九年級數(shù)學(xué)下例說用二次函數(shù)求圖形面積的最值知識點分析人教版

例說用二次函數(shù)求圖形面積的最值二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題這類問題。而圖形面積最優(yōu)化問題已經(jīng)走進各省市的中考試卷。下面分類予以說明。圍成圖形面積的最值只圍二邊的矩形的面積最值問題如圖1，用長為18米的籬笆（虛線部分）和兩面墻圍成矩形苗圃。設(shè)矩形的一邊長為x（米），面積為y（平方米），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x為何值時，所圍成的苗圃面積最大？最大面積是多少？分析：關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示出矩形的長與寬。解：（1）設(shè)矩形的長為x（米），則寬為（18-x）（米），根據(jù)題意，得：；又∵（2）∵中，a=-1＜0，∴y有最大值，即當(dāng)時，故當(dāng)x=9米時，苗圃的面積最大，最大面積為81平方米。點評：在回扣問題實際時，一定注意不要遺漏了單位。只圍三邊的矩形的面積最值如圖2，用長為50米的籬笆圍成一個養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一面靠墻。問如何圍，才能使養(yǎng)雞場的面積最大？分析：關(guān)鍵是明確問題中的變量是哪兩個，并能準(zhǔn)確布列出函數(shù)關(guān)系式解：設(shè)養(yǎng)雞場的長為x（米），面積為y（平方米），則寬為（）（米），根據(jù)題意，得：；又∵∵中，a=＜0，∴y有最大值，即當(dāng)時，故當(dāng)x=25米時，養(yǎng)雞場的面積最大，養(yǎng)雞場最大面積為平方米。點評：如果設(shè)養(yǎng)雞場的寬為x，上述函數(shù)關(guān)系式如何變化？請讀者自己完成。圍成正方形的面積最值例3、將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形．(1)要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少?(2)兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎?若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由．（1）解：設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20-x）cm由題意得：解得：當(dāng)時，20-x=4；當(dāng)時，20-x=16答：這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是16厘米、4厘米。（2）不能理由是：設(shè)第一個正方形的邊長為xcm，則第二個正方形的邊長為cm，圍成兩個正方形的面積為ycm2，根據(jù)題意，得：，∵中，a=2＞0，∴y有最小值，即當(dāng)時，=12.5＞12,故兩個正方形面積的和不可能是12cm2.圍成扇形的面積最值例4用長為30米的鐵絲圍成一個扇形,問如何圍扇形的面積最大?解:如圖3，設(shè)圍成扇形的半徑為R米,則圍成扇形的弧長為(30-2R)米,扇形的面積為y（平方米）,根據(jù)題意，得：∵中，a=-1＜0，∴y有最大值，即當(dāng)時，故當(dāng)圍成的扇形的半徑R是米時，扇形的面積最大，最大面積為平方米。截出圖形面積的最值問題例5如圖4,△ABC是一塊銳角三角形的余料,邊BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成長方形零件PQMN,使長方形PQMN的邊QM在BC上,其余兩點P、N在AB、AC上。問如何截才能使長方形PQMN的面積S最大？在這個長方形零件PQMN面積最大時，能否將余下的材料△APN、△BPQ△NMC剪下再拼成（不計接縫用料和損耗）一個與長方形零件PQMN大小一樣的長方形？若能，給出一種拼法；若不能，試說明理由。分析：解題的關(guān)鍵是利用幾何知識求得函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的性質(zhì)加以解決問題。解：（1）設(shè)長方形零件PQMN的邊PN=amm，PQ=xmm，則AE=AD-ED=AD-PQ=（80-x）mm，∵PN∥BC∴△APN∽△ABC，∴（相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比）∴，∵，∴0＜x＜80∴S=（0＜x＜80）∵S=（0＜x＜80）中，a=＜0，∴S有最大值，即當(dāng)時，故當(dāng)截得的長方形零件PQMN的長為60mm，寬為40mm時，長方形零件PQMN的面積最大，最大面積為2400mm2。點評：長方形零件PQMN的面積最大時，PN恰好是三角形的中位線。（2）能。理由是：拼法：作△ABC的中位線PN，分別過P、N兩點作BC的垂線，垂足分別為Q、M，過A作BC的平行線，分別交QP、MN的延長線于G、H兩點因此，四邊形PNGH即為和長方形PQMN大小一樣的長方形。例6如圖6，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x，已知AB=6，CD=3，AD=4。求：（1）四邊形CGEF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）四邊形CGEF的面積S是否存在著最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由。解：（1）梯形ABCD的面積為==18，S△AEF=AE×AF=x（6-x）=3x-x2；S△DGE=DE×DG=x（4-x）=2x-x2；S△BCF=BF×DA=x×4=2x；所以，S=18-（3x-x2）-（2x-x2）-2x=x2-7x+18；因為：GC＞0、DE＞0、AF＞0，所以6-x＞0、3-x＞0、4-x＞0、x＞0所以0＜x＜3因此自變量x的取值范圍是：0＜x＜3。（2）因為S=x2-7x+18=（x-）2+，故當(dāng)x=時，面積有最小值，而自變量x的取值范圍是：0＜x＜3，所以x=根本不在這個范圍內(nèi)，因此面積不存在最小值。采光面積的最值例7用19米長的鋁合金條制成如圖所示的矩形的窗框。求窗框的透光面積S（平方米）與窗框的寬x（米）之間的函數(shù)關(guān)系式；求自變量x的取值范圍；問如何設(shè)計才能使窗框透過的面積最大？最大的透光面積是多少？分析：關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示出BC的長。解：(1)由圖示的信息，可得：3BC+2×0.5+3x=19,所以,BC=6–x,所以AC=AB+BC=(6–x+0.5)米,所以,S=(6–x+0.5)x=-x2+x;(2)由題意,得:x＞0,6-x＞0,所以0＜x＜6,因此自變量x的取值范圍是：0＜x＜6,（3）∵S=(6–x+0.5)x=-x2+x中，a=-1＜0，∴S有最大值，即當(dāng)時，故當(dāng)x=米時，窗框的面積最大，最大面積為平方米。動態(tài)圖形面積的最值例8如圖8，如圖9，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一動點P從A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PM⊥AD.(1)當(dāng)點P運動2秒時，設(shè)直線PM與AD相交于點E，求△APE的面積；(2)當(dāng)點P運動2秒時，另一動點Q也從A出發(fā)沿A→B→C的路線運動，且在AB上以每秒1cm的速度勻速運動，在BC上以每秒2cm的速度勻速運動.過Q作直線QN，使QN∥PM.設(shè)點Q運動的時間為t秒(0≤t≤10)，直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為Scm2.①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；②求S的最大值.解：(1)當(dāng)點P運動2秒時，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=.∴SΔAPE=.(2)①當(dāng)0≤t≤6時，點P與點Q都在AB上運動，設(shè)PM與AD交于點G，QN與AD交于點F，則AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=.∴此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=.當(dāng)6≤t≤8時，點P在BC上運動，點Q仍在AB上運動.設(shè)PM與DC交于點G，QN與AD交于點F，則AQ=t，AF=，DF=4-，QF=，BP=t-6，CP=10-t，PG=，而BD=，故此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=.當(dāng)8≤t≤10時，點P和點Q都在B