人教版九年級數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)總結(jié)

人教版九年級數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)總結(jié)21.1一元二次方程知識點(diǎn)一一元二次方程的定義等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下幾點(diǎn)：只含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③是整式方程。知識點(diǎn)二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。知識點(diǎn)三一元二次方程的根使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗(yàn)根的依據(jù)。典型例題：1、已知關(guān)于x的方程（m+）x+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法知識點(diǎn)一直接開平方法解一元二次方程如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負(fù)數(shù)，可以直接開平方。一般地，對于形如x2=a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解得x1=,x2=.直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法。用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項(xiàng)；②使二次項(xiàng)系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項(xiàng)的系數(shù)為1；③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知識點(diǎn)二配方法解一元二次方程通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解。配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開。（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊；（2）方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；（3）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；（4）若等號右邊為非負(fù)數(shù)，直接開平方求出方程的解。21.2.2公式法知識點(diǎn)一公式法解一元二次方程一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的兩個根為x=，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。公式法解一元二次方程的具體步驟：①方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值②確定公式中a,b,c的值，注意符號；③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，則把a(bǔ),b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，則方程無實(shí)數(shù)根。知識點(diǎn)二一元二次方程根的判別式式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b2-4ac.△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根一元二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實(shí)數(shù)根根的判別式△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實(shí)數(shù)根21.2．3因式分解法知識點(diǎn)一因式分解法解一元二次方程把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。因式分解法的詳細(xì)步驟：移項(xiàng)，將所有的項(xiàng)都移到左邊，右邊化為0；把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；令每一個因式分別為零，得到一元一次方程；解一元一次方程即可得到原方程的解。知識點(diǎn)二用合適的方法解一元一次方程方法名稱理論依據(jù)適用范圍直接開平方法平方根的意義形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0)配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法當(dāng)ab=0，則a=0或b=0一邊為0，另一邊易于分解成兩個一次因式的積的一元二次方程。21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系若一元二次方程x2+px+q=0的兩個根為x1,x2,則有x1+x2=-p,x1x2=q.若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有兩個實(shí)數(shù)根x1,x2,則有x1+x2=,x1x2=22.3實(shí)際問題與一元二次方程知識點(diǎn)一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關(guān)系。設(shè)：是指設(shè)元，也就是設(shè)出未知數(shù)。列：列方程是關(guān)鍵步驟,一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個相等含義，然后列代數(shù)式表示這個相等關(guān)系中的各個量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程。解：就是解方程，求出未知數(shù)的值。驗(yàn)：是指檢驗(yàn)方程的解是否保證實(shí)際問題有意義，符合題意。答：寫出答案。知識點(diǎn)二列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見類型數(shù)字問題三個連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間的一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1。三個連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)）：若中間的一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2,x+2。三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位、十位、個位上的數(shù)字分別為a,b,c，則這個三位數(shù)是100a+10b+c.（2）增長率問題設(shè)初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經(jīng)過兩次的增長或降低后的等量關(guān)系為a（1）2=b。（3）利潤問題利潤問題常用的相等關(guān)系式有：①總利潤=總銷售價-總成本；②總利潤=單位利潤×總銷售量；③利潤=成本×利潤率（4）圖形的面積問題根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、高等相關(guān)元素的關(guān)系，將圖形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，建立一元二次方程。中考回顧1.(2017四川綿陽中考)關(guān)于x的方程2x2+mx+n=0的兩個根是-2和1,則nm的值為(C)A.-8 B.8 C.16 D.-162.(2017新疆中考)已知關(guān)于x的方程x2+x-a=0的一個根為2,則另一個根是(A)A.-3 B.-2 C.3 D.63.(2017河南中考)一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情況是(B)A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根4.(2017青海西寧中考)若x1,x2是一元二次方程x2+3x-5=0的兩個根,則QUOTEx2+x1QUOTE的值是15.

5.(2017內(nèi)蒙古赤峰中考)如果關(guān)于x的方程x2-4x+2m=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,那么m的取值范圍是m<2.

6.(2017四川成都中考)已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+a=0的兩個實(shí)數(shù)根,且QUOTE=10,則a=QUOTE模擬預(yù)測1.方程x2+x-12=0的兩個根為(D)A.x1=-2,x2=6 B.x1=-6,x2=2C.x1=-3,x2=4 D.x1=-4,x2=32.對形如(x+m)2=n的方程,下列說法正確的是(C)A.都可以用直接開平方得x=-m±QUOTEB.都可以用直接開平方得x=-n±QUOTEC.當(dāng)n≥0時,直接開平方得x=-m±QUOTED.當(dāng)n≥0時,直接開平方得x=-n±QUOTE3.三角形的兩邊長分別為2和6,第三邊是方程x2-10x+21=0的解,則第三邊的長為(A)A.7 B.3C.7或3 D.無法確定4.為解決群眾看病貴的問題,有關(guān)部門決定降低藥價,對某種原價為289元的藥品進(jìn)行連續(xù)兩次降價后為256元,設(shè)平均每次降價的百分率為x,則下面所列方程正確的是 (A)A.289(1-x)2=256 B.256(1-x)2=289C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=2895.若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0,則m的值等于()A.1B.2C.1或2D.0解析:由常數(shù)項(xiàng)為零,知m2-3m+2=0,解之,得m1=1,m2=2.又二次項(xiàng)系數(shù)m-1≠0,所以m≠1.綜上可知,m=2.故選B.6.若關(guān)于x的一元二次方程x2-3x-2a=0有兩個實(shí)數(shù)根,則a可取的最大負(fù)整數(shù)為.

解析:由題意可知Δ=9+8a≥0,故a≥-QUOTE,所以a可取的最大負(fù)整數(shù)為-1.7.已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根,且滿足x1+x2=m2,則m的值是.

解析:因?yàn)橐辉畏匠逃袃蓚€不相等的實(shí)數(shù)根,所以[-(2m+3)]2-4m2>0,即m>-QUOTE;由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=2m+3,所以2m+3=m2,得m1=-1,m2=3,故m=3.8.某地特產(chǎn)專賣店銷售核桃,其進(jìn)價為40元/千克,如果按60元/千克出售,那么平均每天可售出100kg.后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),單價每降低2元,則平均每天的銷售量可增加20kg.若該專賣店銷售這種核桃想要平均每天獲利2240元,請回答:(1)每千克核桃應(yīng)降價多少元?(2)在平均每天獲利不變的情況下,為盡可能讓利于顧客,贏得市場,該店應(yīng)按原售價的幾折出售?(1)設(shè)每千克核桃應(yīng)降價x元,根據(jù)題意,得(60-x-40)QUOTE=2240.化簡,得x2-10x+24=0.解得x1=4,x2=6.答:每千克核桃應(yīng)降價4元或6元.(2)由(1)可知每千克核桃可降價4元或6元,因?yàn)橐M可能讓利于顧客,所以每千克核桃應(yīng)降價6元.此時,售價為60-6=54(元),所以QUOTE100%=90%.答:該店應(yīng)按原售價的九折出售.

第22章二次函數(shù)知識點(diǎn)歸納及相關(guān)典型題第一部分基礎(chǔ)知識1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)（1）拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是軸.（2）函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系.①當(dāng)時拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當(dāng)時拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函數(shù)的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①；②；③；④；⑤.6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn).①的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下；越大，拋物線的開口越??；越小，拋物線的開口越大。②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.8.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法（1）公式法：，∴頂點(diǎn)是，對稱軸是直線.（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對稱軸是直線.（3）拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱點(diǎn)的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失.9.拋物線中，的作用（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè)，“左同右異”.（3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(diǎn)（0，）：①，拋物線經(jīng)過原點(diǎn);②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸.10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時開口向上當(dāng)時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0,)(,0)(,)()11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對、的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.（3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.12.直線與拋物線的交點(diǎn)（1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0,).（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(diǎn)(,).（3）拋物線與軸的交點(diǎn)二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點(diǎn)拋物線與軸相交；②有一個交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切；③沒有交點(diǎn)拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同（3）一樣可能有0個交點(diǎn)、1個交點(diǎn)、2個交點(diǎn).當(dāng)有2個交點(diǎn)時，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個實(shí)數(shù)根.（5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點(diǎn);②方程組只有一組解時與只有一個交點(diǎn)；③方程組無解時與沒有交點(diǎn).（6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個根，故中考回顧1.(2017天津中考)已知拋物線y=x2-4x+3與x軸相交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),頂點(diǎn)為M.平移該拋物線,使點(diǎn)M平移后的對應(yīng)點(diǎn)M'落在x軸上,點(diǎn)B平移后的對應(yīng)點(diǎn)B'落在y軸上,則平移后的拋物線解析式為(A)A.y=x2+2x+1 B.y=x2+2x-1C.y=x2-2x+1D.y=x2-2x-12.(2017四川成都中考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列說法正確的是(B)A.abc<0,b2-4ac>0B.abc>0,b2-4ac>0C.abc<0,b2-4ac<0D.abc>0,b2-4ac<03.(2017內(nèi)蒙古赤峰中考)如果關(guān)于x的方程x2-4x+2m=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,那么m的取值范圍是m<2.

4.(2017內(nèi)蒙古赤峰中考)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象交x軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)D,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,4).備用圖(1)求二次函數(shù)的解析式和直線BD的解析式;(2)點(diǎn)P是直線BD上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時,求線段PM長度的最大值;(3)在拋物線上是否存在異于B,D的點(diǎn)Q,使△BDQ中BD邊上的高為2QUOTE,若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在請說明理由.解:(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+4.∵點(diǎn)B(3,0)在該二次函數(shù)的圖象上,∴0=a(3-1)2+4,解得:a=-1.∴二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3.∵點(diǎn)D在y軸上,所以可令x=0,解得:y=3.∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,3).設(shè)直線BD的解析式為y=kx+3,把(3,0)代入得3k+3=0,解得:k=-1.∴直線BD的解析式為y=-x+3.（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(m>0),則P(m,-m+3),M(m,-m2+2m+3),PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-QUOTE,PM最大值為QUOTE(3)如圖,過點(diǎn)Q作QG∥y軸交BD于點(diǎn)G,作QH⊥BD于點(diǎn)H,則QH=2QUOTE設(shè)Q(x,-x2+2x+3),則G(x,-x+3),QG=|-x2+2x+3-(-x+3)|=|-x2+3x|.∵△DOB是等腰直角三角形,∴∠3=45°,∴∠2=∠1=45°.∴sin∠1=QUOTE,∴QG=4.得|-x2+3x|=4,當(dāng)-x2+3x=4時,Δ=9-16<0,方程無實(shí)數(shù)根.當(dāng)-x2+3x=-4時,解得:x1=-1,x2=4,Q1(4,-5),Q2(-1,0).模擬預(yù)測1.已知二次函數(shù)y=kx2-6x+3的圖象與x軸有交點(diǎn),則k的取值范圍是(D)A.k<3 B.k<3,且k≠0C.k≤3 D.k≤3,且k≠02.若點(diǎn)M(-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在拋物線y=-QUOTEx2+2x上,則下列結(jié)論正確的是(C)A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y2解:x=-2時,y1=-QUOTEx2+2x=-QUOTE(-2)2+2×(-2)=-2-4=-6,x=-1時,y2=-QUOTEx2+2x=-QUOTE(-1)2+2×(-1)=-QUOTE-2=-2QUOTE,x=8時,y3=-QUOTEx2+2x=-QUOTE82+2×8=-32+16=-16.∵-16<-6<-2QUOTE,∴y3<y1<y2.故選C.3.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩個實(shí)數(shù)根x1,x2滿足x1+x2=4和x1·x2=3,則二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象有可能是()解析:∵x1+x2=4,∴-QUOTE=4.∴二次函數(shù)的對稱軸為x=-QUOTE=2.∵x1·x2=3,QUOTE=3.當(dāng)a>0時,c>0,∴二次函數(shù)圖象交于y軸的正半軸.4.小明在用“描點(diǎn)法”畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時,列了如下表格:x…-2-1012…y…-6QUOTE-4-2QUOTE-2-2QUOTE…根據(jù)表格中的信息回答問題:該二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x=3時,y=-4.

5.若關(guān)于x的函數(shù)y=kx2+2x-1與x軸僅有一個公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的值為k=0或k=-1.

6.拋物線y=-x2+bx+c的圖象如圖,若將其向左平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度,則平移后的解析式為.

解析:由題中圖象可知,對稱軸x=1,所以-QUOTE=1,即b=2.把點(diǎn)(3,0)代入y=-x2+2x+c,得c=3.故原圖象的解析式為y=-x2+2x+3,即y=-(x-1)2+4,然后向左平移2個單位,再向下平移3個單位,得y=-(x-1+2)2+4-3,即y=-x2-2x.答案:y=-x2-2x7.如圖①,若拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上,拋物線L2的頂點(diǎn)B也在拋物線L1上(點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合),我們把這樣的兩拋物線L1,L2互稱為“友好”拋物線,可見一條拋物線的“友好”拋物線可以有很多條.(1)如圖②,已知拋物線L3:y=2x2-8x+4與y軸交于點(diǎn)C,試求出點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)請求出以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的L3的“友好”拋物線L4的解析式,并指出L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍;(3)若拋物線y=a1(x-m)2+n的任意一條“友好”拋物線的解析式為y=a2(x-h)2+k,請寫出a1與a2的關(guān)系式,并說明理由.解:(1)∵拋物線L3:y=2x2-8x+4,∴y=2(x-2)2-4.∴頂點(diǎn)為(2,-4),對稱軸為x=2,設(shè)x=0,則y=4,∴C(0,4).∴點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,4).(2)∵以點(diǎn)D(4,4)為頂點(diǎn)的L3的友好拋物線L4還過點(diǎn)(2,-4),∴L4的解析式為y=-2(x-4)2+4.∴L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍是2≤x≤4.(3)a1=-a2,理由如下:∵拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上,拋物線L2的頂點(diǎn)B也在拋物線L1上,∴可以列出兩個方程QUOTE由①+②,得(a1+a2)(m-h)2=0,∴a1=-a2.

第二十三章旋轉(zhuǎn)23.1圖形的旋轉(zhuǎn)知識點(diǎn)一旋轉(zhuǎn)的定義在平面內(nèi)，把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動一個角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。知識點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點(diǎn)：圖形中的每一個點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。（3）圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。知識點(diǎn)三利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：（1）任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為：①連：即連接圖形中每一個關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；④接：即連接到所連接的各點(diǎn)。23.2中心對稱知識點(diǎn)一中心對稱的定義中心對稱：把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點(diǎn)對稱或中心對稱，這個點(diǎn)叫做對稱中心。注意以下幾點(diǎn)：中心對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系；只有一個對稱中心；繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°兩個圖形能夠完全重合。知識點(diǎn)二作一個圖形關(guān)于某點(diǎn)對稱的圖形要作出一個圖形關(guān)于某一點(diǎn)的成中心對稱的圖形，關(guān)鍵是作出該圖形上關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對稱中心的對稱點(diǎn)。最后將對稱點(diǎn)按照原圖形的形狀連接起來，即可得出成中心對稱圖形。知識點(diǎn)三中心對稱的性質(zhì)有以下幾點(diǎn)：關(guān)于中心對稱的兩個圖形上的對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對稱中心，并且都被對稱中心平分；關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠互相重合，是全等形；關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或共線）且相等。知識點(diǎn)四中心對稱圖形的定義把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心。知識點(diǎn)五關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，它們的坐標(biāo)符號相反，即點(diǎn)p（x,y）關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)為（-x,-y）。中考回顧1.(2017四川綿陽中考)下列圖案中,屬于軸對稱圖形的是 (A)2.(2017天津中考)在一些美術(shù)字中,有的漢字是軸對稱圖形.下面4個漢字中,可以看作是軸對稱圖形的是(C)3.(2017內(nèi)蒙古呼和浩特中考)圖中序號①②③④對應(yīng)的四個三角形,都是△ABC這個圖形進(jìn)行了一次變換之后得到的,其中是通過軸對稱得到的是(:A)A.① B.② C.③ D.④解析:∵軸對稱是沿著某條直線翻轉(zhuǎn)得到新圖形,∴通過軸對稱得到的是①.故選A.4.(2017西寧中考)下列圖形中,是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是(A)A.等邊三角形 B.平行四邊形 C.正六邊形 D.圓5.(2017江蘇淮安中考)點(diǎn)P(1,-2)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(C)A.(1,2) B.(-1,2)C.(-1,-2) D.(-2,1)解析:P(1,-2)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,-2),故選C.6.(2017四川宜賓中考)如圖,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,將△ABE沿BE折疊,使點(diǎn)A恰好落在對角線BD上的點(diǎn)F處,則DE的長是(C)A.3 B.QUOTE C.5 D.QUOTE解析:∵在矩形ABCD中,∠BAE=90°,且由折疊可得△BEF≌△BEA,∴∠BFE=90°,AE=EF,AB=BF,在Rt△ABD中,AB=CD=6,BC=AD=8,根據(jù)勾股定理得BD=10,即FD=10-6=4,設(shè)EF=AE=x,則有ED=8-x,根據(jù)勾股定理得x2+42=(8-x)2,解得x=3,所以DE=8-3=5,故選C.7.(2017山東棗莊中考)如圖,把正方形紙片ABCD先沿對邊中點(diǎn)所在的直線對折后展開,折痕為MN,再過點(diǎn)B折疊紙片,使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處,折痕為BE.若AB的長為2,則FM的長為(B)A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.1解析:∵四邊形ABCD為正方形,AB=2,過點(diǎn)B折疊紙片,使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處,∴FB=AB=2,BM=1,則在Rt△BMF中,FM=QUOTE,故選B.8.(2017湖南長沙中考)如圖,將正方形ABCD折疊,使頂點(diǎn)A與CD邊上的一點(diǎn)H重合(H不與端點(diǎn)C,D重合),折痕交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,邊AB折疊后與邊BC交于點(diǎn)G.設(shè)正方形ABCD的周長為m,△CHG的周長為n,則QUOTE的值為(B)A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.隨H點(diǎn)位置的變化而變化解析:設(shè)CH=x,DE=y,則DH=QUOTE-x,EH=EA=QUOTE-y,∵∠EHG=90°,∴∠DHE+∠CHG=90°.∵∠DHE+∠DEH=90°,∴∠DEH=∠CHG,又∵∠D=∠C=90°,△DEH∽△CHG,∴QUOTE,即QUOTE,∴CG=QUOTE,HG=QUOTE,△CHG的周長n=CH+CG+HG=QUOTE,在Rt△DEH中,DH2+DE2=EH2,即QUOTE+y2=QUOTE,整理得QUOTE-x2=QUOTE,∴n=CH+HG+CG=QUOTE.故QUOTE.故選B.模擬預(yù)測1.下列標(biāo)志中,可以看作是中心對稱圖形的是(D)2.下列圖形中,是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形的是(B)3.如圖,把一張矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B',AB'與DC相交于點(diǎn)E,則下列結(jié)論一定正確的是()A.∠DAB'=∠CAB' B.∠ACD=∠B'CDC.AD=AE D.AE=CE答案:D4.如圖,把一張長方形紙片對折,折痕為AB,再以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)把平角∠AOB三等分,沿平角的三等分線折疊,將折疊后的圖形剪出一個以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是(D)A.正三角形 B.正方形C.正五邊形 D.正六邊形解析:根據(jù)第一次對折以及三等分平角可知將360°進(jìn)行6等分,即多邊形的中心角為60°,由最后的剪切可知所得圖形符合正六邊形特征.故選D.5.如圖,直線l是四邊形ABCD的對稱軸.若AB=CD,有下面的結(jié)論:①AB∥CD;②AC⊥BD;③AO=OC;④AB⊥BC.其中正確的結(jié)論有.(填序號)

答案:①②③6.如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)M,N分別在AB,BC上,將△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,則∠B=95°.

解析:∵FN∥DC,∴∠BNF=∠C=70°.∵M(jìn)F∥AD,∴∠BMF=∠A=100°.由翻折知,∠F=∠B.又∵∠BMF+∠B+∠BNF+∠F=360°,∴100°+∠B+70°+∠F=360°,∴∠F=∠B=QUOTE=95°.7.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,若△ABC與△A1B1C1關(guān)于點(diǎn)E成中心對稱,則對稱中心點(diǎn)E的坐標(biāo)是(3,-1)8.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,M為邊BC上的點(diǎn),連接AM(如圖).如果△ABM沿直線AM翻折后,點(diǎn)B恰好落在邊AC的中點(diǎn)處,那么點(diǎn)M到AC的距離是2.

解析:如圖,過點(diǎn)M作MN⊥AC于N,由折疊性質(zhì)可知,∠BAM=∠CAM=45°.∵點(diǎn)B恰好落在邊AC的中點(diǎn)處,∴AC=2AB=6.∵∠ANM=90°,∴∠CAM=∠AMN=45°.∴MN=AN.由Rt△CNM∽Rt△CAB,得QUOTE,∴QUOTE.∴MN=2.9.△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖.(1)作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1,并寫出△A1B1C1各頂點(diǎn)的坐標(biāo);(2)將△ABC向右平移6個單位,作出平移后的△A2B2C2,并寫出△A2B2C2各頂點(diǎn)的坐標(biāo);(3)觀察△A1B1C1與△A2B2C2,它們是否關(guān)于某直線對稱?若是,請?jiān)趫D上畫出這條對稱軸.解:(1)△A1B1C1如圖,A1(0,4),B1(2,2),C1(1,1).(2)△A2B2C2如圖.A2(6,4),B2(4,2),C2(5,1).(3)△A1B1C1與△A2B2C2關(guān)于直線x=3對稱.如圖.

第二十四章圓24.1.1圓知識點(diǎn)一圓的定義圓的定義：第一種：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn)O叫作圓心，線段OA叫作半徑。第二種：圓心為O，半徑為r的圓是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的，第二種是運(yùn)用集合的觀點(diǎn)下的定義，但是都說明確定了定點(diǎn)與定長，也就確定了圓。知識點(diǎn)二圓的相關(guān)概念弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑?；。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長度相等的弧。24.1.2垂直于弦的直徑知識點(diǎn)一圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。知識點(diǎn)二垂徑定理MABDMABDo⌒⌒垂足為CAC=BCAM=BMC⌒⌒垂足為CAC=BCAM=BMC垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧如上圖所示，直徑MD與非直徑弦AB相交于點(diǎn)C，⌒⌒CD⊥AB⌒⌒⌒⌒AC=BCAM=BM⌒⌒AD=BD注意：因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結(jié)論不成立。24.1.3弧、弦、圓心角知識點(diǎn)弦、弧、圓心角的關(guān)系弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余的各組量也相等。注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此時弧、弦不一定相等。24.1.4圓周角知識點(diǎn)一圓周角定理圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對弦是直徑。圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關(guān)系?！巴』虻然　笔遣荒芨臑椤巴一虻认摇钡模駝t就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對的圓周角有兩類。知識點(diǎn)二圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：(1)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。(2)四個內(nèi)角的和是360°(3)圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對角24.2點(diǎn)、直線和圓的位置關(guān)系24.2.1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系知識點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)⊙O的半徑是r，點(diǎn)P到圓的距離OP=d，則有：點(diǎn)P在圓外d＞r；點(diǎn)p在圓上d=r；點(diǎn)p在圓內(nèi)d＜r。知識點(diǎn)二（1）經(jīng)過在同一條直線上的三個點(diǎn)不能作圓（2）不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓，即經(jīng)過不在同一條直線上的三個點(diǎn)可以作圓，且只能作一個圓。知識點(diǎn)三三角形的外接圓與外心經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個三角形的外心。知識點(diǎn)四反證法反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。反證法的一般步驟：假設(shè)命題的結(jié)論不成立；從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結(jié)論；由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。24.2.2直線和圓的位置關(guān)系知識點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示若設(shè)⊙O的半徑是r，直線l與圓心0的距離為d，則有：直線l和⊙O相交d＜r；直線l和⊙O相切d=r；直線l和⊙O相離d＞r。知識點(diǎn)二切線的判定和性質(zhì)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；必過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。知識點(diǎn)三切線長定理切線長的定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長。切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。注意：切線和切線長是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個端點(diǎn)一個是在圓外一點(diǎn)，另一個是切點(diǎn)。知識點(diǎn)四三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時，過三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。直角三角形內(nèi)切圓半徑的求解方法：①直角三角形直角邊為a.b，斜邊為c，直角三角形內(nèi)切圓半徑為r.a-r+b-r=c,得。②根據(jù)三角形面積的表示方法：ab=,.24.3正多邊形和圓知識點(diǎn)一正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，順次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識點(diǎn)二正多邊形的性質(zhì)各邊相等，各角相等；都是軸對稱圖形，正n邊形有n條對稱軸，每一條對稱軸都經(jīng)過n邊形的中心。正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個全等的直角三角形。所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都經(jīng)過正n邊形的中心；當(dāng)正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時，這個正n邊形也是中心對稱圖形，正n邊形的中心就是對稱中心。正n邊形的每一個內(nèi)角等于，中心角和外角相等，等于。24.4弧長和扇形面積知識點(diǎn)一弧長公式L=在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的弧長就是圓的周長C=2πR，所以n°的圓心角所對的弧長的計(jì)算公式L=×2πR=。知識點(diǎn)二扇形面積公式在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積S=πR2，所以圓心角為n°的扇形的面積為S扇形=。比較扇形的弧長公式和面積公式發(fā)現(xiàn)：S扇形=知識點(diǎn)三圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面展開，容易得到圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形。設(shè)圓錐的母線長為，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為，扇形的弧長為2πr，因此圓錐的側(cè)面積。圓錐的全面積為。中考回顧1.(2017甘肅天水中考)如圖,AB是☉O的直徑,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4QUOTE,則S陰影=(B)A.2πB.QUOTEπC.QUOTEπD.QUOTEπ2\(2017四川中考)如圖,AB是☉O的直徑,且AB經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H,已知cos∠CDB=QUOTE,BD=5,則OH的長度為(D)A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE3.(2017甘肅蘭州中考)如圖,在☉O中,QUOTE,點(diǎn)D在☉O上,∠CDB=25°,則∠AOB=(B)A.45° B.50° C.55° D.60°4.(2017山東青島中考)如圖,AB是☉O的直徑,點(diǎn)C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,則∠BCD的度數(shù)為(B)A.100° B.110°C.115° D.120°5.(2017湖北黃岡中考)如圖,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,則∠ADC的度數(shù)為(B)A.30° B.35° C.45° D.70°6.(2017福建中考)如圖,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn).下列四個角中,一定與∠ACD互余的角是(D)A.∠ADC B.∠ABD C.∠BAC D.∠BAD7.(2017貴州黔東南州中考)如圖,☉O的直徑AB垂直于弦CD,垂足為E,∠A=15°,半徑為2,則弦CD的長為(A)A.2 B.-1 C.QUOTE D.4模擬預(yù)測1.如圖,點(diǎn)A,B,C在☉O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,則∠BOC等于(B)A.60° B.70°C.120° D.140°解析:如圖,過點(diǎn)A作☉O的直徑,交☉O于點(diǎn)D.在△OAB中,∵OA=OB,∴∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°.同理可得,∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°,∴∠BOC=∠BOD+∠COD=140°.故選D.2.如圖,AB是☉O的弦,半徑OA=2,∠AOB=120°,則弦AB的長是(B)A.2QUOTE B.2QUOTEC.QUOTE D.3QUOTE3.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,F是QUOTE上一點(diǎn),且QUOTE,連接CF并延長交AD的延長線于點(diǎn)E,連接AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,則∠E的度數(shù)為(B)A.45° B.50° C.55° D.60°4.如圖,☉O是△ABC的外接圓,∠B=60°,☉O的半徑為4,則AC的長等于(A)A.4QUOTE B.6QUOTEC.2QUOTE D.85.如圖,AB是☉O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)E,且AE=CD=8,∠BAC=QUOTE∠BOD,則☉O的半徑為(B.)A.4QUOTEB.5C.4 D.3∵∠BAC=QUOTE∠BOD,∴QUOTE,∴AB⊥CD.∵AE=CD=8,∴DE=QUOTECD=4.設(shè)OD=r,則OE=AE-r=8-r.在Rt△ODE中,OD=r,DE=4,OE=8-r.∵OD2=DE2+OE2,∴r2=42+(8-r)2,解得r=5.6.若☉O的半徑為1,弦AB=QUOTE,弦AC=QUOTE,則∠BAC的度數(shù)為15°或75°.

7.如圖,△ABC是☉O的內(nèi)接三角形,點(diǎn)D是QUOTE的中點(diǎn),已知∠AOB=98°,∠COB=120°.則∠ABD的度數(shù)是101°.

8.如圖,將三角板的直角頂點(diǎn)放在☉O的圓心上,兩條直角邊分別交☉O于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上,且與點(diǎn)A,B不重合,連接PA,PB.則∠APB為45°.

9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,☉P與x軸交于O,A兩點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),☉P的半徑為QUOTE,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2).

10.如圖,已知AB是☉O的直徑,AC是弦,過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D,連接BC.(1)求證:OD=QUOTEBC;(2)若∠BAC=40°,求QUOTE的度數(shù).(1)證明:(證法一)∵AB是☉O的直徑,∴OA=OB.又OD⊥AC,∴∠ODA=∠BCA=90°.∴OD∥BC.∴AD=CD.∴OD=QUOTEBC.(證法二)∵AB是☉O的直徑,∴∠C=90°,OA=QUOTEAB.∵OD⊥AC,即∠ADO=90°,∴∠C=∠ADO.又∠A=∠A,∴△ADO∽△ACB.∴QUOTE.∴OD=QUOTEBC.(2)解:(解法一)∵AB是☉O的直徑,∠A=40°,∴∠C=90°∴QUOTE的度數(shù)為:2×(90°+40°)=260°.(解法二)∵AB是☉O的直徑,∠A=40°,∴∠C=90°,∴∠B=50°.∴QUOTE的度數(shù)為100°.∴QUOTE的度數(shù)為260°.

第25章隨機(jī)事件與概率25.1.1隨機(jī)事件知識點(diǎn)一必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件在一定條件下，有些事件必然會發(fā)生，這樣的事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會發(fā)生，這樣的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生也可能不會發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件。必然事件和不可能事件是否會發(fā)生，是可以事先確定的，所以它們統(tǒng)稱為確定性事件。知識點(diǎn)二事件發(fā)生的可能性的大小必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小。不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同。25.1.2概率知識點(diǎn)概率一般地，對于一個隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記作P（A）。一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=。由m和n的含義可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1.當(dāng)A為必然事件時，P（A）=1；當(dāng)A為不可能事件時，P（A）=0.25.2用列舉法求概率知識點(diǎn)一用列舉法求概率一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=。知識點(diǎn)二用列表發(fā)求概率當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個因素并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常用列表法。列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法。知識點(diǎn)三用樹形圖求概率當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個或更多的因素時，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖。樹形圖是反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，并求出概率的方法。樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時求概率的方法。在用列表法和樹形圖法求隨機(jī)事件的概率時，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同。25.3用頻率估計(jì)概率知識點(diǎn)在隨機(jī)事件中，一個隨機(jī)事件發(fā)生與否事先無法預(yù)測，表面上看似無規(guī)律可循，但當(dāng)我們做大量重復(fù)試驗(yàn)時，這個事件發(fā)生的頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，因此做了大量試驗(yàn)后，可以用一個事件發(fā)生的頻率作為這個事件的概率的估計(jì)值。一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定于某一個常數(shù)P，那么事件A發(fā)生的頻率P（A）=p。中考回顧1.(2017新疆中考)下列事件中,是必然事件的是(B)A.購買一張彩票,中獎B.通常溫度降到0℃以下,純凈的水結(jié)冰C.明天一定是晴天D.經(jīng)過有交通信號燈的路口,遇到紅燈2.(2017四川自貢中考)下列成語描述的事件為隨機(jī)事件的是(B)A.水漲船高 B.守株待兔 C.水中撈月D.緣木求魚3.(2017浙江紹興中考)在一個不透明的袋子中裝有4個紅球和3個黑球,它們除顏色外其他