差錯控制編碼課件

第十章差錯控制編碼10.1差錯控制編碼的基本原理10.2常用的簡單編碼10.3線性分組碼10.4循環(huán)碼10.5卷積碼11/22/20221信息與通信工程系第十章差錯控制編碼10.1差錯控制編碼的基本原理10/110.1差錯控制編碼的基本原理發(fā)生誤碼原因：系統(tǒng)特性不理想（乘性干擾），數(shù)字信號通過系統(tǒng)時產(chǎn)生波形失真，在接收端判決時會產(chǎn)生判決錯誤。信道中的噪聲（加性干擾），這種干擾隨機地與信號疊加，使信號波形產(chǎn)生失真，引起判決錯誤。解決辦法：（1）適當(dāng)增加發(fā)送信號功率。(2)選擇抗噪聲性能好的調(diào)制解調(diào)方式。(3)采用最佳接收。（4）采用差錯控制編碼。11/22/20222信息與通信工程系10.1差錯控制編碼的基本原理發(fā)生誤碼原因：解決辦法：110.1差錯控制編碼的基本原理信源編碼目的：提高通信系統(tǒng)的有效性。差錯控制編碼（信道編碼、抗干擾編碼或糾錯編碼）目的：提高通信的可靠性。

差錯控制編碼方法：通過人為地加入多余度，使信號在一定的干擾條件下，具有檢測或糾正錯碼的能力。11/22/20223信息與通信工程系10.1差錯控制編碼的基本原理信源編碼目的：提高通信系統(tǒng)的10.1差錯控制編碼的基本原理信道分類：隨機信道、突發(fā)信道、混合信道。（1

）隨機信道：錯碼出現(xiàn)互不相關(guān)、統(tǒng)計獨立。如：高斯白噪聲引起的錯碼。（2）突發(fā)信道：錯碼的出現(xiàn)前后相關(guān)。錯碼出現(xiàn)時，在短時間內(nèi)有一連串的錯碼，而該時間過后又有較長的時間無錯碼。如：隨機的強突發(fā)脈沖干擾引起的錯碼。（3）混合信道：產(chǎn)生的錯碼既有隨機錯碼又有突發(fā)錯碼。11/22/20224信息與通信工程系10.1差錯控制編碼的基本原理信道分類：隨機信道、突發(fā)信道10.1差錯控制編碼的基本原理常用的差錯控制方式1.ARQ(AutomaticRepeatRequest)方式(自動請求重發(fā)或檢錯重發(fā))

發(fā)端發(fā)送出可以發(fā)現(xiàn)錯誤的碼字。經(jīng)過傳輸?shù)浇邮斩俗g碼后，如果沒有發(fā)現(xiàn)錯誤，則輸出。如果發(fā)現(xiàn)錯誤，則自動請求發(fā)端重發(fā)，直到正確接收到碼字為止。

11/22/20225信息與通信工程系10.1差錯控制編碼的基本原理常用的差錯控制方式1.AR10.1差錯控制編碼的基本原理ARQ系統(tǒng)組成特點：設(shè)備簡單、雙向信道、傳輸效率低。11/22/20226信息與通信工程系10.1差錯控制編碼的基本原理ARQ系統(tǒng)組成特點：設(shè)備簡單10.1差錯控制編碼的基本原理2.反饋校驗方式接收端收到碼字后，立即將接收到的碼字返回發(fā)送端。發(fā)送端將返回的碼字與發(fā)端緩沖存儲器中相應(yīng)的碼字比較，若發(fā)現(xiàn)與發(fā)送碼不同，即認(rèn)為產(chǎn)生了錯誤，就重發(fā)上一次的碼字。特點：設(shè)備簡單、雙向信道、傳輸效率低。11/22/20227信息與通信工程系10.1差錯控制編碼的基本原理2.反饋校驗方式10.1差錯控制編碼的基本原理發(fā)送端發(fā)出的碼字不僅能夠發(fā)現(xiàn)錯誤，而且能夠糾正錯誤。在接收端譯碼后，若沒有錯誤則直接輸出。若有錯誤，則在接收端自動糾正后，再輸出。

3.FEC（ForwardErrorControl，前向糾錯）方式特點：不需要反向信道、實時性好、傳輸效率高。但糾錯編譯碼方法復(fù)雜。11/22/20228信息與通信工程系10.1差錯控制編碼的基本原理發(fā)送端發(fā)10.1差錯控制編碼的基本原理將ARQ方式和前向糾錯方式結(jié)合使用。傳輸錯碼較少時，采用前向糾錯方式，自動糾正錯碼。在錯碼較多時，采用ARQ方式自動請求重發(fā)。

4.HEC（HybridErrorControl,混合糾錯）方式11/22/20229信息與通信工程系10.1差錯控制編碼的基本原理將ARQ方10.1差錯控制編碼的基本原理在有擾信道中只要信息的傳輸速率R小于信道容量C，總可以找一種編碼方法，使信息以任意小的差錯概率通過信道傳送到接收端，即誤碼率Pe可以任意小，而且傳輸速率R可以接近信道容量C。但若R>C，在傳輸過程中必定帶來不可糾正錯誤，不存在使差錯概率任意小的編碼。香農(nóng)有擾信道編碼定理：

香農(nóng)有擾信道的編碼定理本身并未給出具體的糾錯編碼方法，但它為信道編碼奠定了理論基礎(chǔ)。從理論上指出了信道編碼的發(fā)展方向。11/22/202210信息與通信工程系10.1差錯控制編碼的基本原理在有擾信道10.1差錯控制編碼的基本原理誤碼率：

Pe

=e

–nE(R)式中，n為編碼的碼字長度(簡稱碼長)；

E(R)為誤碼指數(shù)。11/22/202211信息與通信工程系10.1差錯控制編碼的基本原理誤碼率：Pe=e–10.1差錯控制編碼的基本原理減小誤碼率Pe的兩種途徑：（2）在C及R一定的情況下，增加n可以使Pe指數(shù)減小。（1）n及R一定時，增加信道容量C。由圖可見，E(R)隨C的增加而增大。由信道容量公式知，增加C，可通過增加S和B來實現(xiàn)；

11/22/202212信息與通信工程系10.1差錯控制編碼的基本原理減小誤碼率Pe的兩種途徑：（10.1差錯控制編碼的基本原理重復(fù)編碼的例子：天氣預(yù)報消息發(fā)布晴雨糾檢錯能力第一種編碼方法許用碼、禁用碼、最大似然準(zhǔn)則10無糾檢錯能力第二種編碼方法1100可檢1位錯（01、10）、無糾錯能力第三種編碼方法111000可檢2位錯、可糾1位錯（001、010、100000011、101、110111）11/22/202213信息與通信工程系10.1差錯控制編碼的基本原理重復(fù)編碼的例子：天氣預(yù)報消息10.1差錯控制編碼的基本原理碼間距離d及檢錯糾錯能力碼字：由信息位和監(jiān)督位組成的一組碼元。用C=(cn-1cn-2…c0)表示。碼元：組成碼字的元素，用Ci表示。碼長：碼字中碼元的個數(shù)，用n表示。（許用碼、禁用碼）碼組：由多個許用碼組成的一組碼字。11/22/202214信息與通信工程系10.1差錯控制編碼的基本原理碼間距離d及檢錯糾錯能力碼簡稱碼距，又稱漢明距離，是碼組中任意兩個碼字之間對應(yīng)位上碼元取值不同的個數(shù)。等于兩個碼字對應(yīng)位模2相加后“1”的個數(shù)。碼間距離d（codedistances）例：111、000，d=3；11、00，d=2。101110

、101011，d=2

。

10.1差錯控制編碼的基本原理11/22/202215信息與通信工程系簡稱碼距，又稱漢明距離，是碼組中任意兩個碼間碼間距離的幾何意義10.1差錯控制編碼的基本原理最小碼間距離d0：碼組中各碼字之間最小的碼距。11/22/202216信息與通信工程系碼間距離的幾何意義10.1差錯控制編碼的基本原理最小碼間距10.1差錯控制編碼的基本原理最小碼間距離d0與檢錯糾錯能力的關(guān)系(1)當(dāng)碼組僅用于檢測錯誤時，若要求檢測e個錯誤，則最小碼距為：d0≥e+111/22/202217信息與通信工程系10.1差錯控制編碼的基本原理最小碼間距離d0與檢錯糾錯能10.1差錯控制編碼的基本原理(2)當(dāng)碼組僅用于糾正錯誤時，為糾正t個錯誤，要求最小碼距為：d0≥2t+111/22/202218信息與通信工程系10.1差錯控制編碼的基本原理(2)當(dāng)碼組僅用于糾正錯誤時(3)當(dāng)碼組既要檢錯，又要糾錯時，為糾正t個錯誤，同時檢測e個錯誤，則要求的最小碼距為d0≥e+t+1(e>t)10.1差錯控制編碼的基本原理11/22/202219信息與通信工程系(3)當(dāng)碼組既要檢錯，又要糾錯時，為糾正t個錯誤，同時檢測e差錯控制編碼的效果

在碼長為n的碼字中剛好發(fā)生r個錯誤的概率為：10.1差錯控制編碼的基本原理P7(1)≈7×10-3P7(2)≈2.1×10-5P7(3)≈3.5×10-8當(dāng)n=7，P=10-3時，有：11/22/202220信息與通信工程系差錯控制編碼的效果在碼長為n的碼字中剛好發(fā)生r個錯誤的概率糾錯編碼的分類

10.1差錯控制編碼的基本原理11/22/202221信息與通信工程系糾錯編碼的分類10.1差錯控制編碼的基本原理10/11/10.1差錯控制編碼的基本原理編碼效率K：碼字的信息碼元個數(shù)r：監(jiān)督碼元個數(shù)n:碼元總的個數(shù)（總碼長）11/22/202222信息與通信工程系10.1差錯控制編碼的基本原理編碼效率K：碼字的信息碼元個10.2常用的簡單編碼1.奇偶監(jiān)督碼2.二維奇偶監(jiān)督碼3.恒比碼（等重碼）11/22/202223信息與通信工程系10.2常用的簡單編碼1.奇偶監(jiān)督碼2.二維奇偶監(jiān)督碼3.恒10.2常用的簡單編碼廣泛應(yīng)用于計算機數(shù)據(jù)傳輸中。偶監(jiān)督碼：給信息位后增加一位監(jiān)督位，使碼字中“1”的數(shù)目為偶數(shù)。編碼規(guī)則：在每個分組的信息位后增加監(jiān)督位，無論信息位有多少位，監(jiān)督位只有一位。上式為偶監(jiān)督碼的監(jiān)督關(guān)系，也稱為校驗方程。檢測能力：檢測奇數(shù)個錯。1.奇偶監(jiān)督碼（奇偶校驗碼）11/22/202224信息與通信工程系10.2常用的簡單編碼廣泛應(yīng)用于計算機數(shù)據(jù)傳輸中。偶監(jiān)督碼：10.2常用的簡單編碼奇監(jiān)督碼：給信息位后增加一位監(jiān)督位，使碼字中“1”的數(shù)目為奇數(shù)。其校驗方程為

奇偶監(jiān)督碼的編碼效率η較高，尤其是當(dāng)碼長n較大時這一特點更為明顯。11/22/202225信息與通信工程系10.2常用的簡單編碼10/11/202225信息與通信工程10.2常用的簡單編碼2.二維奇偶監(jiān)督碼（方陣碼、行列監(jiān)督碼或水平―垂直奇偶監(jiān)督碼）編碼方法：把m個信息碼字排列成一個方陣，每個碼字構(gòu)成方陣的一行，在每一行的最后按奇偶監(jiān)督規(guī)則增加一位水平監(jiān)督位，再按列的方向每列增加一位垂直監(jiān)督位（包括行監(jiān)督位的列）11/22/202226信息與通信工程系10.2常用的簡單編碼2.二維奇偶監(jiān)督碼編碼方法：把m個信可以檢測每行的奇數(shù)個錯和每列的奇數(shù)個錯；行列交叉可以檢測每行或每列的偶數(shù)個錯；但當(dāng)發(fā)生的錯誤為剛好構(gòu)成矩形的四個錯碼時，則不能檢測出錯誤。檢測能力：10.2常用的簡單編碼只有一行出現(xiàn)奇數(shù)個錯碼時，按行檢測可以判斷出錯在那一行，按列檢測可以確定該行的那一列發(fā)生了錯誤，行列交叉可以判斷錯誤的位置，即可糾錯。此外，此種編碼的效率較高。糾錯能力：11/22/202227信息與通信工程系可以檢測每行的奇數(shù)個錯和每列的奇數(shù)個錯；檢測能力：10.2常3.恒比碼（等重碼）每個許用碼含有相同數(shù)目的“1”。碼字中“1”與“0”的個數(shù)之比是恒定的，故稱恒比碼。碼字中“1”的個數(shù)稱為碼重，因此恒比碼又稱等重碼。對于某種特定的恒比碼，當(dāng)碼長確定后，其“1”的個數(shù)就確定了。所以在檢測中只要計算“1”的個數(shù)就可以確定是否發(fā)生錯誤。恒比碼多用于電傳機中。我國電傳機傳輸漢字采用的是“5中取3”恒比碼，其碼長為5，碼字中“1”的個數(shù)為3。這種碼我國稱為保護(hù)電碼。碼長為5的二進(jìn)制數(shù)共有32種組合，選擇其中含有3個“1”的組合作為許用碼，為10個。10.2常用的簡單編碼11/22/202228信息與通信工程系3.恒比碼（等重碼）每個許用碼含有相同數(shù)目的我國的保護(hù)電碼與國際電碼阿拉伯?dāng)?shù)字保護(hù)電碼國際電碼阿拉伯?dāng)?shù)字保護(hù)電碼國際電碼00110101101500111000011010111110161010110101211001110017111001110031011010000801110011004110100101091001100011

10.2常用的簡單編碼11/22/202229信息與通信工程系我國的保護(hù)電碼與國際電碼阿拉伯?dāng)?shù)字保護(hù)電碼國際電碼阿拉伯?dāng)?shù)10.3線性分組碼一、線性分組碼概念線性分組碼是指信息位和監(jiān)督位滿足一組線性方程，即其編碼規(guī)則可用一組線性方程來描述的分組碼。信息位k信息位k監(jiān)督位r記為（n,k）n:碼元總的個數(shù)（總碼長）11/22/202230信息與通信工程系10.3線性分組碼一、線性分組碼概念線性分10.3線性分組碼系統(tǒng)碼：碼字的前一部分是連續(xù)k位信息碼元，后一部分是連續(xù)r位監(jiān)督碼元，具有這種結(jié)構(gòu)的線性分組碼稱為系統(tǒng)碼。否則稱為非系統(tǒng)碼。糾錯原理n位長的二進(jìn)制碼共有碼字。k位長的二進(jìn)制碼共有碼字,故個信息段僅構(gòu)成個n位長的碼字，稱為許用碼字而其他個碼字為禁用碼字，當(dāng)出現(xiàn)禁用碼字時就可以發(fā)現(xiàn)或糾正錯誤。11/22/202231信息與通信工程系10.3線性分組碼系統(tǒng)碼：碼字的前一部分是連續(xù)k位信息碼10.3線性分組碼二、線性分組碼的一致檢驗（監(jiān)督矩陣）矩陣[H][H]矩陣是用來說明監(jiān)督碼元與信息碼元之間關(guān)系的矩陣。以（7，3）碼(k=3,r=4,n=7)為例：碼字矢量

C=[c6c5c4c3c2c1c0]信息碼元：c6c5c4監(jiān)督碼元：c3c2c1c0監(jiān)督方程為：r行11/22/202232信息與通信工程系10.3線性分組碼二、線性分組碼的一致檢驗（監(jiān)督矩陣）矩陣10.3線性分組碼將上方程系數(shù)寫為矩陣形式11/22/202233信息與通信工程系10.3線性分組碼將上方程系數(shù)寫為矩陣形式10/11/2010.3線性分組碼令[H]=稱[H]為線性分組碼的一致檢驗矩陣（監(jiān)督矩陣）。[H]=[PI4]故有：11/22/202234信息與通信工程系10.3線性分組碼令[H]=稱[H]為線性分組碼的一致10.3線性分組碼[H]的性質(zhì)：（1）[H]是階矩陣，即行數(shù)為監(jiān)督碼元個數(shù)，列數(shù)為碼長。[H]中每行元素表明監(jiān)督方程中線性相關(guān)的碼元系數(shù)。故若[H]已知，則碼元之間的監(jiān)督關(guān)系唯一確定。（2）[H]=[PI4]，即[H]由兩部分組成，前半部稱為[P]矩陣，后半部稱為[I]矩陣。此時，稱[H]為典型矩陣，只有系統(tǒng)碼才具有。（3）[H]是接收端檢錯的依據(jù)。11/22/202235信息與通信工程系10.3線性分組碼[H]的性質(zhì)：（1）[H]是10.3線性分組碼三、線性分組碼的生成矩陣[G][G]矩陣是在給定信息位的條件下，如何生成碼字的矩陣。仍以（7，3）碼(k=3,r=4,n=7)為例：碼字矢量

C=[c6c5c4c3c2c1c0]信息碼元：c6c5c4；監(jiān)督碼元：c3c2c1c0在監(jiān)督方程基礎(chǔ)上，加上信息碼元方程。監(jiān)督方程11/22/202236信息與通信工程系10.3線性分組碼三、線性分組碼的生成矩陣[G][G]矩陣10.3線性分組碼11/22/202237信息與通信工程系10.3線性分組碼10/11/202237信息與通信工程系10.3線性分組碼轉(zhuǎn)置生成矩陣[G]碼字矩陣故有：11/22/202238信息與通信工程系10.3線性分組碼轉(zhuǎn)置生成矩陣[G]碼字故有：10/11/10.3線性分組碼生成矩陣11/22/202239信息與通信工程系10.3線性分組碼生成矩陣10/11/202239信息與通10.3線性分組碼[G]的性質(zhì)：（1）[G]是階矩陣，即行數(shù)為信息碼元個數(shù)，列數(shù)為碼長。故若[G]給定，則在已知信息碼元的情況下，就可得到碼字（生成矩陣）。（2）[G]=[IKQ]為標(biāo)準(zhǔn)生成矩陣，[G]中每行是互相獨立的（線性不相關(guān)）。實際上，[G]中每行就是一個許用碼字。推論：由K互相獨立的碼字可構(gòu)成生成矩陣。11/22/202240信息與通信工程系10.3線性分組碼[G]的性質(zhì)：（1）[G]是10.3線性分組碼[G]的性質(zhì)（二）（3）[G]與[H]的關(guān)系[G]=[IKQ][H]=[PIr]可以證明：或如上例中：11/22/202241信息與通信工程系10.3線性分組碼[G]的性質(zhì)（二）（3）[G]與[H]的10.3線性分組碼[G]的性質(zhì)（三）（4）對偶碼將一碼組（A）中的[H]當(dāng)作另一碼組（B）中的[G]，或反之，則稱B為A的對偶碼。如：則（7，4）為（7，3）的對偶碼。（5）封閉性線性分組碼組中，任意兩個碼字之和仍是此碼組中的一個碼字。11/22/202242信息與通信工程系10.3線性分組碼[G]的性質(zhì)（三）（4）對偶碼將一碼組（10.3線性分組碼四、線性分組碼的譯碼及伴隨式1.譯碼譯碼是判斷接收碼字是否為許用碼，即根據(jù)判斷接收碼字是否滿足定義為錯誤圖樣，當(dāng)時，無誤碼。11/22/202243信息與通信工程系10.3線性分組碼四、線性分組碼的譯碼及伴隨式1.譯碼譯碼10.3線性分組碼當(dāng)時，認(rèn)為第i位發(fā)生了誤碼。將代入中，得：稱為伴隨式，又稱校驗子。當(dāng)時，無錯誤出現(xiàn)。11/22/202244信息與通信工程系10.3線性分組碼當(dāng)時，認(rèn)為第i位發(fā)10.3線性分組碼當(dāng)時，認(rèn)為第i位發(fā)生了誤碼。由伴隨式可檢測個錯誤。此時，為中的第i列（從右起），故可用的列來表示誤碼位置。11/22/202245信息與通信工程系10.3線性分組碼當(dāng)時，認(rèn)為第i位發(fā)10.3線性分組碼當(dāng)時，認(rèn)為第i位發(fā)生了誤碼。由伴隨式可檢測個錯誤。要糾正小于或等于t個錯，必須滿足此時，為中的第i列（從右起），故可用的列來表示誤碼位置。或11/22/202246信息與通信工程系10.3線性分組碼當(dāng)時，認(rèn)為第i位發(fā)10.3線性分組碼編碼效率漢明碼是一種可以糾正單個隨機錯誤的線性分組碼。它是一種完備碼，編碼效率很高。漢明碼11/22/202247信息與通信工程系10.3線性分組碼編碼效率漢明碼是一種可以糾正單個10.3線性分組碼例：11/22/202248信息與通信工程系10.3線性分組碼例：10/11/202248信息與通信工10.3線性分組碼（4）編碼效率高。（1）漢明碼長漢明碼特點（2）信息位（3）最小碼距，糾錯能力為。11/22/202249信息與通信工程系10.3線性分組碼（4）編碼效率高。（1）漢明碼長10.4循環(huán)碼一、

循環(huán)碼的基本概念及碼多項式定義：具有循環(huán)性的線性分組碼。循環(huán)性：碼組中任一許用碼字（全“0”碼除外）循環(huán)左移（或循環(huán)右移）后所得到的碼字仍為該循環(huán)碼組中的另一許用碼字。11/22/202250信息與通信工程系10.4循環(huán)碼一、循環(huán)碼的基本概念及碼多項式定義：具有循10.4循環(huán)碼一種（7，3）循環(huán)碼序號移位次數(shù)信息位監(jiān)督位序號移位次數(shù)信息位監(jiān)督位0

000000046100111010001110154101001125010011163110100131011101072111010011/22/202251信息與通信工程系10.4循環(huán)碼一種（7，3）循環(huán)碼序號移位次數(shù)信息位監(jiān)10.4循環(huán)碼碼多項式：把循環(huán)碼中的碼字用多項式來表示，碼字中各碼元的取值作為碼多項式的系數(shù)。例：對碼11/22/202252信息與通信工程系10.4循環(huán)碼碼多項式：把循環(huán)碼中的碼字用多項式來表示，碼10.4循環(huán)碼碼多項式運算：[定理10.4.1]

若T(x

)是長為n的循環(huán)碼中某個許用碼字的碼多項式，則xi·T(x)在按模xn+1運算下，也是該循環(huán)碼中一個許用碼字的碼多項式。如：（7，3）循環(huán)碼中許用碼字0011101的碼多項式為則（模運算）11/22/202253信息與通信工程系10.4循環(huán)碼碼多項式運算：[定理10.4.1]若T10.4循環(huán)碼（模運算）對應(yīng)的碼字為1101001，它是該（7，3）循環(huán)碼中的一另一許用碼字，它是循環(huán)碼0011101左移3次后形成的。11/22/202254信息與通信工程系10.4循環(huán)碼（模運算）10.4循環(huán)碼[定理10.4.2]

在循環(huán)碼（n，k）中，n-k次冪的碼多項式有一個，且僅有一個，用g(x)表示。稱這唯一的n-k次多項式g(x)為循環(huán)碼的生成多項式。g(x)的常數(shù)項不為零。生成多項式及生成矩陣一旦g(x)確定，則該（n，k）循環(huán)碼就被確定了。g(x)是循環(huán)碼中冪次最低的碼多項式。由它左移就可產(chǎn)生其它碼多項式。比如xg(x)、x2g(x)、x3g(x)等。用k個互相獨立的碼多項式g(x)、xg(x)、x2g(x)…xk-1g(x)可以構(gòu)造出循環(huán)碼的生成矩陣G(x)為11/22/202255信息與通信工程系10.4循環(huán)碼[定理10.4.2]在循環(huán)碼（n，k）中，10.4循環(huán)碼生成矩陣11/22/202256信息與通信工程系10.4循環(huán)碼生成矩陣10/11/202256信息與通信工10.4循環(huán)碼例如，（7，3）循環(huán)碼中最高次冪為n-k次的碼字為0010111，其生成多項式g(x)=x4+x2+x+1。則利用上式可得其生成矩陣G(x)為上式不符合典型生成矩陣的形式，所以它不是典型生成矩陣，由它編出的碼字不是系統(tǒng)碼。但是對此矩陣作線性變化可以變換成典型生成矩陣的形式。11/22/202257信息與通信工程系10.4循環(huán)碼例如，（7，3）循環(huán)碼中最高次冪為n-k次的10.4循環(huán)碼例如，（7，3）循環(huán)碼中最高次冪為n-k次的碼字為0010111，其生成多項式g(x)=x4+x2+x+1。則利用上式可得其生成矩陣G(x)為上式不符合典型生成矩陣的形式，所以它不是典型生成矩陣，由它編出的碼字不是系統(tǒng)碼。但是對此矩陣作線性變化可以變換成典型生成矩陣的形式。11/22/202258信息與通信工程系10.4循環(huán)碼例如，（7，3）循環(huán)碼中最高次冪為n-k次的10.4循環(huán)碼[定理10.4.3]

循環(huán)碼（n，k）的生成多項式g(x)是xn+1的一個因式。產(chǎn)生g(x)的方法：對（xn+1）進(jìn)行因式分解，從中找出一個最高次冪為（n-k）次且常數(shù)項不為零的因式，作為生成多項式g(x)。例如：對于（7，3）循環(huán)碼，g(x)的最高次冪為4?？蓮模▁7+1）中分解得到g(x)。x7+1=（x+1）（x3+x2+1）（x3+x+1）生成多項式可選為g1(x)=（x+1）（x3+x2+1）=x4+x2+x+1或g2(x)=（x+1）（x3+x+1）=x4+x3+x2+11/22/202259信息與通信工程系10.4循環(huán)碼[定理10.4.3]循環(huán)碼（n，k）的生成10.4循環(huán)碼循環(huán)碼的編碼及解碼1.編碼設(shè)信息碼多項式為m(x)

m(x)=mk-1xk-1+mk-2xk-2+…+m1x+m0

m(x)的最高次冪為k-1。將m(x)左移n-k位成為xn-km(x)，其最高次冪為n-1。xn