廣東汕頭潮陽區(qū)2023屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．已知向量，，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.2．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）①與②與③與④與A.②④ B.③④C.②③ D.①④3．已知，且α是第四象限角，那么的值是（）A. B.－C.± D.4．下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A. B.C. D.5．若,,,則大小關(guān)系為A. B.C. D.6．下列各題中，p是q的充要條件的是（）A.p：，q：B.p：，q：C.p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分D.p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形三邊成比例7．已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（）A. B.C.8 D.38．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：，且，當(dāng)時(shí)，，則等于A. B.C.2 D.49．已知向量，滿足，，且與夾角為，則（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，且在內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.11．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則12A.AB B.CDC.CB D.AD12．已知函數(shù)對于任意兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．函數(shù)的最小值為______.14．已知圓及直線，當(dāng)直線被圓截得的弦長為時(shí)，的值等于________.15．已知，，與的夾角為60°，則________.16．已知冪函數(shù)圖像過點(diǎn)，則該冪函數(shù)的解析式是______________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知不等式的解集為（1）求的值；（2）求的值18．如圖，射線、分別與軸正半軸成和角，過點(diǎn)作直線分別交、于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)恰好落在直線上時(shí)，求直線的方程19．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，D為AC中點(diǎn)（1）求證：直線AB1∥平面BC1D；（2）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A120．已知且滿足不等式.（1）求不等式；（2）若函數(shù)在區(qū)間有最小值為，求實(shí)數(shù)值21．為落實(shí)國家“精準(zhǔn)扶貧”政策，某企業(yè)于年在其扶貧基地投入萬元研發(fā)資金，用于養(yǎng)殖業(yè)發(fā)展，并計(jì)劃今后年內(nèi)在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長（1）寫出第年（年為第一年）該企業(yè)投入的資金數(shù)（萬元）與的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的定義域；（2）該企業(yè)從第幾年開始（年為第一年），每年投入的資金數(shù)將超過萬元？（參考數(shù)據(jù)：，，，，）22．已知函數(shù)，.（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求關(guān)于的不等式的解集.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、C【解析】結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求出，然后代入模長公式分別求出和，進(jìn)而根據(jù)平面向量的夾角公式即可求出夾角的余弦值，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】，，，，從而，且，記與的夾角為，則又，，故選：2、B【解析】利用函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系相同即可求解.【詳解】對于①，與，定義域均為，但對應(yīng),兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，故①不是同一函數(shù)；對于②，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，故②不是同一函?shù)；對于③，與定義域均為，函數(shù)表達(dá)式可化簡為，故③兩函數(shù)為同一函數(shù)；對于④，根據(jù)函數(shù)的概念，與，定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域均相同，故④為同一函數(shù)，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的三要素，函數(shù)相同只需函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系相同，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】由誘導(dǎo)公式對已知式子和所求式子進(jìn)行化簡即可求解.【詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式：，所以，，故.故選：B【點(diǎn)睛】誘導(dǎo)公式的記憶方法：奇變偶不變，符號看象限.4、C【解析】確定定義域相同，對應(yīng)法則相同即可判斷【詳解】解：定義域?yàn)椋珹中定義域?yàn)?，定義域不同，錯(cuò)誤；B中化簡為，對應(yīng)關(guān)系不同，錯(cuò)誤；C中定義域?yàn)?，化簡為，正確；D中定義域?yàn)?，定義域不同，錯(cuò)誤；故選：C5、D【解析】取中間值0和1分別與這三個(gè)數(shù)比較大小，進(jìn)而得出結(jié)論【詳解】解：，，，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查取中間值法比較數(shù)的大小，屬于基礎(chǔ)題6、D【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，當(dāng)時(shí)，滿足，所以充分性不成立，反之：當(dāng)時(shí)，可得，所以必要性成立，所以是的必要不充分條件，不符合題意；對于B中，當(dāng)時(shí)，可得，即充分性成立；反之：當(dāng)時(shí)，可得，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件，不符合題意；對于C中，若四邊形是正方形，可得四邊形的對角線互相垂直且平分，即充分性成立；反之：若四邊形的對角線互相垂直且平分，但四邊形不一定是正方形，即必要性不成立，所以是充分不必要條件，不符合題意；對于D中，若兩個(gè)三角形相似，可得兩個(gè)三角形三邊成比例，即充分性成立；反之：若兩個(gè)三角形三邊成比例，可得兩個(gè)三角形相似，即必要性成立，所以是的充分必要條件，符合題意.故選：D.7、A【解析】根據(jù)題中條件，得到，展開后根據(jù)基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.故選：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.8、D【解析】由得，又由得函數(shù)為偶函數(shù)，所以選D9、D【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)展開可得，再代入向量的數(shù)量積公式即可得解.【詳解】根據(jù)向量運(yùn)算性質(zhì)，，故選：D10、C【解析】由，即，分別作出函數(shù)和的圖象如圖，由圖象可知表示過定點(diǎn)的直線，當(dāng)過時(shí)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)過時(shí)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以在內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C.11、D【解析】由線性運(yùn)算的加法法則即可求解.【詳解】如圖，設(shè)AC,BD交于點(diǎn)O，則12故選：D12、B【解析】由題可得函數(shù)為減函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可求解參數(shù)的范圍.【詳解】由題可得，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若單減，則對稱軸，得：,當(dāng)時(shí)，若單減，則，在分界點(diǎn)處，應(yīng)滿足，即，綜上：故選：B二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】先根據(jù)二倍角余弦公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】所以令，則因此當(dāng)時(shí)，取最小值，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二倍角余弦公式以及二次函數(shù)最值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】結(jié)合題意，得到圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，計(jì)算a，即可【詳解】結(jié)合題意可知圓心到直線的距離，所以結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得，結(jié)合，所以【點(diǎn)睛】考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)到直線距離公式，難度中等15、10【解析】由數(shù)量積的定義直接計(jì)算.【詳解】.故答案為：10.16、【解析】設(shè)出冪函數(shù)的函數(shù)表達(dá)，然后代點(diǎn)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，所以函?shù)的解析式是故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及化弦為切求解即可；（2）由商數(shù)關(guān)系化弦為切求解即可.【小問1詳解】依題意可知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以故【小問2詳解】18、【解析】先求出、所在的直線方程，根據(jù)直線方程分別設(shè)A、B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出的中點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用點(diǎn)C在直線上以及A、B、P三點(diǎn)共線列關(guān)系式解出B點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線AB的斜率，然后代入點(diǎn)斜式方程化簡即可.【詳解】解：由題意可得，，所以直線，設(shè)，，所以的中點(diǎn)由點(diǎn)在上，且、、三點(diǎn)共線得解得，所以又，所以所以，即直線的方程為【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，則AB的中點(diǎn)為；（2）直線的點(diǎn)斜式方程：.19、（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，可得為中位線，，結(jié)合線面平行的判定定理，得平面；（2）由底面，得,正三角形中，中線，結(jié)合線面垂直的判定定理，得平面，最后由面面垂直的判定定理，證出平面平面.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為的中點(diǎn)為中點(diǎn)，得為中位線，，平面平面，∴直線平面；（2）證明：底面，，∵底面正三角形，是中點(diǎn)，平面，平面，∴平面平面【點(diǎn)睛】本題考查了直三棱柱的性質(zhì)，線面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，，屬于中檔題．證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.20、（1）；（2）.【解析】（1）運(yùn)用指數(shù)不等式的解法，可得的范圍，再由對數(shù)不等式的解法，可得解集；（2）由題意可得函數(shù)在遞減，可得最小值，解方程可得的值試題解析：（1）∵22a+1＞25a-2.∴2a+1＞5a-2，即3a＜3∴a＜1，∵a＞0，a＜1∴0＜a＜1.∵loga（3x+1）＜loga（7-5x）.∴等價(jià)為，即，∴，即不等式的解集為（，）.（2）∵0＜a＜1∴函數(shù)y=loga（2x-1）在區(qū)間[3，6]上為減函數(shù)，∴當(dāng)x=6時(shí)，y有最小值為-2，即loga11=-2，∴a-2==11，解得a=.21、（1），其定義域?yàn)椋?）第年【解析】（1）由題設(shè)，應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型，寫出前2年的研發(fā)資金，然后進(jìn)一部確定函數(shù)解析式及定義域；（2）由（1）得，然后利用對數(shù)運(yùn)算求解集.【小問1詳解】第一年投入的資金數(shù)為萬元，第二年投入的資金數(shù)為萬元，第x年（年為第一年）該企業(yè)投入的資金數(shù)（萬元）與的函數(shù)關(guān)系式為，其定義域?yàn)椤拘?詳解】由（1）得，，即，因?yàn)?，所以即該企業(yè)從第年，就是從年開始，每年投入的資金數(shù)將超過萬元22、（