湖南省益陽市桃江第一中學2022年高三數(shù)學第一學期期末檢測模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.年某省將實行“”的新高考模式,即語文、數(shù)學、英語三科必選,物理、歷史二選一,化學、生物、政治、地理四選二,若甲同學選科沒有偏好,且不受其他因素影響,則甲同學同時選擇歷史和化學的概率為A. B. C. D.2.已知正四面體的內(nèi)切球體積為v,外接球的體積為V,則()A.4 B.8 C.9 D.273.已知某超市2018年12個月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示:根據(jù)該折線圖可知,下列說法錯誤的是()A.該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高B.該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C.該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D.該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元4.某人2018年的家庭總收人為元,各種用途占比如圖中的折線圖,年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計如圖中的條形圖,已知年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元,則該人年的儲畜費用為()A.元 B.元 C.元 D.元5.設為銳角,若,則的值為()A. B. C. D.6.已知為兩條不重合直線,為兩個不重合平面,下列條件中,的充分條件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.7.下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運算“正整數(shù)除以正整數(shù)所得的余數(shù)是”記為“”,例如.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于()A.16 B.17 C.18 D.198.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.9.如圖所示程序框圖,若判斷框內(nèi)為“”,則輸出()A.2 B.10 C.34 D.9810.在中,分別為所對的邊,若函數(shù)有極值點,則的范圍是()A. B.C. D.11.已知雙曲線的左、右焦點分別為,,P是雙曲線E上的一點,且.若直線與雙曲線E的漸近線交于點M,且M為的中點,則雙曲線E的漸近線方程為()A. B. C. D.12.已知向量,,設函數(shù),則下列關于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A.關于直線對稱 B.關于點對稱C.周期為 D.在上是增函數(shù)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,已知圓內(nèi)接四邊形ABCD,其中,,,,則__________.14.已知關于x的不等式(ax﹣a2﹣4)(x﹣4)>0的解集為A,且A中共含有n個整數(shù),則當n最小時實數(shù)a的值為_____.15.銳角中,角,,所對的邊分別為,,,若,則的取值范圍是______.16.設,滿足約束條件,若的最大值是10,則________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路,以及鐵路線上的一條應開鑿的直線穿山隧道,為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,以所在的直線分別為軸,軸,建立平面直角坐標系,如圖所示,山區(qū)邊界曲線為,設公路與曲線相切于點,的橫坐標為.(1)當為何值時,公路的長度最短?求出最短長度;(2)當公路的長度最短時,設公路交軸,軸分別為,兩點,并測得四邊形中,,,千米,千米,求應開鑿的隧道的長度.18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,為正三角形,平面平面分別是的中點.(1)證明:平面(2)若,求二面角的余弦值.19.(12分)已知動圓Q經(jīng)過定點,且與定直線相切(其中a為常數(shù),且).記動圓圓心Q的軌跡為曲線C.(1)求C的方程,并說明C是什么曲線?(2)設點P的坐標為,過點P作曲線C的切線,切點為A,若過點P的直線m與曲線C交于M,N兩點,則是否存在直線m,使得?若存在,求出直線m斜率的取值范圍;若不存在,請說明理由.20.(12分)已知橢圓C的離心率為且經(jīng)過點(1)求橢圓C的方程;(2)過點(0,2)的直線l與橢圓C交于不同兩點A、B,以OA、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點M在橢圓C上,求直線l的方程.21.(12分)已知橢圓的長軸長為,離心率(1)求橢圓的方程;(2)設分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點,是橢圓上在第一象限的一點,直線與軸交于點,直線與軸交于點,問與面積之差是否為定值?說明理由.22.(10分)已知橢圓的焦點在軸上,且順次連接四個頂點恰好構成了一個邊長為且面積為的菱形.(1)求橢圓的方程;(2)設,過橢圓右焦點的直線交于、兩點,若對滿足條件的任意直線,不等式恒成立,求的最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

甲同學所有的選擇方案共有種,甲同學同時選擇歷史和化學后,只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可,共有種選擇方案,根據(jù)古典概型的概率計算公式,可得甲同學同時選擇歷史和化學的概率,故選B.2、D【解析】

設正四面體的棱長為,取的中點為,連接,作正四面體的高為,首先求出正四面體的體積,再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑,在中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑,利用球的體積公式即可求解.【詳解】設正四面體的棱長為,取的中點為,連接,作正四面體的高為,則,,,設內(nèi)切球的半徑為,內(nèi)切球的球心為,則,解得:;設外接球的半徑為,外接球的球心為,則或,,在中,由勾股定理得:,,解得,,故選:D【點睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題,考查了椎體的體積公式以及球的體積公式,需熟記幾何體的體積公式,屬于基礎題.3、D【解析】

用收入減去支出,求得每月收益,然后對選項逐一分析,由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出,求得每月收益(萬元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A選項說法正確;月收益最低,B選項說法正確;月總收益萬元,月總收益萬元,所以前個月收益低于后六個月收益,C選項說法正確,后個月收益比前個月收益增長萬元,所以D選項說法錯誤.故選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析,考查收益的計算方法,屬于基礎題.4、A【解析】

根據(jù)2018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費用占得到就醫(yī)費用,再根據(jù)年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元,得到年的就醫(yī)費用,然后由年的就醫(yī)費用占總收人,得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲畜費用占總收人求解.【詳解】因為2018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費用占所以就醫(yī)費用因為年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元,所以年的就醫(yī)費用元,而年的就醫(yī)費用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲畜費用占總收人所以儲畜費用:故選:A【點睛】本題主要考查統(tǒng)計中的折線圖和條形圖的應用,還考查了建模解模的能力,屬于基礎題.5、D【解析】

用誘導公式和二倍角公式計算.【詳解】.故選:D.【點睛】本題考查誘導公式、余弦的二倍角公式,解題關鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.6、D【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理,對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可.【詳解】對于A,當,,時,則平面與平面可能相交,,,故不能作為的充分條件,故A錯誤;對于B,當,,時,則,故不能作為的充分條件,故B錯誤;對于C,當,,時,則平面與平面相交,,,故不能作為的充分條件,故C錯誤;對于D,當,,,則一定能得到,故D正確.故選:D.【點睛】本題考查了面面垂直的判斷問題,屬于基礎題.7、B【解析】

由已知中的程序框圖可知,該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值,模擬程序的運行過程,代入四個選項進行驗證即可.【詳解】解:由程序框圖可知,輸出的數(shù)應為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).若輸出,則不符合題意,排除;若輸出,則,符合題意.故選:B.【點睛】本題考查了程序框圖.當循環(huán)的次數(shù)不多,或有規(guī)律時,常采用循環(huán)模擬或代入選項驗證的方法進行解答.8、D【解析】

運用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,由對稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設,,所以,當時,的最小值,故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.9、C【解析】

由題意,逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況,即可得解.【詳解】由題意運行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此時輸出.故選:C.【點睛】本題考查了程序框圖,只需在理解程序框圖的前提下細心計算即可,屬于基礎題.10、D【解析】試題分析:由已知可得有兩個不等實根.考點:1、余弦定理;2、函數(shù)的極值.【方法點晴】本題考查余弦定理,函數(shù)的極值,涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結合思想和轉化化歸思想,考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力,綜合性較強,屬于較難題型.首先利用轉化化歸思想將原命題轉化為有兩個不等實根,從而可得.11、C【解析】

由雙曲線定義得,,OM是的中位線,可得,在中,利用余弦定理即可建立關系,從而得到漸近線的斜率.【詳解】根據(jù)題意,點P一定在左支上.由及,得,,再結合M為的中點,得,又因為OM是的中位線,又,且,從而直線與雙曲線的左支只有一個交點.在中.——①由,得.——②由①②,解得,即,則漸近線方程為.故選:C.【點睛】本題考查求雙曲線漸近線方程,涉及到雙曲線的定義、焦點三角形等知識,是一道中檔題.12、D【解析】

當時,,∴f(x)不關于直線對稱;當時,,∴f(x)關于點對稱;f(x)得周期,當時,,∴f(x)在上是增函數(shù).本題選擇D選項.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由題意可知,,在和中,利用余弦定理建立方程求,同理求,求,代入求值.【詳解】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得,.連接BD,在中,有.在中,.所以,則,所以.連接AC,同理可得,所以.所以.故答案為:【點睛】本題考查余弦定理解三角形,同角三角函數(shù)基本關系,意在考查方程思想,計算能力,屬于中檔題型,本題的關鍵是熟悉圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),對角互補.14、-1【解析】

討論三種情況,a<0時,根據(jù)均值不等式得到a(﹣a)≤﹣14,計算等號成立的條件得到答案.【詳解】已知關于x的不等式(ax﹣a1﹣4)(x﹣4)>0,①a<0時,[x﹣(a)](x﹣4)<0,其中a0,故解集為(a,4),由于a(﹣a)≤﹣14,當且僅當﹣a,即a=﹣1時取等號,∴a的最大值為﹣4,當且僅當a4時,A中共含有最少個整數(shù),此時實數(shù)a的值為﹣1;②a=0時,﹣4(x﹣4)>0,解集為(﹣∞,4),整數(shù)解有無窮多,故a=0不符合條件;③a>0時,[x﹣(a)](x﹣4)>0,其中a4,∴故解集為(﹣∞,4)∪(a,+∞),整數(shù)解有無窮多,故a>0不符合條件;綜上所述,a=﹣1.故答案為:﹣1.【點睛】本題考查了解不等式,均值不等式,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.15、【解析】

由余弦定理,正弦定理得出,從而得出,推出的范圍,由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出的范圍,再利用二倍角公式化簡,即可得出答案.【詳解】由題意得由正弦定理得化簡得又為銳角三角形,則,,.故答案為【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用,屬于中檔題.16、【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結合即可容易求得結果.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:目標函數(shù)可轉化為與直線平行,數(shù)形結合可知當且僅當目標函數(shù)過點,取得最大值,故可得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查由目標函數(shù)的最值求參數(shù)值,屬基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)當時,公路的長度最短為千米;(2)(千米).【解析】

(1)設切點的坐標為,利用導數(shù)的幾何意義求出切線的方程為,根據(jù)兩點間距離得出,構造函數(shù),利用導數(shù)求出單調(diào)性,從而得出極值和最值,即可得出結果;(2)在中,由余弦定理得出,利用正弦定理,求出,最后根據(jù)勾股定理即可求出的長度.【詳解】(1)由題可知,設點的坐標為,又,則直線的方程為,由此得直線與坐標軸交點為:,則,故,設,則.令,解得=10.當時,是減函數(shù);當時,是增函數(shù).所以當時,函數(shù)有極小值,也是最小值,所以,此時.故當時,公路的長度最短,最短長度為千米.(2)在中,,,所以,所以,根據(jù)正弦定理,,,,又,所以.在中,,,由勾股定理可得,即,解得,(千米).【點睛】本題考查利用導數(shù)解決實際的最值問題,涉及構造函數(shù)法以及利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值,還考查正余弦定理的實際應用,還考查解題分析能力和計算能力.18、(1)詳見解析;(2).【解析】

(1)連接,由菱形的性質(zhì)以及中位線,得,由平面平面,且交線,得平面,故而,最后由線面垂直的判定得結論.(2)以為原點建平面直角坐標系,求出平面平與平面的法向量,,最后求得二面角的余弦值為.【詳解】解:(1)連結∵,且是的中點,∴∵平面平面,平面平面,∴平面.∵平面,∴又為菱形,且為棱的中點,∴∴.又∵,平面∴平面.(2)由題意有,∵四邊形為菱形,且∴分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系,設,則設平面的法向量為由,得,令,得取平面的法向量為∴二面角為銳二面角,∴二面角的余弦值為【點睛】處理線面垂直問題時,需要學生對線面垂直的判定定理特別熟悉,運用幾何語言表示出來方才過關,一定要在已知平面中找兩條相交直線與平面外的直線垂直,才可以證得線面垂直,其次考查了學生運用空間向量處理空間中的二面角問題,培養(yǎng)了學生的計算能力和空間想象力.19、(1),拋物線;(2)存在,.【解析】

(1)設,易得,化簡即得;(2)利用導數(shù)幾何意義可得,要使,只需.聯(lián)立直線m與拋物線方程,利用根與系數(shù)的關系即可解決.【詳解】(1)設,由題意,得,化簡得,所以動圓圓心Q的軌跡方程為,它是以F為焦點,以直線l為準線的拋物線.(2)不妨設.因為,所以,從而直線PA的斜率為,解得,即,又,所以軸.要使,只需.設直線m的方程為,代入并整理,得.首先,,解得或.其次,設,,則,..故存在直線m,使得,此時直線m的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查直線與拋物線位置關系的應用,涉及拋物線中的存在性問題,考查學生的計算能力,是一道中檔題.20、(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點的坐標以及列方程,由此求得,進而求得橢圓的方程.(2)設出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,寫出韋達定理.根

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