波函數(shù)和算符PPT資料

波函數(shù)和算符1第一頁，共23頁。上講內(nèi)容(nèiróng)：德布羅意公式不確定(quèdìng)關(guān)系2第二頁，共23頁。求解(qiújiě)問題的思路：一般,t時(shí)刻,到達(dá)空間r(x,y,z)處附近某體積dV內(nèi)的粒子數(shù)微觀粒子的基本屬性不能用經(jīng)典語言確切地表達(dá)，建立關(guān)于振幅函數(shù)(x)的方程——振幅方程德布羅意、薛定諤：波動(dòng)力學(xué)理論3)建立包含粒子性特征量的概率波波動(dòng)方程——薛定諤方程。I大電子到達(dá)該處概率大I大處到達(dá)光子數(shù)多一維定態(tài)薛定諤方程(fāngchéng)由于受不確定關(guān)系約束(yuēshù)，需突破經(jīng)典描述方法：同理可得動(dòng)量的其它(qítā)兩個(gè)分量算符為：t時(shí)刻，出現(xiàn)在空間(x,y,z)點(diǎn)附近單位體積內(nèi)的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比。亦即，微觀粒子的力學(xué)量只能用算符表示。非自由粒子，能量=動(dòng)能+勢(shì)能I=0電子到達(dá)該處概率為零這是建立在基本假設(shè)之上的構(gòu)造性理論，其正確性由實(shí)踐檢驗(yàn)。微觀粒子的基本屬性不能用經(jīng)典語言確切地表達(dá)，“波粒二象性”——借用經(jīng)典語言進(jìn)行互補(bǔ)性描述。對(duì)微觀客體(kètǐ)的數(shù)學(xué)描述可以脫離日常生活經(jīng)驗(yàn)，避免借用經(jīng)典語言引起的表觀矛盾。量子力學(xué)在“波粒二象性”概念基礎(chǔ)上，建立了包含一套計(jì)算(jìsuàn)規(guī)則及對(duì)數(shù)學(xué)程式的物理解釋。這是建立在基本假設(shè)之上的構(gòu)造性理論，其正確性由實(shí)踐檢驗(yàn)。第三節(jié)波動(dòng)性和粒子(lìzǐ)性量子力學(xué)德布羅意、薛定諤：波動(dòng)力學(xué)理論海森堡、約當(dāng)：矩陣力學(xué)理論3第三頁，共23頁。一、波動(dòng)性經(jīng)典理論(lǐlùn)：波動(dòng)即是振動(dòng)狀態(tài)在空間的傳播波動(dòng)方程：波動(dòng)方程表示了如下特征：

1)描述波動(dòng)的特征量為波長(zhǎng)、頻率、波速。

2)波動(dòng)滿足疊加原理，即如果1、2是方程的解，其線性組合C11+C22也是方程的解。

3)邊界條件約束下得到相應(yīng)的方程解，對(duì)應(yīng)于各自的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，駐波對(duì)應(yīng)于定態(tài)。

4)平面單色波的解表示波在x從-∞到+∞傳播的行波特征。4第四頁，共23頁。二、粒子(lìzǐ)性經(jīng)典力學(xué)表示的粒子具有如下特征：1)描述粒子運(yùn)動(dòng)的基本(jīběn)物理量是質(zhì)量、大小、位置、速度、能量、動(dòng)量。2)粒子整體運(yùn)動(dòng)遵從牛頓定律。三、微觀粒子波粒二象性的描述由于受不確定關(guān)系約束(yuēshù)，需突破經(jīng)典描述方法：1)“波長(zhǎng)、頻率”作為描述波動(dòng)性的特征量。2)“能量、動(dòng)量”作為描述粒子性的特征量。

3)建立包含粒子性特征量的概率波波動(dòng)方程——薛定諤方程。5第五頁，共23頁。量子力學(xué)用波函數(shù)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，波函數(shù)所遵從的方程——薛定諤方程是量子力學(xué)的基本(jīběn)方程。波函數(shù)和薛定諤方程都是量子力學(xué)的基本(jīběn)假設(shè)。第六章波函數(shù)和薛定諤方程(fāngchéng)第一節(jié)波函數(shù)與算符一、微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述----波函數(shù)波函數(shù)：描述微觀客體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，是概率波的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。一般表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)形式6第六頁，共23頁。例：一維自由粒子的波函數(shù)經(jīng)典描述(miáoshù)：沿x軸勻速直線運(yùn)動(dòng)量子描述：類比：?jiǎn)紊矫娌ㄒ欢ㄑ刂本€傳播自由粒子：不受任何(rènhé)其它勢(shì)場(chǎng)或粒子的作用以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn)，7第七頁，共23頁。（取實(shí)部）推廣：三維自由粒子波函數(shù)意義：波函數(shù)確定了微觀粒子運(yùn)動(dòng)的全部力學(xué)性質(zhì)。8第八頁，共23頁。二、力學(xué)(lìxué)量的確定由于(yóuyú)波粒二象性，微觀粒子的能量和動(dòng)量只能通過相應(yīng)的算符作用于波函數(shù)得到。自由粒子動(dòng)量將波函數(shù)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，再乘以–i?，則有將波函數(shù)對(duì)t求偏導(dǎo)數(shù)，再乘以i?，則有可見E、px對(duì)應(yīng)著算符作用于波函數(shù)，相應(yīng)的算符為：9第九頁，共23頁。同理可得動(dòng)量的其它(qítā)兩個(gè)分量算符為：可以推知自由粒子的非相對(duì)論動(dòng)能算符為：其中為拉普拉斯算符用算符表示力學(xué)量：力學(xué)量與其相應(yīng)(xiāngyīng)的算符對(duì)應(yīng)亦即，微觀粒子的力學(xué)量只能用算符表示。這是微觀粒子波粒二象性的結(jié)果。非自由粒子，能量=動(dòng)能+勢(shì)能對(duì)應(yīng)算符即哈密頓算符10第十頁，共23頁。光柵衍射電子衍射類比第二節(jié)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)(tǒngjì)解釋經(jīng)典物理中波函數(shù)具有描述空間(kōngjiān)振動(dòng)狀態(tài)的確切意義對(duì)于微觀客體，其狀態(tài)由波函數(shù)完全確定。問題：波函數(shù)有什么樣的物理意義？11第十一頁，共23頁。I大處到達(dá)光子數(shù)多I小處到達(dá)光子數(shù)少I=0無光子到達(dá)各光子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路徑均不確定用I對(duì)屏上光子數(shù)分布作概率性描述各電子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路徑均不確定對(duì)屏上電子數(shù)分布作概率性描述I大電子到達(dá)該處概率大I=0電子到達(dá)該處概率為零I小電子到達(dá)該處概率小光柵衍射電子衍射12第十二頁，共23頁。

t時(shí)刻，出現(xiàn)在空間(x,y,z)點(diǎn)附近單位體積內(nèi)的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比。

t時(shí)刻，粒子出現(xiàn)在空間(x,y,z)點(diǎn)附近單位體積內(nèi)的概率。

t

時(shí)刻，粒子在空間的概率密度分布。一般,t時(shí)刻,到達(dá)空間r(x,y,z)處附近某體積dV內(nèi)的粒子數(shù)的物理意義：13第十三頁，共23頁。物質(zhì)波的波函數(shù)不描述介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(相位)傳播(chuánbō)的過程

概率密度，描述粒子在空間的統(tǒng)計(jì)分布概率幅注意干涉項(xiàng)14第十四頁，共23頁。4.波函數(shù)的歸一化條件(tiáojiàn)和標(biāo)準(zhǔn)條件(tiáojiàn)粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率為1

歸一化條件對(duì)微觀客體的量子力學(xué)描述：脫離日常生活經(jīng)驗(yàn)，避免借用經(jīng)典語言引起的表觀矛盾(máodùn)，將波粒二象性統(tǒng)一到一起。

標(biāo)準(zhǔn)條件15第十五頁，共23頁。第三節(jié)薛定諤方程(fāngchéng)是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一，其正確性由實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。一、薛定諤方程一維自由(zìyóu)粒子的薛定諤方程由經(jīng)典波動(dòng)方程設(shè)微觀粒子波函數(shù)滿足代入上式得16第十六頁，共23頁。薛定諤方程對(duì)于質(zhì)量為m的自由粒子，三維自由粒子薛定諤方程

三維粒子薛定諤方程——存在勢(shì)場(chǎng)17第十七頁，共23頁。式中，振幅函數(shù)與駐波類比1.一維自由粒子的定態(tài)薛定諤方程二、定態(tài)薛定諤方程(fāngchéng)定態(tài)：勢(shì)函數(shù)不隨時(shí)間(shíjiān)變化18第十八頁，共23頁。要求波函數(shù)(x,t)的模方，只需求振幅函數(shù)(x)的模方。建立關(guān)于振幅函數(shù)

(x)的方程——振幅方程*振幅函數(shù)19第十九頁，共23頁。非相對(duì)論考慮自由粒子：勢(shì)函數(shù)*代入得即一維自由粒子的振幅方程20第二十頁，共23頁。一維定態(tài)薛定諤方程(fāngchéng)粒子在力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，且勢(shì)能不隨時(shí)間變化即一維定態(tài)薛定諤方程得*代入21第二十一頁，共23頁。2.三維定態(tài)薛定諤方程(fāngchéng)拉普拉斯算符即三維定態(tài)薛定諤方程振幅函數(shù)22第二十二頁，共23頁。求解(