兩自由度系統(tǒng)振動課件

第三章兩自由度系統(tǒng)的振動第一節(jié)引言第二節(jié)兩自由度系統(tǒng)無阻尼的自由振動第三節(jié)兩自由度系統(tǒng)振動模型的建立第四節(jié)剛體在平面內的振動第五節(jié)兩自由度系統(tǒng)的強迫振動第六節(jié)阻尼對強迫振動的影響第七節(jié)兩自由度系統(tǒng)振動理論的實際應用第三章兩自由度系統(tǒng)的振動第一節(jié)引言第一節(jié)引言兩自由度系統(tǒng)的振動：用兩個獨立坐標才能確定的系統(tǒng)振動。第一節(jié)引言兩自由度系統(tǒng)的振動：用兩第二節(jié)兩自由度系統(tǒng)無阻尼的自由振動一、系統(tǒng)振動微分方程的建立力學模型：耦合項單自由度無阻尼的自由振動的標準方程第二節(jié)兩自由度系統(tǒng)無阻尼的自由振動一、系統(tǒng)振動微分方二、兩自由度系統(tǒng)固有頻率與主振型解微分方程：(3-1)齊次方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式為0二、兩自由度系統(tǒng)固有頻率與主振型解微分方程：(3-1)齊次方1.系統(tǒng)的固有頻率2.主振型

按頻率數(shù)值大小為序,數(shù)值最小的一個稱為第一階固有頻率,用來表示；把數(shù)值較大的一個稱為第二階固有頻率,用來表示。(3-1)1.系統(tǒng)的固有頻率2.主振型按頻率數(shù)值大小為序

一般情況下的系統(tǒng)振動是兩種簡諧振動的疊加，即三、兩自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動的通解一般情況下的系統(tǒng)振動是兩種簡諧振動的疊加，即三、兩自由度系統(tǒng)兩自由度與單自由度系統(tǒng)振動特性與分析方法的不同：兩自由度振動系統(tǒng)具有兩階固有頻率；兩自由度振動系統(tǒng)引入主振型的概念，與系統(tǒng)的固有頻率一樣，是系統(tǒng)本身的物理特性與固有特性，與其初始條件無關。一般情況下系統(tǒng)的振動是兩種主振動的疊加，是一種復雜的非周期運動。當滿足一定條件時，系統(tǒng)才作主振動。兩自由度與單自由度系統(tǒng)振動特性與分析方法的不同：例3-1如圖，兩自由度模型中，已知m1=m2=m=0.05kg，K1=K2=K3=K=20N/m,初始條件如下：x10=1cm,x20=-2cm,x'10=x'20=0x10=x20=1cm,x'10=x'20=0求兩種情況下系統(tǒng)的響應。例3-1如圖，兩自由度模型中，已知m1=m2=m=0.05a）第一階主振型圖b）第二階主振型圖a）第一階主振型圖系統(tǒng)按第一階固有頻率振動,為第一階主振型。系統(tǒng)按第一階固有頻率振動,為第一階主振型。例例練習1如圖，推導系統(tǒng)的頻率方程并求主振型。設滑輪為均質圓盤，其質量為m2，質量塊質量為m1，彈簧剛度分別為K1和K2，并假定滑輪與繩索間無相對滑動。解：選取廣義坐標為（），取靜平衡位置作為坐標原點，進行受力分析，建立系統(tǒng)的運動微分方程：練習1如圖，推導系統(tǒng)的頻率方程并求主振型。設滑輪為均質系統(tǒng)的固有頻率頻率系統(tǒng)的固有頻率頻率99練習2如圖，擺長均為l，質量均為m的單擺，上端鉸接懸掛，距懸掛點a處，用剛度為K的彈簧相聯(lián)。設彈簧原長為AB，桿重不計，系統(tǒng)作微振動。推導系統(tǒng)的頻率方程并求主振型。解：1)建立系統(tǒng)的運動微分方程：練習2如圖，擺長均為l，質量均為m的單擺，上端鉸接第三章-兩自由度系統(tǒng)振動-課件例

如圖，求兩自由度扭振系統(tǒng)的固有頻率及主振型。（I2=2I1）例如圖，求兩自由度扭振系統(tǒng)的固有頻率及主振型。（I2=第三節(jié)兩自由度系統(tǒng)振動模型的建立動力學系統(tǒng)振動模型的建立方法：牛頓運動定律定軸轉動微分方程能量法一、拉氏方程的原理在理想、完整約束條件下的n個自由度系統(tǒng)，選取廣義坐標為qj（j=1,2,···,n)，其運動可由如下拉格朗日方程來描述：式中，T為系統(tǒng)的動能，為廣義速度，為與qj對應的廣義力。第三節(jié)兩自由度系統(tǒng)振動模型的建立動力學系統(tǒng)振動模型的建立1)當作用于系統(tǒng)的主動力都是有勢力時（系統(tǒng)沒有能量損失時），則系統(tǒng)具有勢能U（q1,q2,···,qn)，廣義力為代入方程得：其中，L=T-U稱為拉格朗日函數(shù)。1)當作用于系統(tǒng)的主動力都是有勢力時（系統(tǒng)沒有能量損失時

2)當作用在系統(tǒng)上的主動力中，部分為有勢力，部分是非有勢力，廣義力Qj可分為兩部分：

2)當作用在系統(tǒng)上的主動力中，部分為有勢力，部分是非有當非有勢力中包括阻尼力時：

若系統(tǒng)受到線性阻尼作用，可以引入瑞利耗散函數(shù)D當非有勢力中包括阻尼力時：例題：如圖所示為有阻尼的雙彈簧系統(tǒng)。試用拉氏方程建立系統(tǒng)的振動微分方程。例題：如圖所示為有阻尼的雙彈簧系統(tǒng)。試用拉氏方程建立系統(tǒng)的第三章-兩自由度系統(tǒng)振動-課件解：取小車的絕對位移u1和圓柱體的絕對位移u2為廣義坐標。例題：置于光滑平面的小車質量m1，車上質量為m2的圓柱體可作無滑動的純滾動。試建立該系統(tǒng)的運動微分方程。根據(jù)圓柱體對圓心的轉動慣量和純滾動的轉角可以寫出系統(tǒng)的動能和勢能：代入拉氏方程，得系統(tǒng)的微分方程u1u2解：取小車的絕對位移u1和圓柱體的絕對位移u2為廣義坐標。例練習4

擺長均為l，擺錘質量分別為m1及m2的兩單擺，在距離懸掛點a處，用剛度為K的彈簧相聯(lián)，如圖，設彈簧原長等于AB，試用拉氏方程導出雙擺的運動微分方程。練習4擺長均為l，擺錘質量分別為m1及m2的兩單擺，在第四節(jié)剛體在平面內的振動一、平面振動微分方程的建立及其解

設剛性桿質量為m，支撐彈簧剛度為K1、K2，質心為C，其距前輪的距離為l1和l2，桿繞質心軸轉動慣量為Ic，取質心C的垂直位移x及桿繞質心的角位移θ作為廣義坐標（x,θ），對桿進行受力分析。第四節(jié)剛體在平面內的振動一、平面振動微分方程的建立及其解第三章-兩自由度系統(tǒng)振動-課件1111第四節(jié)剛體在平面內的振動一、平面振動微分方程的建立及其解

靜平衡位置彈簧未壓縮時位置設剛性桿質量為m，支撐彈簧剛度為K1、K2，質心為C，其距前后輪的距離為l1和l2，桿繞質心軸轉動慣量為I，取質心C的垂直位移x及桿繞質心的角位移θ作為廣義坐標（x,θ），分析振動規(guī)律。第四節(jié)剛體在平面內的振動一、平面振動微分方程的建立及其解考慮到在靜平衡位置：重力與彈簧1和2的靜彈力之和相等，而且兩彈簧對質心的靜彈性力矩之和為零，所以有代入上式，得考慮到在靜平衡位置：重力與彈簧1和2的靜彈力之和相第三章-兩自由度系統(tǒng)振動-課件第五節(jié)兩自由度系統(tǒng)的強迫振動如圖在m1和m2上分別作用有簡諧激振力F1sinωt和F2sinω，取廣義坐標為（x1,x2），以靜平衡位置作為坐標原點。

運動微分方程為：第五節(jié)兩自由度系統(tǒng)的強迫振動如結論：

1）系統(tǒng)的強迫振動是與簡諧干擾同頻率的簡諧振動。可求得固有頻率ωn1和ωn2。在（2）式中，當頻率ω=ωn1或ω=ωn2時，振幅為無窮大，發(fā)生共振現(xiàn)象。結論：

1）系統(tǒng)的強迫振動是與簡諧干擾同頻率的簡諧振動。2）兩自由度系統(tǒng)的強迫振動有兩個共振頻率。2）兩自由度系統(tǒng)的強迫振動有兩個共振頻率。練習4如圖3-21所示：m1=m2=m，K1=K2=K3=K，m1上作用F1sinωt的外激勵力，求①系統(tǒng)的響應；②共振時振幅比；練習4如圖3-21所示：m1=m2=m，K1=K2=K解：1）首先建立系統(tǒng)的振動微分方程解：1）首先建立系統(tǒng)的振動微分方程B1(B2)B1(B2)例：如圖一雙質量彈簧系統(tǒng)，其支撐點作簡諧振動xs=asinωt，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。例：如圖一雙質量彈簧系統(tǒng)，其支撐點作簡諧振動xs=asin第六節(jié)阻尼對強迫振動的影響第六節(jié)阻尼對強迫振動的影響阻尼使共振附近的振動振幅顯著減小。阻尼使共振附近的振動振幅顯著減小。第六節(jié)兩自由度系統(tǒng)振動理論的實際應用

動力減振器主系統(tǒng)動力減振系統(tǒng)第六節(jié)兩自由度系統(tǒng)振動理論的實際應用動力減振器主系統(tǒng)第三章-兩自由度系統(tǒng)振動-課件B1(B2)B1(B2)Thankyouforyourlistening!第三章結束Thankyouforyourlistening!第

如圖所示為一均勻圓柱體沿水平直線軌道做無滑動滾動，又一均質剛性桿，長3r、質量為m，以光滑鉸鏈與圓柱體之中心連接，圓柱體的質量為m，試用拉氏方程建立系統(tǒng)的振動微分方程及求系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅振動時的固有圓頻率。解：1）建立振動微分方程，取廣義坐標（）動能由兩部分組成：（1）隨質心的平動動能；（2）繞質心軸轉動的動能；圓柱體質心速度：繞質心角速度：剛性桿質心速度：繞質心角速度：如圖所示為一均勻圓柱體沿水平直線軌道做無滑動滾動任一瞬時t系統(tǒng)的動能：設平衡位置時的勢能為零，任一瞬時t系統(tǒng)的勢能：拉氏函數(shù)：拉氏方程：任一瞬時t系統(tǒng)的動能：設平衡位置時的勢能為零，任一瞬時t系統(tǒng)2）求系統(tǒng)的固有頻率：設振動方程組的解為，，代入方程并令A1、A2的系數(shù)行列式為零，可得頻率方程解得固有頻率為：2）求系統(tǒng)的固有頻率：設第三章-兩自由度系統(tǒng)振動-課件系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡位置附近作微振動時，勢能和動能的表達式為：應用拉氏方程建立系統(tǒng)運動微分方程時，由上式可求得系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡位置附近作微振動時，勢能和動能的表達式為：應用二、離心擺式減振器當干擾頻率隨轉速在很大范圍內變動時，必須使減振器的固有頻率能跟隨轉速自動調節(jié)，才能有效地達到減振的目的。如圖為離心擺式減振器的原理圖。二、離心擺式減振器當干擾頻率隨轉速在很大范圍（1）對無阻尼自由振動（2）對于阻尼強迫振動若系統(tǒng)受到線性阻尼作用，可以引入瑞利耗散函數(shù)D（1）對無阻尼自由振動（2）對于阻尼強迫振動當非有勢力中包括阻尼力時：

若系統(tǒng)受到線性阻尼作用，可以引入瑞利耗散函數(shù)D當非有勢力中包括阻尼力時：例3-5擺長均為l，擺錘質量分別為m1及m2的兩單擺，在距離懸掛點a處，用剛度為K的彈簧相聯(lián)，如圖，設彈簧原長等于AB，試用拉氏方程導出雙擺的運動微分方程。例3-6例3-5擺長均為l，擺錘質量分別為m1及m2的兩單擺，在距例3-8例3-7例3-8例3-7第四節(jié)剛體在平面內的振動一、平面振動微分方程的建立及其解

設剛性桿質量為m，支撐彈簧剛度為K1、K2，質心為C，其距前輪的距離為l1和l2，桿繞質心軸轉動慣量為Ic，取質心C的垂直位移x及桿繞質心的角位移θ作為廣義坐標（x,θ），對桿進行受力分析。第四節(jié)剛體在平面內的振動一、平面振動微分方程的建立及其解二、靜力耦合與動力耦合一般情況下無阻尼的兩自由度系統(tǒng)振動微分方程，具有如下的形式：當質量矩陣的非對角線元素m12、m21不為零時，稱為慣性耦合或動力耦合；剛度矩陣的非對角線元素不為零時稱為彈性耦合或靜力耦合。選取的廣義坐標不同，則耦合形式不同。若選取一組特殊廣義坐標，恰好使得微分方程中的耦合項完全為零，即無動力耦合又無靜力耦合，兩個方程變成為相當于無關的單自由度振動方程，將給求解帶來極大方便，此坐標稱為主坐標。二、靜力耦合與動力耦合當質量矩陣的非對角線例如圖：m1=m2=m，K1=K2=K3=K，m1上作用F1s