等差數(shù)列的前項和概念解析推選優(yōu)秀ppt

等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的前項和概念解析第一頁，共27頁。11．已知等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}滿足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，則它的前10項的和S10＝()CA．138B．135C．95D．232．在等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}中，已知S15＝90，那么a8等于()A．3B．4C．6D．12

C第二頁，共27頁。23．已知等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}滿足a1＋a2＋…＋a101＝0，則有()CA．a(chǎn)1＋a101＞0C．a(chǎn)1＋a101＝0B．a(chǎn)1＋a101＜0 D．a(chǎn)51＝514．在等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}中，已知a6＝a3＋a8，則前9項和S9等于()DA．3B．2C．1D．05．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示(biǎoshì)數(shù)列{an}的前n項和，則S11＝()BA．18B．99C．198D．297第三頁，共27頁。3重點(zhòngdiǎn)等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)前n項和的性質 (1)若{an}成等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥2)也成等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)．難點求等差數(shù)列的前n項和Sn

的最值

(1)根據(jù)項的正負來定：若a1＞0，d＜0，則數(shù)列的所有正數(shù)項之和最大；若a1＜0，d＞0，則數(shù)列的所有負數(shù)項之和最小．第四頁，共27頁。4第五頁，共27頁。5 等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的前n項和的性質及應用例1：等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為()A．30B．170C．210D．260思維突破(tūpò)：(1)把問題特殊化，即令m＝1來解．(2)利用等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的前n項和公式Sn＝na1＋n(n－1)

2d進行求解．第六頁，共27頁。6(3)借助等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的前n項和公式Sn＝n(a1＋an)

2及性質(xìngzhì)m＋n＝p＋q?am＋an＝ap＋aq求解． (4)根據(jù)性質：“已知{an}成等差數(shù)列， 則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥2)成等差數(shù)列”解題． (5)根據(jù)Sn＝an2＋bn求解． (6)運用(yùnyòng)等差數(shù)列求和公式，Sn＝na1＋n(n－1)

2d的變形式解題．第七頁，共27頁。7解法一：取m＝1，則a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70，∴d＝a2－a1＝40，a3＝a2＋d＝70＋40＝110，S3＝a1＋a2＋a3＝210.第八頁，共27頁。8

由③－②及②－①結合④，得S3m＝210.

解法四：根據(jù)上述性質，知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m

成等差數(shù)列． 故Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm)， ∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.第九頁，共27頁。9又a6＞0，a7＜0，事實上，本題要對n進行分類(fēnlèi)討論．C．a(chǎn)1＋a101＝0當且僅當an≥0且an＋1＜0時，Sn有最大值．取最值時，應考慮答案(dáàn)：C列{|an|}的前n項和Sn.當n＝13時，Sn有最大值為169.＝S3＝12×3－32＝27；(4)根據(jù)性質：“已知{an}成等差數(shù)列，5．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示(biǎoshì)數(shù)列{an}的∴設Sn＝a·n2＋b·n，解法五：∵{an}為等差數(shù)列，∴設Sn＝a·n2＋b·n，∴Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4m2a＋2mb＝100，∴S3m＝9m2a＋3mb＝210.解法六：由Sn＝na1＋n(n－1)

2d，第十頁，共27頁。10B1－1.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．36D．27答案(dáàn)：C第十一頁，共27頁。111－2.等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}的前n項和為Sn，若S2＝2，S4＝10，則S6等于(děngyú)()CA．12B．18C．24D．42 等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)前n項和的最值問題例2：在等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最值．第十二頁，共27頁。12 等差數(shù)列前n項和的最值問題除了用二次函數(shù)求解外，還可利用(lìyòng)下面的方法討論：①若d＞0，a1＜0，當且僅當an≤0且an＋1＞0時，Sn有最小值；②若d＜0，a1＞0，當且僅當an≥0且an＋1＜0時，Sn有最大值．取最值時，應考慮n在正整數(shù)范圍內(nèi)取值．由二次函數(shù)的性質(xìngzhì)可知，當n＝13時，Sn有最大值為169.第十三頁，共27頁。132－1.數(shù)列(shùliè){an}是首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列(shùliè)，且第六項為正，第七項為負．(1)求數(shù)列(shùliè)的公差；(2)求前n項和Sn的最大值；(3)當Sn＞0時，求n的最大值．第十四頁，共27頁。14S6＝6×23＋，(2)∵d＜0，∴數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，又a6＞0，a7＜0，∴當n＝6時，Sn

取得最大值，6×5 2×(－4)＝78.(3)Sn＝23n＋n(n－1)

2×(－4)＞0，整理得：n(25－2n)＞0，∴0＜n＜25 2又n∈N*，所求n的最大值為12.第十五頁，共27頁。15設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，列{|an|}的前n項和Sn.理解為n＝5，得出結論：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n≤5)，等差數(shù)列前n項和的實際應用(yìngyòng)3．已知等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}滿足a1＋a2＋…＋a101＝0，則有((3)借助等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的前n項和公式Sn＝當n＝13時，Sn有最大值為169.解法(jiěfǎ)三：設等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，前10項的和S10＝(列{|an|}的前n項和Sn.(20－5n)(n－5)C．a(chǎn)1＋a101＝0(2)求前n項和Sn的最大值；事實上，本題要對n進行分類(fēnlèi)討論．(1)若{an}成等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－∴S110＝－110. 等差數(shù)列前n項和的實際應用(yìngyòng) 例3：一個等差數(shù)列的前10項之和100，前100項之和為10，求前110項之和．解法一：設等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}的公差為d，前n項和Sn，則第十六頁，共27頁。16第十七頁，共27頁。17解法(jiěfǎ)二：設等差數(shù)列的前n項和為Sn＝An2＋Bn，第十八頁，共27頁。18解法(jiěfǎ)三：設等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，第十九頁，共27頁。19∴S110＝－110.第二十頁，共27頁。20 3－1.(年浙江)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差(gōngchā)為d，前n項和為Sn，滿足S5S6＋15＝0. (1)若S5＝5，求S6及a1； (2)求d的取值范圍．第二十一頁，共27頁。21(2)∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.∴d2≥8.第二十二頁，共27頁。22 例4：已知一個等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}的通項公式an＝25－5n，求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn.第二十三頁，共27頁。23 錯因剖析：解本題易出現(xiàn)的錯誤就是(jiùshì)：(1)由an≥0得，n≤5理解為n＝5，得出結論：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n≤5)，Sn＝(20－5n)(n－5)

2；(2)把“前n項和”認為(rènwéi)“從n≥6起”的和．事實上，本題要對n進行分類(fēnlèi)討論．正解：由an≥0得n≤5，∴{an}前5項為非負，從第6項起為負，當n≥6時，第二十四頁，共27頁。244－1.已知Sn

為等差數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝12n－n2.(1)求|a1|＋|a2|＋|a3|；(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|；(3)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.第二十五頁，共27頁。25解：∵Sn＝12n－n2，∴當n＝1時，a1＝S1＝12－1＝11，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(12n－n2)－12(n－1)＋(n－1)