高中數(shù)學導(dǎo)數(shù)知識點歸納總結(jié)

§14.導(dǎo)數(shù)知識要點導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的運算導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值函數(shù)的最值常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運算法則1.導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）的定義：設(shè)是函數(shù)定義域的一點，如果自變量在處有增量，則函數(shù)值也引起相應(yīng)的增量；比值稱為函數(shù)在點到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，并把這個極限叫做在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即=.注：①是增量，我們也稱為“改變量”，因為可正，可負，但不為零.②以知函數(shù)定義域為，的定義域為，則與關(guān)系為.2.函數(shù)在點處連續(xù)與點處可導(dǎo)的關(guān)系：⑴函數(shù)在點處連續(xù)是在點處可導(dǎo)的必要不充分條件.可以證明，如果在點處可導(dǎo)，那么點處連續(xù).事實上，令，則相當于.于是⑵如果點處連續(xù)，那么在點處可導(dǎo)，是不成立的.例：在點處連續(xù)，但在點處不可導(dǎo)，因為，當＞0時，；當＜0時，，故不存在.注：①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，也就是說，曲線在點P處的切線的斜率是，切線方程為4.求導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：（為常數(shù)）注：①必須是可導(dǎo)函數(shù).②若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).例如：設(shè)，，則在處均不可導(dǎo)，但它們和在處均可導(dǎo).5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：或復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個中間變量的情形.6.函數(shù)單調(diào)性：⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果＞0，則為增函數(shù)；如果＜0，則為減函數(shù).⑵常數(shù)的判定方法；如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有=0，則為常數(shù).注：①是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣是f（x）遞減的充分非必要條件.②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.7.極值的判別方法：（極值是在附近所有的點，都有＜，則是函數(shù)的極大值，極小值同理）當函數(shù)在點處連續(xù)時，①如果在附近的左側(cè)＞0，右側(cè)＜0，那么是極大值；②如果在附近的左側(cè)＜0，右側(cè)＞0，那么是極小值.也就是說是極值點的充分條件是點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是=0①.此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點也可能是函數(shù)的極值點②.當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值小（函數(shù)在某一點附近的點不同）.注①：若點是可導(dǎo)函數(shù)的極值點，則=0.但反過來不一定成立.對于可導(dǎo)函數(shù)，其一點是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)，使=0，但不是極值點.②例如：函數(shù)，在點處不可導(dǎo)，但點是函數(shù)的極小值點.8.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較.注：函數(shù)的極值點一定有意義.9.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：I.（為常數(shù)）（）II.III.求導(dǎo)的常見方法：①常用結(jié)論：.②形如或兩邊同取自然對數(shù)，可轉(zhuǎn)化求代數(shù)和形式.③無理函數(shù)或形如這類函數(shù)，如取自然對數(shù)之后可變形為，對兩邊求導(dǎo)可得.導(dǎo)數(shù)知識點總結(jié)復(fù)習經(jīng)典例題剖析考點一：求導(dǎo)公式。例1.SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)，則SKIPIF1<0的值是?？键c二：導(dǎo)數(shù)的幾何意義。例2.已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在點SKIPIF1<0處的切線方程是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。例3.曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程是。點評：以上兩小題均是對導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查?？键c三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用。例4.已知曲線C：SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0與曲線C相切于點SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程及切點坐標。點評：本小題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用。解決此類問題時應(yīng)注意“切點既在曲線上又在切線上”這個條件的應(yīng)用。函數(shù)在某點可導(dǎo)是相應(yīng)曲線上過該點存在切線的充分條件，而不是必要條件。考點四：函數(shù)的單調(diào)性。例5.已知SKIPIF1<0在R上是減函數(shù)，求SKIPIF1<0的取值范點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用。對于高次函數(shù)單調(diào)性問題，要有求導(dǎo)意識?？键c五：函數(shù)的極值。例6.設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0及SKIPIF1<0時取得極值。（1）求a、b的值；（2）若對于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，求c的取值范圍。點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。求可導(dǎo)函數(shù)SKIPIF1<0的極值步驟：①求導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0；②求SKIPIF1<0的根；③將SKIPIF1<0的根在數(shù)軸上標出，得出單調(diào)區(qū)間，由SKIPIF1<0在各區(qū)間上取值的正負可確定并求出函數(shù)SKIPIF1<0的極值。考點六：函數(shù)的最值。例7.已知SKIPIF1<0為實數(shù)，SKIPIF1<0。求導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值和最小值。點評：本題考查可導(dǎo)函數(shù)最值的求法。求可導(dǎo)函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最值，要先求出函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的極值，然后與SKIPIF1<0和SKIPIF1<0進行比較，從而得出函數(shù)的最大最小值。考點七：導(dǎo)數(shù)的綜合性問題。例8.設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0為奇函數(shù)，其圖象在點SKIPIF1<0處的切線與直線SKIPIF1<0垂直，導(dǎo)函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0。（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0