最新高中導(dǎo)數(shù)練習(xí)題

PAGEPAGE10導(dǎo)數(shù)【考點透視】1．了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景〔如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等〕；掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念．2．熟記根本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法那么．了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．3．理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件〔導(dǎo)數(shù)在極值點兩側(cè)異號〕；會求一些實際問題〔一般指單峰函數(shù)〕的最大值和最小值．【例題解析】考點1導(dǎo)數(shù)的概念對概念的要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，掌握導(dǎo)數(shù)在一點處的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念.例1．是的導(dǎo)函數(shù)，那么的值是．[解答過程]例2.設(shè)函數(shù),集合M=,P=,假設(shè)MP,那么實數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)[解答過程]由綜上可得MP時,例3.假設(shè)曲線的一條切線與直線垂直，那么的方程為〔〕A．B．C．D．[解答過程]與直線垂直的直線為，即在某一點的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點的切線為.應(yīng)選A.例4.兩拋物線,取何值時，有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程.解答過程：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點P()處的切線方程為，即①曲線在點Q的切線方程是即②假設(shè)直線是過點P點和Q點的公切線，那么①式和②式都是的方程，故得，消去得方程，假設(shè)△=，即時，解得，此時點P、Q重合.∴當(dāng)時，和有且只有一條公切線，由①式得公切線方程為.考點3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1..求函數(shù)的解析式;2.求函數(shù)的值域;3.解決單調(diào)性問題;4.求函數(shù)的極值〔最值〕;5.構(gòu)造函數(shù)證明不等式.典型例題例5．函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如下圖，那么函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點〔〕A．1個B．2個C．3個D．4個[解答過程]由圖象可見,在區(qū)間〔a,b〕內(nèi)的圖象上有2個極小值點.應(yīng)選B.例6.設(shè)函數(shù)在及時取得極值．〔Ⅰ〕求a、b的值；〔Ⅱ〕假設(shè)對于任意的，都有成立，求c的取值范圍．思路啟迪：利用函數(shù)在及時取得極值構(gòu)造方程組求a、b的值．解答過程：〔Ⅰ〕，因為函數(shù)在及取得極值，那么有，．即解得，．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，，．當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以，當(dāng)時，取得極大值，又，．那么當(dāng)時，的最大值為．因為對于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范圍為．例7．設(shè)函數(shù)f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.[考查目的]此題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法,函數(shù)的極值的判定,考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力[解答過程]由得函數(shù)的定義域為，且〔1〕當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，〔2〕當(dāng)時，由解得、隨的變化情況如下表—0+極小值從上表可知當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.典型例題例8.用長為18cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？[考查目的]本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等根本知識，考查運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.[解答過程]設(shè)長方體的寬為x〔m〕，那么長為2x(m)，高為.故長方體的體積為從而令V′〔x〕＝0，解得x=0〔舍去〕或x=1，因此x=1.當(dāng)0＜x＜1時，V′〔x〕＞0；當(dāng)1＜x＜時，V′〔x〕＜0，故在x=1處V〔x〕取得極大值，并且這個極大值就是V〔x〕的最大值。從而最大體積V＝V′〔x〕＝9×12-6×13〔m3〕，此時長方體的長為2m，高為1.5m.答：當(dāng)長方體的長為2m時，寬為1m，高為1.5m時，體積最大，最大體積為3m3。一、選擇題1.y=esinxcos(sinx)，那么y′(0)等于()A.0 B.1 C.－1 D.22.經(jīng)過原點且與曲線y=相切的方程是()A.x+y=0或+y=0 B.x－y=0或+y=0C.x+y=0或－y=0 D.x－y=0或－y=03.設(shè)f(x)可導(dǎo)，且f′(0)=0,又=－1,那么f(0)()A.可能不是f(x)的極值 B.一定是f(x)的極值C.一定是f(x)的極小值 D.等于04.設(shè)函數(shù)fn(x)=n2x2(1－x)n(n為正整數(shù))，那么fn(x)在［0,1］上的最大值為()A.0 B.1 C. D.5、函數(shù)y=(x2-1)3+1在x=-1處()有極大值B、無極值C、有極小值 D、無法確定極值情況6.f(x)=ax3+3x2+2，f’(-1)=4，那么a=()A、B、C、 D、7.過拋物線y=x2上的點M〔〕的切線的傾斜角是()A、300B、450C、6008.函數(shù)f(x)=x3-6bx+3b在〔0，1〕內(nèi)有極小值，那么實數(shù)b的取值范圍是()A、〔0，1〕B、〔-∞，1〕C、〔0，+∞〕D、〔0，〕9.函數(shù)y=x3-3x+3在[]上的最小值是()B、1 C、 D、510、假設(shè)f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0為函數(shù)的極值，那么()A、c≠0B、當(dāng)a>0時，f(0)為極大值C、b=0D、當(dāng)a<0時，f(0)為極小值11、函數(shù)y=2x3+ax2+36x-24在x=2處有極值，那么該函數(shù)的一個遞增區(qū)間是()A、〔2，3〕 B、〔3，+∞〕 C、〔2，+∞〕 D、〔-∞，3〕12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的實數(shù)解的集合中()A、至少有2個元素B、至少有3個元素C、至多有1個元素D、恰好有5個元素二、填空題13.假設(shè)f′(x0)=2,=_________.14.設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),那么f′(0)=_________.15.函數(shù)f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的單調(diào)區(qū)間_________.16.在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽開________時它的面積最大.三、解答題17.曲線C：y=x3－3x2+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(x0,y0)(x0≠0)，求直線l的方程及切點坐標(biāo).18.求函數(shù)f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+)，在[0，1]內(nèi)的最大值.19.證明雙曲線xy=a2上任意一點的切線與兩坐標(biāo)軸組成的三角形面積等于常數(shù).20.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=(x2－2x+3)e2x;(2)y=.21.有一個長度為5m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3m/s的速度離開墻腳滑動，求當(dāng)其下端離開墻腳1.4m時，梯子上端下滑的速度.22.求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn－1,(x≠0,n∈N*).23.設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間.24.設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點.(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)試判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值，并說明理由.25.a、b為實數(shù)，且b＞a＞e,其中e為自然對數(shù)的底，求證：ab＞ba.26.設(shè)關(guān)于x的方程2x2－ax－2=0的兩根為α、β(α＜β),函數(shù)f(x)=.(1)求f(α)·f(β)的值；(2)證明f(x)是［α，β］上的增函數(shù)；(3)當(dāng)a為何值時，f(x)在區(qū)間［α，β］上的最大值與最小值之差最??？【參考答案】一、1.解析：y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1.答案：B2.解析：設(shè)切點為(x0,y0),那么切線的斜率為k=,另一方面，y′=()′=,故y′(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,y0(2)=－15,對應(yīng)有y0(1)=3,y0(2)=,因此得兩個切點A(－3，3)或B(－15,),從而得y′(A)==－1及y′(B)=,由于切線過原點，故得切線：lA:y=－x或lB:y=－.答案：A3.解析：由=－1,故存在含有0的區(qū)間(a,b)使當(dāng)x∈(a,b),x≠0時＜0,于是當(dāng)x∈(a,0)時f′(0)＞0,當(dāng)x∈(0,b)時，f′(0)＜0,這樣f(x)在(a,0)上單增，在(0,b)上單減.答案：B4.解析：∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=時取得最大值，最大值fn()=n2()2(1－)n=4·()n+1.答案：D5、B6、A7、B8、D9、B10、C11、B12、C二、13.解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：f′(x0)=(這時)答案：－114.解析：設(shè)g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),那么f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！答案：n!15.解析：函數(shù)的定義域是x＞或x＜－2,f′(x)=.(3x2+5x－2)′=,①假設(shè)a＞1,那么當(dāng)x＞時，logae＞0,6x+5＞0,(3x－1)(x+2)＞0,∴f′(x)＞0,∴函數(shù)f(x)在(,+∞)上是增函數(shù)，x＜－2時，f′(x)＜0.∴函數(shù)f(x)在(－∞,－2)上是減函數(shù).②假設(shè)0＜a＜1,那么當(dāng)x＞時，f′(x)＜0,∴f(x)在(,+∞)上是減函數(shù)，當(dāng)x＜－2時，f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,－2)上是增函數(shù).答案：(－∞,－2)16.解析：設(shè)圓內(nèi)接等腰三角形的底邊長為2x,高為h，那么h=AO+BO=R+,解得x2=h(2R－h(huán)),于是內(nèi)接三角形的面積為S=x·h=從而.令S′=0,解得h=R,由于不考慮不存在的情況，所在區(qū)間(0,2R)上列表如下：h(0,R)R(,2R)S′+0－S增函數(shù)最大值減函數(shù)由此表可知，當(dāng)x=R時，等腰三角形面積最大.答案：R三、17.解：由l過原點，知k=(x0≠0),點(x0,y0)在曲線C上，y0=x03－3x02+2x0,∴=x02－3x0+2,y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2,2x02－3x0=0,∴x0=0或x0=.由x≠0,知x0=,∴y0=()3－3()2+2·=－.∴k==－.∴l(xiāng)方程y=－x切點(，－).18.,令f’(x)=0得，x=0，x=1，x=,在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0，.∴.19.設(shè)雙曲線上任一點P〔x0，y0〕,,∴切線方程,令y=0，那么x=2x0令x=0，那么.∴.20.解：(1)注意到y(tǒng)＞0,兩端取對數(shù)，得lny=ln(x2－2x+3)+lne2x=ln(x2－2x+3)+2x,(2)兩端取對數(shù)，得ln|y|=(ln|x|－ln|1－x|),兩邊解x求導(dǎo)，得21.解：設(shè)經(jīng)時間t秒梯子上端下滑s米,那么s=5－,當(dāng)下端移開1.4m時，t0=,又s′=－(25－9t2)·(－9·2t)=9t,所以s′(t0)=9×=0.875(m/s).22.解：(1)當(dāng)x=1時，Sn=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),當(dāng)x≠1時，1+2x+3x2+…+nxn-1=,兩邊同乘以x,得x+2x2+3x2+…+nxn=兩邊對x求導(dǎo)，得Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1=.23.解：f′(x)=3ax2+1.假設(shè)a＞0,f′(x)＞0對x∈(－∞,+∞)恒成立，此時f(x)只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾.假設(shè)a=0,f′(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾.假設(shè)a＜0,∵f′(x)=3a(x+)·(x－),此時f(x)恰有三個單調(diào)區(qū)間.∴a＜0且單調(diào)減區(qū)間為(－∞,－)和(,+∞)，單調(diào)增區(qū)間為(－,).24.解：f′(x)=+2bx+1,由極值點的必要條件可知：f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,解方程組可得a=－,b=－,∴f(x)=－lnx－x2+x,(2)f′(x)=－x-1－x+1,當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)＜0,當(dāng)x∈(1,2)時，f′(x)＞0,當(dāng)x∈(2,+∞)時，f′(x)＜0,故在x=1處函數(shù)f(x)取得極小值,在x=2處函數(shù)取得極大值－ln2.25.證法一：∵b＞a＞e,∴要證ab＞ba,只要證blna＞alnb,設(shè)f(b)=blna－alnb(b＞e),那么f′(b)=lna－.∵b＞a＞e,∴l(xiāng)na＞1,且＜1,∴f′(b)＞0.∴函數(shù)f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函數(shù)，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.證法二：要證ab＞ba,只要