北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊第一章特殊的平行四邊形教學(xué)課件

北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊第一章特殊的平行四邊形1.1.1菱形的性質(zhì)和判定1.1.2菱形的性質(zhì)和判定1.1.3菱形的性質(zhì)和判定1.2.1矩形的性質(zhì)和判定1.2.2矩形的性質(zhì)和判定1.2.3矩形的性質(zhì)和判定1.3.1正方形的性質(zhì)和判定1.3.2正方形的性質(zhì)和判定1.3.3正方形的性質(zhì)和判定特殊的平行四邊形復(fù)習(xí)課北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊1.1.1菱形的性質(zhì)和判定11.1.1菱形的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)目標(biāo)溫故知新自主探究課堂總結(jié)隨堂練習(xí)當(dāng)堂檢測典型例題1.1.1菱形的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)目標(biāo)溫故知新自主探究課堂總結(jié)21.記住菱形的概念及其與平行四邊形的關(guān)系；2.體會菱形的軸對稱性，經(jīng)歷利用折紙等活動探索菱形性質(zhì)的過程，得出菱形的特殊性質(zhì)。學(xué)習(xí)目標(biāo)1.記住菱形的概念及其與平行四邊形的關(guān)系；學(xué)習(xí)目標(biāo)31.平行四邊形的定義：

溫故知新兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形2.平行四邊形的性質(zhì)：

(1)平行四邊形對邊平行且相等；

(2)平行四邊形對角相等；

(3)平行四邊形對角線互相平分(4)平行四邊形是中心對稱圖形，

1.平行四邊形的定義：43.什么是軸對稱圖形嗎？把圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸

.

3.什么是軸對稱圖形嗎？把圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩5閱讀課本p2—4探究（一）1.菱形的定義:

叫做菱形。菱形是

的平行四邊形。

自主探究一組鄰邊相等的平行四邊形特殊閱讀課本p2—4自主探究一62.菱形的性質(zhì)⑴菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)。你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎？(1)菱形對邊平行且相等；

(2)菱形對角相等；

(3)菱形對角線互相平分(4)菱形是中心對稱圖形，

2.菱形的性質(zhì)(1)菱形對邊平行且相等；7（2）請同學(xué)們用菱形紙片折一折，回答下列問題：菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關(guān)系？菱形中有哪些相等的線段？菱形中有哪些全等三角形？菱形是軸對稱圖形它有2條對稱軸對稱軸之間的位置關(guān)系是垂直菱形四條邊都相等菱形中有四個全等的直角三角形（2）請同學(xué)們用菱形紙片折一折，回答下列問題：菱形是軸對稱圖8做一做：請獨(dú)立證明菱形的性質(zhì)定理：1.菱形的四條邊都相等已知：求證：證明：在菱形ABCD中，AB=ADAB=AD=BC=CD在菱形ABCD中，AB=CD,AD=BCAB=AD∴AB=AD=BC=CD做一做：請獨(dú)立證明菱形的性質(zhì)定理：在菱形ABCD中，AB=A92.菱形的對角線互相垂直,并且每條對角線平分一組對角.已知：求證：證明：四邊形ABCD是菱形,對角線AC,BD相交于點(diǎn)OAC⊥BD，AC平分∠BAD,∠BCD，BD平分∠ABC,∠ADC∵四邊形ABCD是菱形∴AB=AD,OB=OD∴

AC⊥BD，AC平分∠BAD（三線合一）同理AC平分∠BCD，BD平分∠ABC,∠ADC2.菱形的對角線互相垂直,并且每條對角線平分一組對角.四邊形10菱形與平行四邊形比較又有其特殊的性質(zhì):特殊在“邊”上的性質(zhì)是：

；特殊在“對角線”上的性質(zhì)是：___________________________________.歸納總結(jié)菱形四條邊都相等菱形的對角線互相垂直,并且每條對角線平分一組對角.菱形與平行四邊形比較又有其特殊的性質(zhì):歸納總結(jié)菱形四條邊都相11例1.如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)若∠B＝60°，AB＝4，求線段AE的長．分析：（1）首先根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，結(jié)合點(diǎn)E、F分別是邊BC、AD的中點(diǎn)，即可證明出△ABE≌△CDF；典型例題（2）分析：首先證明出△ABC是等邊三角形，結(jié)合題干條件在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4，即可求出AE的長．例1.如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊12證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，∵點(diǎn)E、F分別是邊BC、AD的中點(diǎn)，

∴BE=DF，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；典型例題例1.如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)若∠B＝60°，AB＝4，求線段AE的長．證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=AD=C13（2）∵∠B=60°，AB=BC

∴△ABC是等邊三角形，典型例題例1.如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)若∠B＝60°，AB＝4，求線段AE的長．∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，

∴AE⊥BC，（三線合一）

（2）∵∠B=60°，AB=BC

∴△ABC是等邊三角形，典14例2.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,∠BAD=60°,BD=6,求菱形的邊長AB和對角線AC的長.

典型例題∵∠BAD=60°∴△ABD是等邊三角形，∴AB=BD=6，

菱形中的計(jì)算問題，常在直角三角形中進(jìn)行你還有其他方法嗎？例2.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,15例2.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,∠BAD=60°,BD=6,求菱形的邊長AB和對角線AC的長.

典型例題

菱形中的計(jì)算問題，常在直角三角形中進(jìn)行∵∠BAD=60°∴∠BAC=30°∴AB=2BO=6例2.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,161、菱形的定義：一組

相等的平行四邊形是菱形.2、菱形的性質(zhì)：①菱形是軸對稱圖形，對稱軸是兩條

所在的直線；②菱形的四條邊都

；

③菱形的對角線互相

平分.3.菱形的計(jì)算通常在對角線分成的直角三角形中進(jìn)行.鄰邊對角線相等垂直課堂總結(jié)1、菱形的定義：一組相等的平行四邊形是菱形171.已知四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為菱形，還需要添加一個條件，這個條件是(

)A．AB＝CDB．AB＝BCC．AD＝BCD．AC＝BD2.如圖，在?ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴?ABCD是菱形

．

(請?jiān)跈M線上填上理由)隨堂練習(xí)B一組兩邊相等的平行四邊形是菱形1.已知四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為菱形，還需183.若菱形兩條對角線的長分別為6和8，則這個菱形的周長為(

)A.20

B．16

C．12

D．104.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列說法錯誤的是(

)A.AB∥DCB．AC＝BDC.AC⊥BDD．OA＝OCAB3.若菱形兩條對角線的長分別為6和8，則這個菱形的周長為(195.如圖，在菱形ABCD中，不一定成立的是(

)A.四邊形ABCD是平行四邊形

B.AC⊥BDC.△ABC是等邊三角形

D.∠CAB＝∠CAD6.在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，則△ABD的周長是(

)A.10B.12C.15D.20CC5.如圖，在菱形ABCD中，不一定成立的是()CC207.菱形的一個內(nèi)角為120°，邊長為8，那么它較短的對角線長是(

)A.3B．4C．8D．88.如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)H為AD邊中點(diǎn)，菱形ABCD的周長為28，則OH的長等于(

)A.3.5B．4C.7D．14CA7.菱形的一個內(nèi)角為120°，邊長為8，那么它較短的對角線長211.如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于O，AB=5,AO=4,求BD的長.

分析：根據(jù)菱形對角線互相垂直平分的性質(zhì)，應(yīng)用勾股定理即可求解

解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO=BO

∵AB=5，AO=4，∴OB=3

∴BD=2BO=6。當(dāng)堂檢測1.如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于O，A222.如圖，菱形ABCD中，AB=4,∠B=60°，AE

⊥BC,AF

⊥CD,垂足分別為E,F,連接EF,則△AEF的面積是

.

分析：易證△ABE

≌△ADF可得AE=AF又∠BAE=∠DAF=30°所以∠EAF=60°△AEF是等邊三角形作高計(jì)算即可當(dāng)堂檢測

2.如圖，菱形ABCD中，AB=4,∠B=60°，AE⊥B231.1.2菱形的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)目標(biāo)溫故知新自主探究課堂總結(jié)隨堂練習(xí)當(dāng)堂檢測典型例題1.1.2菱形的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)目標(biāo)溫故知新自主探究課堂總結(jié)隨241.理解并掌握菱形的定義及兩個判定方法，明確菱形證明的三種切入方式；會用這些判定方法進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算；

2.在菱形的判定方法的探索與綜合應(yīng)用中，培養(yǎng)觀察能力、動手能力及邏輯思維能力．學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握菱形的定義及兩個判定方法，明確菱形證明的三種切251.

菱形的定義：有

的平行四邊形叫做菱形。2.菱形是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形.

菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)3.菱形有哪些特殊性質(zhì)？邊：

；

；角：

；

；對角線：

；對稱性：

.

溫故知新一組鄰邊相等四條邊都相等對邊平行對角相等鄰角互補(bǔ)對角線互相垂直平分軸對稱圖形中心對稱圖形1.菱形的定義：有26探究（一）1.會用定義法判定菱形定義：有

的

叫做菱形.用符號語言可以表示為：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且

＝

.∴四邊形ABCD是菱形自主探究一組鄰邊相等平行四邊形ABAD探究（一）自主探究一組鄰邊相等平行四邊形ABAD27探究（二）菱形的判定方法2

:

對角線

的平行四邊形是菱形.已知:如圖1，在平行四邊形ABCD中，

.

求證：

.證明:對角線互相垂直對角線AC⊥BD，垂直為點(diǎn)O平行四邊形四邊形ABCD是菱形在平行四邊形ABCD中，OB=OD∵AC⊥BD∴AC是BD的垂直平分線∴AB=AD∴平行四邊形ABCD是菱形探究（二）對角線互相垂直對角線AC⊥BD，垂直為點(diǎn)O平行四邊28

用符號語言可以表示為：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且

.∴四邊形ABCD是菱形AC⊥BD用符號語言可以表示為：AC⊥BD29探究（三）菱形的判定方法3:四邊相等的

是菱形?已知：如圖2，

求證：

證明：四邊形在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA四邊形ABCD是菱形在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA∴AB=CD,BC=AD∴四邊形ABCD是平行四邊形∵AB=BC∴四邊形ABCD是菱形探究（三）四邊形在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA四30

用符號語言可以表示為：∵四邊形ABCD，且

.∴四邊形ABCD是菱形AB=BC=CD=DA用符號語言可以表示為：AB=BC=CD=DA31菱形的判定方法:⑴__________________________________；⑵__________________________________；⑶__________________________________.歸納有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形四條邊都相等的四邊形是菱形菱形的判定方法:歸納有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形對角線互32（1）在一張紙上用尺規(guī)作圖做出一個菱形；做一做作法一：（1）作線段AC;(2)作線段AC的垂直平分線EF，垂直為點(diǎn)O;(3)在OE，OF上分別截取線段OD,OB,使OD=OB;(4)連接AB,BC,CD,DA；則四邊形ABCD就是所作的菱形（1）在一張紙上用尺規(guī)作圖做出一個菱形；做一做作法一：（133（1）在一張紙上用尺規(guī)作圖做出一個菱形；做一做作法二：（1）作線段AB;(2)作線段AD，使AD=AB;(3)分別以點(diǎn)D,點(diǎn)B為圓心，以AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C;(4)連接CD,BC；則四邊形ABCD就是所作的菱形（1）在一張紙上用尺規(guī)作圖做出一個菱形；做一做作法二：（134做一做（2）想辦法用一張長方形紙剪折出一個菱形

課堂展示方法一:將一張長方形的紙橫對折,再豎對折,然后沿圖中的虛線剪下,打開即是菱形紙片.做一做（2）想辦法用一張長方形紙剪折出一個菱形35做一做（2）想辦法用一張長方形紙剪折出一個菱形

課堂展示方法二:將一張長方形紙對折,再在折痕上取任意長為底邊,剪一個等腰三角形,然后打開即是菱形做一做（2）想辦法用一張長方形紙剪折出一個菱形36做一做以上兩種做法的理由是：方法一：對角線互相垂直平分的四邊形是菱形方法二：四條邊都相等的四邊形是菱形做一做以上兩種做法的理由是：方法一：方法二：37例題:在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，并且AB=5，OB=2，OA=1，求證：（1）AC⊥BD（2）平行四邊形ABCD是菱形嗎？說說你的理由.解：（1）∵AB=5，OB=2，OA=1∴AO2+BO2=1+4=5，AB2=5∴AO2+BO2=AB2

∴△AOB是直角三角形，∴AC⊥BD，

（2）四邊形ABCD是菱形。理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形。例題:在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，并38

課堂小結(jié)

一組鄰邊相等都相等互相垂直畫四條邊相等畫對角線互相垂直

課堂小結(jié)

一組鄰邊相等都相等互相垂直畫四條邊相等畫對角線互391．下列命題中正確的是(

)A．對角線相等的四邊形是菱形

B．對角線互相垂直的四邊形是菱形C．對角線相等的平行四邊形是菱形

D．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形2．如圖，下列條件之一能使?ABCD是菱形的是(

)①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.A．①③B．②③C．③④D．①③④隨堂練習(xí)DD1．下列命題中正確的是()隨堂練習(xí)DD403．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中點(diǎn)分別為點(diǎn)D，F(xiàn)，E，則四邊形AFDE是(

)A.菱形B．長方形C．正方形D．以上都不對

A3．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，41作法一：（1）作線段AC=6cm;(2)作線段AC的垂直平分線EF，垂直為點(diǎn)O;(3)在OE，OF上分別截取線段OD,OB,使OD=OB=2cm;(4)連接AB,BC,CD,DA；則四邊形ABCD就是所作的菱形4、畫一個菱形,使它的兩條對角線的長分別為4厘米和6厘米.作法一：（1）作線段AC=6cm;(2)作線段AC的垂直平421、已知,平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=5，AC=8，BD=6求證：四邊形ABCD是菱形當(dāng)堂檢測

∵OA2+OB2=42+32=25

又AB2=52=25

∴OA2+OB2=AB2∴∠AOB=90°

∴AC⊥BD在平行四邊形ABCD中,AC⊥BD

∴四邊形ABCD是菱形1、已知,平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，A432、如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別于AD、AC、BC相交于點(diǎn)E、O、F.求證四邊形AFCE是菱形。證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠EAC=∠FCA，∠AEF=∠CFE，

∵OA=OC，∴△AOE≌△COF，（AAS）

∴OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形

∵AC⊥EF∴四邊形AFCE是菱形.（對角線互相垂直平分的四邊形是菱形）2、如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別于441.1.3菱形的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)目標(biāo)溫故知新自主探究課堂總結(jié)隨堂練習(xí)當(dāng)堂檢測典型例題1.1.3菱形的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)目標(biāo)溫故知新自主探究課堂總結(jié)隨451．菱形的性質(zhì)定理的運(yùn)用．2．菱形的判定定理的運(yùn)用．3、掌握菱形的面積計(jì)算方法及推導(dǎo)．學(xué)習(xí)目標(biāo)1．菱形的性質(zhì)定理的運(yùn)用．學(xué)習(xí)目標(biāo)461.菱形的性質(zhì)：菱形的對邊

；菱形的四邊

；菱形的對角線

；菱形既是

對稱圖形；又是

對稱圖形溫故知新平行且相等都相等互相垂直平分軸中心1.菱形的性質(zhì)：菱形的對邊47四邊

的四邊形是菱形；一組

的平行四邊形是菱形；對角線

的平行四邊形是菱形；對角線

的四邊形是菱形.2.菱形的判定：都相等鄰邊相等互相垂直平分一組對角四邊的四邊形是菱形484.如圖1所示：在菱形ABCD中，AB=6，請回答下列問題：(1)其余三條邊AD、DC、BC的長度分別是多少？(2)對角線AC與BD有什么位置關(guān)系？(3)若∠ADC=120°，求AC的長。解：（1）在菱形ABCD中，AB=6所以AD=CD=BC=6(2)AC⊥BD

4.如圖1所示：在菱形ABCD中，AB=6，請回答下列問題：49例1.菱形ABCD的周長為40cm，它的一條對角線長10cm.(1)求這個菱形的每一個內(nèi)角的度數(shù);(2)求這個菱形的另一條對角線的長。(3)求這個菱形的面積典型例題解:(1)如圖，菱形ABCD的周長為40cm∴AB=BC=CD=DA=10∵BD=10∴△ABD是等邊三角形∴∠BAD=60°∴∠BCD=∠BAD=60°,∠ABC=∠ADC=120°例1.菱形ABCD的周長為40cm，它的一條對角線長10cm50例1.菱形ABCD的周長為40cm，它的一條對角線長10cm.(1)求這個菱形的每一個內(nèi)角的度數(shù);(2)求這個菱形的另一條對角線的長。(3)求這個菱形的面積典型例題(2)如圖，在菱形ABCD中，AC⊥BD∴△ABE是直角三角形

例1.菱形ABCD的周長為40cm，它的一條對角線長10cm51例1.菱形ABCD的周長為40cm，它的一條對角線長10cm.(1)求這個菱形的每一個內(nèi)角的度數(shù);(2)求這個菱形的另一條對角線的長。(3)求這個菱形的面積典型例題

（3）方法一：

根據(jù)：菱形是特殊的平行四邊形例1.菱形ABCD的周長為40cm，它的一條對角線長10cm52例1.菱形ABCD的周長為40cm，它的一條對角線長10cm.(1)求這個菱形的每一個內(nèi)角的度數(shù);(2)求這個菱形的另一條對角線的長。(3)求這個菱形的面積典型例題

（3）方法二：例1.菱形ABCD的周長為40cm，它的一條對角線長10cm53菱形的面積計(jì)算方法：①菱形的面積等于底邊乘以高；若菱形的底為a,高為h,則該菱形的面積=_____②菱形的面積等于對角線積的一半；若菱形的兩條對角線分別為a,b,則該菱形的面積=____總結(jié)ah

菱形的面積計(jì)算方法：總結(jié)ah

54例2、兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分ABCD是菱形嗎？為什么？典型例題解：四邊形ABCD是菱形理由：由題意得AD//BC,AB//CD∴四邊形ABCD是平行四邊形過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,AF⊥CD于點(diǎn)F∴AE=AF∵BC×AE=CD×AF∴BC=CD∴平行四邊形ABCD是菱形例2、兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分ABCD是菱形551.菱形的面積等于（

）A.對角線乘積 B.一邊的平方

C.對角線乘積的一半D.邊長平方的一半2.下列條件中，可以判定一個四邊形是菱形的是（

）A.兩條對角線相等

B.兩條對角線互相垂直C.兩條對角線相等且垂直

D.兩條對角線互相垂直平分隨堂練習(xí)CD1.菱形的面積等于（）隨堂練習(xí)CD563.菱形的兩條對角線把菱形分成全等的直角三角形的個數(shù)是（

）．A.1個B.2個C.3個D.4個4.菱形的兩條對角線長分別是6cm和8cm,則菱形的周長為_________,菱形的面積是______.D20cm24cm2

3.菱形的兩條對角線把菱形分成全等的直角三角形的個數(shù)是（575.菱形的兩鄰角之比為1：2，邊長為2cm，則菱形的面積為________.6.如圖，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=6cm，菱形ABCD的面積為_______．

5.菱形的兩鄰角之比為1：2，邊長為2cm，則菱形的面積為_587.如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2㎝，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE、EF、AF，則△AEF的周長為

cm．

連接AC證明△AEF是等邊三角形7.如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2㎝，E、F分598.如圖，四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形，其中對角線BD長10cm，求：(1)對角線AC的長度；(2)菱形ABCD的面積解：（1）∵四邊形ABCD為菱形

∴∠AED=90°

∴AC=2AE=2×12=24（cm）；

8.如圖，四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形，其中對角線601.已知：如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為

.2.如圖，菱形ABCD的邊長是2㎝，E是AB中點(diǎn)，且DE⊥AB，則S菱形ABCD=

cm2．當(dāng)堂檢測

16

1.已知：如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，則以613.如圖,你能用一張銳角三角形紙片ABC折出一個菱形，使∠A成為菱形一個內(nèi)角嗎？畫出折痕并證明.解：(1)折出∠A的平分線AD，交BC于D，(2)把點(diǎn)A折到點(diǎn)D上，折痕EF，E在AB上，F(xiàn)在AC上，則四邊形AEDF是菱形。3.如圖,你能用一張銳角三角形紙片ABC折出一個菱形，使∠A623.如圖,你能用一張銳角三角形紙片ABC折出一個菱形，使∠A成為菱形一個內(nèi)角嗎？畫出折痕并證明.證明：由第一次折疊知：∠1=∠2，由第二次折疊知：AE=DE，AF=DF，EF⊥AO，∴∠AOE=∠AOF=90°，又AO=AO，∴ΔAOE≌ΔAOF，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，∴四邊形AEDF是菱形。3.如圖,你能用一張銳角三角形紙片ABC折出一個菱形，使∠A634.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC的垂直平分線分別交BC和AB于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在DE延長線上，且AF=CE,求證：四邊形ACEF是菱形.證明：∵DF是BC的垂直平分線，∴BD=BC,DF垂直BC∴∠BDE=90°∵∠BCA=90°,

∴DE//AC,∴BE=AE,∠FEA=∠BAC=60°∴CE=AE∵AF=CE∴AF=AE∴△ACE,△AEF都是等邊三角形∴AC=EC=EF=AF∴四邊形ACEF是菱形.4.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠B641.2.1矩形的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)目標(biāo)溫故知新自主探究課堂總結(jié)隨堂練習(xí)當(dāng)堂檢測典型例題1.2.1矩形的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)目標(biāo)溫故知新自主探究課堂651．理解矩形的意義，知道矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系。2．掌握矩形的性質(zhì)定理，會用性質(zhì)定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算與證明。3．掌握直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)與應(yīng)用。學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解矩形的意義，知道矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系。學(xué)習(xí)目66溫故知新1.將一張長方形紙片對折，如圖所示，然后沿著圖中的虛線剪下，得到①②兩部分，將①展開后得到的平面圖形是（）A．三角形B．不規(guī)則四邊形C．菱形D．一般平行四邊形C溫故知新1.將一張長方形紙片對折，如圖所示，然后沿著圖中的虛672.如圖所示，將兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分是一個四邊形ABCD.若AD=6cm,∠ABC=60°，則四邊形ABCD的面積等于

.

四邊形ABCD是菱形2.如圖所示，將兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分是一68探究（一）平行四邊形活動框架在變化過程中，何時平行四邊形的面積最大？這時這個平行四邊形的內(nèi)角是多少度？為什么？自主探究總結(jié)：矩形的定義：有一個角是

的平行四邊形叫做矩形直角探究（一）平行四邊形活動框架在變化過程中，何時平行四邊形的面69平行四邊形菱形矩形矩形是特殊的平行四邊形，因此它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，但矩形是特殊的平行四邊形，它還具有一些特殊性質(zhì)。平行四邊形菱形矩形矩形是特殊的平行四邊形，因此它具有平行四邊70（1）矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）矩形是中心對稱圖形嗎？如果是，它的對稱中心是什么？合作探究（1）矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸，分別為過對邊中點(diǎn)的直線；（2）矩形是中心對稱圖形，它的對稱中心是矩形對角線的交點(diǎn)，也是矩形對稱軸的交點(diǎn).（1）矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？合作探究71（3）請同學(xué)們以小組為單位，測量身邊的矩形（如書本，課桌，鉛筆盒等）的四條邊長度、四個角度數(shù)和對角線的長度及夾角度數(shù)，并記錄測量結(jié)果；（4）你能得到矩形的特殊性質(zhì)嗎？如圖，請同學(xué)們填寫下表：合作探究（3）請同學(xué)們以小組為單位，測量身邊的矩形（如書本，課桌，鉛72合作探究矩形的性質(zhì)邊角對角線對稱性具有平行四邊形的所有性質(zhì)

具有平行四邊形不具有的特殊性質(zhì)

對邊平行且相等對角相等對角線互相平分中心對稱圖形鄰邊互相垂直四個角都等于90°對角線相等軸對稱圖形合作探究矩形的性質(zhì)邊角對角線對稱性具有平行四邊形的所有性質(zhì)

73探究（二）：你能證明以下性質(zhì)的正確性嗎？（1）矩形的四個角都是直角

證明:∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°∴∠BCD=∠BAD=90°∵AD∥BC，AB∥DC∴∠BAD+∠ABC=180°，∴∠ABC=90°，∴∠ADC=∠ABC=90°，

∴∠ADC=∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°已知:在矩形ABCD中，∠BAD=90°求證:∠ADC=∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°探究（二）：你能證明以下性質(zhì)的正確性嗎？證明:∵在矩形ABC74探究（二）：你能證明以下性質(zhì)的正確性嗎？

（2）矩形的對角線相等已知:在矩形ABCD中，求證:AC=BD證明:∵在矩形ABCD中，∴∠BAD=∠ABC=90°,AD=BC∵AB=BA∴

△ABD≌△BAC∴

BD=AC探究（二）：你能證明以下性質(zhì)的正確性嗎？75（3）閱讀課本議一議，獨(dú)立證明推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是斜邊BC的中線

方法一：利用矩形的性質(zhì)證明（3）閱讀課本議一議，獨(dú)立證明推論：已知：如圖，在Rt△AB76（3）閱讀課本議一議，獨(dú)立證明推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是斜邊BC的中線

方法二：利用三角形的中位線的性質(zhì)證明（3）閱讀課本議一議，獨(dú)立證明推論：已知：如圖，在Rt△AB77例1：如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于O，∠AOD=120°，AB=2.5.求這個矩形對角線的長。解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD．

∵∠AOD=120°，

∴∠ODA=∠OAD=30°．又∵∠DAB=90°，

∴BD=2AB=2×4=8（cm）．∴AC=BD=8cm典型例題你還有其他方法嗎？例1：如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于O，∠AOD=78例1：如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于O，∠AOD=120°，AB=2.5.求這個矩形對角線的長。典型例題解：∵∠AOD=120°，

∴∠AOB=180°-120°=60°，

∴OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=OB=AB=2.5，∴AC=2AO=5，BD=AC=5．例1：如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于O，∠AOD=79例2：如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于O，AB=6，OA=4.求BD與AD的長。解：∵四邊形ABCD是矩形，OA=4

∴AC=2OA=8，∴BD=AC=8，

典型例題例2：如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于O，AB=6，801．矩形的定義：有一個角是

的平行四邊形叫做矩形2．矩形的特殊性質(zhì)：（1）矩形的四個角都是

；（2）矩形的對角線

；

3．直角三角形斜邊上的中線

.

課堂小結(jié)等于斜邊的一半直角相等直角4.矩形問題常常轉(zhuǎn)化為：直角三角形等腰三角形1．矩形的定義：課堂小結(jié)等于斜邊的一半直角相等直角4.矩形問811、已知△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜邊AC上的中線.(1)若BD=3㎝,則AC＝_____㎝;(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,則AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.隨堂練習(xí)61051、已知△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜邊AC上的中線822、下列說法錯誤的是（

）．

A.矩形的對角線互相平分

B.

矩形的對角線相等。

C.有一個角是直角的四邊形是矩形

D.

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形

3、矩形的一條對角線長為10cm，兩條對角線的一個交角為120°，則矩形的長和寬分別為

.

C

隨堂練習(xí)2、下列說法錯誤的是（

）．

C

隨堂練習(xí)834、在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，若∠AOB=100°，則∠OAB=

°40隨堂練習(xí)4、在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，若∠AOB=845.如圖所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，過對角線交點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于點(diǎn)E,則AE的長是（）A.1.6B.2.5C.3D.3.4分析：（1）△AOE≌△COF可得AE=CF，OE=OF(2)連接AFAC是EF的垂直平分線可得AE=AF(3)設(shè)AE=x,則AF=AE=x,BF=5-X,在△ABF中利用勾股定理可得x=3.4D5.如圖所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，過對角線交856、證明：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊上的一半，那么這個三角形是直角三角形證明：∵AD=CD=BD，

∴∠A=∠1，∠2=∠B．∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，

即2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°，

即：∠ACB=90°，

∴△ABC是直角三角形．6、證明：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊上的一半，那么這861、矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A.對角相等B.對邊相等C.對角線相等D.對角線互相平分2、如圖,矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O,∠AOB=60°,AB=4cm,則矩形對角線的長為

.當(dāng)堂檢測C8cm1、矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）當(dāng)堂檢測873、如圖：四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=900,E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，求證：EF⊥BD

∴BE＝DE

∵F是BD的中點(diǎn)

∴EF⊥BD（三線合一）3、如圖：四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=900,

881.2.2矩形的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)目標(biāo)溫故知新自主探究課堂總結(jié)隨堂練習(xí)當(dāng)堂檢測典型例題1.2.2矩形的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)目標(biāo)溫故知新自主探究課堂891、掌握矩形的判定定理及判定方法，2、能應(yīng)用矩形定義、判定定理，解決簡單的證明題和計(jì)算題學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握矩形的判定定理及判定方法，學(xué)習(xí)目標(biāo)901、

叫做矩形．2、矩形的性質(zhì)除了具有與平行四邊形一樣的性質(zhì)之外，矩形所具有的特殊性質(zhì)是：①矩形的________都是直角；②矩形的對角線___________.③對稱性________________________________________溫故知新有一個角是直角的平行四邊形四個角相等矩形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形1、91探究（一）、怎樣判定一個平行四邊形是矩形？自主探究閱讀課本p14—151、最基本的判定方法，用定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形

∵平行四邊形ABCD中，∠A=90°∴四邊形ABCD是矩形幾何語言：探究（一）、怎樣判定一個平行四邊形是矩形？自主探究閱讀課本92做一做：探索定理如圖，是一個平行四邊形活動框架，拉動一對不相鄰的頂點(diǎn)時，平行四邊形的形狀會發(fā)生變化。

問題（2）當(dāng)兩條對角線的長度相等時，平行四邊形的形狀有什么特征？由此你能得到一個什么樣的猜想？

當(dāng)兩條對角線的長度相等時，平行四邊形變成矩形做一做：探索定理如圖，是一個平行四邊形活動框架，拉動一對不相932、自己在下面獨(dú)立證明判定定理（1）：

對角線相等的平行四邊形是矩形已知：求證：證明：在平行四邊形ABCD中，對角線是AC,BD,且AC=BD平行四邊形ABCD是矩形∵平行四邊形ABCD∴AB=CD∵BC=CB,AC=BD∴△ABC≌△DCB∴∠ABC=∠DCB∵AB//CD∴∠ABC+∠DCB=180°∴∠ABC=∠DCB=90°∴平行四邊形ABCD是矩形證明定理2、自己在下面獨(dú)立證明判定定理（1）：在平行四邊形ABCD中94想一想：探索定理我們知道，矩形有四個直角，反過來，一個四邊形有至少幾個角是直角時，這個四邊形是矩形呢？請證明你的結(jié)論，并與同伴交流。有三個角是直角的四邊形是矩形想一想：探索定理我們知道，矩形有四個直角，反過來，一個四邊形95獨(dú)立證明矩形的判定定理（2）：有三個角是直角的四邊形是矩形已知：求證：證明：在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°四邊形ABCD是矩形∵∠A=∠B=∠C=90°∴∠A+∠B=180°，∠C+∠B=180°∴AD//BC,AB//CD∴四邊形ABCD是平行四邊形∵∠C=90°∴四邊形ABCD是矩形獨(dú)立證明矩形的判定定理（2）：在四邊形ABCD中，∠A=∠B96①如果僅有一根足夠長的繩子，如何判斷一個四邊形是平行四邊形？請說明如何操作，并說明這樣做的原因。議一議先測量四邊形的兩組對邊的長度，如果兩組對邊的長度分別相等，這個四邊形就是平行四邊形，否則就不是平行四邊形根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形①如果僅有一根足夠長的繩子，如何判斷一個四邊形是平行四邊形？97②如果僅有一根足夠長的繩子，如何判斷一個四邊形是菱形？請說明如何操作，并說明這樣做的原因。議一議測量四邊形的四條邊，如果四條邊都相等，這個四邊形就是菱形，否則就不是菱形根據(jù)菱形的判定定理：四條邊都相等的四邊形是菱形②如果僅有一根足夠長的繩子，如何判斷一個四邊形是菱形？議一98③如果僅有一根足夠長的繩子，如何判斷一個四邊形是矩形？請說明如何操作，并說明這樣做的原因。議一議（1）先測量四邊形的兩組對邊的長度，如果兩組對邊的長度分別相等，這個四邊形就是平行四邊形；

根據(jù)矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形

③如果僅有一根足夠長的繩子，如何判斷一個四邊形是矩形？請說99例1：已知：如圖，M為平行四邊形ABCD邊AD的中點(diǎn)，且MB=MC.求證：四邊形ABCD是矩形.典型例題證明：∵平行四邊形ABCD∴AB=DC,AB//DC∵點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)∴AM=DM∵M(jìn)B=MC∴△ABM≌△DCM∴∠A=∠D∵AB//DC∴∠A+∠D=180°∴∠A=∠D=90°∴四邊形ABCD是矩形.例1：已知：如圖，M為平行四邊形ABCD邊AD的中點(diǎn)，且MB100例2、已知平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，△AOB是等邊三角形，AB=4cm．（1）平行四邊形ABCD是矩形嗎？說明你的理由．（2）求這個平行四邊形的面積。解：（1）平行四邊形ABCD是矩形理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD∵△AOB是等邊三角形，∴OA=OB∴OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形．典型例題例2、已知平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，△A101（2）∵△AOB是等邊三角形，∴OA=AB=4

∴AC=8

典型例題例2、已知平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，△AOB是等邊三角形，AB=4cm．（1）平行四邊形ABCD是矩形嗎？說明你的理由．（2）求這個平行四邊形的面積。（2）∵△AOB是等邊三角形，

典型例題例2、已知平行四102矩形的判定方法：①一個角是直角的________________是矩形(定義)；②有___________是直角的四邊形是矩形；③對角線_______的平行四邊形是矩形.課堂小結(jié)平行四邊形三個角相等矩形的判定方法：課堂小結(jié)平行四邊形三個角相等1031.能判斷四邊形是矩形的條件是（

）A.兩條對角線互相平分

B.兩條對角線相等C.兩條對角線互相平分且相等

D.兩條對角線互相垂隨堂練習(xí)C1.能判斷四邊形是矩形的條件是（）隨堂練習(xí)C1042、在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.請?jiān)偬砑右粋€條件，使四邊形ABCD是矩形。你添加的條件是

.(寫出一種即可)3、在平行四邊形ABCD中AB=6，BC=8，AC=10則它的面積是

.48AC=BD(∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠DAC=90°或∠DAB=90°)2、在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.請?jiān)偬砑右粋€1054、四邊形ABCD中∠A:∠B:∠C:∠D=1:1:1:1，且AB=3cm,BC=4cm，則其對角線長為

。5、在ABCD中,對角線ＡＣ，ＢＤ相交于點(diǎn)Ｏ，且∠OBC=∠OCB.平行四邊形ABCD是

；理由：

。5矩形對角線相等的平行四邊形是矩形4、四邊形ABCD中∠A:∠B:∠C:∠D=1:1:1:1，1066、已知：如圖

，在△ABC中，∠C＝90°，

CD為中線，延長CD到點(diǎn)E，使得DE＝CD．連結(jié)AE，BE，求證：四邊形ACBE為矩形．證明：在△ABC中，∠C＝90°，

CD為中線∴CD=AD=BD∵DE＝CD∴四邊形ACBD是平行四邊形，AB=CE∴平行四邊形ACBD是矩形6、已知：如圖

，在△ABC中，∠C＝90°，

CD為中線，1071.下列關(guān)于矩形的說法中正確的是(

)A．對角線相等的四邊形是矩形

B．對角線互相平分的四邊形是矩形C．矩形的對角線互相垂直平分

D．矩形的對角線相等且互相平分當(dāng)堂檢測D1.下列關(guān)于矩形的說法中正確的是()當(dāng)堂檢測D1082.在數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們判斷一個四邊形門框是否為矩形．下面是某學(xué)習(xí)小組4位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是(

)A．測量對角線是否互相平分

B．測量兩組對邊是否分別相等C．測量其中三個角是否都為直角

D．測量對角線是否相C2.在數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們判斷一個四邊形門框是否為矩形．下面1093.已知：如圖，菱形ABCD中，對角線AC和BD相較于點(diǎn)O，CM∥BD,DM∥AC.求證:四邊形OCMD是矩形.證明：∵CM//BD，DM//AC，

∴四邊形OCMD是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形），∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠COD=90°（菱形對角線互相垂直），∴四邊形OCMD是矩形（有一個角是90°的平行四邊形是矩形）3.已知：如圖，菱形ABCD中，對角線AC和BD相較于點(diǎn)O，1104.如圖所示，四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD,CE⊥AD,垂足為E,求證：AE=CE.證明：如圖，過點(diǎn)B作BF⊥CE于F，∴∠BFC=∠BFE=90°∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠DCE=90°，

∵∠D+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D，

∵∠A=90°，∴四邊形AEFB是矩形.∴AE=BF∴BF=CE，∵CE⊥AD，∴∠DEC=∠AEC=90°，∴AE=CE，4.如圖所示，四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC1111.2.3矩形的性質(zhì)和判定1.2.3矩形的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)目標(biāo)溫故知新自主探究課堂總結(jié)隨堂練習(xí)當(dāng)堂檢測典型例題1.2.3矩形的性質(zhì)和判定1.2.3矩形的性質(zhì)和判1121、掌握矩形的性質(zhì)定理及判定方法，2、能用矩形的性質(zhì)判定解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握矩形的性質(zhì)定理及判定方法，學(xué)習(xí)目標(biāo)1131、矩形的定義：

的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)：⑴矩形具有平行四邊形的的一切性質(zhì)；

⑵矩形的四個角都是

；⑶矩形的對角線

。3、矩形的判定⑴定義：⑵定理：

的平行四邊形叫做矩形；⑶定理：三個角是

的四邊形叫做矩形.溫故知新有一個角是直角直角相等對角線相等直角1、矩形的定義：的平行四邊形叫做矩形。溫故知新1144.如圖1，矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O，已知∠AOD=120°，AB=2.5cm，則∠DAO=

,AC=

cm，

S矩形ABCD=_______。30°5

4.如圖1，矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O，已知∠AOD1155.如圖2，四邊形ABCD是平行四邊形，添加一個條件

，可使它成為矩形.∠ABC=90°或AC=BD5.如圖2，四邊形ABCD是平行四邊形，添加一個條件116例1：如圖1-14，在矩形ABCD中，AD=6，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE.求AE的長.典型例題解：

四邊形ABCD是矩形，∴AO=BO=DO=BD，∠BAD=90°∵ED=3BE，∴BE=OE.又

AE⊥BD，∴AB=AO.∴AB=AO=BO.即△ABO是等邊三角形.∴∠ABO=60°.∴∠ADB=90°-∠ABO=30°.在RtAED中，∠ADB=30°，∴AE=AD=

×6=3.例1：如圖1-14，在矩形ABCD中，AD=6，對角線AC117典型例題例1：如圖1-14，在矩形ABCD中，AD=6，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE.求AE的長.解后思：本題考查了矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定定理；30°所對的直角邊等于斜邊的一半。典型例題例1：如圖1-14，在矩形ABCD中，AD=6，對118例2.如圖1-15，在△ABC中，AB=AC，AD為∠BAC的平分線，AN為△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E.（1）求證：四邊形ADCE是矩形.典型例題分析：(1)先根據(jù)三線合一得到∠ADC=90°（2）根據(jù)AD平分∠BAC，AE是△ABC的外角平分線，得到∠DAE=90°（3）根據(jù)CE⊥AN得到∠AEC=90°，所以四邊形ADCE為矩形；例2.如圖1-15，在△ABC中，AB=AC，AD為∠BAC119例2.如圖1-15，在△ABC中，AB=AC，AD為∠BAC的平分線，AN為△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E.（1）求證：四邊形ADCE是矩形.典型例題證明：（1）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，AD⊥BC，∴∠ADC=90°又∵CE⊥AE，

∴∠AEC=90°，∵AE是△ABC的外角平分線，

∴∠3=∠4，

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴∠2+∠3=90°，

即∠DAE=90°，∴四邊形ADCE是矩形.例2.如圖1-15，在△ABC中，AB=AC，AD為∠BAC120典型例題例2.如圖1-15，在△ABC中，AB=AC，AD為∠BAC的平分線，AN為△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E.（1）求證：四邊形ADCE是矩形.（2）若連接DE，交AC于點(diǎn)F（如圖1-16），試判斷四邊形ABDE的形狀，并證明你的結(jié)論.（2）四邊形ABDE是平行四邊形證明：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD∵四邊形ADCE是矩形.∴AE=CD,AC=DE∴BD=AE,AB=DE∴四邊形ABDE是平行四邊形你還有其他方法嗎？典型例題例2.如圖1-15，在△ABC中，AB=AC，AD為121典型例題例2.如圖1-15，在△ABC中，AB=AC，AD為∠BAC的平分線，AN為△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E.（1）求證：四邊形ADCE是矩形.（2）若連接DE，交AC于點(diǎn)F（如圖1-16），試判斷四邊形ABDE的形狀，并證明你的結(jié)論.（2）四邊形ABDE是平行四邊形方法二：證明：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD∵四邊形ADCE是矩形.∴AE=CD,AE//CD∴AE=BD,AE//BD∴四邊形ABDE是平行四邊形典型例題例2.如圖1-15，在△ABC中，AB=AC，AD為122例2.如圖1-15，在△ABC中，AB=AC，AD為∠BAC的平分線，AN為△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E.

（3）線段DF與AB有怎樣的關(guān)系？請證明你的結(jié)論.典型例題

例2.如圖1-15，在△ABC中，AB=AC，AD為∠BAC123例3.已知：如圖，四邊形ABCD是由兩個全等的正三角形ABD和BCD組成的，M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)．求證：四邊形BMDN是矩形．典型例題分析：利用等邊三角形的“三條邊相等、三個內(nèi)角都是60°”性質(zhì)易證四邊形BMDN是平行四邊形，然后由等邊三角形“三合一”的性質(zhì)推知平行四邊形BMDN的一內(nèi)角∠DMB=90°，即平行四邊形BMDN是矩形．例3.已知：如圖，四邊形ABCD是由兩個全等的正三角形ABD124例3.已知：如圖，四邊形ABCD是由兩個全等的正三角形ABD和BCD組成的，M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)．求證：四邊形BMDN是矩形．典型例題證明：∵△ABD和△BCD是兩個全等的正三角形，

∴AD=BD=AB=BC，∠ADB=∠DBC=60°，

∴MD∥BN．

又∵∠DMB=90°，

∴平行四邊形BMDN是矩形．

例3.已知：如圖，四邊形ABCD是由兩個全等的正三角形ABD1251．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E,F分別是AB,AC,BC的中點(diǎn),AH⊥BC于點(diǎn)H，連接EH，若DF＝10cm，則EH等于()A．8cm

B．10cm

C．16cm

D．24cm隨堂練習(xí)B

1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E,F分別是AB,AC,BC的126

D分析：(1)根據(jù)“矩形的對角線相等”求BD轉(zhuǎn)化為求OC

D分析：(1)根據(jù)“矩形的對角線相等”

1273．如圖，矩形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，若∠CAE＝15°，則∠BOE=

度．75°分析：（1）由AE平分∠BAD，AD//BC，可得AB=BE(2)△ABC是等腰直角三角形，可得AB=BE

△AOB是等邊三角形,可得AB=BO（3）△BOE是等腰三角形且∠OBE=30°可得∠BOE=75°3．如圖，矩形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交1284.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不與A和D重合的一個動點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＋PF＝

.2.4分析：(1)利用勾股定理求出AC=5;

(3)△AOD是等腰三角形(4)根據(jù)“等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰距離之和等于腰上的高”可得PE+PF=DG4.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不129當(dāng)堂檢測1．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點(diǎn)B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1，S2，則S1，S2的大小關(guān)系是(

)A．S1>S2

B．S1＝S2C．S1<S2D．3S1＝2S2B

當(dāng)堂檢測1．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，1302．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)A，B分別在y軸，x軸的正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為

.

解：過點(diǎn)C作CE

⊥x軸于點(diǎn)E，∴∠CEB=90°

∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°∴∠CBE=30°

2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)A，B分別131分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是矩形和折疊的性質(zhì)可得EB∥DF，DE∥BF，根據(jù)平行四邊形判定推出即可．（2）求出∠ABE=30°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出AE、BE，再根據(jù)菱形的面積計(jì)算即可求出答案．3.準(zhǔn)備一張矩形紙片，按如圖操作：將△ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在對角線BD上的M點(diǎn)，將△CDF沿DF翻折，使點(diǎn)C落在對角線BD上的N點(diǎn)．(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；(2)若四邊形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面積．分析：（2）求出∠ABE=30°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出AE1323.準(zhǔn)備一張矩形紙片，按如圖操作：將△ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在對角線BD上的M點(diǎn)，將△CDF沿DF翻折，使點(diǎn)C落在對角線BD上的N點(diǎn)．(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；(2)若四邊形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面積．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，

∴∠EBD=∠FDB∴EB∥DF，∵ED∥BF，

∴四邊形BFDE為平行四邊形．3.準(zhǔn)備一張矩形紙片，按如圖操作：（1）證明：∵四邊形ABC133（2）解：∵四邊形BFDE為菱形，∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，3.準(zhǔn)備一張矩形紙片，按如圖操作：將△ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在對角線BD上的M點(diǎn)，將△CDF沿DF翻折，使點(diǎn)C落在對角線BD上的N點(diǎn)．(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；(2)若四邊形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面積．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°，∴∠ABE=30°，

（2）解：∵四邊形BFDE為菱形，3.準(zhǔn)備一張矩形紙片，按如1341.3.1正方形的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)目標(biāo)溫故知新自主