微積分二教學(xué)-第七章級數(shù)復(fù)習(xí)課

第七章級數(shù)復(fù)習(xí)課一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和收斂性判斷二、冪級數(shù)

三、泰勒級數(shù)第七章級數(shù)復(fù)習(xí)課第一部分、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和收斂性判斷一、級數(shù)的概念1.級數(shù)的定義:

u3

un一般項(xiàng)

(常數(shù)項(xiàng))無窮級數(shù)部分和數(shù)列s1

u1

,

s2

u1

u2

,i1nsn

u1

u2

un

ui

un

u1

u2n1級數(shù)的部分和s3

u1

u2

u3

,,sn

u1

u2

un

,2.級數(shù)的收斂與發(fā)散:當(dāng)n

無限增大時(shí),如果級數(shù)

un

的部分和n1n數(shù)列sn

有極限s

,

即

lim

sn

s

則稱無窮級數(shù)

un

收斂,這時(shí)極限s

叫做級數(shù)

un

的和.并n1

n1寫成s

u1

u2

u3

如果sn

沒有極限,則稱無窮級數(shù)un

發(fā)散.n1二、基本性質(zhì)n1n1性質(zhì)1

如果級數(shù)

un

收斂,則

kun

亦收斂.

性質(zhì)2

設(shè)兩收斂級數(shù)s

un

,

vn

,n1

n1則級數(shù)(un

vn

)收斂,其和為s

.n1結(jié)論:收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.結(jié)論:級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.

性質(zhì)

3

若級數(shù)

un

收斂,則

un

也收斂n1

n

k

1(k

1).且其逆亦真.類似地可以證明在級數(shù)前面減少、增加或改變有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)

4

收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和.注意收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.例如

(1

1)

(1

1)

收斂1

1

1

1

推論

如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散,則原來級數(shù)也發(fā)散.發(fā)散三、收斂的必要條件n級數(shù)收斂的必要條件:當(dāng)n無限增大時(shí),它的一般項(xiàng)un趨于零,即級數(shù)收斂

lim

un

0.四、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法定義:如果級數(shù)un中各項(xiàng)均有un

0n1這種級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù).正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件:s1

s2

sn

部分和數(shù)列{sn

}為單調(diào)增加數(shù)列.定理正項(xiàng)級數(shù)收斂

部分和所成的數(shù)列sn有界.

且un

vn

(n

1,2,),若vn

收斂,則un

收斂；n1

n1

反之，若un

發(fā)散，則vn

發(fā)散.n1

n1

n1

n1設(shè)un和vn均為正項(xiàng)級數(shù)3.比較審斂法例1P-級數(shù)

1

1n

p

1

的收斂性.(p

0)2

p

3

p

4

p1

1解設(shè)p

1,np

1

1

,則P

級數(shù)發(fā)散.y設(shè)p

1,由圖可知oxy

1

(

p

1)x

p1

2

3

4nnn11

pxdxnp

12

p

3

pns

1

1

1

npdx

x

pn1

1

npxdx21

1

n

x

pdx11

1

np1p

1(1

1

)

1

p

11即sn有界,則P

級數(shù)收斂.當(dāng)p

1時(shí),當(dāng)p

1時(shí),

收斂發(fā)散P

級數(shù)重要參考級數(shù):幾何級數(shù),P-級數(shù),調(diào)和級數(shù).

n1

n1則(1)當(dāng)0

l

時(shí),二級數(shù)有相同的斂散性;

n1

n1(3)當(dāng)l

時(shí),若vn

發(fā)散,則

un

發(fā)散;4.比較審斂法的極限形式:設(shè)

un

與vn

都是正項(xiàng)級數(shù),如果limun

l,n

vnn1n1(2)當(dāng)l

0時(shí)，若vn

收斂,則un

收斂;5.Cauchy判別法：設(shè)

un

為正項(xiàng)級數(shù),n1如果lim

nun

l

0

(或lim

nun

),n

n則級數(shù)

un

發(fā)散;n1nn如果有p

1,

使得lim

npu

存在,則級數(shù)

un

收斂.n16.比值審斂法(達(dá)朗貝爾D’Alembert判別法)：設(shè)n1nu

是正項(xiàng)級數(shù),如果limn

(數(shù)或

)unun1則

1時(shí)級數(shù)收斂;

1時(shí)級數(shù)發(fā)散;

1時(shí)失效.設(shè)7.根值審斂法(柯西判別法)：n1nnnnu

u

是正項(xiàng)級數(shù),如果lim(為數(shù)或

),則

1時(shí)級數(shù)收斂;

1時(shí)級數(shù)發(fā)散;

1時(shí)失效.五、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法定義:正、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù).nnn(1)

u

n1

n1n1(1)

u

或萊布尼茨定理

如果交錯(cuò)級數(shù)滿足條件:(ⅰ)un

un1

(n

1,2,3,);(ⅱ)lim

un

0,n則級數(shù)收斂,且其和s

u1,其余項(xiàng)

rn的絕對值

un1.rnn(其中u

0)六、絕對收斂與條件收斂定義:正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項(xiàng)級數(shù).

定理

若

un

收斂,則

un

收斂.n1

n1上定理的作用：任意項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)n1定義:若

un

收斂,則稱

un

為絕對收斂;n1n1n1

n1若

un

發(fā)散,而

un

收斂,則稱

un

為條件收斂.第七章級數(shù)復(fù)習(xí)課第二部分、冪級數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念1.定義:設(shè)u1

(x),u2

(x),,un

(x),是定義在I

R

上的函數(shù),則un

(x)

u1

(x)

u2

(x)

un

(x)

n1稱為定義在區(qū)間I

上的(函數(shù)項(xiàng))無窮級數(shù).2.收斂點(diǎn)與收斂域:n1如果x0

I

,數(shù)項(xiàng)級數(shù)un

(x0

)收斂,n1則稱x0

為級數(shù)

un

(x)的收斂點(diǎn),否則稱為發(fā)散點(diǎn).所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

un

(x)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為收斂域,n1n(x在收斂域上)lim

rn

(

x)

0n注意函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題.3.和函數(shù):在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是x

的函數(shù)s(x),稱s(x)為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù).s(x)

u1

(x)

u2

(x)

un

(x)

(定義域是?)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和

sn

(

x),

lim

sn

(

x)

s(

x)余項(xiàng)rn

(x)

s(x)

sn

(x)二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:形如nn

0an

(

x

x0

)的級數(shù)稱為冪級數(shù).0當(dāng)x

0時(shí),nna

x

,n0n其中a

為冪級數(shù)系數(shù).2.收斂性:如果級數(shù)定理1(Abel定理)n0nna

x在x

x0

(

x0

0)處收斂,則它在滿足不等式

x

x0

的一切x

處絕對收斂;如果級數(shù)n

0na

xn

0在x

x

處發(fā)散,則它在滿足不等式

x

x0

的一切x

處發(fā)散.定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.(

R,

R), [

R,

R),

(

R,

R], [

R,

R].R

0,規(guī)定收斂區(qū)間x

0;(2)冪級數(shù)對一切x

都收斂,R

,

收斂區(qū)間(,).(1)

冪級數(shù)只在x

0處收斂,定理

2

如果冪級數(shù)n0

nna

x的所有系數(shù)na

0,設(shè)nanalim

n1

(或

lim

n

an

)n(1)

則當(dāng)

0時(shí),R

1

;(3)

當(dāng)

時(shí),R

0.(2)當(dāng)

0時(shí),R

;三、冪級數(shù)的運(yùn)算1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):R

minR1

,

R2

(1)加減法

n0n0nnnna

x

b

xn0nnc

x

.(其中cn

an

bn

)x

R,

Rnnn

n

1

2b x

的收斂半徑各為R

和R

,a

x

和設(shè)

n0

n0(2)乘法)(

n0

n0nnn

n

(

b

xa

x

)n0nnc

x

.x

R,

R(其中cn

a0

bn

a1

bn1

an

b0

)3

03

13

2a

b

a

b

a

b3

3a

b1

x

x2

x3

a0b0

a0b1

a0b2

a0b3a1b0

a1b1

a1b2

a1b3a2b0

a2b1

a2b2

a2b3柯西乘積(3)除法n0n0nnnnb

xa

xn0nnc

x

.(收斂域內(nèi)n0nnb

x

0)(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)(1)

冪級數(shù)2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):n0nna

x的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間(

R,R)內(nèi)連續(xù),在端點(diǎn)收斂,則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù).(2)

冪級數(shù)n

na

x

的和函數(shù)s(x)n0(

R,R)內(nèi)可積,且對x

(

R,R)可逐項(xiàng)積分.在收斂區(qū)間n0x

xnna

x

)dx0s(

x)dx

0(即n00xnna

x dx

.n1n0

n

1xan(收斂半徑不變)(3)

冪級數(shù)n0nna

x的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間(

R,

R)內(nèi)可導(dǎo),

并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次.n0即s

(x)

()nna

xn0nn(a

x

)n1

nn1na

x

.(收斂半徑不變)常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)1n0n(1)

x1n

2n

;

(2)

(1)

x

2

;1

x

1

xn0;1

x

2n02n(3)

ax

an!xn(4)

ex

;n0

ln(1

x);xn1n

1(6)

(1)nn0

sin

x;n1x2n1(2n

1)!(5)

(1)n11、

；2

4

(2n)

2 2

42x

xxn練習(xí)題一、求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:2、

x

x

1nx

；2nn2522222n

22n

12nxnx

；4、(a

0

,

b

0).a

bn23、n1n1n二、利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分,求下列級數(shù)的和函數(shù):n11、

nxn13

5

2n1；

2、x

x

x

x

.3

5 2n

1一、求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:1、

；

x2 2

4 2

4

(2n)x

2

xn冪級數(shù)練習(xí)題解答

0n(2n)!!

1nlim

an1

lim

lima

n

(2n

2)!!

n

2n

2解：1、因?yàn)樗?，這個(gè)冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（?∞，+∞）。一、求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:2、

x

1n2x

2

xn22

2n

；522解：

limn

2n

((n

1)2

1)n

(nnan2、因?yàn)閘im

an1所以，這個(gè)冪級數(shù)的收斂區(qū)間為[?1/2，1/2]。所以，這個(gè)冪級數(shù)的收斂半徑為1/2。都收斂，2當(dāng)x

1

時(shí)，級數(shù)n1

n2(1)n1一、求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:3、n12n22n2n

1x

；解：12nn

(2n

1)

2n2lim

n

an

limn

3、因?yàn)楫?dāng)x

都發(fā)散，2時(shí)，級數(shù)2n

12n1所以，這個(gè)冪級數(shù)的收斂半徑為

2

。2,

2)。所以，這個(gè)冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(112

1

2n22n(2n

1)

lim2

一、求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:4、(a

0

,

b

0).a

bnn1xnn解：

1

lima

n)nnn4、不妨設(shè)a

>

b,

lim

n

aba1

1an

1

(所以，這個(gè)冪級數(shù)的收斂半徑為a。都發(fā)散，當(dāng)

x

a

時(shí)，級數(shù)nba所以，這個(gè)冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(?a，a)。(1)n1

(

)n1二、利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分,求下列級數(shù)的和函數(shù):n11、

nx

n1

；2、x

.

2n

1x

2n13

5x

3

x

5解：收斂區(qū)間為(-1,1)。n1、n1n1

n1n

n1

2

x

1

nx

(x

)

x

(1

x)

1

x

2、收斂區(qū)間為(-1,1)。x2n12n200n1n1

2n

1xxt dt

t

2n2dtn10x

1

dt

ln1

x1

t

21

x第七章級數(shù)復(fù)習(xí)課第三部分、泰勒級數(shù)一、泰勒級數(shù)定理

1

如果函數(shù)

f

(

x)在U

(

x0

)內(nèi)具有任意階導(dǎo)nn

0a

(

x

x

)即

f

(

x)

數(shù),且在U

(x0

)內(nèi)能展開成(x

x0

)的冪級數(shù),n

0則其系數(shù)

a

n!10f

(

x

) (n

0,1,2,)(

n)n且展開式是唯一的.如果f

(x)在點(diǎn)x0

處任意階可導(dǎo),則冪級數(shù)n00f

(

n)

(

x

)(x

x

)

稱為n00f

(

x)

x在點(diǎn)

的泰勒級數(shù).nn!f

(

n)

(0)x

稱為f

(x)n!n00在點(diǎn)x

0

的麥克勞林級數(shù).定義n定理

2

f

(

x)在點(diǎn)x0

的泰勒級數(shù),在U

(

x0

)內(nèi)收斂于

f

(

x)

在U

(

x0

)內(nèi)lim

Rn

(

x)

0

.定理

3 設(shè)

f

(

x)

在U

(

x0

)

上有定義,M

0

,

對0

0

x

(

x

R,

x

R),恒有

f

(

n)

(

x)

M(n

0,1,2,),則f

(x)在(x0

R,x0

R)內(nèi)可展開成點(diǎn)x0

的泰勒級數(shù).二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.直接法(泰勒級數(shù)法)n!f

(

n)

(

x

)步驟:

(1)

求an

0

;nn(2)

lim

R

0

或f

(n)(x)

M

,則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于f

(x).例1

將f

(

x)

ex展開成冪級數(shù).解f

(

n)

(

x)

e

x

,

f

(

n)

(0)

1.(n

0,1,2,)e

x

1

x

1

x

2

1

xn

2!M

0,在[

M

,M

]上n!f

(

n)

(

x)

e

x

e

M

(n

0,1,2,)

e

x

1

x

1

x

2

1

xn2!

n!由于M的任意性,即得x

(,)e

x

1

x

1

x

2

1

xn

2!

n!例2

將f

(

x)

sin

x展開成x的冪級數(shù).解f

(

n)

(

x)

sin(

x

n),

f

(

n)

(0)

sin

n

,2

2

f

(

2n)

(0)

0,f

(

2n1)

(0)

(1)n

,

(n

0,1,2,)2且

f

(

n)

(

x)

sin(

x

n)

1x

(,)sin

x

x

3!

5!1

1x3x2n1

x5

(1)n

(2n

1)!x

(,)2.間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,求展開式.例如cos

x

(sin

x)cos

x

1

12!

4!x4x2

(1)n

(2n)!x

(,)3!

5!1sin

x

x

1

1(2n

1)!x2nx3x2n1

x5

(1)n

xdx20

1

xarctan

x

x

[1,1]2n

1

x

x

2n115135x

(1)3x

nx0

1

xln(1

x)

dxx

x

nn1

xn3x

(1)

(1)n

tn

)dt

x

(1,1]21312x

(1)n

t

2n

)dt

(1

t

2

t

4

0x

(1

t

t

2

0泰勒級數(shù)展開練習(xí)題一、將下列函數(shù)展開成x

的冪級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間:1、a

x

；解f

(n)

(x)

ax

(ln

a)n

,

f

(n)

(0)

(ln

a)n

,

(n

0,1,

2,

)(ln

a)nn0n!axxn

M

0,

在[

M

,M

]上n1n1

0,(n

)aM

(ln

a)nRn(x)

n!a

(ln

a)nn!x

M由于M的任意性,即得n!x(ln

a)nnx

,

x

(,

)n0a

一、將下列函數(shù)展開成x

的冪級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間:2、(1

x)ln(1

x);0ln(1

x)

1

xxdx231

12

x

nn1

xnx

x

(1)3 ,

x

(1,1]解n1nxn(1)n1f

(x)

(1

x)

ln(1

x),

f

(x)

ln(1

x)

1

1

利用逐項(xiàng)積分,即得(1

x)

ln(1

x)

(1)n10(1xnt

)dtnn1(1)n1(1)nxn

,

x

(1,1]n1

n(n

1)

n2

(n

1)n

x

xn1

x

（冪級數(shù)在x=?1收斂，函數(shù)在x=?1有界，但沒有定義。）一、將下列函數(shù)展開成x

的冪級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間:2、(1

x)ln(1

x);解2nn1

n1因?yàn)?/p>

ln(1

x)

(1)

xn

,

1

x

1利用逐項(xiàng)相加,即得nxn1nnn1

n1(1)n1(1)n1(1

x)

ln(1

x)

x

n2n2nn1(1)n1xn(1)n

1

1

xnn

n

1

n

1

(1)n

n

x

x

n2

n(n

1)(1)nxn

x

（補(bǔ)充函數(shù)在x=?1的定義值為0，使得展開式在[-1,1]成立。）一、將下列函數(shù)展開成x

的冪級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間:3、arcsin

x；解n1(2n

1)!!

x2n

,

(1,1)(2n)!!1

x2f(x)

arcsin

x,

f(x)

1

1

利用逐項(xiàng)積分,即得(2n

1)!!t

2n

)dt0arcsin

x

(1(2n)!!xn1n1

(2n

1)(2n)!!

x

(2n

1)!!

x2n1

, x

(