E(Y

)

lj

jj1定理3.1.5正態(tài)隨機向量

X=(X1,X2,…,Xn)τ，記E(X)=μ,協(xié)方差矩陣為B.1)對X

的線性組合2)

若C=(cjk)m×n,

線性變換

Z=CX,則

均值向量為

E(Z)=E(CX)=CE(X)=Cμ,協(xié)方差矩陣為

DZ=CBCτ定理3.1.6

X=(X1,X2,…,Xn)τ

服從n維正態(tài)分布N(μ,B)的充要條件是它的任何一個非零線性組合n

l

j

X

j

,j

1服從一維正態(tài)分布.可將

正態(tài)隨

量問題轉(zhuǎn)化為一維正態(tài)分布問題.電子科技大學定理3.1.7

若X=(X1,X2,…,Xn)τ

服從n維正態(tài)分布N(μ,B),C=(cjk)m×n是任意矩陣,則Y=CX服從m維正態(tài)分布N(Cμ,CBCτ).正態(tài)分布的線性變換不變性證

對于任意m

值列向量u,

Y

的特征函數(shù)為)iu

YY

(u)

E(e1

exp

i

(C u)

2

(C

u)

B(C

u)iu

CXi

(C

u)

X

E(e

)

E(e

)電子科技大學1

exp

i(C)

u

2

u

(CBC

)u

即隨機向量Y=CX

服從m維正態(tài)分布N(Cμ,CBCτ)化正態(tài)分布?思考問題：能否保證Y=CX

服從非退反例:

設(shè)隨

量X0與V相互獨立,都服從標準正態(tài)分布N(0,1),

令X(1)=X0+V,

X(2)=X0+2V,問(X(1),X(2),X(3))是否服從非X(3)=X0+3V,正態(tài)分布?電子科技大學分析

設(shè)電子科技大學

X

C

V

V

X003

11

1

X

(3)

X

(1)X

X

(2)

1

2

V

X

0

～

0

10

,0

0

1N因X的協(xié)方差矩陣為τ

3

1

1

1

23

11

1C

1

21

11

0CBC

=

C0τ|CBCτ|

=2

3

43

5

7

0,4

7

10參見P28例2正態(tài)分布.二維正態(tài)隨聯(lián)合正態(tài)X=(X(1),X(2),X(3))

從非一般地,

若X=(X1,

X2)是非機向量,其線性變換

Y=

CX,

有每一分量服從正態(tài)分布;不能構(gòu)成二維以上的非分布;電子科技大學分析2)

設(shè)X=(X1,

X2)的協(xié)方差矩陣為211 2

,22

1

2R(B)

2B

線性變換矩陣,

R(C

)

2c

12

22

m

2

m1

cc

cC

c11

c21則線性變換Y=CX的協(xié)方差矩陣為

CBC

,

R(

)

min(

R(C),

R(B))

2Y

Y即二維以上的線性變換向量Y=CX都是(奇異)聯(lián)合正態(tài)分布.電子科技大學問題結(jié)論：不能保證Y=CX

服從非

正態(tài)分布.當|CBCτ|≠0時,隨機向量Y

服從非正態(tài)分布.推論

非

正態(tài)分布隨機向量X的行滿秩線性變換仍服從非

正態(tài)分布.可證明電子科技大學定理3.1.8

若隨機向量X服從N(μ,B),則存在一個正交變換U,使得Y=UX是一個相互獨立的正態(tài)隨機向量.證B為實對稱矩陣,存在正交陣U,使n

d

d2d1UBU

D

di

是B

的特征向量電子科技大學又因B是正定陣(從而非奇異的)B

有n個線性無關(guān)特征向量設(shè)U是以特征向量為列構(gòu)成的正交陣,令Y=UX

則得證.二、正態(tài)隨機過程定義3.1.3隨機過程{X(t),t∈T}稱為正態(tài)過程,如果它的任意有限維分布都是聯(lián)合正態(tài)分布.電子科技大學,n維隨機即對任意的正整數(shù)n和t1,t2

,…,變量(X(t1),…,X(tn))都服從正態(tài)分布.注1)上述幾個定理均可應(yīng)用于正態(tài)過程.2）若存在n,對t1,t2,

…,

,n維隨

量(X(t1),…,X(tn))服從 正態(tài)分布,稱{X(t),t∈T}為

正態(tài)過程.3)正態(tài)過程的n維分布由其二階矩完全確定.電子科技大學有

對任意的n≥1,

t1,

t2

,

…,

,,2

μ

m(tn

)

m(t

)(X(t1),

…,

X(tn))τ～N(μ,B),m(t1

)

B

1

11

nC(t2

,

tn

)C(t

,

t

)C(t

,

t

)

C(t

,

t

)C(tn

,

t1

)

C(tn

,

t2

)

C(tn

,

tn

)2

11

2

C(t

,

t

)C(t2

,

t2

)

C(ti

,

t

j

)

E{[

X

(ti

)

m(ti

)][

X

(t

j

)

m(t

j

)]}(1

i,

j

n).電子科技大學Ex.1

隨機振幅電信號電子科技大學X

(t)

cost

sint,

t

R設(shè)ω為常數(shù)E(ξ)

E(η)

0,

E(ξ2

)

E(η2

)

2

,ξ與η相互獨立同服從正態(tài)分布,1)

試求X(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)；2）寫出一維概率密度和二維概率密度.解

1)

E{

X

(t

)}

E(ξ

)cosωt

E(η)sinωt

0因

E()

0，故R(s,

t

)

E{(

cost

sint

)(coss

sins)}

E(

2

)cost

coss

E(

2

)sintsins

2cosω(t

s)

2cos(τ),

(τ

t

s)

D(

X

(t))

R(t,

t)

2cos0

2

.2)X(t)的一維密度為e電子科技大學x

R1f

(

x,

t

)

x

22

2

,2πX(ti)是相互獨立正態(tài)隨

量的線性組合,故(X(t1),X(t2))服從二維正態(tài)分布,其相關(guān)系數(shù)為cos

2

R(s,

t

)

m(s)m(t

)

2cosω

R(s,

s)

R(t,

t

)得過程X(t)的二維密度為f

(

x1

,

x2;

s,

t),12

22

2

(1

cos2

)

1

1

2

21

cos2

x2

2x

x

cos

x22(

x,

y)

R

.僅與

=t

－s

有關(guān)電子科技大學思考題:此過程是否是正態(tài)過程?可否寫出任意n維概率密度?Ex.2

分析P28例2中的n維概率分布在概率密度的協(xié)方差矩陣C中取n

3,

t2

C電子科技大學可計算得

C

0,

且

Ran(C

)

2,故例中當n>2時，不能寫出n維聯(lián)合正態(tài)概率密度.Ex.3

設(shè)隨機過程{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}相互獨立，都是正態(tài)隨機過程，設(shè)Z(t

)

X

(t

)

Y

(t

),

t

R證明

Z(t)是正態(tài)過程。電子科技大學證對任意正整數(shù)

n

及(

X

(t1

),

X

(t2

),,

X

(tn

))t1

,

t2

,tn

R(Y

(t1

),Y

(t2

),,Y

(tn

))都是n維聯(lián)合正態(tài)隨機向量，并相互獨立。(Z(t1

),Z(t2

),,Z(tn

))

的n維特征函數(shù)為z

(t1

,

t2

,,

tn

;u1

,

u2

,,

un

)

E{ei[u1

(

X

(t1

)Y

(t1

))un

(

X

(tn

)Y

(tn

))]

}

E{ei[u1X

(t1

)un

X

(tn

)]

}E{ei[u1Y

(t1

)unY

(tn

)]

}2

2Y

YX

X

exp{i

u

1

uC

u}exp{i

u

1

uC

u}2電子科技大學YY

XX

)u

1

[uC

u

uC

u]}

exp{i(2電子科技大學X

YX

Y

exp{i(

)u

1

[u(C

C

)u]}由特征函數(shù)和分布函數(shù)的惟一性定理知(Z(