直線與橢圓解答題

剖析幾何解答方法x2y21(ab0)上的點(diǎn)到其兩焦點(diǎn)距離之和為4，且過點(diǎn)(0,1)．1.已知橢圓b2a2（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為k的直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓交于點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1x2y1y20，求△AOB的面積.a2b2（Ⅰ）依題意有a2，b1．2故橢圓方程為xy21．５分4（Ⅱ）因?yàn)橹本€AB過右焦點(diǎn)(3,0)，設(shè)直線AB的方程為yk(x3).x2y21，聯(lián)立方程組4yk(x3).消去y并整理得(4k21)x283k2x12k240．（*）---------------6故x1x283k212k24．--------------------------------7，x1x24k214k21y1y2k(x13)k(x23)k2．----------------------------------84k21x1x2y1y20，即x1x2y1y20．又a2b24所以3k21k210，可得k21，即k2．-------------104k214k222方程（*）可化為3x243x20，由AB1k2x1x2，可得AB2．---------------11原點(diǎn)O到直線AB的距離d3k1.----------------12k21所以SAOB1ABd1．13分22.已知橢圓Gx2y21(ab0)的離心率為1，過橢圓G右焦點(diǎn)F的直線m:x1與橢圓G交于:b2a22點(diǎn)M（點(diǎn)M在第一象限）.（Ⅰ）求橢圓G的方程；（Ⅱ）已知A為橢圓G的左極點(diǎn)，平行于AM的直線l與橢圓訂交于B,C兩點(diǎn).判斷直線MB,MC可否關(guān)于直線m對稱，并說明原由.解：（Ⅰ）由題意得c1,---------------------------------------1分由c12,------------------------------------------2分a可得a2所以b2a2c23,-------------------------------------------3分所以橢圓的方程為x2y21.---------------------------------------------4分43（Ⅱ）由題意可得點(diǎn)A(2,0),M(1,3),------------------------------------------6分2所以由題意可設(shè)直線l:y1xn,n1.------------------------------------------7分2設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，2y2431,22由得xnxn30.1xn2由題意可得n24(n23)123n20,即n(2,2)且n1.-------------------------8分x1x2n,x1x2n23.-------------------------------------9分y13y2322因?yàn)閗MBkMCx21x11

-----------------------------------10分13132x1n22x2n2n1n1x11x211x11x211(n1)(x1x22)x1x2(x1x2)11(n1)(n2)0，---------------------------------13分n2n2所以直線MB,MC關(guān)于直線m對稱.---------------------------------14分x2y21(ab0)的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)直線AB經(jīng)3.如圖，橢圓b2a2過橢圓的一個(gè)極點(diǎn)時(shí)，其傾斜角恰為60．（Ⅰ）求該橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D,E兩點(diǎn)．記△GFD的面積為S1，△OED（O為原點(diǎn)）的面積為S2，求S1的取值范圍．S2（Ⅰ）解：依題意，當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓的極點(diǎn)(0,b)時(shí)，其傾斜角為60．1分設(shè)F(c,0)，則btan603．2分c將b3c代入a2b2c2，解得a2c．所以橢圓的離心率為c1．e2a（Ⅱ）解：由（Ⅰ），橢圓的方程可設(shè)為x2y21．4c23c2設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)．

3分4分5分依題意，直線AB不能夠與x,y軸垂直，故設(shè)直線AB的方程為yk(xc)，將其代入3x24y212c2，整理得(4k23)x28ck2x4k2c212c20．7分則x1x28ck2，y1y2k(x1x22c)6ck，G(4ck2,3ck)．4k234k234k234k238分因?yàn)镚DAB，3ckck24k23k1xD4ck24k23xD4k23GFDOEDS1|GD|2(4ck2ck23)2(3ck3)24k234k24k2S2|OD|2ck2()24k23(3ck2)2(3ck)29c2k49c2k2999(ck2)2c2k4k2S1(9,)S2

91113144.已知橢圓C：x2y2321（ab0）的離心率e，B0，b的直線的距離2，原點(diǎn)到過點(diǎn)Aa，0ab2是45．5求橢圓C的方程；(Ⅱ)若是直線ykx1（k0）交橢圓C于不同樣的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且E，F(xiàn)都在以B為圓心的圓上，求k的值．解:(Ⅰ)因?yàn)閏3，a2b2c2，------------------------------------------------1a2所以a2b．-----------------------------------------------2因?yàn)樵c(diǎn)到直線AB：xy1的距離dabb245，------------3aba25解得a4，b24x2y25故所求橢圓C的方程為41．-------------------------------------16(Ⅱ)由題意ykx1,x2y2消去y，整理得1641(14k2)x28kx120．--------------------------------------------------7可知0．設(shè)E(x2,y2)，F(xiàn)(x3,y3)，EF的中點(diǎn)是M(xM,yM)，則xMx2x34k，yMkxM11．----------------------------8214k214k2所以kBMyM21．-----------------------------------------------9xMk所以xMkyM2k0．-------------------------------------------10即4kk2k0．--------------------------------------114k21214k又因?yàn)閗0，所以k21．所以k213分．845.A,BW:yx2A(1,1)ABkO.WABkCWABACB,CWDOD.(yx2(0,1).14ABy1k(x1)2x0y1kABy(0,1k).3WAB11k435k.4B(x1,x12)C(x2,x22)D(x3,y3)y1k(x1),kxk10x2,yx2y1x1kx1k1.7ACy111)x211.8(xkkyx2y2xyx2B2x1BDyx122x1(xx1)y2x1