高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修第二冊(cè) 《復(fù)數(shù)的三角表示課時(shí)1》教學(xué)設(shè)計(jì)

14/14《復(fù)數(shù)的三角表示》教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)1復(fù)數(shù)的三角表示式必備知識(shí)學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)高考考向1.復(fù)數(shù)的三角表示式學(xué)習(xí)理解能力觀察記憶概括理解應(yīng)用實(shí)踐能力分析計(jì)算遷移創(chuàng)新能力直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理【考查內(nèi)容】復(fù)數(shù)的三角表示,復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義,復(fù)數(shù)與代數(shù)、三角、向量、幾何之間的聯(lián)系【考查題型】選擇題、填空題2.復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理一、本節(jié)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容從復(fù)數(shù)的向量表示出發(fā),結(jié)合三角函數(shù)知識(shí),得到復(fù)數(shù)的另一種重要表示形式——三角表示,進(jìn)而研究復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義.復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示形式簡(jiǎn)潔,在很多情況下可以簡(jiǎn)化復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算;其幾何意義就是平面向量的旋轉(zhuǎn)、伸縮,因此,可以方便地解決很多平面向量與平面幾何問題.本節(jié)側(cè)重提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).本節(jié)雖然被定位為選學(xué)內(nèi)容,但是建議還是應(yīng)加強(qiáng)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)與代數(shù)、向量、三角、幾何的聯(lián)系,使得學(xué)生通過復(fù)數(shù)的三角表示的學(xué)習(xí),在直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)方面得到提升.本節(jié)包含的核心知識(shí)和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識(shí)1.復(fù)數(shù)的三角表示式2.復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理核心素養(yǎng)二、學(xué)情整體分析學(xué)生掌握了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算的基本要領(lǐng),但是大部分學(xué)生缺乏用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題的思維習(xí)慣.將復(fù)數(shù)與向量、三角函數(shù)、幾何之間進(jìn)行聯(lián)系,是一個(gè)理解上和運(yùn)用上的難點(diǎn),學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的三角表示理解不清,復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化不靈活,運(yùn)用復(fù)數(shù)乘、除法的幾何意義解決綜合問題也是一個(gè)難點(diǎn).而充分注意到復(fù)數(shù)本質(zhì)上是一對(duì)有序?qū)崝?shù),從復(fù)數(shù)的向量表示出發(fā)理解,并突出復(fù)數(shù)與向量、三角函數(shù)、幾何之間的聯(lián)系,是突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵.學(xué)情補(bǔ)充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學(xué)活動(dòng)準(zhǔn)備【任務(wù)專題設(shè)計(jì)】1.復(fù)數(shù)的三角表示式2.復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義【教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)】1.了解復(fù)數(shù)的三角表示式,理解復(fù)數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系.2.理解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義,會(huì)用三角表示其乘、除運(yùn)算.【教學(xué)策略設(shè)計(jì)】復(fù)數(shù)的三角表示將復(fù)數(shù)、平面向量和三角函數(shù)三者緊密相連,從復(fù)數(shù)的運(yùn)算看,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義,就是相應(yīng)平面向量的加、減運(yùn)算.復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角形式的幾何意義,就是平面向量的旋轉(zhuǎn)、伸縮.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示、三角表示及其運(yùn)算都具有明顯的幾何意義,注重在關(guān)鍵點(diǎn)上強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合,要注重引導(dǎo),注重聯(lián)系,有助于學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)、理解復(fù)數(shù)的表示與運(yùn)算,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng).【教學(xué)方法建議】情境教學(xué)法、問題教學(xué)法,還有__________________________________________【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)1.復(fù)數(shù)的三角表示式.2.復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義.難點(diǎn)1.復(fù)數(shù)與三角、向量、幾何相關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系.2.利用乘、除的幾何意義解決問題.【教學(xué)材料準(zhǔn)備】1.常規(guī)材料:多媒體課件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)教學(xué)導(dǎo)入師:前面我們研究了復(fù)數(shù)及其四則運(yùn)算,同學(xué)們都了解到復(fù)數(shù)和平面向量的聯(lián)系很大,我們知道,復(fù)數(shù)可以用的形式來表示,復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的,與平面向量也是一一對(duì)應(yīng)的.大家思考這樣一個(gè)問題:借助復(fù)數(shù)的幾何意義,復(fù)數(shù)還能不能用其他形式來表示呢？【學(xué)生回顧復(fù)習(xí),交流討論】師:我們知道復(fù)平面內(nèi)向量的坐標(biāo)可以唯一確定一個(gè)復(fù)數(shù),而向量也可以由它的大小和方向唯一確定,那么能否借助向量的大小和方向這兩個(gè)要素來表示復(fù)數(shù)呢？如何表示？這將引出我們本節(jié)課重點(diǎn):復(fù)數(shù)的三角表示.【設(shè)計(jì)意圖】以向量和復(fù)數(shù)做對(duì)比,引出課程主題,讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)系統(tǒng),并引出復(fù)數(shù)的另一種表示方式教學(xué)精講師:同學(xué)們,向量的大小可以用模來刻畫,那么向量的方向如何刻畫?聯(lián)系一下《三角函數(shù)》一章中的任意角表示,我們可以借助以軸的非負(fù)半軸為始邊,以向量所在射線(射線)為終邊的角來刻畫的方向.【要點(diǎn)知識(shí)】復(fù)數(shù)的三角表示式記向量的模,由圖可以得到,【以學(xué)定教】從學(xué)生的角度出發(fā),以向量和三角作知識(shí)鋪墊,引入復(fù)數(shù)的三角形式相關(guān)概念,有助于學(xué)生對(duì)概念最初的把握師:設(shè)復(fù)數(shù),大家試著將和以這種形式代回到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式中,寫出表達(dá)式.【學(xué)生思考問題,展開計(jì)算、討論】生:得到.師:正確!我們?cè)龠M(jìn)行一下簡(jiǎn)化.【歸納總結(jié)】復(fù)數(shù)的三角表示式的推導(dǎo),其中,.【觀察記憶能力】學(xué)生通過完成思考題目,形成完整的思路,通過觀察圖形可以建立對(duì)復(fù)數(shù)三角形式的認(rèn)識(shí),培養(yǎng)觀察記憶能力師:當(dāng)點(diǎn)在實(shí)軸或虛軸上時(shí),這個(gè)結(jié)論還成立嗎?生:成立,當(dāng)點(diǎn)在實(shí)軸上時(shí),;當(dāng)點(diǎn)在虛軸上時(shí),.師:正確!這樣,我們就可以用刻畫向量大小的模和刻畫向量方向的角表示了復(fù)數(shù).【要點(diǎn)知識(shí)】復(fù)數(shù)的三角表示式一般地,任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式.其中,是復(fù)數(shù)的模;是以軸的非負(fù)半軸為始邊,向量所在射線(射線)為終邊的角,叫做復(fù)數(shù)的輻角;叫做復(fù)數(shù)的三角表示式,簡(jiǎn)稱三角形式.叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式,簡(jiǎn)稱代數(shù)形式.師:顯然,任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個(gè)值,聯(lián)系前面所學(xué)任意角的概念,這些角相差為哪個(gè)數(shù)的整數(shù)倍?例如復(fù)數(shù)的輻角怎么表示?復(fù)數(shù)呢?【學(xué)生積極思考,教師指定一名同學(xué)回答】生:相差的整數(shù)倍,復(fù)數(shù)的輻角是,復(fù)數(shù)的輻角是.師:非常好!那么復(fù)數(shù)0呢?因?yàn)閺?fù)數(shù)0對(duì)應(yīng)著零向量,而零向量的方向是任意的,所以復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的.【以學(xué)論教】從學(xué)生的角度出發(fā),以學(xué)生熟悉的任意角的概念引入,把復(fù)數(shù)的輻角概念展示出來,有助于后面對(duì)輻角主值的理解【要點(diǎn)知識(shí)】復(fù)數(shù)的輻角主值我們規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值,通常記作.注意:(1)任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個(gè)值,且這些值相差的整數(shù)倍.(2)復(fù)數(shù)0的輻角是任意的.(3).師:所以我們?cè)诒硎緯r(shí)這樣書寫:.師:同學(xué)們,我們明白了復(fù)數(shù)的三角表示式后,來通過幾個(gè)題目練習(xí)一下,加深印象.【典型例題】復(fù)數(shù)的三角表示式例1畫出下列復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量,并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式:(1);(2)1-i.【情境學(xué)習(xí)】學(xué)生在具體問題情境中,鞏固所學(xué)概念,深入理解復(fù)數(shù)的三角表示式師:同學(xué)們注意,只需要確定復(fù)數(shù)的模和一個(gè)輻角,就能將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式.同學(xué)們認(rèn)真思考,稍后請(qǐng)兩位同學(xué)到黑板上書寫.【學(xué)生積極思考、練習(xí)計(jì)算,教師指定學(xué)生在黑板上完成作答并予以肯定和點(diǎn)評(píng)】師:很好,同學(xué)們完成得都非常好！我們配合圖示可以更清晰地、直觀地了解它的幾何意義.【典例解析】復(fù)數(shù)的三角表示式解:(1)(2)【概括理解能力】學(xué)生通過獨(dú)立完成練習(xí)題目,再結(jié)合形象的圖示,可以建立對(duì)復(fù)數(shù)三角形式的認(rèn)識(shí),培養(yǎng)概括理解能力師:注意到第(1)題中,.因?yàn)榕c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,所以,所以.而第題中,.但與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,所以.所以.師:以上是將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式,概括一下步驟,可以總結(jié)為.【歸納總結(jié)】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟:(1)先求復(fù)數(shù)的模.(2)決定輻角所在的象限.(3)根據(jù)象限求出輻角.(4)復(fù)數(shù)的三角形式.【分析計(jì)算能力】通過不斷練習(xí)之后,教師總結(jié)做題步驟,更有助于學(xué)生提升自己的分析計(jì)算能力師:但是同學(xué)們要注意:把一個(gè)復(fù)數(shù)表示成三角形式時(shí),輻角不一定取主值,例如:也是的三角形式.接下來,我們?cè)倬毩?xí)幾道由三角形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式的題目.【典型例題】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式例2分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個(gè)輻角,畫出它們對(duì)應(yīng)的向量,并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式:(1);(2).師:由三角形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式,那也就是上述步驟逆過程了.請(qǐng)另外兩名同學(xué)到黑板上作答.【教師指定學(xué)生回答,并予以肯定,教師展示解答】【少教精教】教師在教授相關(guān)知識(shí)方法之后,讓學(xué)生先自主完成典型題目,使學(xué)生在獨(dú)立計(jì)算中,加深對(duì)這一部分概念的理解程度,教師少教,達(dá)到精教的目的【典例解析】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式解:(1)復(fù)數(shù)的模,一個(gè)輻角,對(duì)應(yīng)的向量如圖①所示.所以.(2)復(fù)數(shù)的模,一個(gè)輻角,對(duì)應(yīng)的向量如圖②所示.所以.師:同學(xué)們?cè)偎伎歼@樣一個(gè)問題:兩個(gè)用三角形式表示的復(fù)數(shù)在什么條件下相等?【學(xué)生積極思考,同學(xué)間互相交流討論,教師總結(jié)并展示】【自主學(xué)習(xí)】教師在具體的問題情境中啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考,學(xué)生進(jìn)行了自主思考之后,對(duì)這一部分的知識(shí)理解會(huì)更加深入【歸納總結(jié)】三角形式的復(fù)數(shù)相等條件每一個(gè)不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值,并且由它的模與輻角的主值唯一確定.因此,兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.師:好了,同學(xué)們,理解了復(fù)數(shù)的這種表示方式后,我們進(jìn)行一下練習(xí),來看一下這幾道題.【鞏固練習(xí)】復(fù)數(shù)的三角表示1.把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式,并且畫出與它們對(duì)應(yīng)的向量:(1)4;(2)-i;(3);(4).2.下列復(fù)數(shù)是不是三角形式?如果不是,把它們表示成三角形式:(1);(2);(3);(4);(5).3.把下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式:(1);(2).【分析計(jì)算能力】在具體的問題中,不斷加強(qiáng)練習(xí)復(fù)數(shù)的三角形式與代數(shù)形式,加深對(duì)概念的理解,培養(yǎng)分析計(jì)算能力師:同學(xué)們,現(xiàn)在梳理一下本節(jié)主要內(nèi)容,請(qǐng)同學(xué)們分組討論,梳理出本節(jié)的幾個(gè)核心知識(shí)點(diǎn)以及做題方法.【學(xué)生分組交流,查閱課本、筆記,總結(jié)重要知識(shí)點(diǎn)】【課堂小結(jié)】復(fù)數(shù)的三角表示式1.復(fù)數(shù)的三角表示式2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的步驟3.三角形式的復(fù)數(shù)相等條件每一個(gè)不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值,并且由它的模與輻角的主值唯一確定.因此,兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等【設(shè)計(jì)意圖】通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生理解復(fù)數(shù)的三角表示式、會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化、掌握三角形式的復(fù)數(shù)相等條件等知識(shí),通過課堂小結(jié),鍛煉了學(xué)生的歸納總結(jié)能力【課后作業(yè)】教材P89習(xí)題7.3第1~2題師:本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的三角表示式,注意復(fù)數(shù)和向量、三角函數(shù)、幾何之間的密切聯(lián)系,在不同的問題情境中可以選用恰當(dāng)?shù)男问竭M(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算,必要時(shí)畫出復(fù)平面坐標(biāo)系中的向量圖示,方便理解.教學(xué)評(píng)價(jià)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的三角形式,屬于復(fù)數(shù)一章的選學(xué)部分,但是對(duì)于理解復(fù)數(shù)與其他知識(shí)間的關(guān)系意義重大,也很重要,本節(jié)深入研究了復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、向量、三角函數(shù)、幾何之間的關(guān)系,除了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,在有些問題情境下,其三角形式會(huì)更加直觀、簡(jiǎn)便.通過復(fù)數(shù)的三角形式,可以賦予其乘、除運(yùn)算的幾何意義,即是平面向量在復(fù)平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)、伸縮.應(yīng)用所學(xué)知識(shí),完成下題:復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化:(1);(2).解析:,因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,所以,即,所以.(2)復(fù)數(shù)的模,輻角的主值為..【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生思考,使學(xué)生體會(huì)知識(shí)的生成、發(fā)展、完善的過程,通過具體知識(shí)點(diǎn)的演練,鍛煉自己的學(xué)科能力（觀察記憶、概括理解、分析計(jì)算）,從而達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)目標(biāo)要求【以學(xué)定教】教師要讓學(xué)生理解復(fù)數(shù)的三角表示式,并能夠通過其幾何意義進(jìn)行一些題目的簡(jiǎn)化,并能在不同的具體情境中合理應(yīng)用教學(xué)反思本節(jié)課內(nèi)容分為2課時(shí),本節(jié)雖然屬于復(fù)數(shù)一章的選學(xué)部分,但是對(duì)于理解復(fù)數(shù)與其他知識(shí)間的關(guān)系意義重大,在