最新微分幾何測試題集錦

微分幾何測試題集錦

（含答案）

精品好文檔，推薦學(xué)習(xí)交流《微分幾何》測試題（一）填空題：（每小題2分，共20分）1?向量心）={/,31,a}具有固定方向，則a=—1。非零向量^。）滿足G，己產(chǎn)）=0的充要條件是以該向量為切方向的曲線為平面曲線設(shè)曲線在P點的切向量為&，主法向量為￡，則過P由a,￡確定的平面是曲線在P點的—密切平面。曲線r=用）在點M）的單位切向量是a，則曲線在飛）點的法平面方程是。曲線r=W在t=1點處有f=2￡，則曲線在t=1對應(yīng)的點處其撓率f（1）=_-2。主法線與固定方向垂直的曲線是—一般螺線——如果曲線的切向與一固定方向成固定角，則這曲線的曲率與撓率的比是—常數(shù)。9.曲面z=z（x,y）在點（七,*,%）的法線方程是選擇填空題：(每小題3分，共30分)11、若曲線的所有密切平面經(jīng)過一定點，則此曲線是—C―。A、直線B、平面曲線C、球面曲線D、圓柱螺線12、曲線r=尸⑴在P(t)點的曲率為k，撓率為t，則下列式子—A—不正確。A、k=SB、k=SC、k=rD、rf\2同3_(rrr)(r'xr13、對于曲面的第一基本形式I=Edu2+2Fdudv+Gdv2,EG-F2―D。A、＞0B、＜0C、＜0D、＞0計算與證明題：(22題14分，其余各9分)21、已知圓柱螺線r={cost,sint,t}，試求⑴在點f0,1,-^的切線和法平面。V2)⑵曲率和撓率。22、對于圓柱面S:r={pcos。,psin6,u}，試求⑴E的第一、第二基本形式；⑵E在任意點處沿任意方向的法曲率;⑶E在任意點的高斯曲率和平均曲率;⑷試證E的坐標(biāo)曲線是曲率線?！段⒎謳缀巍窚y試題(二)一.單項選擇題(2x10=20分)1.若向量函數(shù)r=r(t)的終點在通過原點的一條直線上，則()A.r，(t)是定長的；B.r，(t)是定向的；C-r，(t)T；D.r<t)=2.2.對于向量函數(shù)r(t)，若r(t)1r，(t)，則()A?r(t)是定長向量；B.r'(t)定長向量；C?r(t)是定向向量；D.r'(t)是定向向量.3.設(shè)a,b均為非零向量，且瀝=0,則()A.a,b線性相關(guān)；B.a,b線性無關(guān)；C.a可以由b線性表示；D.b可以a由線性表示.4.撓率T=0,曲率k=2的曲線是()B.半徑為1的圓；4D.半徑為1的圓.2B.僅由曲率；D.由參數(shù)的選取.B.一定是圓；.答案A,B,C都B.S上每一點是拋物精品好文檔，推薦學(xué)習(xí)交流A.B.半徑為1的圓；4D.半徑為1的圓.2B.僅由曲率；D.由參數(shù)的選取.B.一定是圓；.答案A,B,C都B.S上每一點是拋物.設(shè)S是球面，貝叭）A.S上每一點是雙曲點；點；C.S上的圓的p指向球心；D.S上的測地線的p指向球心..若曲面S在每一點的高斯曲率為1,則它可以與半徑為4（）的球面貼合A.1；B.2；C.1；D.4.249.圓柱螺線r={acost,asint,bt}在任一點的切線與z軸的夾角A.A.為；90。B.0o；C.與t有關(guān)；D.與b有關(guān).10.設(shè)非直線的曲線C是曲面S:r=r(",W上的測地線，則有()B.C在每一點p1n；D.C在每一點Y-1n.A.C在每一點p//n；C.C在每一點丫/n；一?判斷題(2X10=20分).向量函數(shù)r=r(t)滿足(rQdt,rQrf(t9=0，則必有一常向量B.C在每一點p1n；D.C在每一點Y-1n.a，滿足a-Lr()..如果曲線C:r=r(t)的所有向徑共面，則r4)必與某一固定向量垂直..曲線的形狀只由曲率和撓率決定.().直紋面上的直母線一定是曲率線..若曲面S與一個半徑為R的球面沿一個半徑為r(0vr<Q的圓C相切，則C是S上的測地線..如果兩個曲面S1與S2之間的一個對應(yīng)關(guān)系，使得它們在對應(yīng)點有相同的高斯曲率，則S1與S2等距等價..設(shè)曲面S:,=r(u,v),如果L:E=M:F，則v一線是曲率線.().設(shè)曲面S:尸二，(u,v)，如果L:M:N=E:F:G，則曲面上的所有曲線都是曲率線..曲面上任意兩點的連線中，測地線段最短.()?球面上的曲率線是大圓.()二?計算題(10X4=40分).求曲線C:,=L,gc3｝上在!=0處的密切面方程..已知曲線C：r=r(s)(s是弧長參數(shù))的曲率和撓率分別是K和"且T是不為零的常數(shù)，求曲線8:r=1P⑴f(s)ds的曲率和撓率.T.求曲面z=xy2上的漸近線.4.求圓環(huán)面S：r={（b+acos甲）cos0,（b+acos甲）sin0,asin中}（0<3<2兀,0<^<2兀）上的橢圓點，雙曲點和拋物點.三.證明題（10X2=20分）.證明：如果曲線的所有p都經(jīng)過一個固定點，則曲線是以固定點為圓心的圓..設(shè)C是半徑為R的球面上半徑為r（0vr<R）的圓，Kg是曲率.證明：…L_1.gr2R2B一.單項選擇題（2x10=20分）.設(shè)a={1,0-3|,b={—2*},若弓//b則（）A?x=-—；B.x=-2；C.x=0；D.x為任2意實數(shù)..設(shè)曲線c：滿足r"）i=1貝u（）A.C是單位球面上的曲線；B.t是C的弧長參數(shù)；B.r(tB.r(t)是定長的向D.rQxr4)=0.B.拋物點；C.圓點；D.平點.C.變向量r(t)具有固定方向；D.變向量小)具有固定長度.3.若向量函數(shù)r=小)對于任意t都有叩)|=1.則A.r(t)是定向的向量；C.A)Xr，。=0；4.可展曲面上每一點都是()A.橢圓點;5.若曲線C的曲率k=2,‘=0貝#)A.C是半徑為2的圓；B.C是半徑為1的圓;2C.C是半徑為?巨的圓；D.C是半徑為《的<2圓.6.曲面上與〃線正交的曲線滿足()A.Ldu+Mdv=0；C.Ldu+Ndv=0；Edu+Fdv=0；D.Edu+Gdv=0..設(shè)曲面S上一條非直線的曲線C是S上的測地線，則()僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝9精品好文檔，推薦學(xué)習(xí)交流A.C在每一點，yIIn；B.C在每一點，y1n；C.C在每一點，pIn；D.C在每一點，p1n..在曲面S:r=，M）上，u線的微分方程是（）A?dudv=0；B.du=0；C-dv=0；D.du=dv..若兩個曲面等距等價，則（）它們有相同的第一基本形式；它們有相同的第二基本形式；它們有相同的第三基本形式；把其中一個經(jīng)過連續(xù)的彎曲變形，就能和另一個貼合口..若曲面S3=r（u,v）上任一點，都有F=M=0,貝U（）A.參數(shù)曲線網(wǎng)是漸近線網(wǎng)；B.參數(shù)曲線網(wǎng)是曲率線網(wǎng)；C.參數(shù)曲線網(wǎng)是測地線網(wǎng)；D.答案A,B,C都不對.二.判斷題（2X10=20分）精品好文檔，推薦學(xué)習(xí)交流1.向量函數(shù)尸=rG)滿足。QrQr*))=0,則必有一常向量a，滿足a-Lr(t).()2.如果曲線C:r=r(t)的所有向徑共面，則C就在通過原點的一個平面上.()3.曲線C:r=r(s)與曲線8:r=a。在s=sQ處有相同的曲率)曲率是常數(shù)2的曲線一定是半徑為1的圓.2()設(shè)S是平面，則S上每一點，都有K1=K2=0.()球面上的圓的p指向球心.()可展曲面上沒有雙曲點.()高斯曲率K三0的曲面一定是某一條曲線的切線曲面.()若曲面S與一個半徑為R的球面沿一個半徑為r(0vr<Q的圓C相切，則S在C上每一點，沿著C的方向，都有，二r.()兩個常高斯曲率曲面一定等距等價.()三.計算題(10X4=40分)1.求曲線C：r={Acost,魚-sint,!2cost}的曲率131313和撓率.2.設(shè)曲線C:r=^cost,asint,If(t)dt:是平面曲線，求f⑴.2.3.求圓柱面r=^Rcosu,Rsinu,v｝在(u。,v0)處的切平面方程,并說明，沿任意一條直母線，只有一個切平面.4.求曲面S:r=於+v)b(u-v),uy}^^>0,b>0)的高斯曲率.證明題（10X2=20分）.證明：如果一條曲線C:r=r（s）（s是弧長參數(shù)）的所有從切面都經(jīng)過一個固定點，則C的撓率和曲率之比是s的一次函數(shù)..G證明：可展曲面上的直母線是曲率線.（2）證明：如果可展曲面S上有兩族直母線，則，是平面.《微分幾何》測試題（三）填空題：（每小題2分，共20分）產(chǎn)⑺具有固定方向的充要條件是。撓率的曲線其副法向量是常矢。曲線r=r（t）在p（t0）點的主法向量是甘，則曲線在p點的從切面方程是如果一曲線的主法線與一固定方向垂直，則這曲線的副法線與這固定方向5.曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是。曲面上一曲線，如果它每一點的切方向都是主方向，則稱該曲線為僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝137.半徑為R的球面的高斯曲率K=.一個曲面為可展曲面的充分必要條件是它的恒等于零。曲面上坐標(biāo)網(wǎng)是平面上極坐標(biāo)網(wǎng)在曲面上的推廣。10.在可展曲面上，測地三角形的三內(nèi)角之和兀。選擇填空題：(每小題3分，共30分)1、圓柱螺線x=cost,y=sint,z=t在點(1,0,0)的切線為ax-1yzA、=—=—B、y+z―0011CxT_^zn一_0c、n、y—z—01002、曲面的三個基本形式之間的關(guān)系為A、III+2HII+KI=0B、III-2HII+KI=0C、III-2KII+HI=0D、III-2HII-KI=03、在直紋面r—a(u)+vb(u)(b(u)為單位向量)中，導(dǎo)線a(u)是腰曲線的充要條件是。a、a?b-0b、a//bc、a-b—0d、a//b4、曲面的坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是。A、M=0B、L=N=0C、M=F=0D、F=05、下列曲面中不是可展曲面。A、柱面B、錐面C、一條曲線的切線曲面D、正螺面6、曲面上，—不是曲面的內(nèi)蘊(yùn)量。A、兩曲線的夾角B、曲線的弧長C、曲面域的面積D、在一點沿一方向的法曲率7、曲面r=r(^,t)，n是其單位法向量，下列第二類基本量的計算中，—是不正確的。A、N=r-nB、N=-r-nC、N=r-nD、N=n-rtttttttt9、球面r=(Rcos0cos中,Rcos0sin中,Rsin0)的坐標(biāo)曲線構(gòu)不成。A、正交的漸近網(wǎng)B、共軛網(wǎng)C、曲率線網(wǎng)D、半測地坐標(biāo)網(wǎng)10、曲線r=r(s)在P點的基本向量是&,任,Y,曲率為k(s)，撓率為"S)，則T(S)=。??A、邸B、8廠C、8普D、-卻計算題：(1、2題各10分，3題8分，共26分)1、求螺線X=cost,y=sint,z=t上點(1,0,0)的曲率和撓率。2、確定螺旋面x=ucosv,y=usinv,z=cv上的曲率線和在任一點的高斯曲率。證明題：(每小題8分，共24分)1.證明：如果曲線的所有密切平面垂直于某個固定直線，那么它是平面曲線?！段⒎謳缀巍窚y試題（四）一、填空題（每小題2分，共20分）1、變矢r（t）滿足rx尸=0的充要條件是。2、曲線（C）上P點處的三個基本向量為a、B、y，則過P點由B和Iy確定的平面叫曲線（C）在P點的。3、若曲線在各點的曲率，則曲線是直線。4、曲線穿過和密切平面，但從不穿過。5、一般螺旋線的切線和一固定方向成固定角，而它的主法線與這個固定方向。6、兩個曲面間的變換是的充要條件是適當(dāng)選擇參數(shù)后，它們有相同的第一基本形式。7、曲面在非直線的漸近曲線上每點處的切平面一定是漸近曲線的9、曲面的高斯曲率為K，測地曲率為可kg，G是單連通曲面域，G的邊界6G是一條光滑閉曲線，則hKd°+=2兀。G二選擇題（每小題3分，共30分）

11、若曲面S上曲線（C）是平面曲線，則一定有恒等于零。A、法曲率knC、測地曲率kgB、撓率TD、曲率kA、平面曲線B、曲率線C、測地線D、漸近線13在橢圓拋物面上，高斯曲率KA、大于零B、小于零C、等于零D、不確定*F14、設(shè)a、p、y是曲線（C）在一點的三個基本向量(k,T分別表示曲線在該點的曲率和撓率）A、kaB、t。C、—TpD、Ta15B、撓率TD、曲率kA、平面曲線B、曲率線C、測地線D、漸近線13在橢圓拋物面上，高斯曲率KA、大于零B、小于零C、等于零D、不確定*F14、設(shè)a、p、y是曲線（C）在一點的三個基本向量(k,T分別表示曲線在該點的曲率和撓率）A、kaB、t。C、—TpD、Ta15、曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng)的充分必要條件是A、F=0B、M=0C、F=M=D、L=N=016、曲面上的直線不一定是A、漸近線B、曲率線C、測地線D、法截線19、下列直紋曲面中,是可展曲面。A、錐面B、單葉雙曲面頃雙曲拋物面D、撓曲線的主法線22、求曲線r（t）=（a（1-sint）,a（1-cost）,bt｝的曲率和撓率。^123、證明：如果一條曲線的所有法平面包含常向量e，那么這條曲線是直線或平面曲線。24、求拋物面z=a（X2+y2）在（0,0）點的高斯曲率和平均曲率。25、證明撓曲線（C）的主法線曲面不是可展曲面?！段⒎謳缀巍吩囶}（五）一?填空題：（每小題2分，共20分）變矢％）具有固定方向的充要條件是。設(shè)曲線（C）的參數(shù)表示是r=r（w,s是弧長，則否=/叫作曲線（0的。如果曲線在各點的曲率，則曲線是直線。曲線r=r（^）在p點有撓率，=3,則曲線r=r（。在p點附近的形狀一般螺線的切線和一固定方向成固定角，而它的副法線與這個固定方向。兩個曲面之間的變換是的充要條件是適當(dāng)選擇參數(shù)后，它們有相同的第I基本形式。曲面的第一類基本量是E、F、G,第二類基本量是L、M、N。則曲面上曲率線的微分方程是。在曲面上非直線的測地線除了測地曲率為零的點以外，曲線的重合于曲面的法線。曲面上一點（非臍點）的主曲率是曲面在這點所有方向的法曲率中的。1。?曲面上連接兩點P、Q的是曲面上連接P、Q的曲線中弧長最短的曲線。二.選擇填空題：（每小題3分，共30分）11、若曲面S上曲線（C）恒有法曲率K=0,則曲線一定是曲面上的nA、漸近曲線B、平面曲線C、曲率線D、測地線12、在圓柱面上，圓柱螺線是。A、平面曲線B、曲率線C、測地線D、漸近線13、在曲面上的雙曲點，LN-M2。A、大于零B、小于零C、等于零D、不確定14、設(shè)a,p,y是曲線(C)在一點的三個基本向量，則可=。(k具分別表示曲線在該點的曲率和撓率)A、kaB、xpC、-邙D、ia15、正螺面r={ucosv,usinv,bv}的第二基本形式是。Acb,,n