選修2-2課件112導數的概念

1.1.2導數的概念1.1.2導數的概念1自由落體運動中，物體在不同時刻的速度是不一樣的。平均速度不一定能反映物體在某一時刻的運動情況。物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。自由落體運動中，物體在不同時刻的平均速度不一定能反映物體在某2例1、自由落體運動的運動方程為s=-gt2，計算t從3s到3.1s，3.01s，3.001s各段時間內的平均速度（位移的單位為m）。12解：設在[3，3.1]內的平均速度為v1，則△t1=3.1-3=0.1(s)△s1=s(3.1)-s(3)=0.5g×3.12-0.5g×32=0.305g(m)例1、自由落體運動的運動方程為s=-gt2，1解：設在[33所以同理所以同理4例1是計算了[3，3+△t]當t=0.1,t=0.01,t=0.001時的平均速度。上面是計算了△t>0時的情況下面再來計算△t<0時的情況解：設在[2.9，3]內的平均速度為v4，則△t1=3-2.9=0.1(s)△s1=s(3)-s(2.9)=0.5g×32-0.5g×2.92=0.295g(m)例1是計算了[3，3+△t]當t=0.1,t=0.01,t=5所以設在[2.99，3]內的平均速度為v5，則設在[2.999，3]內的平均速度為v6，則所以設在[2.99，3]內的平均速度為v5，則設在[2.996當△t→0時，物體的速度趨近于一個確定的值3g△t>0

v△t<0v0.13.05g-0.12.95g0.013.005g-0.012.995g0.0013.0005g-0.0012.9995g--各種情況的平均速度當△t→0時，△t>0v△t<0v07在t=3s這一時刻的瞬時速度等于在3s到(3+△t)s這段時間內的平均速度當△t→0的極限，在t=3s這一時刻的瞬時速度等于8設物體的運動方程是s=s(t),物體在時刻t的瞬時速度為v,一般結論就是物體在t到t+△t這段時間內,當△t→0時平均速度的極限，即設物體的運動方程是s=s(t),一般結論9讓我們再來看一個例子讓我們再來看一個例子10選修2-2課件112導數的概念11P相切相交再來一次例２、P相切相交再來一次例２、12選修2-2課件112導數的概念13QPQQT再來一次QPQQT再來一次14設曲線C是函數y=f(x)的圖象，在曲線C上取一點P及P點鄰近的任一點Q(x0+△x,y0+△y),過P,Q兩點作割線，則直線PQ的斜率為上面我們研究了切線的斜率問題,可以將以上的過程概括如下：設曲線C是函數y=f(x)的圖象，上面我們研究了切線的15當直線PQ轉動時，Q逐漸向P靠近，也即△x變小當△x→0時，PQ無限靠近PT因此：當直線PQ轉動時，Q逐漸向P靠近，當△x→0時，PQ無限靠近16一般地，函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是一般地，17上式稱為函數y=f(x)在x=x0處的導數記作：或即上式稱為函數y=f(x)在x=x0處的導數記作：或18注意：1、函數應在點的附近有定義，否則導數不存在。

2、在定義導數的極限式中，△x趨近于0可正、可負，但不為0，而△y可能為0。3、導數是一個局部概念，它只與函數在x0及其附近的函數值有關，與△x無關。注意：1、函數應在點的附近有定義，2、在定義導數的極限式中，194、若極限不存在，則稱函數在點x0處不可導。4、若極限不存在20物體的運動方程s=s(t)在t0處的導數即在t0處的瞬時速度vt0函數y=f(x)在x0處的導數即曲線在x0處的切線斜率．物體的運動方程s=s(t)在t0處的導數函數y=f(x)在21導數可以描述任何事物的瞬時變化率．瞬時變化率除了瞬時速度，切線的斜率還有：點密度，國內生產總值(GDP)的增長率，經濟學上講的一切邊際量等．導數可以描述任何事物的瞬時變化率．瞬時變化率除了瞬時速度，切22例1、將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第xh時，原油的溫度(單位：℃)為f(x)=x2-7x+15(0x8).計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬進變化率，并說明它們的意義。解：第2h和第6h時，原油溫度的瞬進變化率就是f'(2)和f'(6)根據導數定義：例1、將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油23所以，同理可得f

'(6)=5f(x)=x2-7x+15所以，同理可得f'(6)=5f(x)=x2-24

f

'(6)=5說明在第6h附近，原油溫度大約以5℃/h的速度上升；說明在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速度下降；f'(6)=5說明在第6h附近，原油溫度說明25練習1、以初速度為v0(v0>0)作豎直上拋運動的物體，t秒時的高度為h(t)=v0t--gt2,求物體在時刻t0時的瞬時速度。12練習1、以初速度為v0(v0>0)作豎直上拋126所以物體在時刻t0處的瞬時速度為v0-gt0.所以27由導數的定義可知,求函數y=f(x)在點x0處的導數的方法是：(2)求平均變化率(3)取極限,得導數(1)求函數的增量由導數的定義可知,求函數y=f(x)在(2)求平均變化率(328練習2、質點按規(guī)律s(t)=at2+1做直線運動(位移單位：m,時間單位：s).若質點在t=2時的瞬時速度為8m/s,求常數a的值。a=2練習2、質點按規(guī)律s(t)=at2+1做直線運動a=229由導數的定義可知,求函數y=f(x)在點x0處的導數的方法是：(1)求函數的增量(2)求平均變化率(3)取極限,得導數小結:函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率的定義。由導數的定義可知,求函數y=f(x)在小結:函數y=f(x301.1.2導數的概念1.1.2導數的概念31自由落體運動中，物體在不同時刻的速度是不一樣的。平均速度不一定能反映物體在某一時刻的運動情況。物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。自由落體運動中，物體在不同時刻的平均速度不一定能反映物體在某32例1、自由落體運動的運動方程為s=-gt2，計算t從3s到3.1s，3.01s，3.001s各段時間內的平均速度（位移的單位為m）。12解：設在[3，3.1]內的平均速度為v1，則△t1=3.1-3=0.1(s)△s1=s(3.1)-s(3)=0.5g×3.12-0.5g×32=0.305g(m)例1、自由落體運動的運動方程為s=-gt2，1解：設在[333所以同理所以同理34例1是計算了[3，3+△t]當t=0.1,t=0.01,t=0.001時的平均速度。上面是計算了△t>0時的情況下面再來計算△t<0時的情況解：設在[2.9，3]內的平均速度為v4，則△t1=3-2.9=0.1(s)△s1=s(3)-s(2.9)=0.5g×32-0.5g×2.92=0.295g(m)例1是計算了[3，3+△t]當t=0.1,t=0.01,t=35所以設在[2.99，3]內的平均速度為v5，則設在[2.999，3]內的平均速度為v6，則所以設在[2.99，3]內的平均速度為v5，則設在[2.9936當△t→0時，物體的速度趨近于一個確定的值3g△t>0

v△t<0v0.13.05g-0.12.95g0.013.005g-0.012.995g0.0013.0005g-0.0012.9995g--各種情況的平均速度當△t→0時，△t>0v△t<0v037在t=3s這一時刻的瞬時速度等于在3s到(3+△t)s這段時間內的平均速度當△t→0的極限，在t=3s這一時刻的瞬時速度等于38設物體的運動方程是s=s(t),物體在時刻t的瞬時速度為v,一般結論就是物體在t到t+△t這段時間內,當△t→0時平均速度的極限，即設物體的運動方程是s=s(t),一般結論39讓我們再來看一個例子讓我們再來看一個例子40選修2-2課件112導數的概念41P相切相交再來一次例２、P相切相交再來一次例２、42選修2-2課件112導數的概念43QPQQT再來一次QPQQT再來一次44設曲線C是函數y=f(x)的圖象，在曲線C上取一點P及P點鄰近的任一點Q(x0+△x,y0+△y),過P,Q兩點作割線，則直線PQ的斜率為上面我們研究了切線的斜率問題,可以將以上的過程概括如下：設曲線C是函數y=f(x)的圖象，上面我們研究了切線的45當直線PQ轉動時，Q逐漸向P靠近，也即△x變小當△x→0時，PQ無限靠近PT因此：當直線PQ轉動時，Q逐漸向P靠近，當△x→0時，PQ無限靠近46一般地，函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是一般地，47上式稱為函數y=f(x)在x=x0處的導數記作：或即上式稱為函數y=f(x)在x=x0處的導數記作：或48注意：1、函數應在點的附近有定義，否則導數不存在。

2、在定義導數的極限式中，△x趨近于0可正、可負，但不為0，而△y可能為0。3、導數是一個局部概念，它只與函數在x0及其附近的函數值有關，與△x無關。注意：1、函數應在點的附近有定義，2、在定義導數的極限式中，494、若極限不存在，則稱函數在點x0處不可導。4、若極限不存在50物體的運動方程s=s(t)在t0處的導數即在t0處的瞬時速度vt0函數y=f(x)在x0處的導數即曲線在x0處的切線斜率．物體的運動方程s=s(t)在t0處的導數函數y=f(x)在51導數可以描述任何事物的瞬時變化率．瞬時變化率除了瞬時速度，切線的斜率還有：點密度，國內生產總值(GDP)的增長率，經濟學上講的一切邊際量等．導數可以描述任何事物的瞬時變化率．瞬時變化率除了瞬時速度，切52例1、將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第xh時，原油的溫度(單位：℃)為f(x)=x2-7x+15(0x8).計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬進變化率，并說明它們的意義。解：第2h和第6h時，原油溫度的瞬進變化率就是f'(2)和f'(6)根據導數定義：例1、將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油53所以，同理可得f

'(6)=5f(x)=x2-7x+15所以，同理可得f'(6)=5f(x)=x2-54

f

'(6)=5說明在第6h附近，原油溫度