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等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的前項和概念解析第一頁,共27頁。11.已知等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}滿足a2+a4=4,a3+a5=10,則它的前10項的和S10=()CA.138B.135C.95D.232.在等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}中,已知S15=90,那么a8等于()A.3B.4C.6D.12

C第二頁,共27頁。23.已知等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}滿足a1+a2+…+a101=0,則有()CA.a(chǎn)1+a101>0C.a(chǎn)1+a101=0B.a(chǎn)1+a101<0 D.a(chǎn)51=514.在等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}中,已知a6=a3+a8,則前9項和S9等于()DA.3B.2C.1D.05.在等差數(shù)列{an}中,a3+a9=27-a6,Sn表示(biǎoshì)數(shù)列{an}的前n項和,則S11=()BA.18B.99C.198D.297第三頁,共27頁。3重點(zhòngdiǎn)等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)前n項和的性質 (1)若{an}成等差數(shù)列(děnɡchāshùliè),則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,Skn-S(k-1)n,…(k≥2)也成等差數(shù)列(děnɡchāshùliè).難點求等差數(shù)列的前n項和Sn

的最值

(1)根據(jù)項的正負來定:若a1>0,d<0,則數(shù)列的所有正數(shù)項之和最大;若a1<0,d>0,則數(shù)列的所有負數(shù)項之和最小.第四頁,共27頁。4第五頁,共27頁。5 等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的前n項和的性質及應用例1:等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前3m項和為()A.30B.170C.210D.260思維突破(tūpò):(1)把問題特殊化,即令m=1來解.(2)利用等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的前n項和公式Sn=na1+n(n-1)

2d進行求解.第六頁,共27頁。6(3)借助等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的前n項和公式Sn=n(a1+an)

2及性質(xìngzhì)m+n=p+q?am+an=ap+aq求解. (4)根據(jù)性質:“已知{an}成等差數(shù)列, 則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,Skn-S(k-1)n,…(k≥2)成等差數(shù)列”解題. (5)根據(jù)Sn=an2+bn求解. (6)運用(yùnyòng)等差數(shù)列求和公式,Sn=na1+n(n-1)

2d的變形式解題.第七頁,共27頁。7解法一:取m=1,則a1=S1=30,a2=S2-S1=70,∴d=a2-a1=40,a3=a2+d=70+40=110,S3=a1+a2+a3=210.第八頁,共27頁。8

由③-②及②-①結合④,得S3m=210.

解法四:根據(jù)上述性質,知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m

成等差數(shù)列. 故Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm), ∴S3m=3(S2m-Sm)=210.第九頁,共27頁。9又a6>0,a7<0,事實上,本題要對n進行分類(fēnlèi)討論.C.a(chǎn)1+a101=0當且僅當an≥0且an+1<0時,Sn有最大值.取最值時,應考慮答案(dáàn):C列{|an|}的前n項和Sn.當n=13時,Sn有最大值為169.=S3=12×3-32=27;(4)根據(jù)性質:“已知{an}成等差數(shù)列,5.在等差數(shù)列{an}中,a3+a9=27-a6,Sn表示(biǎoshì)數(shù)列{an}的∴設Sn=a·n2+b·n,解法五:∵{an}為等差數(shù)列,∴設Sn=a·n2+b·n,∴Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100,∴S3m=9m2a+3mb=210.解法六:由Sn=na1+n(n-1)

2d,第十頁,共27頁。10B1-1.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27答案(dáàn):C第十一頁,共27頁。111-2.等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}的前n項和為Sn,若S2=2,S4=10,則S6等于(děngyú)()CA.12B.18C.24D.42 等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)前n項和的最值問題例2:在等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最值.第十二頁,共27頁。12 等差數(shù)列前n項和的最值問題除了用二次函數(shù)求解外,還可利用(lìyòng)下面的方法討論:①若d>0,a1<0,當且僅當an≤0且an+1>0時,Sn有最小值;②若d<0,a1>0,當且僅當an≥0且an+1<0時,Sn有最大值.取最值時,應考慮n在正整數(shù)范圍內(nèi)取值.由二次函數(shù)的性質(xìngzhì)可知,當n=13時,Sn有最大值為169.第十三頁,共27頁。132-1.數(shù)列(shùliè){an}是首項為23,公差為整數(shù)的等差數(shù)列(shùliè),且第六項為正,第七項為負.(1)求數(shù)列(shùliè)的公差;(2)求前n項和Sn的最大值;(3)當Sn>0時,求n的最大值.第十四頁,共27頁。14S6=6×23+,(2)∵d<0,∴數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,又a6>0,a7<0,∴當n=6時,Sn

取得最大值,6×5 2×(-4)=78.(3)Sn=23n+n(n-1)

2×(-4)>0,整理得:n(25-2n)>0,∴0<n<25 2又n∈N*,所求n的最大值為12.第十五頁,共27頁。15設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,列{|an|}的前n項和Sn.理解為n=5,得出結論:Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n≤5),等差數(shù)列前n項和的實際應用(yìngyòng)3.已知等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}滿足a1+a2+…+a101=0,則有((3)借助等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的前n項和公式Sn=當n=13時,Sn有最大值為169.解法(jiěfǎ)三:設等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,前10項的和S10=(列{|an|}的前n項和Sn.(20-5n)(n-5)C.a(chǎn)1+a101=0(2)求前n項和Sn的最大值;事實上,本題要對n進行分類(fēnlèi)討論.(1)若{an}成等差數(shù)列(děnɡchāshùliè),則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,Skn-∴S110=-110. 等差數(shù)列前n項和的實際應用(yìngyòng) 例3:一個等差數(shù)列的前10項之和100,前100項之和為10,求前110項之和.解法一:設等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}的公差為d,前n項和Sn,則第十六頁,共27頁。16第十七頁,共27頁。17解法(jiěfǎ)二:設等差數(shù)列的前n項和為Sn=An2+Bn,第十八頁,共27頁。18解法(jiěfǎ)三:設等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,第十九頁,共27頁。19∴S110=-110.第二十頁,共27頁。20 3-1.(年浙江)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差(gōngchā)為d,前n項和為Sn,滿足S5S6+15=0. (1)若S5=5,求S6及a1; (2)求d的取值范圍.第二十一頁,共27頁。21(2)∵S5S6+15=0,∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.∴d2≥8.第二十二頁,共27頁。22 例4:已知一個等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}的通項公式an=25-5n,求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn.第二十三頁,共27頁。23 錯因剖析:解本題易出現(xiàn)的錯誤就是(jiùshì):(1)由an≥0得,n≤5理解為n=5,得出結論:Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n≤5),Sn=(20-5n)(n-5)

2;(2)把“前n項和”認為(rènwéi)“從n≥6起”的和.事實上,本題要對n進行分類(fēnlèi)討論.正解:由an≥0得n≤5,∴{an}前5項為非負,從第6項起為負,當n≥6時,第二十四頁,共27頁。244-1.已知Sn

為等差數(shù)列{an}的前n項和,Sn=12n-n2.(1)求|a1|+|a2|+|a3|;(2)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|;(3)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.第二十五頁,共27頁。25解:∵Sn=12n-n2,∴當n=1時,a1=S1=12-1=11,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(12n-n2)-12(n-1)+(n-1)

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