微專題：平面向量與極化恒等式（1）講義-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版必修4

單元主題：向量一、設(shè)定教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)：1.直觀想象：能夠通過圖形直觀認(rèn)識數(shù)學(xué)問題，能夠用圖形描述和表達(dá)熟悉的數(shù)學(xué)問題、啟迪解決這些問題的思路，體會數(shù)形結(jié)合；2.數(shù)學(xué)運算：能夠在綜合運用運算方法解決問題的過程中，體會程序思想的意義和作用；3.數(shù)學(xué)抽象：能夠在綜合的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言予以表達(dá)；4.數(shù)學(xué)建模：了解熟悉的數(shù)學(xué)模型的實際背景及其數(shù)學(xué)描述，了解數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)、結(jié)論的實際含義。課程標(biāo)準(zhǔn)：幫助學(xué)生理解平面向量的幾何意義和代數(shù)意義；掌握平面向量的基本概念、運算、向量基本定理以及向量的應(yīng)用；用向量語言、方法表述和解決現(xiàn)實生活、數(shù)學(xué)和物理中的問題。核心問題：1.夯實平面向量基礎(chǔ)知識，掌握平面向量問題的解決方法2.掌握平面向量問題的解決方法教學(xué)目標(biāo)：1.熟練掌握平面向量的基礎(chǔ)知識，能在解題時靈活應(yīng)用。2.掌握解決平面向量問題的基本方法：基底法和坐標(biāo)法，能根據(jù)具體情境選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。3.訓(xùn)練轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合的思想方法，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)。4.感受數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系。二、確定恰當(dāng)評估辦法任務(wù)1：向量概念通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義，理解平面向量的幾何表示和基本要素-----A了解平面向量的意義和兩個向量相等的含義，了解平面向量的幾何表示和基本要素------B任務(wù)2：向量運算掌握平面向量加、減運算即運算規(guī)則，理解其幾何意義，掌握平面向量數(shù)乘運算即運算規(guī)則，理解其幾何意義。理解兩個平面向量共線的含義-----A不能完全理解上述內(nèi)容，但能了解，能解決一些相應(yīng)的基本問題---B任務(wù)3：向量基本定理及坐標(biāo)表示理解平面向量基本定理及其意義，借助平面直角坐標(biāo)系；掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示，會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運算與數(shù)乘運算；能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會表示兩個平面向量的夾角；能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件----A不能完全理解上述內(nèi)容，但能了解，能解決一些相應(yīng)的基本問題----B任務(wù)4：向量與解三角形會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實際問題，體會向量在解決數(shù)學(xué)和實際問題中的應(yīng)用；借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理；能用正弦定理、余弦定理解決簡單的實際問題----A不能完全理解上述內(nèi)容，但能了解，能解決一些相應(yīng)的基本問題-----B微專題：平面向量與極化恒等式由于近5年的浙江高考卷中的向量題大部分都與極化恒等式有關(guān)，該種形式的平面向量數(shù)量積逐漸被廣大師生所接受并應(yīng)用。為了使學(xué)生對極化恒等式的適用范圍和背景有一個更深刻的了解，在高三教學(xué)中可以上一節(jié)“不同背景下的極化恒等式”的專題課。例1：已知是邊長為的正三角形，為的外接圓的一條直徑，為的邊上的動點，則的取值范圍是．解析：，∵，∴．例2：為橢圓上任意一點，為圓：的任意一條直徑，則的取值范圍是．解析：，由橢圓性質(zhì)，，∴．例3：在長方體中，，，為對角線的中點，過的直線與長方體表面交于兩點，為長方體表面上的動點，則的取值范圍是．解析：，長方體的體對角線長為6，由長方體性質(zhì)，可知，，∵與互不影響，∴．設(shè)計意圖：上述3個例題從平面幾何到解析幾何，再到立體幾何，從中體現(xiàn)了極化恒等式的背景與幾何的關(guān)聯(lián)很大，在不同的幾何問題中，極化恒等式都可以發(fā)揮它的作用。3個例題的共同點是所求結(jié)果指向性非常明確，都是求共起點的兩個向量的數(shù)量積的取值范圍問題。研究3個例題，不難發(fā)現(xiàn)極化恒等式適用的前提是共起點的兩個向量的差向量的模長往往是一個定值。在很多試題中，所求結(jié)果的指向性與極化恒等式不明顯，學(xué)生在解題中很難想到用極化恒等式，一旦想到利用極化恒等式，問題的解答既快捷又巧妙。例4：（2015年湖州二模）在中，，則．解析：由題可得，即，即，∴．例5：已知向量滿足，則的最小值是．解析：．例6：已知向量及實數(shù)滿足，若，則的最大值為．解析：∵，∴．設(shè)計意圖：上述3個例題的背景可以說是“純向量（僅與向量有關(guān)）”背景，尤其是后2個例題表現(xiàn)得更為突出一些。光看3個例題的結(jié)論（所求的內(nèi)容）都不一樣，從結(jié)論上入手，很難看清3個例題蘊含的共同