分析力學第二章課件

第二章：動力學普遍方程和拉格朗日方程達朗伯原理：用靜力學平衡問題的方法解決動力學問題拉格朗日方程：用虛位移描述的動力學普遍方程，不出現(xiàn)約束反力，但虛位移之間不獨立，將動力學普遍方程用廣義坐標來表示，就可推出拉格朗日方程。第二章：動力學普遍方程和拉格朗日方程達朗伯原理：用靜力學平衡12.1動力學普遍方程設(shè)一質(zhì)點系由n各質(zhì)點組成，第i個質(zhì)點的質(zhì)量mi，作用在其上的主動力Fi，約反力合力FNi，慣性力Fgi=-miai,由達朗伯原理：2.1動力學普遍方程設(shè)一質(zhì)點系由n各質(zhì)點組成，第i個質(zhì)點的2上式稱之為動力學普遍方程。在理想約束下，作用在質(zhì)點系上的主動力和慣性力在任意虛位移上所作虛功之和為零例題：離心調(diào)速器如圖所示，已知mA=mB=m=15kg,套筒mC=10kg，桿長l=0.25m，e=0.03m,彈簧剛度k=14700N/m，正常角速度時=30°，彈簧不受力。試求=60°時的角速度。上式稱之為動力學普遍方程。在理想約束下，作用在質(zhì)點系上的主動3分析力學第二章課件4例題：如圖所示，質(zhì)量m1的勻質(zhì)圓柱A與質(zhì)量為m2的物體B相連，物體B與水平面間的摩擦系數(shù)fs，忽略滑輪質(zhì)量，開始式系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，求A,B兩物體質(zhì)心的加速度a1,a2該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)：廣義坐標：x,例題：如圖所示，質(zhì)量m1的勻質(zhì)圓柱A與質(zhì)量為m2的物體B相連5分析力學第二章課件6分析力學第二章課件7例題圖所示，水平桿AB兩端各系一根繩索，繩索繞過定滑輪C,D,在自由端分別懸掛重物E（m2)和F(m1),令系統(tǒng)無初速度釋放，試求重物F的初加速度。已知杠桿臂長比：AO:OB=k，杠桿初時水平，桿與滑輪質(zhì)量忽略不計例題圖所示，水平桿AB兩端各系一根繩索，繩索繞過定滑輪C,8分析力學第二章課件9分析力學第二章課件10設(shè)質(zhì)點系有n個質(zhì)點，受s個完整非定長約束，系統(tǒng)有N=3n-s個自由度，用N個廣義坐標表示質(zhì)點系位置，則質(zhì)點系位置可表示為：下面來推導拉格朗日方程：證明（1）2.2拉格朗日方程設(shè)質(zhì)點系有n個質(zhì)點，受s個完整非定長約束，系統(tǒng)有N=3n-s11對下式兩邊求導：對下式兩邊求導：12證明（2）證明（2）13分析力學第二章課件14Lagrangri方程Lagrangri方程15它是N個二階常微分方程，初始條件為t=0時刻的廣義坐標和廣義初速度舉例：如圖所示，輪系，已知r2=1.5r1，曲柄OA質(zhì)量m，齒輪的質(zhì)量分別為m1和m2，齒輪視為勻質(zhì)圓盤，在曲柄上作用一力矩M1，求系統(tǒng)的運動方程。該系統(tǒng)為單自由度系統(tǒng)，取廣義坐標系統(tǒng)動能：它是N個二階常微分方程，初始條件為t=0時刻的廣義坐標和廣義16速度分析：速度分析：17分析力學第二章課件18兩種不同主動力下的拉格朗日方程（1）主動力為有勢力當主動力為有勢力時，廣義力可由勢能函數(shù)確定：兩種不同主動力下的拉格朗日方程19（2）主動力為有勢力和非有勢力例題：如圖所示，物塊重m彈簧系數(shù)k，定滑輪質(zhì)量M,均勻分布在輪緣上，摩擦忽略，求重物的振動周期。系統(tǒng)動能：該系統(tǒng)為單自由度系統(tǒng)，取滑輪轉(zhuǎn)角未廣義坐標（2）主動力為有勢力和非有勢力例題：如圖所示，物塊重m彈簧系20分析力學第二章課件21例題：設(shè)有一與彈簧相連滑塊A，質(zhì)量m1，彈簧系數(shù)k，下面掛一擺長度l，質(zhì)量m2，求系統(tǒng)運動微分方程。例題：設(shè)有一與彈簧相連滑塊A，質(zhì)量m1，彈簧系數(shù)k，下面掛一222.3動能的廣義速度表達式2.3動能的廣義速度表達式23分析力學第二章課件24例題：質(zhì)量為M的質(zhì)點沿光滑斜面運動，而斜面又沿水平面以速度v勻速運動，求質(zhì)點的動能表達式例題：質(zhì)量為M的質(zhì)點沿光滑斜面運動，而斜面又沿水平面以速度v252.4拉格朗日方程的初積分廣義能量積分2.4拉格朗日方程的初積分廣義能量積分26分析力學第二章課件27分析力學第二章課件28例題：如圖所示，勻質(zhì)桿質(zhì)量m長度l，與質(zhì)量m1勻質(zhì)圓盤在中心鉸接，圓盤在水平導軌上無摩擦滾動，其中心通過彈性系數(shù)k的彈簧固定在墻上，用拉格朗日推導運動微分方程，寫出能量積分。該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)，圓盤中心水平位移x和擺角為廣義坐標例題：如圖所示，勻質(zhì)桿質(zhì)量m長度l，與質(zhì)量m1勻質(zhì)圓盤在中心29分析力學第二章課件30循環(huán)積分：循環(huán)積分：31例題1，質(zhì)量m的質(zhì)點在重力場中運動，取直角坐標x,y,z為廣義坐標,質(zhì)點動能：例題1，質(zhì)量m的質(zhì)點在重力場中運動，取直角坐標x,y,z為廣32例題2，質(zhì)量m的質(zhì)點在有心力作用下運動，運動軌跡是一平面曲線，取平面極坐標，為廣義坐標,質(zhì)點動能：例題2，質(zhì)量m的質(zhì)點在有心力作用下運動，運動軌跡是一平面曲線33例3：如圖所示，置于水平面上的薄球殼只滾不滑，質(zhì)量M，半徑a，內(nèi)放一質(zhì)量m的勻質(zhì)桿，該系統(tǒng)由靜止開始運動，開始瞬間棒與水平成角，試證明棒與水平線夾角滿足下列關(guān)系：例3：如圖所示，置于水平面上的薄球殼34分析力學第二章課件35分析力學第二章課件36分析力學第二章課件372.5碰撞問題的拉格朗日方程2.5碰撞問題的拉格朗日方程38例題：如圖所示結(jié)構(gòu)。兩勻質(zhì)桿OA和AB質(zhì)量均為m，長均為l，鉸接于A處。開始時兩鉛垂桿靜止，今在AB桿中點D作用與桿垂直的水平?jīng)_量，求沖擊后兩桿的角速度。取例題：如圖所示結(jié)構(gòu)。兩勻質(zhì)桿OA和AB質(zhì)量均為m，長均為l，39分析力學第二章課件40分析力學第二章課件41分析力學第二章課件422.6拉格朗日方程的應(yīng)用舉例2.6拉格朗日方程的應(yīng)用舉例43分析力學第二章課件44分析力學第二章課件45例題：如圖所示，質(zhì)量m1半徑R的勻質(zhì)圓柱沿水平面純滾動，上面作用以力矩M=Mocost的力偶，軸上裝一物理擺，擺對軸的轉(zhuǎn)動慣量JO，擺的質(zhì)心在點A，OA=h，點O通過水平彈簧連接在固定的支座上，彈簧系數(shù)k，初始時系統(tǒng)靜止，彈簧無變形，=0，試推出系統(tǒng)運動微分方程，并求出初始時刻鉸鏈O的反力，設(shè)m1=40kg,擺的質(zhì)量m2=0.25m1；MO=m1gR，JO=0.1m1R2，h=0.6R例題：如圖所示，質(zhì)量m1半徑R的勻質(zhì)圓柱沿水平面純滾動，上面46分析力學第二章課件47分析力學第二章課件48例題：如圖所示，在光滑的水平桌面上有一小孔，長度為l的質(zhì)量不計的細繩穿過，一端系質(zhì)量m的小球A，另一端系相同質(zhì)量的小球B，OA長度用計，當OA=a時，給小球A大小為v0，垂直于OA的初速度，OA與x軸夾角計，試（1）列出以表示小球A的運動微分方程；（2）求小球A在任意位置的速率。例題：如圖所示，在光滑的水平桌面上有一小孔，長度為l的質(zhì)量不49分析力學第二章課件50分析力學第二章課件51例題如圖所示兩個半徑為R的勻質(zhì)圓柱共重P1，剛性地固連在無重的細軸上，組成車輪，重量為P2的重物A連在長度l的細桿上，另外一端裝在輪軸上，質(zhì)量不計，假定擺離鉛垂線的夾角很小，節(jié)點C處無摩擦，圓柱純滾動，試求該系統(tǒng)運動例題如圖所示兩個半徑為R的勻質(zhì)圓柱共重P1，剛性地固連在無52分析力學第二章課件53分析力學第二章課件54分析力學第二章課件55如圖所示，質(zhì)量為m的小球在質(zhì)量不計的光滑桿上自由滑動，桿OA鉸接在勻角速度轉(zhuǎn)動的圓盤上，并以勻角速度=k向下傾斜，試推導系統(tǒng)運動微分方程，并求出維持和k為常數(shù)時所需加在鉛直軸上的力矩M如圖所示，質(zhì)量為m的小球在質(zhì)量不計的光滑桿上自由滑動，桿OA56分析力學第二章課件57例題：兩輪用勻質(zhì)桿連接，兩輪只滾動不滑動，桿重P，輪重不計；彈簧系數(shù)k彈簧在=0未伸長，求系統(tǒng)平衡位置。例題：兩輪用勻質(zhì)桿連接，兩輪只滾動不滑動，桿重P，輪重不計；58第二章：動力學普遍方程和拉格朗日方程達朗伯原理：用靜力學平衡問題的方法解決動力學問題拉格朗日方程：用虛位移描述的動力學普遍方程，不出現(xiàn)約束反力，但虛位移之間不獨立，將動力學普遍方程用廣義坐標來表示，就可推出拉格朗日方程。第二章：動力學普遍方程和拉格朗日方程達朗伯原理：用靜力學平衡592.1動力學普遍方程設(shè)一質(zhì)點系由n各質(zhì)點組成，第i個質(zhì)點的質(zhì)量mi，作用在其上的主動力Fi，約反力合力FNi，慣性力Fgi=-miai,由達朗伯原理：2.1動力學普遍方程設(shè)一質(zhì)點系由n各質(zhì)點組成，第i個質(zhì)點的60上式稱之為動力學普遍方程。在理想約束下，作用在質(zhì)點系上的主動力和慣性力在任意虛位移上所作虛功之和為零例題：離心調(diào)速器如圖所示，已知mA=mB=m=15kg,套筒mC=10kg，桿長l=0.25m，e=0.03m,彈簧剛度k=14700N/m，正常角速度時=30°，彈簧不受力。試求=60°時的角速度。上式稱之為動力學普遍方程。在理想約束下，作用在質(zhì)點系上的主動61分析力學第二章課件62例題：如圖所示，質(zhì)量m1的勻質(zhì)圓柱A與質(zhì)量為m2的物體B相連，物體B與水平面間的摩擦系數(shù)fs，忽略滑輪質(zhì)量，開始式系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，求A,B兩物體質(zhì)心的加速度a1,a2該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)：廣義坐標：x,例題：如圖所示，質(zhì)量m1的勻質(zhì)圓柱A與質(zhì)量為m2的物體B相連63分析力學第二章課件64分析力學第二章課件65例題圖所示，水平桿AB兩端各系一根繩索，繩索繞過定滑輪C,D,在自由端分別懸掛重物E（m2)和F(m1),令系統(tǒng)無初速度釋放，試求重物F的初加速度。已知杠桿臂長比：AO:OB=k，杠桿初時水平，桿與滑輪質(zhì)量忽略不計例題圖所示，水平桿AB兩端各系一根繩索，繩索繞過定滑輪C,66分析力學第二章課件67分析力學第二章課件68設(shè)質(zhì)點系有n個質(zhì)點，受s個完整非定長約束，系統(tǒng)有N=3n-s個自由度，用N個廣義坐標表示質(zhì)點系位置，則質(zhì)點系位置可表示為：下面來推導拉格朗日方程：證明（1）2.2拉格朗日方程設(shè)質(zhì)點系有n個質(zhì)點，受s個完整非定長約束，系統(tǒng)有N=3n-s69對下式兩邊求導：對下式兩邊求導：70證明（2）證明（2）71分析力學第二章課件72Lagrangri方程Lagrangri方程73它是N個二階常微分方程，初始條件為t=0時刻的廣義坐標和廣義初速度舉例：如圖所示，輪系，已知r2=1.5r1，曲柄OA質(zhì)量m，齒輪的質(zhì)量分別為m1和m2，齒輪視為勻質(zhì)圓盤，在曲柄上作用一力矩M1，求系統(tǒng)的運動方程。該系統(tǒng)為單自由度系統(tǒng)，取廣義坐標系統(tǒng)動能：它是N個二階常微分方程，初始條件為t=0時刻的廣義坐標和廣義74速度分析：速度分析：75分析力學第二章課件76兩種不同主動力下的拉格朗日方程（1）主動力為有勢力當主動力為有勢力時，廣義力可由勢能函數(shù)確定：兩種不同主動力下的拉格朗日方程77（2）主動力為有勢力和非有勢力例題：如圖所示，物塊重m彈簧系數(shù)k，定滑輪質(zhì)量M,均勻分布在輪緣上，摩擦忽略，求重物的振動周期。系統(tǒng)動能：該系統(tǒng)為單自由度系統(tǒng)，取滑輪轉(zhuǎn)角未廣義坐標（2）主動力為有勢力和非有勢力例題：如圖所示，物塊重m彈簧系78分析力學第二章課件79例題：設(shè)有一與彈簧相連滑塊A，質(zhì)量m1，彈簧系數(shù)k，下面掛一擺長度l，質(zhì)量m2，求系統(tǒng)運動微分方程。例題：設(shè)有一與彈簧相連滑塊A，質(zhì)量m1，彈簧系數(shù)k，下面掛一802.3動能的廣義速度表達式2.3動能的廣義速度表達式81分析力學第二章課件82例題：質(zhì)量為M的質(zhì)點沿光滑斜面運動，而斜面又沿水平面以速度v勻速運動，求質(zhì)點的動能表達式例題：質(zhì)量為M的質(zhì)點沿光滑斜面運動，而斜面又沿水平面以速度v832.4拉格朗日方程的初積分廣義能量積分2.4拉格朗日方程的初積分廣義能量積分84分析力學第二章課件85分析力學第二章課件86例題：如圖所示，勻質(zhì)桿質(zhì)量m長度l，與質(zhì)量m1勻質(zhì)圓盤在中心鉸接，圓盤在水平導軌上無摩擦滾動，其中心通過彈性系數(shù)k的彈簧固定在墻上，用拉格朗日推導運動微分方程，寫出能量積分。該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)，圓盤中心水平位移x和擺角為廣義坐標例題：如圖所示，勻質(zhì)桿質(zhì)量m長度l，與質(zhì)量m1勻質(zhì)圓盤在中心87分析力學第二章課件88循環(huán)積分：循環(huán)積分：89例題1，質(zhì)量m的質(zhì)點在重力場中運動，取直角坐標x,y,z為廣義坐標,質(zhì)點動能：例題1，質(zhì)量m的質(zhì)點在重力場中運動，取直角坐標x,y,z為廣90例題2，質(zhì)量m的質(zhì)點在有心力作用下運動，運動軌跡是一平面曲線，取平面極坐標，為廣義坐標,質(zhì)點動能：例題2，質(zhì)量m的質(zhì)點在有心力作用下運動，運動軌跡是一平面曲線91例3：如圖所示，置于水平面上的薄球殼只滾不滑，質(zhì)量M，半徑a，內(nèi)放一質(zhì)量m的勻質(zhì)桿，該系統(tǒng)由靜止開始運動，開始瞬間棒與水平成角，試證明棒與水平線夾角滿足下列關(guān)系：例3：如圖所示，置于水平面上的薄球殼92分析力學第二章課件93分析力學第二章課件94分析力學第二章課件952.5碰撞問題的拉格朗日方程2.5碰撞問題的拉格朗日方程96例題：如圖所示結(jié)構(gòu)。兩勻質(zhì)桿OA和AB質(zhì)量均為m，長均為l，鉸接于A處。開始時兩鉛垂桿靜止，今在AB桿中點D作用與桿垂直的水平?jīng)_量，求沖擊后兩桿的角速度。取例題：如圖所示結(jié)構(gòu)。兩勻質(zhì)桿OA和AB質(zhì)量均為m，長均為l，97分析力學第二章課件98分析力學第二章課件99分析力學第二章課件1002.6拉格朗日方程的應(yīng)用舉例2.6拉格朗日方程的應(yīng)用舉例101分析力學第二章課件102分析力學第二章課件103例題：如圖所示，質(zhì)量m1半徑R的勻質(zhì)圓柱沿水平面純滾動，上面作用以力矩M=Mocost的力偶，軸上裝一物理擺，擺對軸的轉(zhuǎn)動慣量JO，擺的質(zhì)心在點A，OA=h，點O通過水平彈簧連接在固定的支座上，彈簧系數(shù)k，初始時系統(tǒng)靜止，彈簧無變形，=0，試推出系統(tǒng)運動微分方程，并求出初始時刻鉸鏈O的反力，設(shè)m1=40kg,擺的質(zhì)量m2=0.25m1；MO=m1gR，JO=0.1m1R2，h=0.6R例題：如圖所示，質(zhì)量m1半徑R的勻質(zhì)圓柱沿水