新課程數學教學設計與范例分析

新課程數學教學設計與范例分析第一頁，共56頁。主要內容

一、關于數學課程改革的論爭二、數學基本課型的教學設計三、數學教學范例分析第二頁，共56頁。一、關于數學課程改革的論爭

（一）數學課程改革爭論的焦點問題

教育部于2001年7月頒布了《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》，義務教育階段數學新課程以較快的速度在全國實施。第三頁，共56頁。

這是中國基礎教育的歷史性變革，既然是重大改革，就必然會有不同的意見和看法,在課程實施中許多矛盾和問題也陸續(xù)呈現出來，有的還相當尖銳,形成很多焦點問題.如：“大眾數學”課程理念與科技人才培養(yǎng)的矛盾；數學內容的螺旋編排與數學整體結構的矛盾；數學現實生活化與數學本質抽象性的矛盾；“合作交流”與“獨立思考”的矛盾；“數學雙基”與“創(chuàng)新精神”的矛盾；數學素質教育與考試評價方式的矛盾；開放式教學與課時安排的矛盾；算法的多樣化與算法優(yōu)化的矛盾；……等等。

第四頁，共56頁。中國數學會教育工作委員會進行了3次座談會：2000年8月（義務教育課標2000年初發(fā)表）2003年11月改革實踐調研會2005年2月23日中國數學會教育工作委員會擴大會2005年2月24日教育部副部長陳小婭會見數學家吳文俊院士、姜伯駒院士、胡定國教授（信息論專家、原南開大學副校長）及其他數學家（意見載于數學通報2005.3月特刊

第五頁，共56頁。參加2005年2月23日中國數學會教育工作委員會擴大會的著名數學家姜伯駒，北京大學教授、拓撲學家、院士王梓坤，北京師范大學教授、概率論專家、院士馬志明，原中國數學會理事長、概率論專家、院士劉紹學，北京師范大學教授，代數學家胡定國，北京師范大學教授，信息論專家李尚志，北京航天航空大學教授，代數學家周毓麟，偏微分方程和計算數學專家，院士魏權齡，中國人民大學教授，運籌學專家第六頁，共56頁。數學家的意見：1．原有知識體系被打亂2．初中平面幾何被削弱3．各種關系沒有協調一致：基礎與應用、知識與能力、普及與精英、模仿與創(chuàng)新、傳統與革新4．大多數教師無法適應新課程第七頁，共56頁。

其后，在中國的人代會與政協會議“兩會”期間，由姜伯駒院士牽頭，多位數學家聯合提交了一份提案，指出正在實行的“新課標”，即《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》存在比較“嚴重的”問題，建議國家立刻停止正在實施的新課標。中國的數學論爭進入白熱化：

《光明日報》、《四川日報》、《數學通報》特刊專文質疑“數學新課標”。而課標組成員撰文進行反駁。指出了“評價數學新課程要把問題找準”。要把問題找準，必須“運用理性精神”，要明確“‘新課標’的‘方向’問題、教學體系問題、具體知識內容問題和總體水準問題。”第八頁，共56頁。

姜伯駒院士在專訪中提出的：“這個‘新課標’改革的方向有重大偏差，課程體系完全另起爐灶，在實踐中已引起教學上的混亂?！保弧啊抡n標’與此前許多年實行的幾個數學教學大綱相比，總的水準大為降低。這個方向是錯誤的。”；“照這樣的‘新課標’,很難培養(yǎng)學生分析問題與邏輯推理問題等方面的能力，更談不上創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。教育的效果是滯后的，十年以后，長大成人的這一代中學生理性思維能力不強，就悔之晚矣?！保弧叭切蝺冉呛偷扔?80度這樣的基本定理也不要求講證明，”并對“新課標”的數學課程體系提出了質疑。第九頁，共56頁。

對此，“新課標”支持者撰文進行了反駁：“我們不能因為教學上出現一些“混亂”就墨守成規(guī)，固步自封”；“從邏輯演繹和局部知識點的角度看，‘新課標’的要求在降低，但從科學發(fā)現和創(chuàng)新以及知識體系的角度看，‘新課標’的‘水準’不是降低了而是提高了?！?；“數學新課程更高層次地體現數學的整體性和統一性。”；“數學對人的邏輯推理能力的培養(yǎng)只是一條充分而非必要的條件。數學創(chuàng)新能力的培養(yǎng)主要靠的不是邏輯推理，而是合情推理．邏輯推理則只是真理在手后的論證．”；“評價‘新課標’，應當先熟悉‘新課標’。不仔細研究‘新課標’，僅憑道聽途說就指責‘新課標’，這是不理性的?！钡谑?，共56頁。

數學教育工作者之間的論爭也硝煙四起。南京大學的鄭毓信教授在文中指出：“如果我們只是盲目地去推崇西方的‘先進理念’，并因此而對自己的傳統采取徹底否定的態(tài)度，則就更不能不說是一種完全錯誤的立場。”建議“應當對于課程改革的基本立場或基本立足點做出更為深入的思考或反思?！蓖ㄟ^“積極的滲透與整合”在‘兩極對立’之間取得平衡。針對這些觀點，“課標組”核心成員馬復撰文反駁：所謂的“中國學習者悖論”（即一種較為落后的數學教學怎么可能產生較好的學習結果？）實際上并不構成“悖論”；新課程并沒有盲目推崇西方和徹底否定傳統；新課程的許多理念、做法，都是排除‘兩極對立’而趨向平衡的選擇的結果。第十一頁，共56頁。

數學教育的論爭不僅僅發(fā)生于中國。事實上在1989年，美國的許多數學家與數學教育家之間就美國全國數學教師委員會（NCTM）發(fā)布的課程標準已經爭論不休。尤其以2005年5月31日美國《華盛頓郵報》刊登了《關于數學教育的十大神話，以及為什么你不該信》這篇聲討課程標準的檄文而使論爭達到白熱化。爭論的焦點主要集中于以下幾個對立面：發(fā)現學習與接受學習；要求兒童發(fā)明、使用自己的方法完成基本算術運算與學習標準運算法則；在問題解決的過程中加強概念性理解與大多數的數學理解來自對技能的把握；計算器的使用與否；在數學情景中理解概念與在廣泛的練習和運用中理解。我們認為：課程改革需要學術論爭。百家爭鳴，百花齊放，反映了社會的文明與進步。第十二頁，共56頁。（二）對論爭的分析

上述論爭實質上都是以捷克教育家夸美紐斯、德國教育家赫爾巴特為代表的“教師主導說”與以美國教育家約翰·杜威、希臘教育家蘇格拉底為代表的“兒童中心說”之間爭論的延伸與具體化。過去,中國的數學教育偏重于“教師主導說”。在數學教學中,以教師為中心,采用“灌”的教學方式,只注重知識的傳授,忽視了學生的主觀能動性。學生不善于獨立思考,不善于發(fā)現問題,不愛也不會提出問題,動手能力較差,缺乏創(chuàng)新的意識。美國的數學教育卻偏重于“兒童中心說”。他們十分注重學生學習的獨立性,但卻忽視了教師的主導作用,知識的傳授和鞏固未得到重視,這是造成美國中小學生的數學基礎知識和基本技能水平普遍低下的原因之一。

第十三頁，共56頁。

當前，美國數學教育的現實情況是向中國的數學教育學習，正由“兒童中心說”偏向“教師主導說”。論爭的結果是，對立的雙方達成了共識。美國全國數學教師委員會（NCTM）2006年9月12日發(fā)布“幼兒園學齡前至8年級數學課程焦點”后，困擾美國基礎教育十幾年的“數學戰(zhàn)爭”暫時劃上了句號。這個“課程焦點”是對《學校數學課程與評價標準》(NCTM1989)和《學校數學的原則與標準》(NCTM2000)的一個的補充。它由相關的思想、概念、技能以及構成理解和后繼學習基礎的過程組成?？梢哉f，“課程焦點”是美國版的加強雙基教學的內容要求。中國目前正在實施的基礎教育課程改革實際上是向美國學習，正由“教師主導說”偏向“兒童中心說”。但是否能找到平衡點，而不出現“鐘擺現象”是至關重要的。第十四頁，共56頁。爭論的最終目的是尋求解決問題的方案。關于課程改革，教育部副部長陳小婭指出要處理好五個關系：“掌握基本知識和基本技能與培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力的關系；學科邏輯與社會進步、科技發(fā)展和學生經驗的關系；接受性學習與自主、合作、探究學習的關系；學科的獨立性與關聯性的關系；農村地區(qū)和城市地區(qū)的關系?！眹鴥纫淮笈嗜酥臼浚〝祵W家、數學教育研究者和廣大的一線數學教師，不斷地研究思考，獻計獻策，其中不乏真知灼見。比如：南京大學的鄭毓信教授一直關注、反思數學新課程改革，發(fā)表了不少警世文章。第十五頁，共56頁。又如：人民教育出版社的章建躍研究員提出了數學教育改革創(chuàng)新的四種做法．

親和力－－以生動活潑的呈現方式，展示數學的發(fā)生發(fā)展過程，激發(fā)興趣和美感，引發(fā)學習激情；

問題性－－以恰時恰點的問題引導數學活動，培養(yǎng)問題意識，孕育創(chuàng)新精神；

思想性－－加強數學思想方法的滲透與概括，引導學生領悟具體內容所反映的數學思想；

聯系性－－通過不同數學內容的聯系與啟發(fā)，強調類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的運用，學習數學地思考問題的方式，提高數學思維能力，培養(yǎng)理性精神。”第十六頁，共56頁。

我們認為：中國數學教育的應該是在“兒童中心說”與“教師主導說”之間取得平衡。要使這一平衡說能很好地運用于數學新課程的改革中，必須正確處理以下問題：

1）精英數學與大眾數學基礎教育到底要給學生提供什么樣的數學課程，主要取決于我們的教育價值取向。精英教育以犧牲大多數學生權益為基礎，以培養(yǎng)和選拔少數精英人才為目的，強調用學科專業(yè)標準對學生進行層層甄別和選拔，升學應試教育的盛行正是這種價值取向使然。顯然，精英教育并不能滿足現代社會對人才的需要。社會需要各種各樣的人才。我們需要理論型、設計型的人才，也需要實干型、傳播型的人才，更需要大量的技能型的人才；我們需要熱情奔放的人，也需要慎言慎行的人；我們需要謙虛和藹、容易合作的人，也需要有創(chuàng)見而脾氣古怪的人。第十七頁，共56頁。

大眾教育是面向全體學生而不僅僅是少數精英的教育，其目的是使所有學生得到全面發(fā)展，以適應未來社會生活的需要。美國心理學家霍華德·加德納指出，人有七個方面的智慧：言語－－語言智慧；音樂－－節(jié)奏智慧；邏輯－－數理智慧；視覺－－空間智慧；身體－－動覺智慧；自知－－自省智慧；交往－－交流智慧。受遺傳、社會環(huán)境、家庭條件和生活經歷等因素的影響，每個學生在興趣、愛好、動機、需要、氣質、性格、智力和特長等方面表現不盡相同，各有所長。使全體學生全面發(fā)展并不是說去培養(yǎng)全才，而是要正視學生之間的差異，因材施教，使每個學生在原有的基礎上都得到自由的發(fā)展。當我們的教育為學生提供了一種公平、民主、寬松、自由的發(fā)展空間，人人都能從事自己喜歡的職業(yè)，人人都能做自己最擅長的事，我們國家才會人才輩出。第十八頁，共56頁。

因此，從這個角度來講，精英教育與大眾教育并不矛盾，大眾教育是精英教育的基礎，精英教育植根于大眾教育之中。以精英教育為價值取向的數學課程選擇精英數學。以大眾教育為價值取向的數學課程則選擇大眾數學。精英數學與大眾數學的關系就像精英教育與大眾教育的關系一樣。大眾教育是我國基礎教育改革的價值取向。因此，在基礎教育階段，為學生提供門檻低，富彈性，多樣化的大眾數學課程，符合我國基礎教育未來發(fā)展的需要。構建適合我國國情的大眾數學課程體系是數學新課程面臨的最大問題。到底哪些數學知識是最基礎最重要的，這么核心的問題到現在還沒有研究清楚，達成共識，這是新課標的軟肋。還有義務教育與高中的銜接的問題，應當將高中數學新課標與九年義務教育數學新課標統一研究，擴大研究隊伍，充分吸收數學家、數學教育研究者、一線數學教師的意見，達成共識。第十九頁，共56頁。2）演繹推理與合情推理

演繹推理也就是邏輯推理，它包括形式邏輯推理和辯證邏輯推理．在形式邏輯方面，要求思維主體遵守形式邏輯的基本規(guī)律，即同一律、矛盾律、排中律、充足理由律。也就是說，在推理過程中，概念和判斷必須保持一致性，判斷不自相矛盾，不模棱兩可，要有充分的根據。其表現形式主要有分析、綜合、抽象、概括、比較、分類、完全歸納、演繹、系統化、證明、反駁等等。而在辯證邏輯方面，要求主體運用辯證的觀點去處理所面臨的問題，即表現為思維過程的辯證法。例如客觀事物是不斷地運動、變化、發(fā)展著的；事物的發(fā)展變化遵循著對立統一規(guī)律、質量互變規(guī)律和否定之否定規(guī)律?；吧鸀槭煜ぁ⒒睘楹?、正難則反、順推與逆推之結合、動與靜之轉化、一般與特殊之互化，這些都是辯證思維的具體形式。

“合情推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程?！毖堇[推理是一種必然性推理，而合情推理卻是符合情理（經驗）但并不具有必然性的推理，它既涉及到推理者的觀察、試驗、分析和過往的相關經驗，又涉及到知覺重組、表象的分解與組合、聯想、想象、直覺等思維形式。合情推理的主要形式有不完全歸納、類比和直覺等。第二十頁，共56頁。關于演繹推理與合情推理的地位作用，G.波利亞早已為我們指出：“數學被看著是一門論證科學，然而這僅僅是它的一個方面。數學的創(chuàng)造過程是與其它知識的創(chuàng)造一樣的。在證明一個定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全作出詳細證明之前，你先得猜測證明的思路。你要先得把觀察到的結果加以綜合然后加以類比。你要一次又一次地進行嘗試。數學家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現的。只要數學的學習過程稍能反映出數學的發(fā)明過程的話，那么就應當讓猜測、合情推理占有適當的位置?！彼赋觯赫撟C推理與合情推理之間并不矛盾，它們是互相補充的。同時，他還告誡我們：“一個認真想把數學作為他終身事業(yè)的學生必須學習論證推理，這是他的專業(yè)也是他那門科學的特殊標志。然而為了取得真正的成就他還必須學習合情推理，這是他的創(chuàng)造性工作所賴以進行的那種推理?！奔戎匾曆堇[推理又強調合情推理的重要性是數學新課程改革的出路，這是基于數學教育的最終目標——發(fā)展學生的科學創(chuàng)新意識和動手實踐能力的需要而作的改革。第二十一頁，共56頁。3）接受學習與發(fā)現學習改變學習方式是數學新課程的理念之一。那么到底如何理解接受學習與發(fā)現學習的教育功能，教學中又如何實施等問題一直困擾著一線教師。經過數學新課程試驗，我們認為：有意義的接受學習的優(yōu)勢是知識容量大，效率高，易控制；其局限性是學生的主動性、獨立性、創(chuàng)造性未能充分體現。而發(fā)現學習的優(yōu)勢是能激發(fā)學生的內在動機、培養(yǎng)對數學的興趣，建立自信，能培養(yǎng)學生的探究精神和問題解決能力。其局限性是知識容量小，效率低，難控制。有意義的接受學習是中國數學學習的優(yōu)良傳統，要保持。數學的多數內容適合于接受學習，啟發(fā)式的講授教學仍然是數學教學的主要形式。我們反對的是機械的接受學習，發(fā)現學習是培養(yǎng)學生創(chuàng)新的有效手段，我們應毫不遲疑地予以加強。但并非所有的內容都適合于發(fā)現學習，發(fā)現學習只是接受學習的有益補充。教材應該在教學建議中明確一些適合進行發(fā)現學習的內容。是否選擇發(fā)現學習模式進行教學，必須依據教育目的、學習內容、教學對象和教學條件確定。第二十二頁，共56頁。4）數學基礎與數學創(chuàng)新

數學基礎指的是雙基，即基礎知識和基本技能。由于重視基礎知識教學和基本技能訓練，所以中國學生的雙基十分過硬——快速準確地進行數與式的運算；準確記憶定義和規(guī)則；形式演繹推理能力強；熟悉題型的套路和方法,模仿性強。但付出的代價是中國學生的動手實踐能力、問題意識和創(chuàng)新意識較弱，張奠宙教授形象地比喻為“在花崗巖上建出茅草屋”?！稑藴省诽岢鲆c時俱進地認識雙基?！安坏^續(xù)強調對數學基礎知識和基本技能的學習，而且賦予了基礎知識和基本技能新的內涵。數學課程要始終重視對數學基礎知識和基本技能價值的深入剖析，以及加強對其發(fā)展性的足夠認識。既要避免忽視基礎知識和基本技能學習的傾向，又要認真對知識和技能進行選擇，以確保這些知識和技能真正是學生適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的?！钡诙摚?6頁。5）關注數學課堂教學研究

國際數學教育研究會副主席李秉彝教授提出的口號是“上通數學，下達課堂”。數學教育應當研究數學教育的特定規(guī)律。數學課堂教學，是數學教育研究的源泉。課程改革最終發(fā)生在課堂教學國際教育成就在第二次國際數學研究提到三個層次的課程概念：期望課程、實施課程和獲得課程。其間有兩個落差，決定落差的梯度，教師是關鍵人物，而課堂教學是實施課程的關鍵現場，課程改革最終發(fā)生在課堂教學上。

教師的真功夫表現在課堂上如果說醫(yī)生的真功夫在病床上，那么教師的真功夫是在課堂上，這種功夫是靠實踐性知識保障的。專家型教師的專業(yè)知識的核心是處理復雜性和不確定性情境過程的專門化知識，即實踐智慧。教與學的理論扎根在“課堂”上

教育理論研究只有深人“生活世界”的具體場景——課堂中，直面實踐，才能敏銳地把握現實問題，并在實踐中顯示出對教育實踐的影響力，體現自身存在的意義與價值．課堂，永遠是最有生機的！

第二十四頁，共56頁。二、數學基本課型的教學設計（一）教學設計概述1.教學設計的涵義

教學設計的產生，深受人們在工業(yè)和軍事兩大領域中的活動的影響，在這兩個領域中，人們要達到預期的目的，收到預期的成效，必須在活動之前就進行周密的設計或策劃。同樣教學要獲得高效，也必須在活動之前進行必不可少的教學設計。此處主要涉及課堂教學。教學設計是運用現代學習與教學心理學、傳播學、教學媒體等相關的理論與技術，來分析教學中的問題和需要，設計解決方法、評價試行結果并在評價基礎上改進設計的一個系統過程。簡單地說，就是指教育實踐工作者（主要指教師）為達到一定的教學目標，對教學活動進行的系統規(guī)劃、安排與決策。由此可知，教學設計是一個動態(tài)過程。第二十五頁，共56頁。2.數學課堂教學設計的指導原則以學生為本原則即以學生的學和發(fā)展為本，“以學生為本”的數學課堂教學設計是基礎和關鍵，是時代賦予的要求。目標性原則即教學設計應有明確的目標，建立知識與技能、數學思考、解決問題、情感與態(tài)度的密切聯系的有機整體目標。科學性原則即教學內容的選擇要準確無誤，其安排既要符合嚴格的邏輯結構，又要符合學生的認知規(guī)律。整體性原則教學設計不應只局限于“一節(jié)課”，應以單元為基本單位，在單元甚至更大的整體范圍內進行教學設計。藝術性原則它體現在“教有定則，教無定法”之中。給學生以美的體驗，并進行數學美的審美教育。反饋性原則教學設計既要以了解和研究學生為基礎，又要根據教學目標進行分類，設計方案，進行反饋及時修改和調整。第二十六頁，共56頁。

3.教學過程的基本模式及評述

1）講授式教學模式

講授式教學模式也被稱為“講解一傳授”模式或“講解一接受”模式，自20世紀50年代以來，一直在我國中小學數學課堂教學中占有重要的位置。講授模式的具體操作過程有五個教學環(huán)節(jié)：組織教學；引人新課；講授新課；鞏固練習；布置作業(yè)。

簡要評述：最大的益處就是教師能在單位時間里向學生迅速傳遞較多的知識，通常適用于概念性強、綜合性強、或者比較陌生的課題教學中。其最大的弊端就是學生容易處于被動的學習狀態(tài)之中。

第二十七頁，共56頁。2）討論式教學模式其主要步驟有五個方面：提出要談的問題；將未數學化的問題數學化，并在需要時對問題進行解釋；組織談話，鼓勵學生討論與爭辯，對學生在談話中有突破性的建議及時認可；逐個考察全班學生初步認可的建議的可行性；圓滿解決問題后，請學生總結經驗和教訓，并對曾提出的各種建議做評價，以積累發(fā)現的經驗。

簡要評述：特點主要表現為在教學中教師和學生的角色發(fā)生了轉變，即教師由知識的“代言人”變成了教學活動的組織者，學生由知識的被動接受者變成了某種程度知識的建構者?？赡茏呦驑O端，把“滿堂灌”變成“滿堂問”，學生依然缺乏自主思考的時間，效果同樣不好。第二十八頁，共56頁。3）學生活動教學模式

活動教學模式就是學生在教師的指導下，通過實驗、游戲、參觀、看電影和幻燈等活動形式，用感官和肢體活動以獲取數學知識、培養(yǎng)數學能力的一種教學模式。其活動單位既可以是一個班的學生，也可以是部分學生，活動場所既可以是課堂教學，也可以是第二課堂。其活動方式主要有二，即數學實驗和數學游戲。數學實驗包括量長度、數數目、稱體重、畫圖、做模型、估計、聽錄音、看教學電影、比較、分類、處理數據、發(fā)現規(guī)律等。一種比較現代化的活動是使用計算機課件。

簡要評述：活動教學模式的一個顯著特點是注重直觀性，因此，容易提高學生的學習興趣?；顒咏虒W模式由于所花的時間較多，且也容易使學生過于關注活動的輸贏，忽視活動本身蘊涵著的數學內容，因此，不宜在教學中頻繁使用。

第二十九頁，共56頁。4）探究式模式

主要操作步驟包括以下幾個方面：（1）教師精心設置問題鏈；（2）學生基于對問題的分析，提出假設；（3）在教師的引導下，學生對問題進行論證，形成確切概念；（4）學生通過實例來證明或辨認所獲得的概念；5）教師引導學生分析思維過程，形成新的認知結構。

簡要評述：教師在教學中運用探究式教學模式，不僅使學生體驗數學再創(chuàng)造的思維過程，而且還培養(yǎng)了創(chuàng)新意識和科學精神。目前，這種教學模式在高中階段的研究性學習和課題學習中廣泛使用。但要對學習內容與學生層度有一定的條件要求。第三十頁，共56頁。5）發(fā)現式模式發(fā)現式教學模式是指學生在教師的指導下，通過閱讀、觀察、實驗、思考、討論等方式，像數學家那樣去發(fā)現問題、研究問題，進而解決問題、總結規(guī)律，成為知識的發(fā)現者。其基本程序是創(chuàng)設情景，分析研究，猜測歸納，驗證反思。其顯著特點就是注重數學知識的發(fā)生、發(fā)展過程，讓學生自己發(fā)現問題，主動獲取知識。因而，有利于體現學生的主體地位和解決問題的方法，一般適用于新課講授、解題教學等課堂教學，也可用于課外教學活動。

簡要評述：運用發(fā)現模式的好處就是能使學生在發(fā)現中產生”興奮感”，從“化意外和復雜性為可預料性和簡單性”的行動中獲得理智的滿足，同時獲得具有“遷移性”的數學能力，起到舉一反三的效果。不過，由于這種教學模式主要用于一些思維價值較高的課例教學中，因此，只適合在好班中實施，而不宜在差班級采用。由于“發(fā)現式學習”所需時間較“系統學習”多，因此，這種教學模式也不宜頻繁使用.第三十一頁，共56頁。(二)數學概念教學設計1.數學概念涵義數學概念是反映客觀事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性的思維形式，是進行數學推理和證明的基礎和依據。數學概念學習的本質就是概括出數學中一類事物對象的共同本質屬性，正確區(qū)分同類事物的本質屬性與非本質屬性，正確形成數學概念的內涵和外延。2.數學概念學習的內容一般地，數學概念學習的內容包括以下4個方面：（l）數學概念的名稱。（2）數學概念的定義。（3）數學概念的例子。符合數學概念定義的事物對象是數學概念的正例，即肯定例證；不符合數學概念定義的事物對象是數學概念的反例，即否定例證。（4）數學概念的屬性。第三十二頁，共56頁。3.數學概念學習的4種水平

數學概念學習可以分成了解、理解、掌握和綜合運用4種水平：了解能回憶出概念的言語信息；能辨認出概念的常見例證；會舉例說明概念的相關屬性。理解能把握概念的本質屬性；能與相關概念建立聯系；能區(qū)別概念的例證與反例。掌握在理解的基礎上，能直接把概念運用于新的情境。綜合運用能綜合運用概念解決問題。第三十三頁，共56頁。4.概念教學的本質：概念教學的本質是要使學生在腦中形成概念表象，幫助學生在腦中建構起良好的概念圖式。人類獲取概念的主要方式是概念的形成和概念的同化。概念的形成是指從大量的具體例子出發(fā)，歸納概括出一類事物的共同本質屬性的過程。這是一種發(fā)現學習的過程。概念的同化是指學習者利用原有認知結構中的觀念來理解接納新概念的過程。這是一個接受學習的過程。以概念的形成方式獲得精確概念的心理過程如圖所示：

第三十四頁，共56頁。5.概念形成的教學設計數學概念形成的教學模式(1）為學生提供熟悉的具體例證，引導學生分析出每個例證的屬性(2）抽象出共同本質屬性，形成初步概念(3）概念的深化(4）概念的運用需要指出的是概念的形成是學生以自己的直接經驗為基礎，在教師的引導下歸納發(fā)現概念的本質屬性的學習。從學生的角度考慮，這種學習方式適合那些認知水平不高或缺乏必備概念的學生的學習；從概念的角度來考慮，則適合那些處于概念體系中起著基礎作用和核心作用的少數抽象概念的學習。

第三十五頁，共56頁。

6.概念同化的教學設計

概念同化是美國心理學家戴維·奧蘇伯爾（D.Ausubel）提出的一種概念學習形式。指的是新信息與原有的認知結構中的有關概念相互發(fā)生作用，實現新舊知識的意義的同化，從而使原有認知結構發(fā)生某種變化。數學概念同化的教學模式:1）向學生提供概念的定義；2）教師解釋定義中的詞語、符號、式子所代表的內在含義，突出概念的關鍵屬性，使學生準確領會概念的內涵；3）辨別例證，促進遷移；概念的同化方式學習新概念必須具備3個條件：1)學習者必須具備“我要學”的動力；2)新概念必須有邏輯意義；3)學生原有的認知結構中必須具備同化新概念所需要的基礎。第三十六頁，共56頁。7.數學概念教學的策略1）加強對數學概念的解剖分析抓住概念中的關鍵詞句進行解剖分析，揭示每一個詞、句、符號、式子的內在含義，使學生深刻理解概念的本質屬性。2）利用變式，突出概念的本質屬變式是指概念例證在非本質屬性方面的變化。利用變式的目的是通過非本質：翻性的變化來突出本質屬性，使學生獲得的概念更精確、更穩(wěn)定。3）注意概念的對比和直觀化數學中有許多概念是平行相關的概念，如果能將它們有機地聯系在一起進行類比，就可以收到由此及彼、溫故而知新的效果。4）注意概念體系的建構在數學概念教學中，不但要使學生掌握單個的概念，而且還要使學生掌握概念體系，建構良好的數學認知結構，建立章節(jié)或學科的概念網絡體系，使概念縱橫貫通，有助于學生深化對概念的理解。5）注意概念產生的背景讓學生知道為什么要學這個內容，由“知其然”發(fā)展到“知其所以然”。第三十七頁，共56頁。

(三)數學原理的教學設計

1.數學原理學習的本質

1）原理學習實際上是學習一些概念之間的關系;2）原理學習不是習得描述原理的言語信息，而是習得原理的心理意義，它是一種有意義的學習；3）原理學習實質上是習得產生式。只要條件信息一滿足，相應的行為反應就自然出現。學習者據此指導自己的行為并解決遇到的新問題；4）習得原理不是孤立地掌握一個原理，而是要在原理之間建立聯系，形成原理網絡。數學原理教學的本質不僅僅是讓學生記住數學原理的客觀陳述，重要的是幫助學生在特定的情境中根據各種關系作出相應的反應。第三十八頁，共56頁。2．原理學習的4種水平

數學原理學習的水平也可以分成了解、理解、掌握和綜合運用4種水平。但從運用原理的角度看，還可以分成一下4種水平：（l）言語連鎖學習水平

處于這一水平的學生，會說，會背，會寫原理的客觀陳述，但不理解原理的本質。（2）正向產生式水平

處于這一水平的學生，已在心理上形成“若……，則……”這一正向產生式，能夠由滿足原理的條件信息推出結論信息。（3）逆向產生式水平處于這一水平的學生，已在心理上形成“要……，就要……”這一逆向產生式，能夠由結論信息出發(fā)，追尋結論成立的充分條件。（4）變形產生式水平處于這一水平的學生，已在心理上形成變形產生式，能夠由問題的部分信息檢索出相關的數學原則模式，并根據當前解決問題的需要對數學模式進行變形使用，從而解決問題。第三十九頁，共56頁。3.例子→原理的教學設計1)例子-原理的教學模式由例子到原理的學習是指從若干例證中歸納出一般結論（原理）的學習。它是一種發(fā)現學習，簡稱為“例子-原理法”。在采用例子-原理法教授原理時，為了使學生順利概括出原理，需要為學生提供足夠多的豐富的例證。這些例證應盡量涵蓋例證的各種典型類別，以利于學生發(fā)現原理和全面理解原理。其教學過程為提供豐富的例證一提出假設一驗證假設、進行推理論證和概括一提煉思想方法和原理的運用。在為學生提供豐富的例子時，不能僅僅提供原理的例證，還應該提供原理的反例，以強化對原理的認識，使學生透徹理解原理。第四十頁，共56頁。4.原理→例子的教學設計

由原理到例子的學習是指先向學生呈現要學習的原理，然后再用實例說明原理（有時要予以邏輯證明），從而使學生掌握原理的學習。這是一種接受學習，簡稱為“原理-例子法”。用原理-例子法教授原理的前提條件是，學生必須事先掌握構成原理的各個概念和原理。與概念學習一樣，原理學習是有意義學習，是新舊知識相互作用并形成新的認知結構的過程。因此，要促進新原理的學習，就要使學生的認知結構中具備與新原理相關的適當觀念。在教學中，教師可以引導學生復習、回憶與原理相關的舊知識，以幫助學生同化新原理。第四十一頁，共56頁。(四)數學習題課的教學設計

1.數學習題的要素分析分類法

以Y表示習題的條件，O表示解題的依據，P表示解題的方法，Z表示習題的結論，于是數學習題系統{Y,O,P,Z}可分為（1）標準性題，即4個要素都為已知的題；(例題)（2）訓練性題，即4個要素中只有1個是學生所不知道的題；（3）探索性題，即4個要素中有2個是學生所不知道的題；（4）問題性題，即4個要素中有3個是學生所不知道的題。習題中未知要素越多，難度就越高，發(fā)散性越大，探索性題和問題性題稱為發(fā)散性題。第四十二頁，共56頁。2.數學習題的選擇與設計

數學習題的選擇與設計應當遵循以下原則：l）目的性原則；2）階梯性原則；3）量力性原則；4）典型性原則；5）適合學生年齡特征的原則。

在中學數學教學中，我們反對“題海戰(zhàn)術”，就必須在習題的使用質量上下工夫。一題多變是實現這一目標的重要途徑之一。中學數學教學中主要有5種“一題多變”的常用方法：1）類比法；2）引申法；3）推廣法；4）聯想法；5）反思法。第四十三頁，共56頁。3.數學習題的設計常用的12種方式：

1)新課之后單項練習；2)習舊引新的練習；3)顯示思維過程的練習；4)鞏固教學重點的練習；5)突破難點的練習；6)發(fā)展性練習；7)綜合性練習；8)培養(yǎng)能力的練習；9)關鍵部分集中練習；10)變式練習；11)．溝通知識系統練習；12)錯題集中辨析練習。第四十四頁，共56頁。

(五)數學活動課教學設計1.數學活動課的涵義與特點

數學活動課是指學生通過數學實踐活動獲得經驗，了解和掌握數學在日常生活中的應用，學會與他人進行數學合作與交流，從而實現新課程的教學目標。數學活動課具有5個基本的特點：第一，數學活動課是學生通過數學活動，研究與探究數學問題的過程；第二，數學活動課的學習形式主要由學生自己完成，學生具有高度的主體性；第三，數學活動課具有實踐性，能使學生更好地理解數學在現代社會中的廣泛應用；第四，數學活動課具有開放性；第五，數學活動課注重學生在學習過程中的體驗。第四十五頁，共56頁。2.數學活動課的功能

數學活動課對學生獲取數學知識、教師專業(yè)的發(fā)展和數學課程的發(fā)展都具有十分重要意義。對于學生獲取數學知識來說，首先它有利于培養(yǎng)學生學習數學的興趣和自信，其次它有利于培養(yǎng)學生的“潛創(chuàng)造力”。它可以促進數學教師自覺轉變教育觀念，不斷學習更新知識。數學活動課有利于教師提高自身的科研能力和創(chuàng)造能力，對科研課題的立項、開題、實施研究、結題等各個環(huán)節(jié)的全面了解是數學活動課的基本組成形式。數學活動課可以促進教師的專業(yè)發(fā)展，教師的角色的轉變即“教師是研究者”。第四十六頁，共56頁。3.數學活動課的類型

根據數學教學的內容與教學的目標要求的不同，數學活動課有各種不同的類型，這里我們主要討論探究課、建模課和課題學習3種類型

探究課主要是指學生在學習課程知識的過程中，圍繞某個數學問題自主探究、學習數學知識的過程。運用的方法主要是觀察分析數學的事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論或規(guī)律，并給出解釋或證明。

建模課是尋求建立數學模型方法的過程。它是問題解決的一部分，其作用對象更側重于非數學領域，但需要數學的工具來解決問題。它突出表現了對原始問題的分析、假設、抽象的數學加工的過程；數學工具、模型工具的選擇和分析的過程；模型的求解、再分析、修改假設、再求解的迭代的過程。

課題學習是指學生在數學教師或相關教師的指導下，從數學問題以及其他學科或實踐生活中出現的問題中選擇并確定研究性課題，運用類似于數學學科的科學研究方法去獲取和應用數學知識，從而在掌握數學知識的同時，體驗、理解掌握和應用數學學科的研究方法，培養(yǎng)科學精神，發(fā)展科研能力的一種學習方式。第四十七頁，共56頁。4.探究課的教學要求及其設計原則1)探究課教學的基本要求（1）數學探究課內容的選擇是完成探究學習的關鍵。（2）數學探究課的課題要具有多樣化（3）數學探究課的課題可以從教材提供的案例和背景材料中發(fā)現和建立，也可以從教師提供的案例和背景材料中發(fā)現與建立（4）學生在數學探究課的學習過程中應學會查詢數學資料、收集相關的信息。應養(yǎng)成獨立思考和敢于提出問題，學會與他人合作、交流，樹立嚴謹的科學態(tài)度，體會數學研究的過程和創(chuàng)造的激情，學會發(fā)現問題、提出問題，提高解決問題的能力。（5）數學探究課應該與課內和課外活動有機結合起來。2)探究課設計原則數學探究課的教學設計應該是以學生為中心,體現現代數學教學理念,需要遵循以下原則:（1）主體性原則；（2）主動性原則；（3）合作性原則第四十八頁，共56頁。5.建模課教學步驟及其教學要求1)數學建模課的教學步驟（1）實際情境（2）提出問題（3）建立數學模型（4）模型求解（5）模型檢驗（6）得出可用結果第四十九頁，共56頁。2)數學建模課的教學要求(1）數學建模中，問題是關鍵．數學建模問題應該來自于學生的生活實際、現實世界和其他學科等方面，同時，解決問題所涉及的知識、思想和方法應與中學數學課程內容相聯系；(2）通過數學建模，學生將了解和經歷框圖所表示的解決實際問題的全過程，體驗數學與日常生活及其他學科的聯系，感受數學的應用價值，增強應用意識，提高實踐能力；(3）每一個學生可以根據自己的生活經驗發(fā)現并提出問題，發(fā)揮自己的特長和個性，從不同的角度、層次探求解決的方法，從而獲得綜合運用知識和方法解決實際問題的經驗，發(fā)展創(chuàng)新的意識；(4）學生在發(fā)現和解決問題的過程中，應學會通過查詢資料等手段獲取信息；應采取各種合作方式解決問題，養(yǎng)成與人交流的習慣，并獲得良好的情感體驗；(5）中學階段應至少為學生安排一次數學建?；顒?，還應將課內與課外有機地結合起來，把數學建?；顒优c綜合實踐活動有機地結合起來．第五