2012協(xié)會(huì)練習(xí)輸油管布置-數(shù)學(xué)建模

本文所要的問(wèn)題是輸油管的布置以及費(fèi)用最低問(wèn)題根據(jù)題目中的設(shè)兩廠和車站分別為A、B、M，A、B廠到鐵路線的距離分別為a，b（a<b）,度為s，總費(fèi)用為y，則具體分析如下：◎當(dāng)A、B、M則s=(b?a)+a,因此，當(dāng)m≠ny=ma+n(b?m=ny=2.若不共用管線，則y=m(a+◎當(dāng)A、B、MABA、BC、D，以CD為xACy則s=AM+BM=√x2+a2+√(q?x)2+b2（0xq）y=n√x2+a2+n√(q?x)2+b2（0≤x≤q）若A與B共用管線，過(guò)交界點(diǎn)P向CD做垂線，垂足為M，且PM=t，則點(diǎn)在四邊形 包括邊緣及頂點(diǎn)上，位置及坐標(biāo)如下圖所示則此時(shí)s=AP+PM+PB，因?yàn)椴恢繮的具置在哪因此把上圖A⑴當(dāng)P在A點(diǎn)上方時(shí)，則s=AP+PB+PM,根據(jù)三角形的性質(zhì)可得AP+PB>AB的，則s=AP+PB+PM≥AB+PM>????+????,因此可得知當(dāng)s取最小值時(shí)P點(diǎn)與APA⑵當(dāng)PA點(diǎn)下方時(shí)，即（0t≤a），過(guò)電P作直線y=t平行于x位置：y=tAA′，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)可得APA′P，則s=AP+PB+PM=A′P+PB+PM,同樣的可以得到s=A′P+PB+PM≥A′B+PM所以s=√q2+(b+a?2t)2+t，y=m√q2+(b+a?2t)2+當(dāng)m=n時(shí)，s′ 或t=令s′=0,則t或t=6又因?yàn)椋?≤t≤6所以0≤3a+3b?q√36解得√3（ba)≥q≥√3(b?

6

>??(1.)當(dāng)√3(ba)≥q≥0時(shí)，s′<0,即s′在[0,at=assmin=√(a?b)2+q2+a,且(2.)√3（b+a)≥q≥√3(b?as在[0,3a+3b?q√3]單調(diào)遞減,在6[3a+3b?q√3a]單調(diào)遞增，6smin6

√3q）62此可得A′B的直線方程為：y=√3x+b?√3q;直線y=t=a+b2 聯(lián)立上訴的兩個(gè)直線方程得到其交點(diǎn)為P（√3(a?b)+qa+b?√3q）s

(3.)當(dāng)q≥q≥√3（b+a)時(shí),s′>0,即s′在[0,a]t=0ssmin=√q2+(ba)2,此時(shí)a′坐標(biāo)為（0，-a）A′B

xay=o

,此時(shí)

,0）,sq

（1）當(dāng)√3(b?a)≥q≥0時(shí)smin=√(a?b)2+q2+a，P（0，a；m=nymin=m√(ab)2q2（2）當(dāng)√3（ba)≥q≥√3(b?a)時(shí)

=a+q+√3b，2

min= （3）當(dāng)q≥q≥√3（b+a)時(shí)

=√q2+(b+a)2，P（aqm=nymin=m√q2b當(dāng)m≠ns=√q2+(b+a?2t)2+t，y=n√q2+(b+a?2