機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)培訓(xùn)講義課件

機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)※

引言※單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)※計(jì)算固有頻率的能量法※單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)※單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼受迫振動(dòng)※單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)※

結(jié)論與討論機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)※引言※單自由度系統(tǒng)的自由振1

引言

振動(dòng)是一種運(yùn)動(dòng)形態(tài)，是指物體在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。

物理學(xué)知識(shí)的深化和擴(kuò)展－物理學(xué)中研究質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)；工程力學(xué)研究研究系統(tǒng)的振動(dòng)，以及工程構(gòu)件和工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。

振動(dòng)屬于動(dòng)力學(xué)第二類(lèi)問(wèn)題－已知主動(dòng)力求運(yùn)動(dòng)。引言振動(dòng)是一種運(yùn)動(dòng)形態(tài)，是指物體在平2

振動(dòng)問(wèn)題的研究方法－與分析其他動(dòng)力學(xué)問(wèn)題相類(lèi)似：選擇合適的廣義坐標(biāo)；分析運(yùn)動(dòng)；分析受力；選擇合適的動(dòng)力學(xué)定理；建立運(yùn)動(dòng)微分方程；求解運(yùn)動(dòng)微分方程，利用初始條件確定積分常數(shù)。振動(dòng)問(wèn)題的研究方法－與分析其他動(dòng)選擇合適的廣義3

振動(dòng)問(wèn)題的研究方法－與分析其他動(dòng)力學(xué)問(wèn)題不同的是：一般情形下，都選擇平衡位置作為廣義坐標(biāo)的原點(diǎn)。

研究振動(dòng)問(wèn)題所用的動(dòng)力學(xué)定理：矢量動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)中的－動(dòng)量定理；動(dòng)量矩定理；動(dòng)能定理；達(dá)朗貝爾原理。分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)中的－拉格朗日方程。振動(dòng)問(wèn)題的研究方法－與分析其他動(dòng)力學(xué)問(wèn)題不同的是：一4

按激勵(lì)特性劃分：振動(dòng)問(wèn)題的分類(lèi)

自由振動(dòng)－沒(méi)有外部激勵(lì)，或者外部激勵(lì)除去后，系統(tǒng)自身的振動(dòng)。

參激振動(dòng)－激勵(lì)源為系統(tǒng)本身含隨時(shí)間變化的參數(shù)，這種激勵(lì)所引起的振動(dòng)。

自激振動(dòng)－系統(tǒng)由系統(tǒng)本身運(yùn)動(dòng)所誘發(fā)和控制的激勵(lì)下發(fā)生的振動(dòng)。

受迫振動(dòng)－系統(tǒng)在作為時(shí)間函數(shù)的外部激勵(lì)下發(fā)生的振動(dòng)，這種外部激勵(lì)不受系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響。按激勵(lì)特性劃分：振動(dòng)問(wèn)題的分類(lèi)自由振5

按系統(tǒng)特性或運(yùn)動(dòng)微分方程類(lèi)型劃分：

線性振動(dòng)－系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程的振動(dòng)。

非線性振動(dòng)－系統(tǒng)的剛度呈非線性特性時(shí)，將得到非線性運(yùn)動(dòng)微分方程，這種系統(tǒng)的振動(dòng)稱(chēng)為非線性振動(dòng)。

按系統(tǒng)的自由度劃分：

單自由度振動(dòng)－一個(gè)自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。

多自由度振動(dòng)－兩個(gè)或兩個(gè)以上自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。

連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)－連續(xù)彈性體的振動(dòng)。這種系統(tǒng)具有無(wú)窮多個(gè)自由度。按系統(tǒng)特性或運(yùn)動(dòng)微分方程類(lèi)型劃分：線性振動(dòng)－6§19-1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)l0mkkxOxl0stFW1.自由振動(dòng)微分方程l0——彈簧原長(zhǎng)；k——彈簧剛性系數(shù)；st——彈簧的靜變形；取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，x向下為正，則有：§19-1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)l0mkkxOxl07A——振幅；n——固有頻率；（n+）——相位；

——初相位。A——振幅；8單自由度線性系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程物理學(xué)基礎(chǔ)的擴(kuò)展這一方程，可以擴(kuò)展為廣義坐標(biāo)的形式單自由度線性系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程物理學(xué)基礎(chǔ)的擴(kuò)9機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)培訓(xùn)講義課件10例題1mv提升重物系統(tǒng)中，鋼絲繩的橫截面積A＝2.89×10－4m2，材料的彈性模量E＝200GPa。重物的質(zhì)量m＝6000kg，以勻速v＝0.25m/s下降。當(dāng)重物下降到l＝25m

時(shí)，鋼絲繩上端突然被卡住。l求：（1）重物的振動(dòng)規(guī)律；（2）鋼絲繩承受的最大張力。

解：鋼絲繩－重物系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為彈簧－物塊系統(tǒng),彈簧的剛度為例題1mv提升重物系統(tǒng)中，鋼絲繩的橫截l求：（111mk靜平衡位置Ox設(shè)鋼絲繩被卡住的瞬時(shí)t＝0，這時(shí)重物的位置為初始平衡位置；以重物在鉛垂方向的位移x作為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的振動(dòng)方程為方程的解為利用初始條件求得mk靜平衡位置Ox設(shè)鋼絲繩被卡住的瞬時(shí)t＝0，方程的12mk靜平衡位置OxmxWFT（2）鋼絲繩承受的最大張力。取重物為研究對(duì)象mk靜平衡位置OxmxWFT（2）鋼絲繩承受的最大張力。取重13l固定端均質(zhì)等截面懸臂梁，長(zhǎng)度為l,彎曲剛度為EI。梁的自由端放置一質(zhì)量為m的物塊。若不計(jì)梁的質(zhì)量。試寫(xiě)出梁－物塊系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。例題2mEIl固定端ystOy考察梁和物塊所組成的系統(tǒng)。以物塊鉛垂方向的位移作為廣義坐標(biāo)q=y,坐標(biāo)原點(diǎn)O設(shè)在梁變形后的平衡位置，這一位置與變形前的位置之間的距離，即為物塊靜載作用下的撓度，亦即靜撓度，用yst表示。l固定端均質(zhì)等截面懸臂梁，長(zhǎng)度為l,例題2mEI14分析物塊運(yùn)動(dòng)到任意位置(坐標(biāo)為y)時(shí)，物塊的受力：應(yīng)用牛頓第二定律W=mgF分析物塊運(yùn)動(dòng)到任意位置(坐標(biāo)為y)時(shí)，梁的自由端位移與力之間的關(guān)系EIl固定端F'yystmEIl固定端Oy分析物塊運(yùn)動(dòng)到任意位置(坐標(biāo)為y)時(shí)，物塊的受力：應(yīng)15此即梁－物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程此即梁－物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程16串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度k1k2mgk1mgk21.串聯(lián)串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度k1k2mgk1mgk21.串17k1k2mk1k2mmgF1F22.并聯(lián)k1k2mk1k2mmgF1F22.并聯(lián)18k4k3k2k1m圖示系統(tǒng)中有四根鉛直彈簧，它們的剛度系數(shù)分別為k1、k2、k3、k4且k1=2

k2

=3

k3=4

k4。假設(shè)質(zhì)量為的物塊被限制在光滑鉛直滑道中作平動(dòng)。例題3試求此系統(tǒng)的固有頻率。解：（1）計(jì)算3、4的等效剛度（2）計(jì)算2、3、4的等效剛度k4k3k2k1m圖示系統(tǒng)中有四根鉛直彈簧，19k4k3k2k1m解：（1）計(jì)算3、4的等效剛度（2）計(jì)算2、3、4的等效剛度（3）計(jì)算系統(tǒng)的等效剛度（4）計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率k4k3k2k1m解：（1）計(jì)算3、4的等效剛度（2）計(jì)算220？1mkO在圖中，當(dāng)把彈簧原長(zhǎng)在中點(diǎn)O固定后，系統(tǒng)的固有頻率與原來(lái)的固有頻率的比值為。kkml在圖中，當(dāng)物塊在中點(diǎn)時(shí)其系統(tǒng)的固有頻率為n0，現(xiàn)將物塊改移至距上端處，則其固有頻率=

n0。

？2？1mkO在圖中，當(dāng)把彈簧原長(zhǎng)在中點(diǎn)O固定后，kkml21mkal例題4圖示結(jié)構(gòu)中，桿在水平位置處于平衡，若k、m、a、l

等均為已知。

求：系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率mgF解：取靜平衡位置為其坐標(biāo)原點(diǎn)，由動(dòng)量矩定理，得在靜平衡位置處，有mkal例題4圖示結(jié)構(gòu)中，桿在水平位置處于平22mkalmgF在靜平衡位置處，有mkalmgF在靜平衡位置處，有23§19-2計(jì)算固有頻率的能量法mk靜平衡位置Ox物塊的動(dòng)能為取靜平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)，有在靜平衡位置處，有§19-2計(jì)算固有頻率的能量法mk靜平衡位置Ox物塊的24物塊在平衡位置處，其動(dòng)能最大物塊在偏離平衡位置的極端處，其勢(shì)能最大無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒物塊在平衡位置處，其動(dòng)能最大物塊在偏離平衡位置的極端處，其勢(shì)25mkal解：設(shè)OA桿作自由振動(dòng)時(shí)，其擺角的變化規(guī)律為系統(tǒng)的最大動(dòng)能為系統(tǒng)的最大勢(shì)能為由機(jī)械能守恒定律有例題5由能量法解例題4mkal解：設(shè)OA桿作自由振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的最大動(dòng)能為系統(tǒng)的最26例題6半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體，在半徑為R的剛性圓槽內(nèi)作純滾動(dòng)。求：1、圓柱體的運(yùn)動(dòng)微分方程；2、微振動(dòng)固有頻率。RCO例題6半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)求：2、微振動(dòng)固有27RCO解：取擺角為廣義坐標(biāo)由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知：系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的勢(shì)能拉氏函數(shù)為RCO解：取擺角為廣義坐標(biāo)由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知：系統(tǒng)的動(dòng)能系28RCORCO29RCORCO30RCO例題7由能量法求固有頻率解：設(shè)擺角的變化規(guī)律為系統(tǒng)的最大動(dòng)能為取平衡位置處為零勢(shì)能點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢(shì)能為RCO例題7由能量法求固有頻率解：設(shè)擺角的變化規(guī)31RCO由機(jī)械能守恒定律有RCO由機(jī)械能守恒定律有32§19-3單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動(dòng)

阻尼－系統(tǒng)中存在的各種阻力：干摩擦力，潤(rùn)滑表面阻力，液體或氣體等介質(zhì)的阻力、材料內(nèi)部的阻力。物體運(yùn)動(dòng)沿潤(rùn)滑表面的阻力與速度的關(guān)系C－粘性阻尼系數(shù)或粘阻系數(shù)1.阻尼§19-3單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動(dòng)阻尼－系統(tǒng)332.振動(dòng)微分方程mkmcOxFkFcv取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，在建立此系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程時(shí)，可以不再計(jì)入重力的影響。物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為2.振動(dòng)微分方程mkmcOxFkFcv取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)34本征方程本征值本征值與運(yùn)動(dòng)微分方程的通解的形式與阻尼比有關(guān)。設(shè)其解為其通解為本征方程本征值本征值與運(yùn)動(dòng)微分方程的通解的形式與阻尼比有關(guān)。353.小阻尼情形當(dāng)n<

n時(shí)，阻尼系數(shù)，這時(shí)阻尼較小，稱(chēng)為小阻尼情形。其兩個(gè)根為共軛復(fù)數(shù)，即：其方程的解為利用初始條件求得或3.小阻尼情形當(dāng)n<n時(shí)，阻尼系數(shù)36TdA2A1衰減振動(dòng)的周期：引入阻尼比：得有阻尼自由振動(dòng)和相應(yīng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)間的關(guān)系：TdA2A1衰減振動(dòng)的周期：引入阻尼比：得有阻尼自由振動(dòng)和相37大阻尼(>1)情形臨界阻尼(＝1)情形

這兩種情形下，運(yùn)動(dòng)不再是周期型的，而是按負(fù)指數(shù)衰減>1＝1xOt大阻尼(>1)情形臨界阻尼(＝1)情形這兩種情形38§19-4單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼受迫振動(dòng)km0e受迫振動(dòng)系統(tǒng)在外界激勵(lì)下產(chǎn)生的振動(dòng)。激勵(lì)形式

外界激勵(lì)一般為時(shí)間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。

簡(jiǎn)諧激勵(lì)是最簡(jiǎn)單的激勵(lì)。一般的周期性激勵(lì)可以通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成簡(jiǎn)諧激勵(lì)的疊加?！?9-4單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼受迫振動(dòng)km0e受迫振動(dòng)39FkF1.振動(dòng)微分方程mOxx振動(dòng)微分方程FkF1.振動(dòng)微分方程mOxx振動(dòng)微分方程40微分方程的解為：將x2代入微分方程，得解得微分方程的解為：將x2代入微分方程，得解得412.受迫振動(dòng)的振幅幅頻特性曲線2.受迫振動(dòng)的振幅幅頻特性曲線423.共振現(xiàn)象當(dāng)＝n

時(shí)，激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，振幅在理論上應(yīng)趨于無(wú)窮大，這種現(xiàn)象稱(chēng)為共振。這表明無(wú)阻尼系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)，振幅將隨時(shí)間無(wú)限地增大。3.共振現(xiàn)象當(dāng)＝n時(shí)，激振力頻率等于系統(tǒng)這表明43§19-5單自由度系統(tǒng)有阻尼受迫振動(dòng)FkmcFmOxFkFc

這一微分方程的全解等于齊次方程的全解與非齊次方程的特解之和?！?9-5單自由度系統(tǒng)有阻尼受迫振動(dòng)FkmcFmOxF44有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解代入微分方程，解得有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解代入微分方程，解得45運(yùn)動(dòng)微分方程的通解為：在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的作用下，有阻尼系統(tǒng)的總響應(yīng)由二部分組成：第一部分是衰減振動(dòng)；第二部分是受迫振動(dòng)。引入：運(yùn)動(dòng)微分方程的通解為：在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的作用下，有阻尼系統(tǒng)的總響應(yīng)464748幅頻特性與相頻特性1、＝0的附近區(qū)域(低頻區(qū)或彈性控制區(qū))，

→1，＝0，響應(yīng)與激勵(lì)同相；對(duì)于不同的

值，曲線密集，阻尼影響不大。2、>>1的區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū))，

→0，→

，響應(yīng)與激勵(lì)反相；阻尼影響也不大。幅頻特性與相頻特性1、＝0的附近區(qū)域(低頻區(qū)或49幅頻特性與相頻特性在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)<<1時(shí)，由于阻尼影響不大，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可將有阻尼系統(tǒng)簡(jiǎn)化為無(wú)阻尼系統(tǒng)。幅頻特性與相頻特性在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)50幅頻特性與相頻特性3、＝1的附近區(qū)域(共振區(qū))，

急劇增大并在

＝1略為偏左處有峰值。通常將＝1，即＝n稱(chēng)為共振頻率。阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭。在相頻特性曲線圖上，無(wú)論阻尼大小，＝1時(shí)，總有，＝

/2,這也是共振的重要現(xiàn)象。幅頻特性與相頻特性3、＝1的附近區(qū)域(共振區(qū))，51例題8慣性測(cè)振儀的內(nèi)部安裝有“質(zhì)量(m)－彈簧(k)－阻尼器(c)”系統(tǒng)。測(cè)振儀外殼安置在被測(cè)振動(dòng)的物體上。儀器內(nèi)置質(zhì)量塊相對(duì)于外殼(被測(cè)振動(dòng)的物體)的運(yùn)動(dòng)被轉(zhuǎn)換成電信號(hào)輸出。當(dāng)被測(cè)振動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為xe=asint時(shí)，試分析儀器內(nèi)置質(zhì)量塊相對(duì)于外殼(被測(cè)振動(dòng)的物體)的振動(dòng)。kcm例題8慣性測(cè)振儀的內(nèi)部安裝kcm52

解：在測(cè)振儀外殼上固結(jié)動(dòng)坐標(biāo)系O－xr，系統(tǒng)的牽連運(yùn)動(dòng)為平移。以質(zhì)量塊相對(duì)于儀器外殼(被測(cè)振動(dòng)的物體)的位移xe作為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為非慣性系運(yùn)動(dòng)。應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，在質(zhì)量塊上附加慣性力Fe，建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。kcmFexrOxeO1解：在測(cè)振儀外殼上固kcmFexrOxeO153

解：應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，在質(zhì)量塊上附加慣性力Fe，建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。kcmFexrOxeO1其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為解：應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，在kcmFexrOxe54解：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻特性與相頻特性曲線幅頻特性曲線的特點(diǎn)：

在高頻區(qū)，當(dāng)>>1時(shí)，B/a→1

。因此，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)使測(cè)振儀具有比較低的固有頻率，才能有比較大的

值。

被測(cè)頻率愈高，測(cè)量精度也高；被測(cè)頻率低，測(cè)量精度便低。對(duì)于同一

值，阻尼較大時(shí)，B/a趨近于1。解：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻特性與相頻特性曲線幅頻特性55例題9工作臺(tái)ckmxe已知：m、k、c,xe=asint

試分析：儀器的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

解：假設(shè)觀察者在不動(dòng)的地面上觀察儀器的運(yùn)動(dòng)，儀器在鉛垂方向的位移x作為廣義坐標(biāo)，以平衡位置為廣義坐標(biāo)的原點(diǎn)。儀器的運(yùn)動(dòng)方程為Ox例題9工作臺(tái)ckmxe已知：m、k、c,xe56

激勵(lì)由兩部分組成：一部分是彈簧的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)，其幅值與激勵(lì)頻率無(wú)關(guān)；另一部分是阻尼的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)，其幅值與繳勵(lì)頻率成正比，且相位比彈簧激勵(lì)超前/2。根據(jù)疊加原理，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也由兩部分疊加而成:對(duì)于僅有彈簧的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和滯后相位差激勵(lì)由兩部分組成：一部分是彈簧的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)，其幅值與激57對(duì)于僅有阻尼的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和滯后相位差對(duì)于僅有阻尼的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和滯后相位差58機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)培訓(xùn)講義課件59幅頻特性和相頻特性曲線幅頻特性和相頻特性曲線60本例所研究的實(shí)際上是隔振問(wèn)題－將外界振源盡可能與研究對(duì)象隔離（稱(chēng)為被動(dòng)隔振）。為取得隔振效果，即儀器振幅B小于振源振幅a，應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計(jì)隔振層的剛度k？對(duì)于隔振效果，阻尼大一點(diǎn)好還是小一點(diǎn)好？關(guān)于本例的討論本例所研究的實(shí)際上是隔振問(wèn)題－將外界振源盡關(guān)于本例的61單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系慣性力、阻尼力、彈性恢復(fù)力和激勵(lì)力在一個(gè)周期內(nèi)怎樣作功？又有怎樣的能量關(guān)系呢？無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，既無(wú)能量的損耗又無(wú)外界能量的輸入，一個(gè)周期內(nèi)僅有系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能的轉(zhuǎn)換。有阻尼自由振動(dòng)阻尼不斷耗散能量，而外界又無(wú)能量補(bǔ)充，因此振動(dòng)幅值隨時(shí)間衰減。受迫振動(dòng)單自由度線性系統(tǒng)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系慣62單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系根據(jù)力在dt時(shí)間內(nèi)所作之元功dW=Fvdt當(dāng)力和速度同相位時(shí)，每一時(shí)刻都作正功；而當(dāng)力和速度反相位時(shí)，每一時(shí)刻都作負(fù)功。

阻尼力和速度反相，因此始終作負(fù)功，在一個(gè)周期內(nèi)所作的負(fù)功為單自由度線性系統(tǒng)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系根據(jù)力在d63單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系若力與速度相位相差/2，則力在一個(gè)周期內(nèi)作功等于零。慣性力和彈性恢復(fù)力的相位都與速度相位相差/2，因此，慣性力與彈性恢復(fù)力在一個(gè)周期內(nèi)所作之功都作功等于零。單自由度線性系統(tǒng)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系若64單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系激勵(lì)力超前位移相位，可將其分解為與速度和位移同相位的兩部分。對(duì)于微分方程簡(jiǎn)諧激勵(lì)力第二部分的相位與位移的相位相同，一個(gè)周期內(nèi)作功為零。這樣，激勵(lì)力在一個(gè)周期內(nèi)所作之功為單自由度線性系統(tǒng)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系激65單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系第二部分的相位與位移的相位相同，一個(gè)周期內(nèi)作功為零。這樣，激勵(lì)力在一個(gè)周期內(nèi)所作之功為這表明，穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)一個(gè)周期內(nèi)激勵(lì)力所作之功等于阻尼力耗散的能量。這就可以解釋為什么有阻尼系統(tǒng)受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有一個(gè)穩(wěn)定的振幅。根據(jù)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值的表達(dá)式有單自由度線性系統(tǒng)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系第66單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系因?yàn)樵谝粋€(gè)周期內(nèi)激勵(lì)力所作之功與振幅成正比，而阻尼耗散的能量與振幅平方成正比，當(dāng)振動(dòng)幅值還未達(dá)到穩(wěn)定值B0時(shí)，激勵(lì)力所作之功大于阻尼耗散的能量，振幅將增加。當(dāng)振幅到達(dá)B0時(shí)，激勵(lì)力所作之功與阻尼耗散的能量相等，系統(tǒng)能夠維持等幅振動(dòng)。單自由度線性系統(tǒng)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系因67單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系若由于某種干擾使振幅大于B0時(shí)，阻尼耗散的能量大于激勵(lì)力所作之功，振幅又會(huì)衰減，直至在B0處又維持穩(wěn)定的振幅。單自由度線性系統(tǒng)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系若68

結(jié)論與討論

按激勵(lì)不同，可將振動(dòng)分為自由振動(dòng)、強(qiáng)迫振動(dòng)和自激振動(dòng)等，若按系統(tǒng)特性分類(lèi)，則可分為線性振動(dòng)和非線性振動(dòng)。

關(guān)于振動(dòng)概念

工程力學(xué)將振動(dòng)的概念從物理學(xué)中的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)擴(kuò)展到系統(tǒng)。系統(tǒng)可以是單自由度，也可以是多自由度，乃至無(wú)限多自由度。系統(tǒng)要產(chǎn)生振動(dòng)必須有內(nèi)因和外因：內(nèi)因是系統(tǒng)本身既要有彈性又要有慣性，二者缺一不可。對(duì)有阻尼系統(tǒng)，僅在弱阻尼時(shí)運(yùn)動(dòng)才有振動(dòng)形態(tài)。外因是系統(tǒng)要受到激勵(lì)。結(jié)論與討論按激勵(lì)不同，可將振動(dòng)分為自69

結(jié)論與討論關(guān)于運(yùn)動(dòng)微分方程建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程屬于動(dòng)力學(xué)第二類(lèi)問(wèn)題，即：已知主動(dòng)力求運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。主要過(guò)程與求解動(dòng)力學(xué)其它問(wèn)題相似，但振動(dòng)問(wèn)題還要注意廣義坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇，通常以靜平衡位置作為廣義坐標(biāo)原點(diǎn)。結(jié)論與討論關(guān)于運(yùn)動(dòng)微分方程建立系70

結(jié)論與討論關(guān)于運(yùn)動(dòng)微分方程建立振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程所用的動(dòng)力學(xué)原理

拉格朗日方程－對(duì)于無(wú)阻尼的情形結(jié)論與討論關(guān)于運(yùn)動(dòng)微分方程建立振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)71

結(jié)論與討論關(guān)于運(yùn)動(dòng)微分方程建立振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程所用的動(dòng)力學(xué)原理

拉格朗日方程－對(duì)于有阻尼的情形結(jié)論與討論關(guān)于運(yùn)動(dòng)微分方程建立振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)72

結(jié)論與討論關(guān)于運(yùn)動(dòng)微分方程

動(dòng)量矩定理－對(duì)于有一固定軸，并且繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的系統(tǒng)，特別對(duì)于扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的情形，采用動(dòng)量矩定理更好。JO－系統(tǒng)繞固定軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的代數(shù)和；LO－所有外力對(duì)固定軸O之矩的代數(shù)和。力矩方向

與廣義坐標(biāo)方向相同時(shí)為正，反之為負(fù)。建立振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程所用的動(dòng)力學(xué)原理結(jié)論與討論關(guān)于運(yùn)動(dòng)微分方程動(dòng)量矩定理－對(duì)73

結(jié)論與討論關(guān)于運(yùn)動(dòng)微分方程

機(jī)械能守恒－對(duì)于沒(méi)有能量損耗的保守系統(tǒng)建立振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程所用的動(dòng)力學(xué)原理結(jié)論與討論關(guān)于運(yùn)動(dòng)微分方程機(jī)械能守恒－對(duì)74

結(jié)論與討論有阻尼系統(tǒng)僅在弱阻尼時(shí)才有振動(dòng)形態(tài)，阻尼使自由振動(dòng)頻率略有降低使振幅按指數(shù)衰減，振動(dòng)過(guò)程中有能量耗散。單自由度線性系統(tǒng)自由振動(dòng)要點(diǎn)固有頻率是系統(tǒng)的固有屬性，它僅與系統(tǒng)的等效剛度和等效質(zhì)量有關(guān)。無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率就是固有頻率；振幅和初相位取決于初始條件；振動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有能量的補(bǔ)充或耗散。結(jié)論與討論有阻尼系統(tǒng)僅在弱阻尼時(shí)才有振動(dòng)形態(tài)，75

結(jié)論與討論單自由度線性系統(tǒng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的受迫振動(dòng)要點(diǎn)激勵(lì)引起的穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)，即微分方程的特解。振動(dòng)頻率為激勵(lì)頻率。即使系統(tǒng)有阻尼，振幅也不會(huì)隨時(shí)間衰減。簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)包括三部分：激勵(lì)引起的自由振動(dòng)，頻率也為d，振幅與激勵(lì)有關(guān)。

這兩部分振動(dòng)疊加就是運(yùn)動(dòng)微分方程滿(mǎn)足初始條件的齊次解。對(duì)有阻尼系統(tǒng)，它們的振幅隨時(shí)間衰減。穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)中最重要的是共振區(qū)、彈性區(qū)和慣性區(qū)幅頻特性和相頻特性研究。初始條件引起的自由振動(dòng)，頻率為d，振幅與激勵(lì)無(wú)關(guān)。結(jié)論與討論單自由度線性系統(tǒng)激勵(lì)引起76

結(jié)論與討論單自由度線性系統(tǒng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的受迫振動(dòng)要點(diǎn)

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅是穩(wěn)定的，不會(huì)因受干擾而偏離；無(wú)阻尼系統(tǒng)共振時(shí)，振幅將越來(lái)越大。這些現(xiàn)象都可以由穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系加以解釋。結(jié)論與討論單自由度線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響77

結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)振動(dòng)的概念結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)78

結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)振動(dòng)的概念結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)79

結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)振動(dòng)的概念結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)80

結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)振動(dòng)的概念對(duì)于多自由度系統(tǒng)，固有頻率怎樣定義？多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)有什么特點(diǎn)？多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)是否也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)？結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)對(duì)于多自由度系統(tǒng)81

結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)振動(dòng)的概念

一般情形下，多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)并不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。但在特定條件下可以是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)同步到達(dá)最大偏離位置或同步到達(dá)平衡位置。結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)一般情形下，82謝謝大家返回本章目錄頁(yè)謝謝大家返回本章目錄頁(yè)83機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)※

引言※單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)※計(jì)算固有頻率的能量法※單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)※單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼受迫振動(dòng)※單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)※

結(jié)論與討論機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)※引言※單自由度系統(tǒng)的自由振84

引言

振動(dòng)是一種運(yùn)動(dòng)形態(tài)，是指物體在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。

物理學(xué)知識(shí)的深化和擴(kuò)展－物理學(xué)中研究質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)；工程力學(xué)研究研究系統(tǒng)的振動(dòng)，以及工程構(gòu)件和工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。

振動(dòng)屬于動(dòng)力學(xué)第二類(lèi)問(wèn)題－已知主動(dòng)力求運(yùn)動(dòng)。引言振動(dòng)是一種運(yùn)動(dòng)形態(tài)，是指物體在平85

振動(dòng)問(wèn)題的研究方法－與分析其他動(dòng)力學(xué)問(wèn)題相類(lèi)似：選擇合適的廣義坐標(biāo)；分析運(yùn)動(dòng)；分析受力；選擇合適的動(dòng)力學(xué)定理；建立運(yùn)動(dòng)微分方程；求解運(yùn)動(dòng)微分方程，利用初始條件確定積分常數(shù)。振動(dòng)問(wèn)題的研究方法－與分析其他動(dòng)選擇合適的廣義86

振動(dòng)問(wèn)題的研究方法－與分析其他動(dòng)力學(xué)問(wèn)題不同的是：一般情形下，都選擇平衡位置作為廣義坐標(biāo)的原點(diǎn)。

研究振動(dòng)問(wèn)題所用的動(dòng)力學(xué)定理：矢量動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)中的－動(dòng)量定理；動(dòng)量矩定理；動(dòng)能定理；達(dá)朗貝爾原理。分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)中的－拉格朗日方程。振動(dòng)問(wèn)題的研究方法－與分析其他動(dòng)力學(xué)問(wèn)題不同的是：一87

按激勵(lì)特性劃分：振動(dòng)問(wèn)題的分類(lèi)

自由振動(dòng)－沒(méi)有外部激勵(lì)，或者外部激勵(lì)除去后，系統(tǒng)自身的振動(dòng)。

參激振動(dòng)－激勵(lì)源為系統(tǒng)本身含隨時(shí)間變化的參數(shù)，這種激勵(lì)所引起的振動(dòng)。

自激振動(dòng)－系統(tǒng)由系統(tǒng)本身運(yùn)動(dòng)所誘發(fā)和控制的激勵(lì)下發(fā)生的振動(dòng)。

受迫振動(dòng)－系統(tǒng)在作為時(shí)間函數(shù)的外部激勵(lì)下發(fā)生的振動(dòng)，這種外部激勵(lì)不受系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響。按激勵(lì)特性劃分：振動(dòng)問(wèn)題的分類(lèi)自由振88

按系統(tǒng)特性或運(yùn)動(dòng)微分方程類(lèi)型劃分：

線性振動(dòng)－系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程的振動(dòng)。

非線性振動(dòng)－系統(tǒng)的剛度呈非線性特性時(shí)，將得到非線性運(yùn)動(dòng)微分方程，這種系統(tǒng)的振動(dòng)稱(chēng)為非線性振動(dòng)。

按系統(tǒng)的自由度劃分：

單自由度振動(dòng)－一個(gè)自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。

多自由度振動(dòng)－兩個(gè)或兩個(gè)以上自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。

連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)－連續(xù)彈性體的振動(dòng)。這種系統(tǒng)具有無(wú)窮多個(gè)自由度。按系統(tǒng)特性或運(yùn)動(dòng)微分方程類(lèi)型劃分：線性振動(dòng)－89§19-1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)l0mkkxOxl0stFW1.自由振動(dòng)微分方程l0——彈簧原長(zhǎng)；k——彈簧剛性系數(shù)；st——彈簧的靜變形；取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，x向下為正，則有：§19-1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)l0mkkxOxl090A——振幅；n——固有頻率；（n+）——相位；

——初相位。A——振幅；91單自由度線性系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程物理學(xué)基礎(chǔ)的擴(kuò)展這一方程，可以擴(kuò)展為廣義坐標(biāo)的形式單自由度線性系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程物理學(xué)基礎(chǔ)的擴(kuò)92機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)培訓(xùn)講義課件93例題1mv提升重物系統(tǒng)中，鋼絲繩的橫截面積A＝2.89×10－4m2，材料的彈性模量E＝200GPa。重物的質(zhì)量m＝6000kg，以勻速v＝0.25m/s下降。當(dāng)重物下降到l＝25m

時(shí)，鋼絲繩上端突然被卡住。l求：（1）重物的振動(dòng)規(guī)律；（2）鋼絲繩承受的最大張力。

解：鋼絲繩－重物系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為彈簧－物塊系統(tǒng),彈簧的剛度為例題1mv提升重物系統(tǒng)中，鋼絲繩的橫截l求：（194mk靜平衡位置Ox設(shè)鋼絲繩被卡住的瞬時(shí)t＝0，這時(shí)重物的位置為初始平衡位置；以重物在鉛垂方向的位移x作為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的振動(dòng)方程為方程的解為利用初始條件求得mk靜平衡位置Ox設(shè)鋼絲繩被卡住的瞬時(shí)t＝0，方程的95mk靜平衡位置OxmxWFT（2）鋼絲繩承受的最大張力。取重物為研究對(duì)象mk靜平衡位置OxmxWFT（2）鋼絲繩承受的最大張力。取重96l固定端均質(zhì)等截面懸臂梁，長(zhǎng)度為l,彎曲剛度為EI。梁的自由端放置一質(zhì)量為m的物塊。若不計(jì)梁的質(zhì)量。試寫(xiě)出梁－物塊系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。例題2mEIl固定端ystOy考察梁和物塊所組成的系統(tǒng)。以物塊鉛垂方向的位移作為廣義坐標(biāo)q=y,坐標(biāo)原點(diǎn)O設(shè)在梁變形后的平衡位置，這一位置與變形前的位置之間的距離，即為物塊靜載作用下的撓度，亦即靜撓度，用yst表示。l固定端均質(zhì)等截面懸臂梁，長(zhǎng)度為l,例題2mEI97分析物塊運(yùn)動(dòng)到任意位置(坐標(biāo)為y)時(shí)，物塊的受力：應(yīng)用牛頓第二定律W=mgF分析物塊運(yùn)動(dòng)到任意位置(坐標(biāo)為y)時(shí)，梁的自由端位移與力之間的關(guān)系EIl固定端F'yystmEIl固定端Oy分析物塊運(yùn)動(dòng)到任意位置(坐標(biāo)為y)時(shí)，物塊的受力：應(yīng)98此即梁－物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程此即梁－物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程99串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度k1k2mgk1mgk21.串聯(lián)串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度k1k2mgk1mgk21.串100k1k2mk1k2mmgF1F22.并聯(lián)k1k2mk1k2mmgF1F22.并聯(lián)101k4k3k2k1m圖示系統(tǒng)中有四根鉛直彈簧，它們的剛度系數(shù)分別為k1、k2、k3、k4且k1=2

k2

=3

k3=4

k4。假設(shè)質(zhì)量為的物塊被限制在光滑鉛直滑道中作平動(dòng)。例題3試求此系統(tǒng)的固有頻率。解：（1）計(jì)算3、4的等效剛度（2）計(jì)算2、3、4的等效剛度k4k3k2k1m圖示系統(tǒng)中有四根鉛直彈簧，102k4k3k2k1m解：（1）計(jì)算3、4的等效剛度（2）計(jì)算2、3、4的等效剛度（3）計(jì)算系統(tǒng)的等效剛度（4）計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率k4k3k2k1m解：（1）計(jì)算3、4的等效剛度（2）計(jì)算2103？1mkO在圖中，當(dāng)把彈簧原長(zhǎng)在中點(diǎn)O固定后，系統(tǒng)的固有頻率與原來(lái)的固有頻率的比值為。kkml在圖中，當(dāng)物塊在中點(diǎn)時(shí)其系統(tǒng)的固有頻率為n0，現(xiàn)將物塊改移至距上端處，則其固有頻率=

n0。

？2？1mkO在圖中，當(dāng)把彈簧原長(zhǎng)在中點(diǎn)O固定后，kkml104mkal例題4圖示結(jié)構(gòu)中，桿在水平位置處于平衡，若k、m、a、l

等均為已知。

求：系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率mgF解：取靜平衡位置為其坐標(biāo)原點(diǎn)，由動(dòng)量矩定理，得在靜平衡位置處，有mkal例題4圖示結(jié)構(gòu)中，桿在水平位置處于平105mkalmgF在靜平衡位置處，有mkalmgF在靜平衡位置處，有106§19-2計(jì)算固有頻率的能量法mk靜平衡位置Ox物塊的動(dòng)能為取靜平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)，有在靜平衡位置處，有§19-2計(jì)算固有頻率的能量法mk靜平衡位置Ox物塊的107物塊在平衡位置處，其動(dòng)能最大物塊在偏離平衡位置的極端處，其勢(shì)能最大無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒物塊在平衡位置處，其動(dòng)能最大物塊在偏離平衡位置的極端處，其勢(shì)108mkal解：設(shè)OA桿作自由振動(dòng)時(shí)，其擺角的變化規(guī)律為系統(tǒng)的最大動(dòng)能為系統(tǒng)的最大勢(shì)能為由機(jī)械能守恒定律有例題5由能量法解例題4mkal解：設(shè)OA桿作自由振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的最大動(dòng)能為系統(tǒng)的最109例題6半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體，在半徑為R的剛性圓槽內(nèi)作純滾動(dòng)。求：1、圓柱體的運(yùn)動(dòng)微分方程；2、微振動(dòng)固有頻率。RCO例題6半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)求：2、微振動(dòng)固有110RCO解：取擺角為廣義坐標(biāo)由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知：系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的勢(shì)能拉氏函數(shù)為RCO解：取擺角為廣義坐標(biāo)由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知：系統(tǒng)的動(dòng)能系111RCORCO112RCORCO113RCO例題7由能量法求固有頻率解：設(shè)擺角的變化規(guī)律為系統(tǒng)的最大動(dòng)能為取平衡位置處為零勢(shì)能點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢(shì)能為RCO例題7由能量法求固有頻率解：設(shè)擺角的變化規(guī)114RCO由機(jī)械能守恒定律有RCO由機(jī)械能守恒定律有115§19-3單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動(dòng)

阻尼－系統(tǒng)中存在的各種阻力：干摩擦力，潤(rùn)滑表面阻力，液體或氣體等介質(zhì)的阻力、材料內(nèi)部的阻力。物體運(yùn)動(dòng)沿潤(rùn)滑表面的阻力與速度的關(guān)系C－粘性阻尼系數(shù)或粘阻系數(shù)1.阻尼§19-3單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動(dòng)阻尼－系統(tǒng)1162.振動(dòng)微分方程mkmcOxFkFcv取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，在建立此系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程時(shí)，可以不再計(jì)入重力的影響。物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為2.振動(dòng)微分方程mkmcOxFkFcv取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)117本征方程本征值本征值與運(yùn)動(dòng)微分方程的通解的形式與阻尼比有關(guān)。設(shè)其解為其通解為本征方程本征值本征值與運(yùn)動(dòng)微分方程的通解的形式與阻尼比有關(guān)。1183.小阻尼情形當(dāng)n<

n時(shí)，阻尼系數(shù)，這時(shí)阻尼較小，稱(chēng)為小阻尼情形。其兩個(gè)根為共軛復(fù)數(shù)，即：其方程的解為利用初始條件求得或3.小阻尼情形當(dāng)n<n時(shí)，阻尼系數(shù)119TdA2A1衰減振動(dòng)的周期：引入阻尼比：得有阻尼自由振動(dòng)和相應(yīng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)間的關(guān)系：TdA2A1衰減振動(dòng)的周期：引入阻尼比：得有阻尼自由振動(dòng)和相120大阻尼(>1)情形臨界阻尼(＝1)情形

這兩種情形下，運(yùn)動(dòng)不再是周期型的，而是按負(fù)指數(shù)衰減>1＝1xOt大阻尼(>1)情形臨界阻尼(＝1)情形這兩種情形121§19-4單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼受迫振動(dòng)km0e受迫振動(dòng)系統(tǒng)在外界激勵(lì)下產(chǎn)生的振動(dòng)。激勵(lì)形式

外界激勵(lì)一般為時(shí)間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。

簡(jiǎn)諧激勵(lì)是最簡(jiǎn)單的激勵(lì)。一般的周期性激勵(lì)可以通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成簡(jiǎn)諧激勵(lì)的疊加?！?9-4單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼受迫振動(dòng)km0e受迫振動(dòng)122FkF1.振動(dòng)微分方程mOxx振動(dòng)微分方程FkF1.振動(dòng)微分方程mOxx振動(dòng)微分方程123微分方程的解為：將x2代入微分方程，得解得微分方程的解為：將x2代入微分方程，得解得1242.受迫振動(dòng)的振幅幅頻特性曲線2.受迫振動(dòng)的振幅幅頻特性曲線1253.共振現(xiàn)象當(dāng)＝n

時(shí)，激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，振幅在理論上應(yīng)趨于無(wú)窮大，這種現(xiàn)象稱(chēng)為共振。這表明無(wú)阻尼系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)，振幅將隨時(shí)間無(wú)限地增大。3.共振現(xiàn)象當(dāng)＝n時(shí)，激振力頻率等于系統(tǒng)這表明126§19-5單自由度系統(tǒng)有阻尼受迫振動(dòng)FkmcFmOxFkFc

這一微分方程的全解等于齊次方程的全解與非齊次方程的特解之和?！?9-5單自由度系統(tǒng)有阻尼受迫振動(dòng)FkmcFmOxF127有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解代入微分方程，解得有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解代入微分方程，解得128運(yùn)動(dòng)微分方程的通解為：在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的作用下，有阻尼系統(tǒng)的總響應(yīng)由二部分組成：第一部分是衰減振動(dòng)；第二部分是受迫振動(dòng)。引入：運(yùn)動(dòng)微分方程的通解為：在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的作用下，有阻尼系統(tǒng)的總響應(yīng)129130131幅頻特性與相頻特性1、＝0的附近區(qū)域(低頻區(qū)或彈性控制區(qū))，

→1，＝0，響應(yīng)與激勵(lì)同相；對(duì)于不同的

值，曲線密集，阻尼影響不大。2、>>1的區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū))，

→0，→

，響應(yīng)與激勵(lì)反相；阻尼影響也不大。幅頻特性與相頻特性1、＝0的附近區(qū)域(低頻區(qū)或132幅頻特性與相頻特性在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)<<1時(shí)，由于阻尼影響不大，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可將有阻尼系統(tǒng)簡(jiǎn)化為無(wú)阻尼系統(tǒng)。幅頻特性與相頻特性在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)133幅頻特性與相頻特性3、＝1的附近區(qū)域(共振區(qū))，

急劇增大并在

＝1略為偏左處有峰值。通常將＝1，即＝n稱(chēng)為共振頻率。阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭。在相頻特性曲線圖上，無(wú)論阻尼大小，＝1時(shí)，總有，＝

/2,這也是共振的重要現(xiàn)象。幅頻特性與相頻特性3、＝1的附近區(qū)域(共振區(qū))，134例題8慣性測(cè)振儀的內(nèi)部安裝有“質(zhì)量(m)－彈簧(k)－阻尼器(c)”系統(tǒng)。測(cè)振儀外殼安置在被測(cè)振動(dòng)的物體上。儀器內(nèi)置質(zhì)量塊相對(duì)于外殼(被測(cè)振動(dòng)的物體)的運(yùn)動(dòng)被轉(zhuǎn)換成電信號(hào)輸出。當(dāng)被測(cè)振動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為xe=asint時(shí)，試分析儀器內(nèi)置質(zhì)量塊相對(duì)于外殼(被測(cè)振動(dòng)的物體)的振動(dòng)。kcm例題8慣性測(cè)振儀的內(nèi)部安裝kcm135

解：在測(cè)振儀外殼上固結(jié)動(dòng)坐標(biāo)系O－xr，系統(tǒng)的牽連運(yùn)動(dòng)為平移。以質(zhì)量塊相對(duì)于儀器外殼(被測(cè)振動(dòng)的物體)的位移xe作為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為非慣性系運(yùn)動(dòng)。應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，在質(zhì)量塊上附加慣性力Fe，建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。kcmFexrOxeO1解：在測(cè)振儀外殼上固kcmFexrOxeO1136

解：應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，在質(zhì)量塊上附加慣性力Fe，建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。kcmFexrOxeO1其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為解：應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，在kcmFexrOxe137解：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻特性與相頻特性曲線幅頻特性曲線的特點(diǎn)：

在高頻區(qū)，當(dāng)>>1時(shí)，B/a→1

。因此，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)使測(cè)振儀具有比較低的固有頻率，才能有比較大的

值。

被測(cè)頻率愈高，測(cè)量精度也高；被測(cè)頻率低，測(cè)量精度便低。對(duì)于同一

值，阻尼較大時(shí)，B/a趨近于1。解：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻特性與相頻特性曲線幅頻特性138例題9工作臺(tái)ckmxe已知：m、k、c,xe=asint

試分析：儀器的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

解：假設(shè)觀察者在不動(dòng)的地面上觀察儀器的運(yùn)動(dòng)，儀器在鉛垂方向的位移x作為廣義坐標(biāo)，以平衡位置為廣義坐標(biāo)的原點(diǎn)。儀器的運(yùn)動(dòng)方程為Ox例題9工作臺(tái)ckmxe已知：m、k、c,xe139

激勵(lì)由兩部分組成：一部分是彈簧的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)，其幅值與激勵(lì)頻率無(wú)關(guān)；另一部分是阻尼的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)，其幅值與繳勵(lì)頻率成正比，且相位比彈簧激勵(lì)超前/2。根據(jù)疊加原理，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也由兩部分疊加而成:對(duì)于僅有彈簧的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和滯后相位差激勵(lì)由兩部分組成：一部分是彈簧的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)，其幅值與激140對(duì)于僅有阻尼的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和滯后相位差對(duì)于僅有阻尼的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和滯后相位差141機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)培訓(xùn)講義課件142幅頻特性和相頻特性曲線幅頻特性和相頻特性曲線143本例所研究的實(shí)際上是隔振問(wèn)題－將外界振源盡可能與研究對(duì)象隔離（稱(chēng)為被動(dòng)隔振）。為取得隔振效果，即儀器振幅B小于振源振幅a，應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計(jì)隔振層的剛度k？對(duì)于隔振效果，阻尼大一點(diǎn)好還是小一點(diǎn)好？關(guān)于本例的討論本例所研究的實(shí)際上是隔振問(wèn)題－將外界振源盡關(guān)于本例的144單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系慣性力、阻尼力、彈性恢復(fù)力和激勵(lì)力在一個(gè)周期內(nèi)怎樣作功？又有怎樣的能量關(guān)系呢？無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，既無(wú)能量的損耗又無(wú)外界能量的輸入，一個(gè)周期內(nèi)僅有系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能的轉(zhuǎn)換。有阻尼自由振動(dòng)阻尼不斷耗散能量，而外界又無(wú)能量補(bǔ)充，因此振動(dòng)幅值隨時(shí)間衰減。受迫振動(dòng)單自由度線性系統(tǒng)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系慣145單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系根據(jù)力在dt時(shí)間內(nèi)所作之元功dW=Fvdt當(dāng)力和速度同相位時(shí)，每一時(shí)刻都作正功；而當(dāng)力和速度反相位時(shí)，每一時(shí)刻都作負(fù)功。

阻尼力和速度反相，因此始終作負(fù)功，在一個(gè)周期內(nèi)所作的負(fù)功為單自由度線性系統(tǒng)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系根據(jù)力在d146單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系若力與速度相位相差/2，則力在一個(gè)周期內(nèi)作功等于零。慣性力和彈性恢復(fù)力的相位都與速度相位相差/2，因此，慣性力與彈性恢復(fù)力在一個(gè)周期內(nèi)所作之功都作功等于零。單自由度線性系統(tǒng)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系若147單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系激勵(lì)力超前位移相位，可將其分解為與速度和位移同相位的兩部分。對(duì)于微分方程簡(jiǎn)諧激勵(lì)力第二部分的相位與位移的相位相同，一個(gè)周期內(nèi)作功為零。這樣，激勵(lì)力在一個(gè)周期內(nèi)所作之功為單自由度線性系統(tǒng)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系激148單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系第二部分的相位與位移的相位相同，一個(gè)周期內(nèi)作功為零。這樣，激勵(lì)力在一個(gè)周期內(nèi)所作之功為這表明，穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)一個(gè)周期內(nèi)激勵(lì)力所作之功等于阻尼力耗散的能量。這就可以解釋為什么有阻尼系統(tǒng)受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有一個(gè)穩(wěn)定的振幅。根據(jù)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值的表達(dá)式有單自由度線性系統(tǒng)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系第149單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系因?yàn)樵谝粋€(gè)周期內(nèi)激勵(lì)力所作之功與振幅成正比，而阻尼耗散的能量與振幅平方成正比，當(dāng)振動(dòng)幅值還未達(dá)到穩(wěn)定值B0時(shí)，激勵(lì)力所作之功大于阻尼耗散的能量，振幅將增加。當(dāng)振幅到達(dá)B0時(shí)，激勵(lì)力所作之功與阻尼耗散的能量相等，系統(tǒng)能夠維持等幅振動(dòng)。單自由度線性系統(tǒng)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系因150單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系若由于某種干擾使振幅大于B0時(shí)，阻尼耗散的能量大于激勵(lì)力所作之功，振幅又會(huì)衰減，直至在B0處又維持穩(wěn)定的振幅。單自由度線性系統(tǒng)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系