等差數(shù)列的性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用

【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用1、2、4、6、7、8等差數(shù)列中的計(jì)算問(wèn)題3、5、9、10、12實(shí)際應(yīng)用題11基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由an+bn所組成的數(shù)列的第37項(xiàng)為(C)(A)0 (B)37 (C)100 (D)-37解析:設(shè)cn=an+bn,則{c列.又c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100,則d=c2-c1=0,故cn=100(n∈N*),從而c37=100.故選C.2.等差數(shù)列{an}中,a2+a5+a8=9,那么關(guān)于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0(A)(A)無(wú)實(shí)根 (B)有兩個(gè)相等實(shí)根(C)有兩個(gè)不等實(shí)根 (D)不能確定有無(wú)實(shí)根解析:由a2+a5+a8=9得3a5=9,a5=3,∴a4+a6=2a5=6,于是方程的判別式Δ=(a4+a6)2-4×10=62-4×10<0,故方程無(wú)實(shí)根,故選A.3.等差數(shù)列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,則a3+a6+a9等于(C)(A)21 (B)24 (C)27 (D)30解析:由已知得3a4=39,3a5=33,∴a4=13,a5=11,若設(shè)公差為d,則d=a5-a4=11-13=-2,于是a6=9,∴a3+a6+a9=3a6=3×9=27,故選C.4.若{an}是等差數(shù)列,則下列數(shù)列中仍為等差數(shù)列的個(gè)數(shù)有(D)①{an+an+1};②{QUOTE};③{an+1-an};④{2an};⑤{2an+n}.(A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè)解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,對(duì)于①(an+an+1)-(an-1+an)=(an-an-1)+(an+1-an)=2d,∴{an+an+1}是等差數(shù)列;對(duì)于②,{QUOTE}不一定是等差數(shù)列,例如取{an}為1,2,3,4,…;對(duì)于③,由于an+1-an=d,∴{an+1-an}是常數(shù)列,仍為等差數(shù)列;對(duì)于④,2an-2an-1=2d,∴{2an}是等差數(shù)列;對(duì)于⑤,(2an+n)-(2an-1+n-1)=2d+1為常數(shù),∴{2an+n}是等差數(shù)列,因此①③④⑤仍為等差數(shù)列,故選D.5.設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,則a11+a12+a13等于(B)(A)120 (B)105 (C)90 (D)75解析:∵a1+a2+a3=15,∴a2=5.∴a1a3=16.設(shè){an}的公差為d,則QUOTE又d>0,∴d=3,a1=2.∴a11+a12+a13=3a12=3(a1+11d)=3(2+11×3)=105,選B.6.(2022湖南師大高二期中)在等差數(shù)列{an}中,已知a2+a3+a10+a11=36,則a5+a8=.

解析:法一根據(jù)題意,有(a1+d)+(a1+2d)+(a1+9d)+(a1+10d)=36,∴4a1+22d=36,則2a1+11d=18.∴a5+a8=(a1+4d)+(a1+7d)=2a1+11d=18.法二由等差數(shù)列的性質(zhì),可得a5+a8=a3+a10=a2+a11,∴36=2(a5+a8).∴a5+a8=18.答案:187.(2022德化高二檢測(cè))在等差數(shù)列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,則a7-QUOTEa8的值為.

解析:∵a2+a10=a4+a8=2a6,∴a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,∴a6=16.∴a7-QUOTEa8=(a6+d)-QUOTE(a6+2d)=QUOTEa6=QUOTE×16=8.答案:8能力提升8.在等差數(shù)列{an}中,a1+3a8+a15=120,則2a9-a10的值為(A)(A)24 (B)22 (C)20 (D)-8解析:設(shè){an}公差為d,∵a1+3a8+a15=5a8=120,∴a8=24,∴2a9-a10=2a8+2d-(a8+2d)=a8=24,選A.9.已知數(shù)列-1,x1,x2,9和-1,y1,y2,y3,9都是等差數(shù)列,則QUOTE=.

解析:設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列的公差分別為d1和d2,則3d1=9-(-1)=10,d1=QUOTE,4d2=9-(-1)=10,d2=QUOTE,于是QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE10.等差數(shù)列{an}中,公差為QUOTE,且a1+a3+a5+…+a99=60,則a2+a4+a6+…+a100=.

解析:a2+a4+a6+…+a100=a1+QUOTE+a3+QUOTE+a5+QUOTE+…+a99+QUOTE=a1+a3+a5+…+a99+QUOTE×50=60+25=85.答案:8511.某單位用分期付款方40套住房,共需1150萬(wàn)元,購(gòu)買當(dāng)天先付150萬(wàn)元,以后每月這一天都交付50萬(wàn)元,并加付欠款利息,月利率為1%.若交付150萬(wàn)元后的第一個(gè)月算分期付款的第一個(gè)月,求分期付款的第10個(gè)月應(yīng)付多少錢?最后一次應(yīng)付多少錢?解:購(gòu)買時(shí)先付150萬(wàn)元,還欠款1000萬(wàn)元.依題意知20次可付清.設(shè)每次交付的欠款依次為a1,a2,a3,…,a20,構(gòu)成數(shù)列{an},則a1=50+1000×=60;a2=50+(1000-50)×=;a3=50+(1000-50×2)×=59;…an=50+[1000-50(n-1)]×=60-QUOTE(n-1)(1≤n≤20).所以{an}是以60為首項(xiàng),-QUOTE為公差的等差數(shù)列.則a10=60-9×QUOTE=,a20=60-19×QUOTE=,故第10個(gè)月應(yīng)付萬(wàn)元,最后一次應(yīng)付萬(wàn)元.探究創(chuàng)新12.如果有窮數(shù)列a1,a(m為正整數(shù))滿足條件:a1=am,a2=am-1,…,am=a1,則稱其為“對(duì)稱”數(shù)列.例如數(shù)列1,2,5,2,1與數(shù)列8,4,2,4,8都是“對(duì)稱”數(shù)列.已知在21項(xiàng)的“對(duì)稱”數(shù)列