復(fù)變函數(shù)論教學(xué)第三版鐘玉泉教學(xué)第五章課件

第一節(jié)解析函數(shù)的洛朗展式1.雙邊冪級數(shù)2.解析函數(shù)的洛朗展式3.洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關(guān)系4.解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的洛朗展式5.典型例題第五章解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點11/26/20221第一節(jié)解析函數(shù)的洛朗展式1.雙邊冪級數(shù)2.解析函數(shù)的1.雙邊冪級數(shù)定義稱級數(shù)（1）為雙邊冪級數(shù)（1）的系數(shù)。雙邊冪級數(shù)為雙邊冪級數(shù)，其中復(fù)常數(shù)負冪項部分非負冪項部分主要部分解析部分注:主要部分與解析部分同時收斂稱冪級數(shù)收斂11/26/202221.雙邊冪級數(shù)定義稱級數(shù)（1）為雙邊冪級數(shù)（1）的系數(shù)。若收斂域為的收斂半徑為R,收斂域為時收斂,兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分H:這時,級數(shù)(1)在圓環(huán)H:r<|z-a|<R收斂于和函數(shù)f(z)=f1(z)+f2(z)11/26/20223若收斂域為的收斂半徑為R,收斂域為時收斂,兩收斂域無公共部分定理5.1設(shè)雙邊冪級數(shù)(1)的收斂圓環(huán)為

H:r<|z-a|<R(r≥0,R≤+∞)則(1)級數(shù)在H內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂于:

f(z)=f1(z)+f2(z).(2)f(z)在H內(nèi)解析.在H內(nèi)可逐項求導(dǎo)p次(p=1,2,…).(4)函數(shù)f(z)可沿H內(nèi)曲線C逐項積分.11/26/20224定理5.1設(shè)雙邊冪級數(shù)(1)的收斂圓環(huán)為(2)f(z)定理5.2(洛朗定理)在圓環(huán)H:r<|z-a|<R,(r≥0,R≤+∞)內(nèi)解析的函數(shù)f(z)必可展成雙邊冪級數(shù)其中(2)2.解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展式定義5.1

(2)式稱為f(z)在點a處的羅朗展式，(3)稱為其羅朗系數(shù)，而(2)右邊的級數(shù)則稱為羅朗級數(shù)。(3)注:泰勒級數(shù)是羅朗級數(shù)的特殊情形。3.洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關(guān)系11/26/20225定理5.2(洛朗定理)在圓環(huán)H:r<|z例1求函數(shù)分別在圓環(huán)及的洛朗級數(shù)。(1)在圓環(huán)內(nèi)，,于是有洛朗級數(shù)(2)在圓環(huán)上,,于是有洛朗級數(shù)解11/26/20226例1求函數(shù)分別在圓環(huán)例2求函數(shù)在內(nèi)的洛朗級數(shù)。例3求函數(shù)在內(nèi)的洛朗級數(shù)。例4求函數(shù)在內(nèi)的洛朗級數(shù)。11/26/20227例2求函數(shù)在4.解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的洛朗展式定義5.2如果f(z)在點a的某一去心鄰域K-{a}：0<|z-a|<R內(nèi)解析，點a是f(z)的奇點，則稱為f(z)的孤立奇點.如果a為f(z)的一個孤立奇點，則f(z)在點a的某一去心鄰域K-{a}：0<|z-a|<R內(nèi)能展成洛朗級數(shù)。將函數(shù)展成洛朗級數(shù)的常用方法。1.直接展開法:利用定理公式計算系數(shù)然后寫出2.間接展開法根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開.11/26/202284.解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的洛朗展式定義5.2例1展開成洛朗級數(shù).5.典型例題例2求函數(shù)在內(nèi)的洛朗級數(shù)。例3試問函數(shù)能否在內(nèi)展成洛朗級數(shù)？11/26/20229例1展開成洛朗級數(shù).5.典型例題例2求函數(shù)第二節(jié)解析函數(shù)的有限孤立奇點2.孤立奇點的性質(zhì)3.Picard定理4.Schwarz引理1.孤立奇點的分類11/26/202210第二節(jié)解析函數(shù)的有限孤立奇點2.孤立奇點的性質(zhì)3.1.孤立奇點的分類如a為f(z)的孤立奇點,則f(z)在a的某去心鄰域K-{a}內(nèi)可以展成羅朗級數(shù)則稱為f(z)在點a的正則部分,而稱為f(z)在點a的主要部分。定義5.3設(shè)a為f(z)的孤立奇點.(1)如果f(z)在點a的主要部分為零,則稱a為f(z)的可去奇點;(2)如果f(z)在點a的主要部分為有限多項,設(shè)為則稱a為f(z)的m階極點，一階極點也稱為簡單極點；(3)如果f(z)在點a的主要部分有無限多項,則稱a為f(z)的本性奇點.11/26/2022111.孤立奇點的分類如a為f(z)的孤立奇點,定理5.3若a為f(z)的孤立奇點，則下列三條是等價的。因此，它們中的任何一條都是可去奇點的特征。(2)(1)f(z)在點a的主要部分為零;(3)f(z)在點a的某去心鄰域內(nèi)有界。2.可去奇點的性質(zhì)11/26/202212定理5.3若a為f(z)的孤立奇點，則下列三條是等價的。證

(1)(2).由(1)有因此(2)(3).因(3)(1).因主要部分的系數(shù)其中,可任意小，故11/26/202213證(1)(2).由(1)有因此(2)(3)Schwarz引理如果函數(shù)f(z)在單位圓|z|<1內(nèi)解析,并且滿足條件f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1)，則在單位圓|z|<1內(nèi)恒有|f(z)|≤|z|,且有.3.施瓦茨(Schwarz)引理如果上式等號成立,或在圓|z|<1內(nèi)一點z0≠0處前一式等號成立,則(當且僅當)其中α為一實常數(shù).11/26/202214Schwarz引理如果函數(shù)f(z)在單位圓|z|<1內(nèi)解4.極點的性質(zhì)定理5.4如果f(z)以a為孤立奇點，則下列三條是等價的。因此，它們中的任何一條都是m階極點的特征。(1)f(z)在a點的主要部分為(2)f(z)在點a的某去心鄰域內(nèi)能表示成其中λ(z)

在點a的鄰域內(nèi)解析,且λ(a)≠0以點a為m階零點。注意第(3)條表明：f(z)以點a為m階極點的充要條件是以點a為m階零點。定理5.5

f(z)的孤立奇點a為極點11/26/2022154.極點的性質(zhì)定理5.4如果f(z)以a為孤立奇點，則下定理5.6

f(z)的孤立奇點a為本性奇點5.本性奇點的性質(zhì)定理5.7若z=a為f(z)的本性奇點,且在點a的充分小去心鄰域內(nèi)不為零,則z=a亦必為的本性奇點.11/26/202216定理5.6f(z)的孤立奇點a為本性奇點5.本性奇點的奇點孤立奇點非孤立奇點支點可去奇點極點本性奇點（單值函數(shù)的）（多值函數(shù)的）11/26/202217奇點孤立奇點非孤立奇點支點可去奇點極點本性奇點（單值函數(shù)的）定理5.8如果a為f(z)的本性奇點,則對于任何常數(shù)A,不管它是有限數(shù)還是無窮,都有一個收斂與a的點列{zn},使得6.Picard(皮卡)定理定理5.9(皮卡(大)定理)如果a為f(z)的本性奇點,則對于每一個A≠∞,除掉可能一個值A(chǔ)=A0外,必有趨于a的無限點列{zn}使f(zn)=A(n=1,2,…).11/26/202218定理5.8如果a為f(z)的本性奇點,則對于6.Pic第三節(jié)解析函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì)定義5.4設(shè)函數(shù)f(z)在無窮遠點(去心)鄰域

N-{∞}：+∞>|z|>r≥0內(nèi)解析,則稱點∞為f(z)的一個孤立奇點.設(shè)點∞為f(z)的孤立奇點,利用變換,于是在去心鄰域:(5.12)內(nèi)解析，則11/26/202219第三節(jié)解析函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì)定義5.4設(shè)函數(shù)f(z)(1)對于擴充z平面上無窮遠點的去心鄰域N-{∞},有擴充z/平面上的原點的去心鄰域;(2)在對應(yīng)點z與z/上,函數(shù)(3)或兩個極限都不存在.注：11/26/202220(1)對于擴充z平面上無窮遠點的去心鄰域(2)在對應(yīng)點z與定義5.5

若z/=0為的可去奇點(解析點)、m級極點或本性奇點,則相應(yīng)地稱z=∞為f(z)的可去奇點(解析點)、m級極點或本性奇點.設(shè)在去心鄰域內(nèi)將展成羅朗級數(shù):11/26/202221定義5.5若z/=0為的可去奇點(解析點)、m級極點或本性定理5.3/(對應(yīng)于定理5.3)f(z)的孤立奇點z=∞為可去奇點的充要條件是下列三條中的任何一條成立:(1)f(z)在的主要部分為零;(2)(3)f(z)在的某去心鄰域N-{∞}內(nèi)有界.11/26/202222定理5.3/(對應(yīng)于定理5.3)f(z)的孤立奇點z=∞為定理5.4/(對應(yīng)于定理5.4)f(z)的孤立奇點z

=∞為m級極點的充要條件是下列三條中的任何一條成立:(1)f(z)在z=∞的主要部分為(2)f(z)在z

=∞的某去心鄰域N-{∞}內(nèi)能表成(3)g(z)=1/f(z)以z

=∞為m級零點(只要令g(∞)=0).其中在z

=∞的鄰域N內(nèi)解析,且11/26/202223定理5.4/(對應(yīng)于定理5.4)f(z)的孤立奇點z=∞為定理5.5’(對應(yīng)于定理5.5)f(z)的孤立奇點∞為極點的充要條件是定理5.6’(對應(yīng)于定理5.6)f(z)的孤立奇點∞為本性奇點的充要條件是下列任何一條成立:(1)f(z)在z=∞的主要部分有無窮多項正冪不等于零廣義不存在(即當z趨向于∞時,f(z)不趨向于任何(有限或無窮)極限).(2)11/26/202224定理5.5’(對應(yīng)于定理5.5)f(z)的孤立奇點∞為極點第四節(jié)整函數(shù)與亞純函數(shù)1.整函數(shù)2.亞純函數(shù)11/26/202225第四節(jié)整函數(shù)與亞純函數(shù)1.整函數(shù)2.亞純函數(shù)1在整個z平面上解析的函數(shù)f(z)稱為整函數(shù).(5.14)設(shè)f(z)為一整函數(shù),則f(z)只以z=∞為孤立奇點,且可設(shè)1.整函數(shù)11/26/202226在整個z平面上解析的函數(shù)f(z)稱為整函數(shù).(5.14)定理5.10若f(z)為一整函數(shù),則(1)z=∞為f(z)的可去奇點的充要條為:f(z)=c.

(2)z=∞為f(z)的m級極點的充要條件:f(z)是一個m次多項式(3)z=∞為f(z)的本性奇點的充要條件為:展式(5.14)有無窮多個cn不等于零.(我們稱這樣的f(z)為超越整函數(shù)).11/26/202227定理5.10若f(z)為一整函數(shù),則(3)z=∞為f(z)定義5.6在z平面上除極點外無其他類型奇點的單值解析函數(shù)稱為亞純函數(shù).2.亞純函數(shù)定理5.11一函數(shù)f(z)為有理函數(shù)的充要條件為:f(z)在擴充平面z平面上除極點外沒有其它類型的奇點.定義5.7非有理的亞純函數(shù)稱為超越亞純函數(shù)11/26/202228定義5.6在z平面上除極點外無其他類型奇點的單值解析函數(shù)稱第一節(jié)解析函數(shù)的洛朗展式1.雙邊冪級數(shù)2.解析函數(shù)的洛朗展式3.洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關(guān)系4.解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的洛朗展式5.典型例題第五章解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點11/26/202229第一節(jié)解析函數(shù)的洛朗展式1.雙邊冪級數(shù)2.解析函數(shù)的1.雙邊冪級數(shù)定義稱級數(shù)（1）為雙邊冪級數(shù)（1）的系數(shù)。雙邊冪級數(shù)為雙邊冪級數(shù)，其中復(fù)常數(shù)負冪項部分非負冪項部分主要部分解析部分注:主要部分與解析部分同時收斂稱冪級數(shù)收斂11/26/2022301.雙邊冪級數(shù)定義稱級數(shù)（1）為雙邊冪級數(shù)（1）的系數(shù)。若收斂域為的收斂半徑為R,收斂域為時收斂,兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分H:這時,級數(shù)(1)在圓環(huán)H:r<|z-a|<R收斂于和函數(shù)f(z)=f1(z)+f2(z)11/26/202231若收斂域為的收斂半徑為R,收斂域為時收斂,兩收斂域無公共部分定理5.1設(shè)雙邊冪級數(shù)(1)的收斂圓環(huán)為

H:r<|z-a|<R(r≥0,R≤+∞)則(1)級數(shù)在H內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂于:

f(z)=f1(z)+f2(z).(2)f(z)在H內(nèi)解析.在H內(nèi)可逐項求導(dǎo)p次(p=1,2,…).(4)函數(shù)f(z)可沿H內(nèi)曲線C逐項積分.11/26/202232定理5.1設(shè)雙邊冪級數(shù)(1)的收斂圓環(huán)為(2)f(z)定理5.2(洛朗定理)在圓環(huán)H:r<|z-a|<R,(r≥0,R≤+∞)內(nèi)解析的函數(shù)f(z)必可展成雙邊冪級數(shù)其中(2)2.解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展式定義5.1

(2)式稱為f(z)在點a處的羅朗展式，(3)稱為其羅朗系數(shù)，而(2)右邊的級數(shù)則稱為羅朗級數(shù)。(3)注:泰勒級數(shù)是羅朗級數(shù)的特殊情形。3.洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關(guān)系11/26/202233定理5.2(洛朗定理)在圓環(huán)H:r<|z例1求函數(shù)分別在圓環(huán)及的洛朗級數(shù)。(1)在圓環(huán)內(nèi)，,于是有洛朗級數(shù)(2)在圓環(huán)上,,于是有洛朗級數(shù)解11/26/202234例1求函數(shù)分別在圓環(huán)例2求函數(shù)在內(nèi)的洛朗級數(shù)。例3求函數(shù)在內(nèi)的洛朗級數(shù)。例4求函數(shù)在內(nèi)的洛朗級數(shù)。11/26/202235例2求函數(shù)在4.解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的洛朗展式定義5.2如果f(z)在點a的某一去心鄰域K-{a}：0<|z-a|<R內(nèi)解析，點a是f(z)的奇點，則稱為f(z)的孤立奇點.如果a為f(z)的一個孤立奇點，則f(z)在點a的某一去心鄰域K-{a}：0<|z-a|<R內(nèi)能展成洛朗級數(shù)。將函數(shù)展成洛朗級數(shù)的常用方法。1.直接展開法:利用定理公式計算系數(shù)然后寫出2.間接展開法根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開.11/26/2022364.解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的洛朗展式定義5.2例1展開成洛朗級數(shù).5.典型例題例2求函數(shù)在內(nèi)的洛朗級數(shù)。例3試問函數(shù)能否在內(nèi)展成洛朗級數(shù)？11/26/202237例1展開成洛朗級數(shù).5.典型例題例2求函數(shù)第二節(jié)解析函數(shù)的有限孤立奇點2.孤立奇點的性質(zhì)3.Picard定理4.Schwarz引理1.孤立奇點的分類11/26/202238第二節(jié)解析函數(shù)的有限孤立奇點2.孤立奇點的性質(zhì)3.1.孤立奇點的分類如a為f(z)的孤立奇點,則f(z)在a的某去心鄰域K-{a}內(nèi)可以展成羅朗級數(shù)則稱為f(z)在點a的正則部分,而稱為f(z)在點a的主要部分。定義5.3設(shè)a為f(z)的孤立奇點.(1)如果f(z)在點a的主要部分為零,則稱a為f(z)的可去奇點;(2)如果f(z)在點a的主要部分為有限多項,設(shè)為則稱a為f(z)的m階極點，一階極點也稱為簡單極點；(3)如果f(z)在點a的主要部分有無限多項,則稱a為f(z)的本性奇點.11/26/2022391.孤立奇點的分類如a為f(z)的孤立奇點,定理5.3若a為f(z)的孤立奇點，則下列三條是等價的。因此，它們中的任何一條都是可去奇點的特征。(2)(1)f(z)在點a的主要部分為零;(3)f(z)在點a的某去心鄰域內(nèi)有界。2.可去奇點的性質(zhì)11/26/202240定理5.3若a為f(z)的孤立奇點，則下列三條是等價的。證

(1)(2).由(1)有因此(2)(3).因(3)(1).因主要部分的系數(shù)其中,可任意小，故11/26/202241證(1)(2).由(1)有因此(2)(3)Schwarz引理如果函數(shù)f(z)在單位圓|z|<1內(nèi)解析,并且滿足條件f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1)，則在單位圓|z|<1內(nèi)恒有|f(z)|≤|z|,且有.3.施瓦茨(Schwarz)引理如果上式等號成立,或在圓|z|<1內(nèi)一點z0≠0處前一式等號成立,則(當且僅當)其中α為一實常數(shù).11/26/202242Schwarz引理如果函數(shù)f(z)在單位圓|z|<1內(nèi)解4.極點的性質(zhì)定理5.4如果f(z)以a為孤立奇點，則下列三條是等價的。因此，它們中的任何一條都是m階極點的特征。(1)f(z)在a點的主要部分為(2)f(z)在點a的某去心鄰域內(nèi)能表示成其中λ(z)

在點a的鄰域內(nèi)解析,且λ(a)≠0以點a為m階零點。注意第(3)條表明：f(z)以點a為m階極點的充要條件是以點a為m階零點。定理5.5

f(z)的孤立奇點a為極點11/26/2022434.極點的性質(zhì)定理5.4如果f(z)以a為孤立奇點，則下定理5.6

f(z)的孤立奇點a為本性奇點5.本性奇點的性質(zhì)定理5.7若z=a為f(z)的本性奇點,且在點a的充分小去心鄰域內(nèi)不為零,則z=a亦必為的本性奇點.11/26/202244定理5.6f(z)的孤立奇點a為本性奇點5.本性奇點的奇點孤立奇點非孤立奇點支點可去奇點極點本性奇點（單值函數(shù)的）（多值函數(shù)的）11/26/202245奇點孤立奇點非孤立奇點支點可去奇點極點本性奇點（單值函數(shù)的）定理5.8如果a為f(z)的本性奇點,則對于任何常數(shù)A,不管它是有限數(shù)還是無窮,都有一個收斂與a的點列{zn},使得6.Picard(皮卡)定理定理5.9(皮卡(大)定理)如果a為f(z)的本性奇點,則對于每一個A≠∞,除掉可能一個值A(chǔ)=A0外,必有趨于a的無限點列{zn}使f(zn)=A(n=1,2,…).11/26/202246定理5.8如果a為f(z)的本性奇點,則對于6.Pic第三節(jié)解析函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì)定義5.4設(shè)函數(shù)f(z)在無窮遠點(去心)鄰域

N-{∞}：+∞>|z|>r≥0內(nèi)解析,則稱點∞為f(z)的一個孤立奇點.設(shè)點∞為f(z)的孤立奇點,利用變換,于是在去心鄰域:(5.12)內(nèi)解析，則11/26/202247第三節(jié)解析函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì)定義5.4設(shè)函數(shù)f(z)(1)對于擴充z平面上無窮遠點的去心鄰域N-{∞},有擴充z/平面上的原點的去心鄰域;(2)在對應(yīng)點z與z/上,函數(shù)(3)或兩個極限都不存在.注：11/26/202248(1)對于擴充z平面上無窮遠點的去心鄰域(2)在對應(yīng)點z與定義5.5

若z/=0為的可去奇點(解析點)、m級極點或本性奇點,則相應(yīng)地稱z=∞為f(z)的可去奇點(解析點)、m級極點或本性奇點.設(shè)在去心鄰域內(nèi)將展成羅朗級數(shù):11/26/202249定義5.5若z/=0為的可去奇點(解析點)、m級極點或本性定理5.3/(對應(yīng)于定理5.3)f(z)的孤立奇點z=∞為可去奇點的充要條件是下列三條中的任何一條成立:(1)f(z)在的主要部分為零;(2)(3)f(z)在