孫會(huì)元固體物理基礎(chǔ)第三章能帶論課件37-布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

3.7布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)本節(jié)主要內(nèi)容：一、布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典模型

二、布洛赫電子的加速度和有效質(zhì)量3.7布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)本節(jié)主要內(nèi)容：一、布洛赫電子的前面我們討論了晶體電子在周期勢場中的本征態(tài)和本征能量，從本征態(tài)和本征能量出發(fā)可以進(jìn)一步研究晶體中電子的基態(tài)和激發(fā)態(tài)3.7布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)因?yàn)橹灰懒穗娮颖菊鲬B(tài)的分布，就可以根據(jù)統(tǒng)計(jì)物理的基本原理去討論系統(tǒng)中電子按能量的平衡態(tài)分布問題，也可以討論在外場下的量子躍遷問題，比如熱激發(fā)、光吸收和電子散射等。另外,當(dāng)討論電子在外場中的運(yùn)動(dòng)問題時(shí),如果采用量子力學(xué)處理,哈密頓中除了周期勢外,還要考慮外勢場.而且,由于外場使得電子的狀態(tài)和能量隨時(shí)間變化,所以必須求解包括外加勢場在內(nèi)的含時(shí)薛定諤方程.前面我們討論了晶體電子在周期勢場中的本征態(tài)和本征能量，求解含時(shí)薛定諤方程是很復(fù)雜的,為此人們把布洛赫電子近似當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來處理,這樣就避免了復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算,而且物理圖像也比較直觀.亦即外電場、磁場對布洛赫電子的作用采用經(jīng)典的處理方式，晶格周期場對電子的作用沿用能帶論量子力學(xué)的處理方式。把布洛赫電子當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來處理的近似方法稱為準(zhǔn)經(jīng)典近似。下面我們首先給出布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典模型，然后對這一模型的合理性給出解釋。求解含時(shí)薛定諤方程是很復(fù)雜的,為此人們把布洛赫電子近似1.模型的表述

一、布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典模型

假設(shè)每個(gè)電子具有確定的位置r,波矢k和能帶指標(biāo)n,對于給定的εn(k),在外電場E(r,t)和外磁場B(r,t)的作用下,位置、波矢、能帶指標(biāo)隨時(shí)間的變化遵從如下規(guī)則:1).能帶指標(biāo)n是運(yùn)動(dòng)常數(shù)，電子總呆在同一能帶中，忽略帶間躍遷的可能性；2).電子的速度滿足：3).波矢隨時(shí)間的變化滿足：電子的運(yùn)動(dòng)方程1.模型的表述一、布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典模型假設(shè)每個(gè)電子晶格周期場的量子力學(xué)處理的結(jié)果全部體現(xiàn)在中因而準(zhǔn)經(jīng)典模型提供了從能帶結(jié)構(gòu)推斷輸運(yùn)性質(zhì)，或反過來從輸運(yùn)性質(zhì)的測量結(jié)果推斷能帶結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)。在準(zhǔn)經(jīng)典模型中，能帶仍然滿足前面的對稱性。2.模型合理性的說明晶格周期場的量子力學(xué)處理的結(jié)果全部體現(xiàn)在嚴(yán)格求解電子在外電場和外磁場作用下的行為，應(yīng)從含時(shí)薛定諤方程中得到：量子力學(xué)對應(yīng)原理告訴我們,如果一個(gè)力學(xué)體系的態(tài)與態(tài)的變化可以用經(jīng)典力學(xué)近似描述,則這個(gè)態(tài)在量子力學(xué)中可以表示為一個(gè)波包.波包就是指該粒子的空間分布在r0附近⊿r范圍內(nèi)，動(dòng)量取值在?k0附近?⊿k范圍內(nèi)，且⊿r與⊿k滿足不確定性關(guān)系。

下面我們從量子力學(xué)出發(fā)給出模型的合理解釋嚴(yán)格求解電子在外電場和外磁場作用下的行為，應(yīng)從含由測不準(zhǔn)關(guān)系,布洛赫電子的波矢完全確定,則坐標(biāo)是完全不確定的.晶體中,一個(gè)電子的本征狀態(tài)是由布洛赫波函數(shù)來描述的,它具有確定的波矢和確定的能量.雖然波包的波矢不能完全確定，但是波包的空間位置有一定的確定性。也就是說，這個(gè)疊加態(tài)構(gòu)成的波包以犧牲波矢的完全確定來換取坐標(biāo)的某種確定性?？紤]到實(shí)際晶體中的電子態(tài),往往是一些本征態(tài)的疊加.如果布洛赫電子的狀態(tài)由附近范圍內(nèi)的布洛赫本征態(tài)疊加構(gòu)成,它將構(gòu)成一個(gè)波包.粒子運(yùn)動(dòng)的平均速度相當(dāng)于波包中心移動(dòng)的速度由測不準(zhǔn)關(guān)系,布洛赫電子的波矢完全確定,則坐標(biāo)是完全前面寫波函數(shù)時(shí),考慮到本征態(tài)是定態(tài),沒有考慮時(shí)間因子,現(xiàn)在考慮時(shí)間因子后，布洛赫波函數(shù)寫成：由于波包包含不同能量本征態(tài)(不同的狀態(tài)具有不同的能量).忽略帶間躍遷,可把附近范圍內(nèi)的布洛赫本征態(tài)疊加構(gòu)成的波包函數(shù)寫成:歸一化因子求和寫成積分是同一能帶中波矢是準(zhǔn)連續(xù)的前面寫波函數(shù)時(shí),考慮到本征態(tài)是定態(tài),沒有考慮時(shí)間因子令：考慮到在附近,調(diào)幅因子變化不大，可近似用代替，則波包函數(shù)近似為：在附近將展開得：令：考慮到在附近,調(diào)幅因子變化不大考慮到并把被積函數(shù)中的矢量用分量表示，且令：則波包函數(shù)可表示為：考慮到并把被積函數(shù)中的矢量用分量表示，且令：則波包函數(shù)可表示上式即布洛赫波包函數(shù)某時(shí)刻，在坐標(biāo)空間內(nèi)找到電子的概率為：附加因子的最大值為1(或

時(shí)).當(dāng)時(shí),在坐標(biāo)空間內(nèi)找到電子的概率為,對應(yīng)本征態(tài),電子的坐標(biāo)完全不確定.上式即布洛赫波包函數(shù)某時(shí)刻，在坐標(biāo)空間內(nèi)找到電子的概率為：如果,僅當(dāng)時(shí),波包的振幅最大,而當(dāng)時(shí),波包的振幅趨于零.這表明波包局限在晶體的一個(gè)區(qū)域內(nèi),且位置是時(shí)間的函數(shù).由此,我們可以把某時(shí)刻波包的中心位置認(rèn)定為電子的坐標(biāo)，即：寫成矢量形式，即：如果,僅當(dāng)波包的中心位置所以，波包的速度：這就證明了波包的速度(布洛赫電子的群速度)等于電子的平均速度,模型2得以合理解釋.

根據(jù)不確定性原理,⊿k越大,⊿r就越小,電子的位置就越確定.但是波矢通常限制在第一布里淵區(qū),所以⊿k的取值范圍應(yīng)遠(yuǎn)小于布里淵區(qū)的尺度,否則波矢完全不確定.因此,要求波包的尺度遠(yuǎn)大于晶格常數(shù).在這種意義上,準(zhǔn)經(jīng)典近似成立的條件是外場應(yīng)隨時(shí)間和空間緩慢變化.即波長遠(yuǎn)大于晶格常數(shù),而頻率要小,以禁止帶間躍遷.波包的中心位置所以，波包的速度：這就證明了波包的速度(布洛赫由量子力學(xué)我們知道,電子的平均速度可寫成：容易證明波包的速度(布洛赫電子的群速度)等于電子的平均速度

由量子力學(xué)我們知道,電子的平均速度可寫成：容易證明波前面,將布洛赫波函數(shù)代入薛定諤方程得：將上述方程兩邊對取微分,且令：則有：前面,將布洛赫波函數(shù)代入薛定諤方程得：將上述方程兩又因?yàn)椋核裕河忠驗(yàn)椋核裕簩ι鲜阶蟪嗽賹η蠓e分得：左1左2右1右2由于是厄米算符，則左2為：對上式左乘再對求積分得：左1左1右1則布洛赫電子的平均速度：說明：1).布洛赫態(tài)是與時(shí)間無關(guān)的定態(tài)，有確定的值.因而,盡管電子和周期排列的離子實(shí)相互作用,但其平均速度將永遠(yuǎn)保持,不會(huì)衰減.也就是說,一個(gè)理想金屬晶體,將有無窮大的電導(dǎo).

左1右1則布洛赫電子的平均速度：說明：1).布洛赫態(tài)是與時(shí)2).由于晶體結(jié)構(gòu)上的不理想性,存在雜質(zhì)和缺陷,同時(shí),離子實(shí)本身會(huì)有熱運(yùn)動(dòng),因而電子總會(huì)受到散射,使得電子的自由程有限,從而金屬晶體不會(huì)有無窮大的電導(dǎo).

此外，從上述的推導(dǎo)我們可以看出，布洛赫電子無論從波包還是從平均速度的觀點(diǎn)來看，其運(yùn)動(dòng)速度都等于它的表象點(diǎn)在k空間中該點(diǎn)上的能量梯度的1/?倍，或者說晶體電子的速度與能譜曲線的斜率成正比。因此，晶體電子在k空間任意點(diǎn)的速度垂直于經(jīng)過該點(diǎn)的等能面。所以，晶體電子在k空間任意點(diǎn)的速度不一定和波矢k平行。但對于球形等能面，則晶體電子的速度和波矢k平行，如自由電子的速度v=?k/m，則與波矢k平行且成正比。2).由于晶體結(jié)構(gòu)上的不理想性,存在雜質(zhì)和缺陷,同時(shí),離子下面對模型3作出解釋即在外力作用下，晶體電子的動(dòng)力學(xué)行為的合理解釋.由量子力學(xué)，任意不顯含時(shí)間的力學(xué)量A的平均值隨時(shí)間的變化滿足Ehrenfest關(guān)系。即力學(xué)量A的平均值隨時(shí)間的變化關(guān)系為其中H是系統(tǒng)的哈密頓量.下面對模型3作出解釋即在外力作用下，晶體電子的動(dòng)力令A(yù)為晶格的平移算符T.在考慮一維情形下(晶格常數(shù)為a),有：設(shè)沒有外力時(shí),系統(tǒng)的哈密頓量是H0,則有：在均勻外力F作用下,系統(tǒng)的哈密頓量可表示為：令A(yù)為晶格的平移算符T.在考慮一維情形下(晶格常數(shù)為a),兩式相加得：上式表示的是位于復(fù)平面內(nèi)園的方程,實(shí)軸和虛軸分別為平移算符本征值的實(shí)部和虛部.且由該式可知,如果最初是滿足周期性邊界條件的布洛赫波,則有：這樣在外力的作用下,將沿著復(fù)平面內(nèi)的單位園運(yùn)動(dòng).因此,仍可表示為：兩式相加得：上式表示的是位于復(fù)平面內(nèi)園的方程,實(shí)軸和虛軸分別以上是一維的結(jié)果,推廣到三維,則有：這正是模型3以上是一維的結(jié)果,推廣到三維,則有：這正是模型3這樣我們就從量子力學(xué)出發(fā)對準(zhǔn)經(jīng)典模型做出了合理的解釋。即運(yùn)動(dòng)方程是合理的此外,

上式也表明,在均勻外力F作用下，對于波包的每一個(gè)分量,波矢均以恒定的速率演變.稱為布洛赫電子的準(zhǔn)動(dòng)量或晶體的動(dòng)量.這是因?yàn)?外力是對整個(gè)晶體的作用,改變的是整個(gè)電子、晶格系統(tǒng)的動(dòng)量,而不單單是電子的動(dòng)量。所以布洛赫電子，常被稱為晶體電子或準(zhǔn)電子。

這樣我們就從量子力學(xué)出發(fā)對準(zhǔn)經(jīng)典模型做出了合理的解釋3.準(zhǔn)經(jīng)典模型的適用范圍

(1).外場的波長要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于晶格常數(shù),即:λ>>a,否則,形不成波包.這是禁止帶間躍遷所要求的.

準(zhǔn)經(jīng)典模型描述晶體中電子的外場響應(yīng).外場作為一種力出現(xiàn)在描述波包的坐標(biāo)和波矢變化的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程中.因此,要求與波包的尺度相比,外場是一個(gè)時(shí)間和空間的緩變場.

(2).

外場變化的頻率必須滿足：,為帶隙

3.準(zhǔn)經(jīng)典模型的適用范圍(1).外場的波長要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大由電子的平均速度即可求出它的平均加速度。三、布洛赫電子的加速度和有效質(zhì)量(effectivemass)

1.加速度、有效質(zhì)量由電子的平均速度即可求出它的平均加速度。三、布洛赫電子的加速上式與形式類似，只是現(xiàn)在一個(gè)二階張量代替了，由此我們可以定義電子的有效質(zhì)量。電子加速度公式用矩陣表示為上式與形式類似，只是現(xiàn)在一個(gè)二階張量把稱為電子的有效質(zhì)量電子有效質(zhì)量是一個(gè)二階張量,寫成分量形式為：

由于微分可以交換次序,所以這是對稱張量.轉(zhuǎn)換到主軸坐標(biāo)上去,可對角化.把稱為電子的有效質(zhì)量電子有效質(zhì)量選kx,ky,kz軸沿張量主軸方向,則有:這時(shí)倒逆有效質(zhì)量張量是對角化的所以,在主軸坐標(biāo)系中：倒逆有效質(zhì)量張量的分量為：選kx,ky,kz軸沿張量主軸方向,則有:這時(shí)倒逆1）.緊束縛近似下一維布拉維格子中電子的情況

帶底帶頂

2.有效質(zhì)量的計(jì)算和特點(diǎn)1）.緊束縛近似下一維布拉維格子中電子的情況帶底帶頂加速度為正加速度為負(fù)帶底附近帶頂附近(布里淵區(qū)邊界附近)速度極值處電子在布里淵區(qū)邊界附近所表現(xiàn)的這種特殊行為，是晶格周期場的作用，是電子受布拉格反射的結(jié)果。在最近鄰近似下，kc=π/2a；對于實(shí)際情況，比如次近鄰等的影響下kc會(huì)略大于π/2a

加速度為正加速度為負(fù)帶底附近帶頂附近(布里淵區(qū)邊界附近)速Ek有效質(zhì)量小有效質(zhì)量大有效質(zhì)量是k的函數(shù),在能帶底附近總是取正值;在能帶頂附近總是取負(fù)值.有效質(zhì)量反比于能譜曲線的曲率Ek有效質(zhì)量小有效質(zhì)量大有效質(zhì)量是k的函數(shù),在能帶底附近總是解:由緊束縛近似可得體心立方s能帶的能量表達(dá)式：

2）體心立方晶格緊束縛近似下的s能帶電子解:由緊束縛近似可得體心立方s能帶的能量表達(dá)式：2）易計(jì)算電子的速度和有效質(zhì)量分別為

顯然,此時(shí)kx,ky,kz并非張量主軸坐標(biāo),因?yàn)榻徊骓?xiàng)不為零.

易計(jì)算電子的速度和有效質(zhì)量分別為顯然,此時(shí)kx,ky,kz在能帶底部,kx=ky=kz=0處，在能帶頂部，而在處，都變成但在帶底k=(0,0,0)和帶頂(±2π/a,0,0);(0,±2π/a,0);(0,0,±2π/a)處,卻只有對角項(xiàng)存在.有效質(zhì)量變成了標(biāo)量

且有

在能帶底部,kx=ky=kz=0處，在能帶頂部，而在在能帶底部kx=ky=kz=0附近，由于k很小，所以能帶可近似為上述在帶底和帶頂處的結(jié)果也可由能帶在帶底和帶頂附近的近似展開得到表明在k=0附近,等能面近似為球面,有效質(zhì)量各向同性.易得有效質(zhì)量在能帶底部kx=ky=kz=0附近，由于k很小，所以能帶在帶頂，比如(2π/a，0，0)附近，能量表達(dá)式可以近似為以(2π/a，0，0)為中心的圓表明在(2π/a，0，0)

附近,等能面近似為以(2π/a，0，0)為中心的球面,有效質(zhì)量各向同性.易得有效質(zhì)量令，則在(2π/a，0，0)附近、ky、kz為小量，可將能量展開為在帶頂，比如(2π/a，0，0)附近，能量表達(dá)式可以近似通過上述的例子可知，有效質(zhì)量m*可以是正值，也可以是負(fù)值。特別是在能帶底附近，m*總是正值；在能帶頂附近，m*總是負(fù)的。在外場的作用下,晶體中的電子除受外力作用外,還和晶格相互作用.晶體中電子的有效質(zhì)量為什么可能為負(fù)值?甚至還會(huì)變成無窮大呢?下面給出簡單的分析。設(shè)電子與晶格之間的作用力為Fl,則由牛頓第二定律可得

通過上述的例子可知，有效質(zhì)量m*可以是正值，也可以是但是電子與晶格之間的作用力Fl的具體表達(dá)式是難以得知的，要使上式中不出現(xiàn)Fl，又要保持式子恒等，上式只好寫成也就是說電子的有效質(zhì)量m*本身已概括了晶格的作用二式比較得：但是電子與晶格之間的作用力Fl的具體表達(dá)式是難以得知的將沖量用動(dòng)量的增量來代換,則有

從上式可以看出,當(dāng)電子從外場獲得的動(dòng)量大于電子傳遞給晶格的動(dòng)量時(shí),有效質(zhì)量m*>0;當(dāng)電子從外場獲得的動(dòng)量小于電子傳遞給晶格的動(dòng)量時(shí),m*<0;當(dāng)電子從外場獲得的動(dòng)量全部交給晶格時(shí),m*，此時(shí)電子的平均加速度為零.可見，有效質(zhì)量不是電子的真實(shí)質(zhì)量.將沖量用動(dòng)量的增量來代換,則有從上式可以看出,當(dāng)電有效質(zhì)量m*是固體物理學(xué)中的一個(gè)重要概念。(1)m*不是電子的慣性質(zhì)量，而是在能量周期場中電子受外力作用時(shí)，在外力與加速度的關(guān)系上相當(dāng)于牛頓力學(xué)中的慣性質(zhì)量；（2)m*不是一個(gè)常數(shù)，而是的函數(shù).有效質(zhì)量取決于電子的狀態(tài).一般情況下,它是一個(gè)張量,只有特殊情況下,它才可化為一標(biāo)量的形式;（3)m*可以是正值，也可以是負(fù)值，特別有意義的是：在能帶底附近，m*總是正值，表示電子從外場得到的動(dòng)量多于電子交給晶格的動(dòng)量，而在能帶頂附近，m*總是負(fù)的，表示電子從外場得到的動(dòng)量少于電子交給晶格的動(dòng)量。有效質(zhì)量m*是固體物理學(xué)中的一個(gè)重要概念。(1)m*(4).電子的有效質(zhì)量m*本身已概括了晶格的作用.因?yàn)榫Ц駝輬鰧﹄娮舆\(yùn)動(dòng)的影響在中已經(jīng)包含了.其值可通過解不含外場的薛定諤方程求得.從數(shù)學(xué)角度來說,能帶底對應(yīng)的極小,要求

反之,能帶頂對應(yīng)的極大，(4).電子的有效質(zhì)量m*本身已概括了晶格的作用.因?yàn)榫?/p>

有效質(zhì)量與準(zhǔn)動(dòng)量是人為定義的，用來描述晶體中電子的粒子性。用這些概念，處理晶體中電子的輸運(yùn)問題，可以把布洛赫電子看成是具有質(zhì)量m*、動(dòng)量為

的準(zhǔn)電子，使我們能夠只考慮外力作用下這樣的準(zhǔn)電子的運(yùn)動(dòng)。由于通常晶體周期場的作用是未知的，也不象外力那么容易求出，所以引入這兩個(gè)量，給處理問題帶來很大的方便。（5）一般而言,對于寬的能帶,能量隨波矢變化比較劇烈,m*小;而對于窄能帶,m*大一些.窄能帶相當(dāng)于電子波函數(shù)交疊較少,定域性強(qiáng),不易動(dòng),質(zhì)量大,對應(yīng)原子的內(nèi)層電子.有效質(zhì)量與準(zhǔn)動(dòng)量是人為定義的，用來描述晶體中電（6）實(shí)際測量電子的有效質(zhì)量,常通過電子比熱系數(shù)來確定.為自由電子氣的比熱系數(shù)的理論值為實(shí)驗(yàn)測量值

這樣定出的m*也叫熱有效質(zhì)量。（6）實(shí)際測量電子的有效質(zhì)量,常通過電子比熱系數(shù)來確定.為有一類材料,通過低溫電子比熱系數(shù)確定的電子的有效質(zhì)量,是自由電子質(zhì)量的100-1000倍,把這類材料稱為重費(fèi)米子(heavyfermion)材料.m*很高,意味著反常高的態(tài)密度，從而有窄的能帶,電子應(yīng)該很定域.實(shí)際上,這些材料都是些超導(dǎo)材料.是非常規(guī)超導(dǎo)電性的研究對象.如:（7）重費(fèi)米子(heavyfermion)材料

熱有效質(zhì)量很大的材料—重費(fèi)米子材料

つづき有一類材料,通過低溫電子比熱系數(shù)確定的電子的有效質(zhì)注意這里都是算符,所以T作用之后要保留.つづき注意這里都是算符,所以T作用之后要保留.つづき3.7布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)本節(jié)主要內(nèi)容：一、布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典模型

二、布洛赫電子的加速度和有效質(zhì)量3.7布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)本節(jié)主要內(nèi)容：一、布洛赫電子的前面我們討論了晶體電子在周期勢場中的本征態(tài)和本征能量，從本征態(tài)和本征能量出發(fā)可以進(jìn)一步研究晶體中電子的基態(tài)和激發(fā)態(tài)3.7布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)因?yàn)橹灰懒穗娮颖菊鲬B(tài)的分布，就可以根據(jù)統(tǒng)計(jì)物理的基本原理去討論系統(tǒng)中電子按能量的平衡態(tài)分布問題，也可以討論在外場下的量子躍遷問題，比如熱激發(fā)、光吸收和電子散射等。另外,當(dāng)討論電子在外場中的運(yùn)動(dòng)問題時(shí),如果采用量子力學(xué)處理,哈密頓中除了周期勢外,還要考慮外勢場.而且,由于外場使得電子的狀態(tài)和能量隨時(shí)間變化,所以必須求解包括外加勢場在內(nèi)的含時(shí)薛定諤方程.前面我們討論了晶體電子在周期勢場中的本征態(tài)和本征能量，求解含時(shí)薛定諤方程是很復(fù)雜的,為此人們把布洛赫電子近似當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來處理,這樣就避免了復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算,而且物理圖像也比較直觀.亦即外電場、磁場對布洛赫電子的作用采用經(jīng)典的處理方式，晶格周期場對電子的作用沿用能帶論量子力學(xué)的處理方式。把布洛赫電子當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來處理的近似方法稱為準(zhǔn)經(jīng)典近似。下面我們首先給出布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典模型，然后對這一模型的合理性給出解釋。求解含時(shí)薛定諤方程是很復(fù)雜的,為此人們把布洛赫電子近似1.模型的表述

一、布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典模型

假設(shè)每個(gè)電子具有確定的位置r,波矢k和能帶指標(biāo)n,對于給定的εn(k),在外電場E(r,t)和外磁場B(r,t)的作用下,位置、波矢、能帶指標(biāo)隨時(shí)間的變化遵從如下規(guī)則:1).能帶指標(biāo)n是運(yùn)動(dòng)常數(shù)，電子總呆在同一能帶中，忽略帶間躍遷的可能性；2).電子的速度滿足：3).波矢隨時(shí)間的變化滿足：電子的運(yùn)動(dòng)方程1.模型的表述一、布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典模型假設(shè)每個(gè)電子晶格周期場的量子力學(xué)處理的結(jié)果全部體現(xiàn)在中因而準(zhǔn)經(jīng)典模型提供了從能帶結(jié)構(gòu)推斷輸運(yùn)性質(zhì)，或反過來從輸運(yùn)性質(zhì)的測量結(jié)果推斷能帶結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)。在準(zhǔn)經(jīng)典模型中，能帶仍然滿足前面的對稱性。2.模型合理性的說明晶格周期場的量子力學(xué)處理的結(jié)果全部體現(xiàn)在嚴(yán)格求解電子在外電場和外磁場作用下的行為，應(yīng)從含時(shí)薛定諤方程中得到：量子力學(xué)對應(yīng)原理告訴我們,如果一個(gè)力學(xué)體系的態(tài)與態(tài)的變化可以用經(jīng)典力學(xué)近似描述,則這個(gè)態(tài)在量子力學(xué)中可以表示為一個(gè)波包.波包就是指該粒子的空間分布在r0附近⊿r范圍內(nèi)，動(dòng)量取值在?k0附近?⊿k范圍內(nèi)，且⊿r與⊿k滿足不確定性關(guān)系。

下面我們從量子力學(xué)出發(fā)給出模型的合理解釋嚴(yán)格求解電子在外電場和外磁場作用下的行為，應(yīng)從含由測不準(zhǔn)關(guān)系,布洛赫電子的波矢完全確定,則坐標(biāo)是完全不確定的.晶體中,一個(gè)電子的本征狀態(tài)是由布洛赫波函數(shù)來描述的,它具有確定的波矢和確定的能量.雖然波包的波矢不能完全確定，但是波包的空間位置有一定的確定性。也就是說，這個(gè)疊加態(tài)構(gòu)成的波包以犧牲波矢的完全確定來換取坐標(biāo)的某種確定性?？紤]到實(shí)際晶體中的電子態(tài),往往是一些本征態(tài)的疊加.如果布洛赫電子的狀態(tài)由附近范圍內(nèi)的布洛赫本征態(tài)疊加構(gòu)成,它將構(gòu)成一個(gè)波包.粒子運(yùn)動(dòng)的平均速度相當(dāng)于波包中心移動(dòng)的速度由測不準(zhǔn)關(guān)系,布洛赫電子的波矢完全確定,則坐標(biāo)是完全前面寫波函數(shù)時(shí),考慮到本征態(tài)是定態(tài),沒有考慮時(shí)間因子,現(xiàn)在考慮時(shí)間因子后，布洛赫波函數(shù)寫成：由于波包包含不同能量本征態(tài)(不同的狀態(tài)具有不同的能量).忽略帶間躍遷,可把附近范圍內(nèi)的布洛赫本征態(tài)疊加構(gòu)成的波包函數(shù)寫成:歸一化因子求和寫成積分是同一能帶中波矢是準(zhǔn)連續(xù)的前面寫波函數(shù)時(shí),考慮到本征態(tài)是定態(tài),沒有考慮時(shí)間因子令：考慮到在附近,調(diào)幅因子變化不大，可近似用代替，則波包函數(shù)近似為：在附近將展開得：令：考慮到在附近,調(diào)幅因子變化不大考慮到并把被積函數(shù)中的矢量用分量表示，且令：則波包函數(shù)可表示為：考慮到并把被積函數(shù)中的矢量用分量表示，且令：則波包函數(shù)可表示上式即布洛赫波包函數(shù)某時(shí)刻，在坐標(biāo)空間內(nèi)找到電子的概率為：附加因子的最大值為1(或

時(shí)).當(dāng)時(shí),在坐標(biāo)空間內(nèi)找到電子的概率為,對應(yīng)本征態(tài),電子的坐標(biāo)完全不確定.上式即布洛赫波包函數(shù)某時(shí)刻，在坐標(biāo)空間內(nèi)找到電子的概率為：如果,僅當(dāng)時(shí),波包的振幅最大,而當(dāng)時(shí),波包的振幅趨于零.這表明波包局限在晶體的一個(gè)區(qū)域內(nèi),且位置是時(shí)間的函數(shù).由此,我們可以把某時(shí)刻波包的中心位置認(rèn)定為電子的坐標(biāo)，即：寫成矢量形式，即：如果,僅當(dāng)波包的中心位置所以，波包的速度：這就證明了波包的速度(布洛赫電子的群速度)等于電子的平均速度,模型2得以合理解釋.

根據(jù)不確定性原理,⊿k越大,⊿r就越小,電子的位置就越確定.但是波矢通常限制在第一布里淵區(qū),所以⊿k的取值范圍應(yīng)遠(yuǎn)小于布里淵區(qū)的尺度,否則波矢完全不確定.因此,要求波包的尺度遠(yuǎn)大于晶格常數(shù).在這種意義上,準(zhǔn)經(jīng)典近似成立的條件是外場應(yīng)隨時(shí)間和空間緩慢變化.即波長遠(yuǎn)大于晶格常數(shù),而頻率要小,以禁止帶間躍遷.波包的中心位置所以，波包的速度：這就證明了波包的速度(布洛赫由量子力學(xué)我們知道,電子的平均速度可寫成：容易證明波包的速度(布洛赫電子的群速度)等于電子的平均速度

由量子力學(xué)我們知道,電子的平均速度可寫成：容易證明波前面,將布洛赫波函數(shù)代入薛定諤方程得：將上述方程兩邊對取微分,且令：則有：前面,將布洛赫波函數(shù)代入薛定諤方程得：將上述方程兩又因?yàn)椋核裕河忠驗(yàn)椋核裕簩ι鲜阶蟪嗽賹η蠓e分得：左1左2右1右2由于是厄米算符，則左2為：對上式左乘再對求積分得：左1左1右1則布洛赫電子的平均速度：說明：1).布洛赫態(tài)是與時(shí)間無關(guān)的定態(tài)，有確定的值.因而,盡管電子和周期排列的離子實(shí)相互作用,但其平均速度將永遠(yuǎn)保持,不會(huì)衰減.也就是說,一個(gè)理想金屬晶體,將有無窮大的電導(dǎo).

左1右1則布洛赫電子的平均速度：說明：1).布洛赫態(tài)是與時(shí)2).由于晶體結(jié)構(gòu)上的不理想性,存在雜質(zhì)和缺陷,同時(shí),離子實(shí)本身會(huì)有熱運(yùn)動(dòng),因而電子總會(huì)受到散射,使得電子的自由程有限,從而金屬晶體不會(huì)有無窮大的電導(dǎo).

此外，從上述的推導(dǎo)我們可以看出，布洛赫電子無論從波包還是從平均速度的觀點(diǎn)來看，其運(yùn)動(dòng)速度都等于它的表象點(diǎn)在k空間中該點(diǎn)上的能量梯度的1/?倍，或者說晶體電子的速度與能譜曲線的斜率成正比。因此，晶體電子在k空間任意點(diǎn)的速度垂直于經(jīng)過該點(diǎn)的等能面。所以，晶體電子在k空間任意點(diǎn)的速度不一定和波矢k平行。但對于球形等能面，則晶體電子的速度和波矢k平行，如自由電子的速度v=?k/m，則與波矢k平行且成正比。2).由于晶體結(jié)構(gòu)上的不理想性,存在雜質(zhì)和缺陷,同時(shí),離子下面對模型3作出解釋即在外力作用下，晶體電子的動(dòng)力學(xué)行為的合理解釋.由量子力學(xué)，任意不顯含時(shí)間的力學(xué)量A的平均值隨時(shí)間的變化滿足Ehrenfest關(guān)系。即力學(xué)量A的平均值隨時(shí)間的變化關(guān)系為其中H是系統(tǒng)的哈密頓量.下面對模型3作出解釋即在外力作用下，晶體電子的動(dòng)力令A(yù)為晶格的平移算符T.在考慮一維情形下(晶格常數(shù)為a),有：設(shè)沒有外力時(shí),系統(tǒng)的哈密頓量是H0,則有：在均勻外力F作用下,系統(tǒng)的哈密頓量可表示為：令A(yù)為晶格的平移算符T.在考慮一維情形下(晶格常數(shù)為a),兩式相加得：上式表示的是位于復(fù)平面內(nèi)園的方程,實(shí)軸和虛軸分別為平移算符本征值的實(shí)部和虛部.且由該式可知,如果最初是滿足周期性邊界條件的布洛赫波,則有：這樣在外力的作用下,將沿著復(fù)平面內(nèi)的單位園運(yùn)動(dòng).因此,仍可表示為：兩式相加得：上式表示的是位于復(fù)平面內(nèi)園的方程,實(shí)軸和虛軸分別以上是一維的結(jié)果,推廣到三維,則有：這正是模型3以上是一維的結(jié)果,推廣到三維,則有：這正是模型3這樣我們就從量子力學(xué)出發(fā)對準(zhǔn)經(jīng)典模型做出了合理的解釋。即運(yùn)動(dòng)方程是合理的此外,

上式也表明,在均勻外力F作用下，對于波包的每一個(gè)分量,波矢均以恒定的速率演變.稱為布洛赫電子的準(zhǔn)動(dòng)量或晶體的動(dòng)量.這是因?yàn)?外力是對整個(gè)晶體的作用,改變的是整個(gè)電子、晶格系統(tǒng)的動(dòng)量,而不單單是電子的動(dòng)量。所以布洛赫電子，常被稱為晶體電子或準(zhǔn)電子。

這樣我們就從量子力學(xué)出發(fā)對準(zhǔn)經(jīng)典模型做出了合理的解釋3.準(zhǔn)經(jīng)典模型的適用范圍

(1).外場的波長要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于晶格常數(shù),即:λ>>a,否則,形不成波包.這是禁止帶間躍遷所要求的.

準(zhǔn)經(jīng)典模型描述晶體中電子的外場響應(yīng).外場作為一種力出現(xiàn)在描述波包的坐標(biāo)和波矢變化的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程中.因此,要求與波包的尺度相比,外場是一個(gè)時(shí)間和空間的緩變場.

(2).

外場變化的頻率必須滿足：,為帶隙

3.準(zhǔn)經(jīng)典模型的適用范圍(1).外場的波長要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大由電子的平均速度即可求出它的平均加速度。三、布洛赫電子的加速度和有效質(zhì)量(effectivemass)

1.加速度、有效質(zhì)量由電子的平均速度即可求出它的平均加速度。三、布洛赫電子的加速上式與形式類似，只是現(xiàn)在一個(gè)二階張量代替了，由此我們可以定義電子的有效質(zhì)量。電子加速度公式用矩陣表示為上式與形式類似，只是現(xiàn)在一個(gè)二階張量把稱為電子的有效質(zhì)量電子有效質(zhì)量是一個(gè)二階張量,寫成分量形式為：

由于微分可以交換次序,所以這是對稱張量.轉(zhuǎn)換到主軸坐標(biāo)上去,可對角化.把稱為電子的有效質(zhì)量電子有效質(zhì)量選kx,ky,kz軸沿張量主軸方向,則有:這時(shí)倒逆有效質(zhì)量張量是對角化的所以,在主軸坐標(biāo)系中：倒逆有效質(zhì)量張量的分量為：選kx,ky,kz軸沿張量主軸方向,則有:這時(shí)倒逆1）.緊束縛近似下一維布拉維格子中電子的情況

帶底帶頂

2.有效質(zhì)量的計(jì)算和特點(diǎn)1）.緊束縛近似下一維布拉維格子中電子的情況帶底帶頂加速度為正加速度為負(fù)帶底附近帶頂附近(布里淵區(qū)邊界附近)速度極值處電子在布里淵區(qū)邊界附近所表現(xiàn)的這種特殊行為，是晶格周期場的作用，是電子受布拉格反射的結(jié)果。在最近鄰近似下，kc=π/2a；對于實(shí)際情況，比如次近鄰等的影響下kc會(huì)略大于π/2a

加速度為正加速度為負(fù)帶底附近帶頂附近(布里淵區(qū)邊界附近)速Ek有效質(zhì)量小有效質(zhì)量大有效質(zhì)量是k的函數(shù),在能帶底附近總是取正值;在能帶頂附近總是取負(fù)值.有效質(zhì)量反比于能譜曲線的曲率Ek有效質(zhì)量小有效質(zhì)量大有效質(zhì)量是k的函數(shù),在能帶底附近總是解:由緊束縛近似可得體心立方s能帶的能量表達(dá)式：

2）體心立方晶格緊束縛近似下的s能帶電子解:由緊束縛近似可得體心立方s能帶的能量表達(dá)式：2）易計(jì)算電子的速度和有效質(zhì)量分別為

顯然,此時(shí)kx,ky,kz并非張量主軸坐標(biāo),因?yàn)榻徊骓?xiàng)不為零.

易計(jì)算電子的速度和有效質(zhì)量分別為顯然,此時(shí)kx,ky,kz在能帶底部,kx=ky=kz=0處，在能帶頂部，而在處，都變成但在帶底k=(0,0,0)和帶頂(±2π/a,0,0);(0,±2π/a,0);(0,0,±2π/a)處,卻只有對角項(xiàng)存在.有效質(zhì)量變成了標(biāo)量

且有

在能帶底部,kx=ky=kz=0處，在能帶頂部，而在在能帶底部kx=ky=kz=0附近，由于k很小，所以能帶可近似為上述在帶底和帶頂處的結(jié)果也可由能帶在帶底和帶頂附近的近似展開得到表明在k=0附近,等能面近似為球面,有效質(zhì)量各向同性.易得有效質(zhì)量在能帶底部kx=ky=kz=0附近，由于k很小，所以能帶在帶頂，比如(2π/a，0，0)附近，能量表達(dá)式可以近似為以(2π/a，0，0)為中心的圓表明在(2π/a，0，0)

附近,等能面近似為以(2π/a，0，0)為中心的球面,有效質(zhì)量各向同性.易得有效質(zhì)量令，則在(2π/a，0，0)附近、ky、kz為小量，可將能量展開為在帶頂，比如(2π/a，0，0)附近，能量表達(dá)式可以近似通過上述的例子可知，有效質(zhì)量m*可以是正值，也可以是負(fù)值。特別是在能帶底附近，m*總是正值；在能帶頂附近，m*總是負(fù)的。在外場的作用下,晶體中的電子除受外力作用外,還和晶格相互作用.晶體中電子的有效質(zhì)量為什么可能為負(fù)值?甚至還會(huì)變成無窮大呢?下面給出簡單的分析。設(shè)電子與晶格之間的作用力為Fl,則由牛頓第二定律可得

通過上述的例子