時(shí)間管理第三章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析

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您可自由編輯第三章.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析一、任意信號(hào)在完備正交函數(shù)系中的表示法(§6?3---6?4)信號(hào)分解的目的：將任意信號(hào)分解為單元信號(hào)之和，從而考查信號(hào)的特性。簡(jiǎn)化電路分析與運(yùn)算，總響應(yīng)=單元響應(yīng)之和。1.正交函數(shù)集任意信號(hào)f((t)可表示為n維正交函數(shù)之和：f(t)=Cg(()+Cg(()+???Cg(t)+…+Cg(t)1122rrnn=￡Cg(t)r=1原函數(shù)gQg0-g。相互正交：Jt2g(t)-g(t)dt=<?m'n12r七mn[K,m=ngrG)稱為完備正交函數(shù)集的基底。一個(gè)信號(hào)可用完備的正交函數(shù)集表示，.正弦函數(shù)集有許多方便之處,如易實(shí)現(xiàn)等，我們主要討論如何用正弦函數(shù)集表示信號(hào)。2.能量信號(hào)和功率和信號(hào)(§6.6一)設(shè)iG)為流過電阻R的電流，瞬時(shí)功率為P(t)=i2(t)R一般說來，能量總是與某一物理量的平方成正比。令R=1Q則在整時(shí)間域內(nèi)，實(shí)信號(hào)fG)的能量，平均功率為：W=limJ亨f2(t)dtp=limlJ亨f2(tdT。*±T。*T01°討論上述兩個(gè)式子，只可能出現(xiàn)兩種情況：0vWV8(有限值)P=00<PV8(有限值)W=8滿足①式的稱為能量信號(hào)，滿足②式稱功率信號(hào)。3.帕斯瓦爾定理設(shè)匕(t)｝為完備的正交函數(shù)集，即

ff2(t必=WC2fg2(t^t=Ef\Cgr(t)1dt"r=1tir=1ti信號(hào)的能量基底信號(hào)的能量各分量此式稱為帕斯瓦爾定理P331式(6-81)(P93,P350)左邊是信號(hào)能量，右邊是各正交函數(shù)的能量。物理意義：一個(gè)信號(hào)所含有的能量(功率)恒等于此信號(hào)在完備正交函數(shù)集中各分量能量(功率)之和。二、周期信號(hào)的頻譜分析一一傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式三角形式：f(t)=a+*Gcosn?t+bsinn?t)0n1n1n=1=c+Eccos(n④t+9)0n1n指數(shù)形式：f(t)=WF(n?1*幣吃周期信號(hào)的頻譜是離散譜，三個(gè)性質(zhì)收斂性(T,F(n?1)|D諧波性：(離散性)譜線只出現(xiàn)在n?1處，唯一性：f(t)的譜線唯一兩種頻譜圖的關(guān)系????三角形式：cn~?，指數(shù)形式：|F(n?1)|~?,七en~?單邊頻譜~?雙邊頻譜兩者幅度關(guān)系F(n?1)=板Cjin壬0)指數(shù)形式的幅度譜為偶函數(shù)|F(n?)|=|F(-n?)|指數(shù)形式的相位譜為奇函數(shù)11。(n?)=』(-n?)F0=C0=a0(4)引入負(fù)頻率對(duì)于雙邊頻譜，負(fù)頻率(??1)，只有數(shù)學(xué)意義，而無物理意義。為什么引入負(fù)頻率？1???f((t)是實(shí)函數(shù)，分解成虛指數(shù)，必須有共軛對(duì)ejn^t與e-jn^1，才能保證f(()實(shí)函數(shù)性質(zhì)不變。(5)對(duì)特殊信號(hào)不一定滿足上述三個(gè)性質(zhì)例如：沖激序列6(t)=2^S(t-nT)(n為整數(shù))的付里葉級(jí)數(shù)O&分析：狄氏條件是傅里葉級(jí)數(shù)存在的充分條件。根據(jù)沖激信號(hào)的定義和特性，其積分有確定值，傅里葉級(jí)數(shù)存在。即F(nro)=—fs(t)e-jn%dt=—TT-T2???f(()=st(()=*Tejn&1n=-ssT(t)的頻譜，有離散性，諧波性，'無收斂性，頻帶無限寬周期信號(hào)的功率周期信號(hào)的平均功率=各正交分量的平均功率之和(帕斯瓦爾定理)cosn?t+bsinn①t平均功率：1P=T』:f2(t)dtn=102=a2+2n0n=1￡n=1七是三角形式傅里葉級(jí)數(shù)的余弦形式中振幅值。n.??總平均功率=各次諧波的平均功率之和對(duì)于指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)P=L』Tf2(t)dt=EF。①1)2=￡F|2,

0n=-8n=-8三、典型周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)本節(jié)以周期矩形脈沖信號(hào)為例，討論其頻譜的特點(diǎn)。頻譜結(jié)構(gòu)已知矩形脈沖信號(hào)的脈寬為脈寬為J脈沖高度為E，周期為T1。三角形式的譜系數(shù)fG)是個(gè)偶函數(shù)％=0,只有a0,氣。指數(shù)形式的譜系數(shù)1etrt^F(n①1)=T*f(t)e*dt=—S*n氣^J頻譜特點(diǎn)包絡(luò)線按抽樣形狀變化xx頻譜是離散的F(no1)~①是n氣的函數(shù)，只在①1的整數(shù)倍有值(諧波性)

.Er其最大值在n=0處，為質(zhì)T1幅度J＜譜線間隔叫=舞J1T1當(dāng)孔T8,時(shí)，Q1T8，竿為無限小，/（t而周期信號(hào)T非周期信號(hào)。?1?矩形脈沖的頻譜說明了周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：離散性，諧波性，收斂性=mn（m取整數(shù)）時(shí)，通過零點(diǎn)。其中第此后諧波的振幅相對(duì)減小。能量主要集中在頻帶寬度周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜每當(dāng)氣任2一個(gè)零點(diǎn)在號(hào)』，即n^=2n21r第一個(gè)零點(diǎn)以內(nèi)。信號(hào)一般主要集中在低頻段。=mn（m取整數(shù)）時(shí)，通過零點(diǎn)。其中第此后諧波的振幅相對(duì)減小。能量主要集中在定義：在滿足一定失真條件下，信號(hào)可以用某段頻率范圍的信號(hào)來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為信號(hào)的頻帶寬度。記為：B&=竿或Bf=1，帶寬與脈寬成反比。對(duì)于一般周期信號(hào)，將幅度下降為§\F(no1)皿的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。系統(tǒng)的通頻帶〉信號(hào)的帶寬，才能不失真非周期信號(hào)的頻譜分析一傅里葉變換傅里葉變換當(dāng)孔—8時(shí)，/(t):周期信號(hào)-非周期信號(hào)譜系數(shù)：F(麗1)=:!?2f(t)e-施1W(1)1T1%T1FG①1)=F,；〔)=F1)單位頻帶上的頻譜值1T1JfG=lim;FG%)T1T8=limJT12f(t)e-jn(d1tdtTT8T】2=J00f(t)e-加tdt-8FJ)稱為頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)。由f(t)求F佃)稱為傅立葉變換。F(&)一般為復(fù)信號(hào)，故可表示為F(①)=1F佃)le為(0lF0)l~S幅度頻譜9(①)~①：相位頻譜

反變換fJ)應(yīng)是F婦)的反變換。f(t)=M』8Fd、td&2冗一8傅立葉變換對(duì)F@)=J8f(t)e-J①tdt=Ff(t)]一8f(t)=如8Fdj①td?=F-1f(t)]稱為付里葉變換對(duì)，簡(jiǎn)寫fQ"F(J,其中f(t)稱為原函數(shù)，F(xiàn)(o)稱為象函傅立葉變換的特殊形式F(o)=|F(o)eM)=A(o)+jX(o)實(shí)部虛部f(t)=feQ+fo。實(shí)信號(hào)偶分量奇分量F(o)=f8f(t)e-jotdt-8=J8f(t)+f(t)]?lcosot一jsinotd-8=2J8fe(t)cosotdt一j2J8fo(t)sinotdt虛部實(shí)部關(guān)于o的偶函數(shù)關(guān)于o的奇函數(shù)關(guān)于o的偶函數(shù)關(guān)于o的奇函數(shù)R(ok2J8fe(t)cosotdtX(o)=-2J:fo(t)sinotdt\F婦卜氣上婦幾+X(o^2。婦)=坨-1洛fQ偶函數(shù)(奇分量為零)QF(o)為實(shí)函數(shù)，只有R(o)，相位土兀f()奇函數(shù)(偶分量為零)QF(o)為虛函數(shù)，只有X(o)，相位土;2

奇偶虛實(shí)性傅里葉變換的物理意義/(t)為實(shí)函數(shù)f(t)=—J00F(o>/e如=卜^^^?.e虛部關(guān)于o的偶函數(shù)關(guān)于o的奇函數(shù)關(guān)于o的偶函數(shù)關(guān)于o的奇函數(shù)=&JoF(42冗-ojl(?)ej?td&=—Jo|F(o)costot+|^?Ud?+j-1Jo|F(o)sinLt+|(o)d?2丸-o2冗-o=—JoF(o)costot+|(o)do2冗-o=—Jo|F(o)costot+|(o)do冗0=Jo0F(o)docoslo=Jo0冗求和振幅正弦量由上式可得出，非周期信號(hào)可分解為：無窮多個(gè)幅度為無窮小(:F(o)d°)的連續(xù)指數(shù)信號(hào)之和，占據(jù)整個(gè)頻域，2丸1o:—oTo；無窮多個(gè)振幅為無窮小(§|F(o)d°)的連續(xù)余弦信號(hào)之和，頻域范圍：0To。傅里葉變換存在的條件1°|/([t=有限值知分條件)-o即f(t)絕對(duì)可積，F(xiàn)4)存在。所有能量信號(hào)均滿足此條件。當(dāng)引入5(o)函數(shù)的概念后，允許作變換的函數(shù)類型大大擴(kuò)展了。典型非周期信號(hào)的頻譜相位頻譜單邊指數(shù)信號(hào)F(?)=J8EeFuC>-加畫一8直流信號(hào)Ef(t)=E一8VtV+8fG)不滿足絕對(duì)可積的條件，不能直接用定義求F4)；利用矩形脈沖的頻譜求極限。:.E.2冗6(o)+F（d）（2nE）Od時(shí)域無限寬，頻帶無限窄。當(dāng)f。=1時(shí)，F(xiàn)EJ=2冗6(d)t>0,c這個(gè)信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件。處理方法:tV0符號(hào)函數(shù)f(t)=sgn(t)=｛一1，做成一個(gè)雙邊函數(shù)f1。=sgn(tL-W，，求七(o)，求極限得到F(o)...碼蓋）”=-§=旨ez2

沖激函數(shù)F(?)=J^8(t)?-j攵dt=1—3t>0,c這個(gè)信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件。處理方法:tV0...碼蓋）”=-§=旨ez2沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不滿足絕對(duì)可積條件，不能用定義求。f(t)t對(duì)稱性tf(t)oF(o)沖激偶的付里葉變換3f(t\t(t)dt=—f血)f(t)o...8t(t)e38《\—jotdt=-^e-joJ=o=—(—jo)=jo—3單位階躍函數(shù)u(t)u(t)e在8(D)+j-

o

傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換具有唯一性。付氏變換的性質(zhì)揭示了信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。討論付里葉變換的性質(zhì)，目的在于：了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；?用性質(zhì)求F(o)了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的實(shí)用。對(duì)稱性線^奇偶虛實(shí)性微分性質(zhì)尺度變換特性時(shí)移特性頻移特性時(shí)域積分性質(zhì)微分性質(zhì)時(shí)域微分f(t)QF(o)，貝iff(t)IjoF(o)如果fG)中有確定的直流分量，應(yīng)先取出單獨(dú)求付氏變換，余下部分再用微分性質(zhì)。頻域微分若f(t)IF(o),則tf(t)—jdF(&)do或-jtf(t)IdF(o)do尺度變換特性若f(t)IF(o)，則f(at)11F⑵，a為非零常數(shù)。aIa)信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)占有頻帶成反比，有時(shí)為加速信號(hào)的傳遞，要將信號(hào)持續(xù)時(shí)間壓縮，則要以展開頻帶為代價(jià)。

.時(shí)移特性都(l)eF(o),則f。-匕)eF(c))e-j^0；若H((o)="(co)銜枷)，貝![f(r-^)o|F(a))|-ejb(?)-j?rol幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，.當(dāng)時(shí)移和尺度變換都有時(shí)新￡)5"貝VJ+萬).n仁)?0\a\aJ8.頻移特性通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復(fù)用若f(t)ej(d^—F(D-(O)貝U八)(°、0)。為常數(shù)，注意土號(hào)<^fQd+g)0)|9.時(shí)域積分性質(zhì)若丁0—F(d)貝[|正(0)=0時(shí),FyGL.些?—00JG)H(0)o0時(shí),F八認(rèn).時(shí)GM)+些^—00JG)卷積定理1.時(shí)域卷積定理意義:時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積2.頻域卷積定理若/20^F2（o）1.時(shí)域卷積定理意義:時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積2.頻域卷積定理若/20^F2（o）意義：時(shí)間函數(shù)的乘積一各頻譜函數(shù)卷積的治倍。3?作用卷積定理：揭示了時(shí)間域與頻率域的運(yùn)算關(guān)系，在通訊理論中有重要作用4.應(yīng)用：用時(shí)間卷積定理求頻譜密度函數(shù)求FfG》t的傅立葉變換。一8求系統(tǒng)的響應(yīng)一口^叩一g0=f%認(rèn))5.調(diào)制原理與頻分復(fù)用調(diào)制：將信號(hào)的頻譜函數(shù)搬移到任何所需的較高頻段上的過程。圖1為幅度調(diào)制(AM)。解調(diào)將己調(diào)信號(hào)恢復(fù)成原來的調(diào)制信號(hào)的過程。圖4所示為同步解調(diào)

G(?)①Gad2F(G(?)①Gad2F(o)+4F(d+加『+F<D-西)頻分復(fù)用所謂頻分復(fù)用，就是以頻段分割的方法在一個(gè)信道內(nèi)實(shí)現(xiàn)多路通信的傳輸體制。發(fā)信端：調(diào)制，將各信號(hào)搬移到不同的頻率范圍。收信端：帶通濾波器，分開各路信號(hào)，解調(diào)。再利用一個(gè)低通濾波器(帶寬①誑<H<2%-?TO,)，濾除再2%附近的分量，即可取出f0,完成解調(diào)。"m°周期信號(hào)的傅立葉變換周期信號(hào)：fQ.傅里葉級(jí)數(shù)-F(n^1)離散譜非周期信號(hào)f().傅里葉變換-F。切)連續(xù)譜cosQ01OK§(?+①0)+kS(?-&0)正弦信號(hào)：TOC\o"1-5"\h\zsin切otO—j丸S(?-o.)+j航(o+氣)f。=EF(no一般周期信號(hào)：；：°1F.(o)=￡F^no,*ljnof=2丸EF(no).6(d-no)T111—8-8離散譜走示的是頻譜密度.T(M頻譜由沖激序列組成；位置：o=no1(諧波頻率)強(qiáng)度：2冗F(no1),與F(no1)G)譜線的幅度不是有限值，因?yàn)?/p>

周期信號(hào)的F(o)只存在于o=no1處,頻率范圍無限小,幅度為離散譜走示的是頻譜密度.由F，)求F(no1)：FG?1)=TF0

1(?)o=n?1F0(o)=jMf(tL-jotdt——2單位沖激序列的8FG?1)=TF0

1(?)o=n?18t。=荒8(t-nT)=￡F(no1)?jno1t=土￡ejno/

n=-8n=—81—8F(o)=臾EsCo-no)=o2^3(0-no)T1-■』F1n=-8、>no)111n=-81iF(o)888...??.ii(o)1iJ(o)19o)?2oo-2o-o0o2oo88o11111111.?.8t(t)的頻譜密度函數(shù)仍是沖激序列,強(qiáng)度和間隔都是o11T1周期矩形脈沖序列的傅氏變換F(o)=Et?1￡Saf"；任jsG-n?1)—8抽樣信號(hào)的傅立葉變換f(t)…(1)(1)G)(1)?！?2T-T°T2Tt188111

連續(xù)信號(hào)⑤

八）連續(xù)信號(hào)⑤

八）*抽樣信號(hào)七^^5。抽樣脈沖p(t)=5t(t)=藝5(t-nT).①2^5(①一n?)一8—8fs(t)=f(t)5t(t)=*f(nT)8(t-nT)一8頻域:Fs(o)=FfCbTG)]=圣F(?)?8T(o)=1tF(o-n?s)Sn=-8若接一個(gè)理想低通濾波器，其④<?<?一⑦即可重現(xiàn)原信號(hào)。增益為Ts截止頻率濾除高頻成份抽樣定理f.=④<?<?一⑦即可重現(xiàn)原信號(hào)。Tsmax=f是最大抽樣間隔，稱為奈奎斯特抽樣間隔一個(gè)頻率受限的信號(hào)fQ如果頻譜只占據(jù)-％o?+%的范圍,則信動(dòng)（t局用等間隔的抽樣值來唯一地表示。其抽樣間隔必須不大于沼，即Ts<21■（其中?m=2f），或者說最低抽樣mm頻率為2fm。抽樣定理的應(yīng)用一時(shí)分復(fù)用用于時(shí)分復(fù)用，在同一時(shí)間里傳送不同信號(hào)。

十.系統(tǒng)函數(shù)H(jo)H(o)=R(o)_響應(yīng)信號(hào)的傅氏變換麗_激勵(lì)信號(hào)的傅氏變換物理意義H(o)=表征系統(tǒng)固有的性質(zhì)或特性h()為沖激響應(yīng)，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)，描述了系統(tǒng)的固有性質(zhì)。H(o)也僅僅決定于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，H<0)是表征系統(tǒng)特性的重要參數(shù)。系統(tǒng)沖激響應(yīng)的傅立葉變換當(dāng)e(t)=S(t)時(shí)，r(t)=h(t)，此時(shí)5(t)