曲線擬合的應(yīng)用

曲線擬合的應(yīng)用摘要：在實際問題中，常常會從一組數(shù)據(jù)中篩選出對自己有用的部分，這樣的問題可轉(zhuǎn)化為尋找一種函數(shù)曲線去擬合這些數(shù)據(jù)，在解決這類問題的數(shù)據(jù)處理和誤差分析中應(yīng)用最廣泛的是曲線擬合。它不但可以提高數(shù)據(jù)處理效率，而且還能保證相當(dāng)?shù)木_度。關(guān)鍵詞：曲線擬合，最小二乘法，應(yīng)用直線擬合直線擬合數(shù)據(jù)點（土，少（iT2^的最小二乘法，即找一個一次函麴=小+B，使二元函數(shù)…E(A,B)=2：(Ax+B-y)2i=1達(dá)到最小。由多元函數(shù)取得極值的必要條件知，由方程組:'dE(A,B)>\=乙冷+-px.=0i=1^E^A^Bl=22(x+-y).1=0TOC\o"1-5"\h\zdBiivi=1化簡可得正規(guī)方程組:（1-1）A(Zx2)+B(Ex)=lLxy

iiii（1-1）i=1i=1i=1A(2Lx)+nB=lLyi=1i=1由方程組（1-1）解出AB，即得一次函數(shù)y=Ax+B為所求的擬合直線冪函數(shù)擬合在某些情況下的擬合函知=Axm，其中M是一個已知常數(shù)設(shè)｛（七,七）｝"有n個點，最小二乘冪函數(shù)擬合曲線y=Axm，求函數(shù)E（A由方程組（1-1）解出AB，即得一次函數(shù)y=Ax+B為所求的擬合直線E(A)=云(AxM-y)2i=1對上式求關(guān)于A的導(dǎo)數(shù):令導(dǎo)數(shù)等于0,化簡得:Ef(A)=云2(Axm-y).(xm)iJJi=1A(ZX2M)-￡(XMy)=0對上式求關(guān)于A的導(dǎo)數(shù):令導(dǎo)數(shù)等于0,化簡得:i=1i=1￡(XMy)iiA=-i=1乙X2Mii=1即：y=Axm為所求的擬合曲線。指數(shù)擬合3.1求解y=CeAx的非線性最小二乘法設(shè)給定一組點集(土,yi)(i=1,2,n)，需要擬合指數(shù)曲線采用非線性最小二乘法求下式的?最小值:E(A,C)=￡(CeAxi-y)2ii=1對上式分別求關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)等書TOC\o"1-5"\h\z°E*C)=￡2(CeAxi-y)CeAxi-(x)=0

dAii<i=1\o"CurrentDocument"洗.C)=￡2(CeAx,-y).(eA.)=0cCii=1C￡C￡(xe2Ax.)-￡(xyeAx.)=0i」」i=1LC￡(eIi=1方程(3.1-3)對于未知數(shù)A和C(3.1-3)iii=12Axi)-￡(yeAxi)=0(3.1-3)ii=1'是線性的，可用牛頓法求解。但這是一個耗時的計算，而且迭代需要好的A和C的初始值。3.2求解y=CeAx線性化方法設(shè)給定一組點集(土,yi)(i=1,2,n，求指數(shù)函數(shù)y=CeAx的擬合曲線

對上式兩邊同取對數(shù)得：lny=lnC+Ax令：Y=Iny,B=InC,X=x得：Y=AX+Bxy平面上的初始點集3,y)變成平面上XY的點集(X,Y)=(x,lny)，這個過程稱為數(shù)據(jù)線性化。iiiiii這樣可用最小二乘擬合曲線擬合點集(X「Y)}"，求解A和B的正規(guī)方程組為:TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"A^Xt2)+B(￡土)二^土匕

vi=1i=1i=1A(Xx.)+nB=Hli=1i=1解出A和B，C=eB.線性最小二乘法的一般形式一般地，設(shè)給定數(shù)據(jù)組(x,y)(i=1,2,n,P(x)&(x),P(x)為已知的一組屋,b]上線性ii01m無關(guān)的函數(shù)，選取近似函數(shù)為：……P(x)=ap(x)+ap(x)++ap(x)

0011mm使得:VrIV「使得:VrIV「V工[y-p(x)]2=￡y一無aiii=1i=1ap(x)k=0(4-1)=min咒[y-v(x)]2H為p0(x),p1(x),,pm(x)的線性組合的全體，這就是線性最小二法的一般形式。特別地，取pk(x)=xk(k=0,L,m)，就是多項式擬合。上述問題的正規(guī)方程組為???￡[y-p(x)]p(x)=0

iijii=1上述問題的正規(guī)方程組為???￡[y-p(x)]p(x)=0

iijii=1￡a[￡p(x)?p(x)]=￡yp(x)kkijiijik=0i=1如果記(pk,p.)=￡[%(x)p.(x)]k=1(j=0,1,,m)(4-2)即:(j=0,1,,m)(4-3)li=1(y,p)=Wyp(x)方程組(4-3)可表示成矩陣形式:jijii=1-（私中）（中，中）（中，中）_「a[(y,中)00010m00(中&)（中，中）（中，中）a（y,中）:1011???1m:1—=:1L(氣,%)（氣'咒）...*(氣n」-am」L(y,氣)」(4-4)k???多項式擬合對給定的數(shù)據(jù)組（七，七）（i=0，L，n去一個m次多項式（秫＜n）+aXmm使得:Ee2=E[y—P(x)]2=F(a,a,a,,a)iimi012mii=1i=1（5-2）為最小，即選取參數(shù):a+aXmm使得:Ee2=E[y—P(x)]2=F(a,a,a,,a)iimi012mii=1i=1（5-2）為最小，即選取參數(shù):a（i=0,Li,m），使得,a）=￡[y-p（x）]2=minmi=1'm1咿其中H為至多m次多項式集合。.這就是數(shù)據(jù)的m次多項式擬合，￡[y-v（x）]2iii=1稱為這組數(shù)據(jù)的最小二嘛次擬合多項式。由多元函數(shù)取得極值的必要條件，得方程組:竺=-2￡(y-￡axk).xj=0daikiiji=1k=0(i=0,1,,m)移項得:￡a(￡xk+j)=￡yxjkiiik=0i=1i=1（5-3）即:na+a乙)+a(￡x2)++a(￡xm)=￡y01i2imiii=1i=1i=1i=1a(乙)+a(￡x2)+a(Ex：)++a("=^yx0i1i2imiiii=1i=1i=1i=1i=1a(Exm)+a(Exm+1)+a(Exm，)++a(Ex2m)=￡yxm

0i1i2imiiii=1i=1i=1i=1i=1（5-4）這是最小二乘擬合多項式的系數(shù)ak（k=0,1,,m）應(yīng)滿足的方程組，稱為正規(guī)方程組。由函數(shù)組{1,x,x2,,xm}的線性無關(guān)性可證明，方程組5-4）存在唯一解，且解所對應(yīng)的多項式5-1）必定???矛盾方程組的最小二乘解設(shè)AgRmxn,XgR,bgR方程組為Ax=b(6-1)其中A為列滿秩矩陣，且方程組6-1)是矛盾方程組，則Ax=bnAtAx=Arb因為A列滿秩，所以ATA正定對稱，因而可逆，從而x=(AtA)-iATb為矛盾方程組的最小二乘解。求解數(shù)據(jù)組的最小二乘擬合函數(shù)的一般步驟由給定數(shù)據(jù)點確定近似函數(shù)的表達(dá)式，一般可通過描點觀察或經(jīng)驗估計得到。按最小二乘原則確定表達(dá)式中的參數(shù)，即由偏差平方和最小導(dǎo)出正規(guī)方程組，求解參數(shù)。注意：一些簡單的非線性最小二乘問題通常需先做變量代換將問題化為線性最小二乘問題再求解。典型應(yīng)用(1)已知一組實驗數(shù)據(jù)如下表，求它的擬合曲線?Xi-2-1012yi101029解：建立文件w1.mx=[-2,-1,0,1,2];y=[10,1,0,2,9];plot（x,y,'o'）xlabel（'自變量xi'）ylabel（'函數(shù)yi'）title（'散點圖'）畫出所給數(shù)據(jù)（乂「,七）的散點圖TOC\o"1-5"\h\z.■,散點圖，，，，10''''''9-一8--7--6--數(shù)5--函4--3--0-2O-1rrI：］III0-2-1.5-1-0.500.511.52自變量xi圖8-1數(shù)據(jù)的散點圖從圖可見它像一條拋物線，因而可取拋物線函數(shù)=a+ax+ax2.012將數(shù)據(jù)帶入方程組（5-4）中，得：'5a+10a=22<10a=-1110a+34a=79V02解得：a=-0.1，a=2.5，a=-0.6.擬合曲線為：y=-0.6—0.1x+2.5x2（2）設(shè)一發(fā)射源的發(fā)射強(qiáng)度公式形如：/=Ie-勺0現(xiàn)測得與的數(shù)據(jù)如下表：ti0.20.30.40.50.60.70.8Ii3.162.381.751.341.000.740.56使用最小二乘法確定1。與a0.解：文寸強(qiáng)度公式兩邊同取對數(shù)得：lnI=-at+ln10令：Y=InI,X=t,A=-a0,B=ln10得：Y=AX+B表8-2數(shù)據(jù)的代換Xi0.20.30.40.50.60.70.8Yi1.15060.86710.559620.292670-0.30111-0.57982將數(shù)據(jù)帶入方程組(1-1)中得：J2.03A+3.5B=0.1858[3.5A+7B=1.98906解得：A=—2.88832,B=1.728311a0=2.88832,10=exp(B)=5.631135則：強(qiáng)度公式為：I=5.6313.88位某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)2004-2010年的利潤如下表所示，試預(yù)測2011和2012年的生產(chǎn)利潤?年份2004200520062007200820092010利潤/（萬80116144158174196202元）解：由已知數(shù)據(jù)做一草圖，發(fā)現(xiàn)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)的年生產(chǎn)利潤呈直線上升趨勢，因此，可用中（x）=a。+<x作為擬合函數(shù)來預(yù)測該鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)未來的年生產(chǎn)利潤，為簡化計算，可把年份記為Xj=2003+ti，相應(yīng)年份的利潤記作，求如表8-3所示數(shù)據(jù)的線性最小二乘擬備=at+b.表8-3數(shù)據(jù)的簡化ti1234567yi80116144158174196202方法一：將數(shù)據(jù)帶入方程組（1-1）中得：J140a+28b=4836[28a+7b=1070解得：a=19.85714,b=73.42857二擬合曲線為：J=19.85714t+73.42